Chuyên đề lượng giác 11 - luyện thi đại học - thạc sĩ Lê Văn Đoàn PDF

Chuyên đề lượng giác 11 - luyện thi đại học - thạc sĩ Lê Văn Đoàn PDF tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án,...

Chuyên đề Bất đẳng thức Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 1 LÊ XUÂN ĐạI (GV THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Bất đẳng thức (BĐT) là một trong những dạng toán th-ờng có trong các đề thi ĐH- CĐ. Các thí sinh của chúng ta đều rất sợ và lúng túng khi gặp phải bài toán chứng minh BĐT hoặc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Đơn giản là do các bài toán về BĐT th-ờng là bài toán khó trong đề thi, nhằm phân loại và chọn đ-ợc các học sinh khá giỏi. Th-ờng thì các sĩ tử không biết bắt đầu từ đâu để giải quyết bài toán về BĐT. Bài viết này muốn hệ thống cho các bạn các ph-ơng pháp cơ bản và một số dạng bài tập về BĐT. Hy vọng sẽ giúp các em học sinh lớp 12 đạt kết quả cao trong kì thi ĐH- CĐ sắp tới. Những lời khuyên bổ ích khi học về BĐT: 1. Nắm chắc các tính chất cơ bản của BĐT 2. Nắm vững các ph-ơng pháp cơ bản chứng minh BĐT nh-: PP biến đổi t-ơng đ-ơng; PP sử dụng BĐT Cô si; PP sử dụng đạo hàm 3. Đặc biệt chú trọng vào ôn tập các kỹ thuật sử dụng BĐT Cô si, luôn biết đặt và trả lời các câu hỏi nh-: khi nào áp dụng; điều kiện cho các biến là gì; dấu bằng xảy ra khi nào; nếu áp dụng thế thì có xảy ra dấu bằng không; tại sao lại thêm bớt nh- vậy 4. Luôn bắt đầu với các BĐT cơ bản (điều này vô cùng quan trọng); học thuộc một số BĐT cơ bản có nhiều áp dụng nh-ng phải chú ý điều kiện áp dụng đ-ợc, chẳng hạn nh-: * 2 2 2 a b c ab bc ca (1) với mọi a,b,c * 2 (a b c) 3(ab bc ca) (2) với mọi a,b,c * 2 2 2 2 (a b c) 3(a b c ) (3) với mọi a,b,c * 1 1 4 1 1 1 9 ; (4) a b a b a b c a b c với mọi a,b,c d-ơng * 2 2 2 2 2 2 a x b y (a b) (x y) (5) với mọi a,b,x,y. * 2 2 2 x y (x y) (6) a b a b với mọi a,b d-ơng và x,y bất kỳ pdfMachine A pdf writer that produces quality PDF files with ease! Produce quality PDF files in seconds and preserve the integrity of your original documents. Compatible across nearly all Windows platforms, simply open the document you want to convert, click print, select the Broadgun pdfMachine printer and thats it! Get yours now! Chuyên đề Bất đẳng thức Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 2 * 2 2 2 2 x y z (x y z) (7) a b c a b c với mọi a,b,c d-ơng và x,y,z bất kỳ Dấu bằng xảy ra ở các BĐT (1), (2), (3) và (4) là a=b=c. Dấu bằng xảy ra ở BĐT (5) và (6) là x y a b ; ở (7) là x y z a b c (với mẫu khác 0). (Các em hãy bắt tay ngay vào việc chứng minh các BĐT cơ bản trên nhé. Hãy tìm cho mình một cách giải nhất quán, nhớ nó và khi làm bài thi đều phải chứng minh lại, rồi mới đ-ợc áp dụng) Tr-ớc hết xin đ-a ra 3 ph-ơng pháp thông dụng nhất để chứng minh BĐT I. Ph-ơng pháp biến đổi t-ơng đ-ơng: 1. Ph-ơng pháp chung Để chứng minh A B ta th-ờng thực hiện theo một trong hai cách sau: Cách 1: Ta chứng minh A B 0 . Để làm đ-ợc điều này ta th-ờng sử dụng hằng đẳng thức để phân tích A B thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm. Cách 2: Xuất phát từ một BĐT đúng nào đó ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh. Đối với cách này th-ờng cho ta lời giải không đ-ợc tự nhiên cho lắm và th-ờng sử dụng khi các biến có những ràng buộc đặc biệt. Chú ý: Một số kết quả hay sử dụng * 2 x 0 với mọi x và 2 x 0 x 0 * x 0 với mọi x và x 0 x 0 2. Một số ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi a,b ta có: 2 2 a b 2ab (1) Giải: Ta có 2 2 2 2 2 a b 2ab (a b) 0 a b 2ab dethi24h.net || dethithptquocgia.com || fb.com/thithuthptquocgia TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Chuyên đề Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG Công thức • sin x + cos x = Công thức cộng cung • sin(a ± b) = sin a.cos b ± cos a.sin b tan a + tan b • tan(a + b) = ⋅ − tan a.tan b Công thức nhân đôi – nhân ba hạ bậc • + tan x = ⋅ cos x • + cot x = ⋅ sin x • cos(a ± b) = cos a.cos b ∓ sin a.sin b • tan(a − b) =  cos x − sin x • cos 2x =  ⋅ 2  cos x − = − sin x tan a − tan b ⋅ + tan a.tan b • sin 2x = sin x.cos x • sin 3x = sin x − sin x • cos 3x = cos x − cos x − cos 2x + cos 2x • sin x = ⋅ • cos x = ⋅ 2 Công thức biến đổi tổng thành tích a+b a−b a+b a−b cos ⋅ sin ⋅ • cosa + cos b = cos • cos a − cos b = −2 sin 2 2 a+b a−b a+b a−b • sin a + sin b = sin cos ⋅ • sin a − sin b = cos sin ⋅ 2 2 sin(a + b) sin(a − b) • tan a + tan b = ⋅ • tan a − tan b = ⋅ cos a.cos b cos a.cos b Công thức biến đổi tích thành tổng 1 • cosa.cos b = cos(a + b) + cos(a − b)  • sin a.cos b = sin(a + b) + sin(a − b)  2 • sin a.sin b = cos(a − b) − cos(a + b) ⋅ Cung góc liên kết • "cos đối – sin bù – phụ chéo" cos đối: cos( −α ) = cos α , sin( −α) = − sin α , tan( −α ) = − tan α , cot( −α ) = − cot α sin bù: sin( π − α ) = sin α , cos( π − α ) = − cos α , tan( π − α ) = − tan α , cot( π − α ) = − cot α π  π  π  π  Phụ chéo: sin  − α  = cos α , cos  − α  = sin α , tan  − α  = cot α , cot  − α  = tan α 2  2  2  2  π có sin = cos "  π  π  π  π sin  x +  = cos x, cos  x +  = − sin x, tan  x +  = − cot x, cot  x +  = − tan x 2 2 2 2     • "Bỏ chẵn lần pi sin cos không thay đổi": sin(x + k2 π) = sin x, cos(x + k2π) = cos x • "Hơn sin[x + ( π + k2π)] = − sin x • "Bỏ lẻ lần pi sin cos cộng thành trừ":  ⋅ cos(x + π + k2 π) = − cos x Đặc biệt tan, cot thì: tan(x + kπ) = tan x, cot(x + kπ) = cot x Một số công thức khác thường sử dụng  π  π • sin x + cos x = sin  x +  = cos  x −  ⋅ 4 4   + 1.cos 4x ⋅ • sin x + cos x = − sin 2x =  π  π sin x − cos x = sin  x −  = − cos  x +  ⋅ 4 4   + 3.cos 4x • sin x + cos x = − sin 2x = ⋅ • Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – TS Huỳnh Công Thái dethi24h.net || dethithptquocgia.com || fb.com/thithuthptquocgia Page - - [dethi24h.net] • tan x.cot x = dethi24h.net || dethithptquocgia.com || fb.com/thithuthptquocgia TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Đường tròn lượng giác y t - - /3 -1 u' B π/2 /3 u π/3 2π/3 π/4 /2 3π/4 /2 5π/6 x' π π/6 /3 1/2 1/2 - /2 - /2 -1/2 -1 x A (Ñieåm goác) /2 /2 O -1/2 -π/6 - /3 - /2 -π/4 - /2 -1 -1 -π/3 -π π/2 t' - Bảng lượng giác số góc đặc biệt 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600 π π π π 2π 3π 5π π 2π sin α 2 2 0 2 − 2 cos α 2 tan α 3 kxđ cot α kxđ 3 − 2 − −1 3 0 kxđ kxđ − −1 − 3 −1 − − Một điểm M thuộc đường tròn lượng giác có tọa độ M(cosα, sinα) Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – TS Huỳnh Công Thái Page - - dethi24h.net || dethithptquocgia.com || fb.com/thithuthptquocgia [dethi24h.net] y' dethi24h.net || dethithptquocgia.com || fb.com/thithuthptquocgia TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán BÀI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN I Phương trình lượng giác a = b + k2π cos a = cos b ⇔  a = − b + k2π tan a = tan b ⇔ a = b + kπ  tan x = ⇔ x = kπ   →  π  tan x = ±1 ⇔ x = ± + kπ  cot a = cot b ⇔ a = b + kπ  π cot x = ⇔ x = + kπ  →   cot x = ±1 ⇔ x = ± π + kπ  II Loại nghiệm kết hợp tập nghiệm Khi giải phương trình có chứa hàm số tan cotan, có mẫu số bậc chẵn thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định π + kπ, (k ∈ ℤ) Phương trình chứa cot x, điều kiện: sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ, (k ∈ ℤ) Phương trình chứa tan x, điều kiện: cos x ≠ ⇔ x ≠ Phương trình chứa tan x cot x, điều kiện: sin 2x ≠ ⇔ x ≠ kπ , (k ∈ ℤ) Khi giải xong, cần so với điều kiện, ta có phương pháp sau: Khai thác triệt để điều kiện, kết hợp loại nghiệm trình giải Nghĩa áp dụng công thức lượng giác bản, nhân đôi,… để liệt kê trường hợp điều kiện so sánh trình giải, chẳng hạn ta có: sin a ≠ nhân do: sin 2x + cos2 2x =  → sin 2x ≠  → cos 2x ≠ ±1 … cos a ≠  Điều kiện:  VD VD VD VD BT BT sin 2x + tan 2x + sin 4x = tan 2x − sin 2x − sin x x π Giải: + cos x − = tan x.sin  +  ⋅ cos x 2 2 π π ĐS: x = − + kπ , (k ∈ ℤ) Giải: ĐS: x = ± + kπ , (k ∈ ℤ) cos 2x − ⋅ sin 2x cos x sin 2x + cos 2x − Giải: = sin x.cos x π 5π + k2 π, x = + k2π, (k ∈ ℤ) 6 π ĐS: x = + kπ, (k ∈ ℤ) Giải: cot x = ĐS: x = Bài tập rèn luyện tương tự π ⋅ Giải: − 3cos x + cos 2x = ĐS: x = ± + k2 π, (k ∈ ℤ) (cot x − cot 2x)sin(x − π) Giải:  π 2(1 + sin x + cos 2x) sin  x +  4  = cos x + tan x π ĐS: x = − + k2 π, x = 7π + k2π Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – TS Huỳnh Công Thái dethi24h.net || dethithptquocgia.com || fb.com/thithuthptquocgia Page - - [dethi24h.net] a = b + k2π sin a = sin b ⇔   a = π − b + k2π  sin x = ⇒ x = kπ  π   → sin x = ⇒ x = + k2 π  π  sin x = −1 ⇒ x = − + k2π cos x ... Chứng minh Bất đẳng thức bằng phơng pháp khác Ph ơng pháp 1 : Dùng phép chứng minh phản chứng: * Giả sử cần phải chứng minh BĐT nào đó đúng. Ta hãy giả sử BĐT đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý 1) Ví dụ CMR ít nhất 1 trong 3 BĐT sau là sai Giải. Giả sử 3 BĐT trên đều đúng < < < tức là x y z ; y z x ; z x y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) < + + < < + + < + + + < + + < < 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x z x y z . x y z 0 y z x y z x . y z x 0 x z y . y z x . x y z 0 z x y . z x y 0 z x y ( Vô lý) Suy ra giả sử sai Vậy có ít nhất một trong 3 BĐT trên là sai 2 - Bài tập áp dụng 1)- Cho a = b = 2cd CMR; ít nhất trong 2 BT sau có 1 BĐT đúng 2 2 c a ; d b 2) Giải hệ a y z t y x z t z x y t t x y z < + < + < + < + 3) Cho a ; b ; c < 1.CMR ít nhất 1 trong 3 BĐT sau là sai 1 1 1 a (1 b) ; b (1 c) ; c (1 a) 4 4 4 > > > 4) Cho f(x) = ax 2 + bx 2 +c với a ; b ; c t/m + + > a b c 17. CMR [ ] ( ) x 0 ;1 / f x 1 > 5) Cho a b c 17 + + > .Chứng minh rằng: + + 2 ax bx c 0 x 1 có n 0 Ph ơng pháp 2 : Phơng pháp quy nạp 1) Ví dụ: CMR: Nếu n N ; h 1 > Thì ( ) 1 h n 1 nh + + .( Bất đẳng thức Bcenuli) Giải: Với n = 0 ta có ( ) 0 1 h 1 0.h + + n = 1 ta có ( ) 1 1 h 1 1.h + + Giả sử bài toán đúng với n k (k 1)= Tức là ( ) h 1 k 1 k.h+ + (1) Ta phải CM ( ) ( ) k 1 h 1 h 1 k 1 + + + + Thật vậy: Chuyên đề BĐT - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh-Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong Từ (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + = + + + + + + + k k 1 2 1 h 1 h 1 k.h . 1 h 1 h 1 k 1 h k.h 1 k 1 h Với 2 kh 0 .Bất đẳng thức đợc chứng minh 2) Bài tập áp dụng 1*/. Cho 1 2 n 0 a ; a ; .; a 1 CMR: ( ) ( ) ( ) 1 2 n 1 n 1 a . 1 a . 1 a 1 a . a n N 2*/ CMR 1 1 2n 1 1 . . n N 2 4 2n 3n 1 + 3*/ 1 4a 1 a a . a (a 0) 2 + + + + + < > 4*/ Cho n số dơng a 1 ; a 2 ; ; .a n t/m a 1 + a 2 + .+ a n = f CMR: Với x 0 > ta có n 1 2 n 1 1 1 n x . a . x x a fa a + + + + ữ ữ ữ ữ 5*/ CMR số nguyên n 2 ta có ( ) ( ) 2 2n ! 4n n 1 n! < + * Ph ơng pháp 3 : Phơng pháp đổi biến 1) Ví dụ : Cho:a + b = 4. CMR a 4 +b 4 32 Giải; Có a + b = 1 a 2 m b 2 m = + = với m R Khi đó a 4 + b 4 = (2 + m) 4 + (2 - m) 4 = 32 + 48 m 2 + 2m 4 32 m Dấu - xảy ra a = b = 2 2) Bài tập áp dụng 1/* Cho a + b = c + d. CMR d 2 +c 2 + cd 3ab 2/* Cho a < 2 ; x+ y > 5.CMR 5x 2 + 2y 2 + 8y 62 3/* Cho x + y = z = 3 .CMR x 2 + y 2 + z 2 + xy xz + yz 6 * Ph ơng pháp 4: Phơng pháp làm trội 1) Ví dụ CMR: a b c d 1 2 a b c d b c d c d a d a b < + + + < + + + + + + + + + Giải : Ta có < < < < + + + + + + + + + + + + < < < < + + + + + + + + + + + + a a a b b b ; ; a b c d a b c a c a b c d b c d b d c c c d d d ; a b c d c d a a c a b c d d a b d b 2 Chuyên đề BĐT - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh-Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong Cộng từng vế các BĐT ta có a b c d a b c d a c b d a b c d a b c b c d c d a d a b a c b d a b c d 1 2 a b c b c d c d a d a b + + + + + < + + + < + + + + + + + + + + + + + + < + + + < + + + + + + + + 2) Bài tập áp dụng: 1/* Cho a ; b ; c ; d t/m 1 a b c d 100 . CMR a c 1 b d 5 + 2/* Cho 0 < a 1 , a 2 < < a 12 CMR: 1 2 9 1 2 12 3 6 9 4 8 12 a a . a a a .a 7 a a a a a a + + + + + + < + + + + 3/* CMR: a) 1 1 1 1 2 n 1 2 2 1 2 n 1 1 2 2 n + + < + + + < b) 1 1 1 1 . n 1 n 2 2 3 n + + + + < + + 4/* Cho a = 2 1 3 2 4 3 25 21 . 1 2 2 3 4 3 25 21 + + + + + + + + . CMR: < 2 a 5 5/* CMR 2 1 1 1 5 1 . 4 Chuyên đề Bất đẳng thức Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 1 LÊ XUÂN ĐạI (GV THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Bất đẳng thức (BĐT) là một trong những dạng toán th-ờng có trong các đề thi ĐH- CĐ. Các thí sinh của chúng ta đều rất sợ và lúng túng khi gặp phải bài toán chứng minh BĐT hoặc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Đơn giản là do các bài toán về BĐT th-ờng là bài toán khó trong đề thi, nhằm phân loại và chọn đ-ợc các học sinh khá giỏi. Th-ờng thì các sĩ tử không biết bắt đầu từ đâu để giải quyết bài toán về BĐT. Bài viết này muốn hệ thống cho các bạn các ph-ơng pháp cơ bản và một số dạng bài tập về BĐT. Hy vọng sẽ giúp các em học sinh lớp 12 đạt kết quả cao trong kì thi ĐH- CĐ sắp tới. Những lời khuyên bổ ích khi học về BĐT: 1. Nắm chắc các tính chất cơ bản của BĐT 2. Nắm vững các ph-ơng pháp cơ bản chứng minh BĐT nh-: PP biến đổi t-ơng đ-ơng; PP sử dụng BĐT Cô si; PP sử dụng đạo hàm 3. Đặc biệt chú trọng vào ôn tập các kỹ thuật sử dụng BĐT Cô si, luôn biết đặt và trả lời các câu hỏi nh-: khi nào áp dụng; điều kiện cho các biến là gì; dấu bằng xảy ra khi nào; nếu áp dụng thế thì có xảy ra dấu bằng không; tại sao lại thêm bớt nh- vậy 4. Luôn bắt đầu với các BĐT cơ bản (điều này vô cùng quan trọng); học thuộc một số BĐT cơ bản có nhiều áp dụng nh-ng phải chú ý điều kiện áp dụng đ-ợc, chẳng hạn nh-: * 2 2 2 a b c ab bc ca (1) với mọi a,b,c * 2 (a b c) 3(ab bc ca) (2) với mọi a,b,c * 2 2 2 2 (a b c) 3(a b c ) (3) với mọi a,b,c * 1 1 4 1 1 1 9 ; (4) a b a b a b c a b c với mọi a,b,c d-ơng * 2 2 2 2 2 2 a x b y (a b) (x y) (5) với mọi a,b,x,y. * 2 2 2 x y (x y) (6) a b a b với mọi a,b d-ơng và x,y bất kỳ pdfMachine A pdf writer that produces quality PDF files with ease! Produce quality PDF files in seconds and preserve the integrity of your original documents. Compatible across nearly all Windows platforms, simply open the document you want to convert, click print, select the Broadgun pdfMachine printer and thats it! Get yours now! Chuyên đề Bất đẳng thức Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 2 * 2 2 2 2 x y z (x y z) (7) a b c a b c với mọi a,b,c d-ơng và x,y,z bất kỳ Dấu bằng xảy ra ở các BĐT (1), (2), (3) và (4) là a=b=c. Dấu bằng xảy ra ở BĐT (5) và (6) là x y a b ; ở (7) là x y z a b c (với mẫu khác 0). (Các em hãy bắt tay ngay vào việc chứng minh các BĐT cơ bản trên nhé. Hãy tìm cho mình một cách giải nhất quán, nhớ nó và khi làm bài thi đều phải chứng minh lại, rồi mới đ-ợc áp dụng) Tr-ớc hết xin đ-a ra 3 ph-ơng pháp thông dụng nhất để chứng minh BĐT I. Ph-ơng pháp biến đổi t-ơng đ-ơng: 1. Ph-ơng pháp chung Để chứng minh A B ta th-ờng thực hiện theo một trong hai cách sau: Cách 1: Ta chứng minh A B 0 . Để làm đ-ợc điều này ta th-ờng sử dụng hằng đẳng thức để phân tích A B thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm. Cách 2: Xuất phát từ một BĐT đúng nào đó ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh. Đối với cách này th-ờng cho ta lời giải không đ-ợc tự nhiên cho lắm và th-ờng sử dụng khi các biến có những ràng buộc đặc biệt. Chú ý: Một số kết quả hay sử dụng * 2 x 0 với mọi x và 2 x 0 x 0 * x 0 với mọi x và x 0 x 0 2. Một số ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi a,b ta có: 2 2 a b 2ab (1) Giải: Ta có 2 2 2 2 2 a b 2ab (a b) 0 a b 2ab (đpcm). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b. Thật đơn giản phải không các bạn, nếu tinh ý thêm một chút thôi các bạn sẽ tìm ra những kết quả tổng quát hơn và niềm tin để v-ợt qua bài BĐT trong đề thi ĐH là hoàn toàn khả thi. Cụ thể là với ba số thực a,b,c bất kỳ ta có 2 2 a b 2ab ; 2 2 b c 2bc và 2 2 a c 2ac Cộng từng vế của 3 BĐT ta đ-ợc kết quả sau: 2 Chứng minh Bất đẳng thức bằng phơng pháp khác Ph ơng pháp 1 : Dùng phép chứng minh phản chứng: * Giả sử cần phải chứng minh BĐT nào đó đúng. Ta hãy giả sử BĐT đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý 1) Ví dụ CMR ít nhất 1 trong 3 BĐT sau là sai Giải. Giả sử 3 BĐT trên đều đúng < < < tức là x y z ; y z x ; z x y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) < + + < < + + < + + + < + + < < 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x z x y z . x y z 0 y z x y z x . y z x 0 x z y . y z x . x y z 0 z x y . z x y 0 z x y ( Vô lý) Suy ra giả sử sai Vậy có ít nhất một trong 3 BĐT trên là sai 2 - Bài tập áp dụng 1)- Cho a = b = 2cd CMR; ít nhất trong 2 BT sau có 1 BĐT đúng 2 2 c a ; d b 2) Giải hệ a y z t y x z t z x y t t x y z < + < + < + < + 3) Cho a ; b ; c < 1.CMR ít nhất 1 trong 3 BĐT sau là sai 1 1 1 a (1 b) ; b (1 c) ; c (1 a) 4 4 4 > > > 4) Cho f(x) = ax 2 + bx 2 +c với a ; b ; c t/m + + > a b c 17. CMR [ ] ( ) x 0 ;1 / f x 1 > 5) Cho a b c 17 + + > .Chứng minh rằng: + + 2 ax bx c 0 x 1 có n 0 Ph ơng pháp 2 : Phơng pháp quy nạp 1) Ví dụ: CMR: Nếu n N ; h 1 > Thì ( ) 1 h n 1 nh + + .( Bất đẳng thức Bcenuli) Giải: Với n = 0 ta có ( ) 0 1 h 1 0.h + + n = 1 ta có ( ) 1 1 h 1 1.h + + Giả sử bài toán đúng với n k (k 1)= Tức là ( ) h 1 k 1 k.h+ + (1) Ta phải CM ( ) ( ) k 1 h 1 h 1 k 1 + + + + Thật vậy: Chuyên đề BĐT - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh-Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong Từ (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + = + + + + + + + k k 1 2 1 h 1 h 1 k.h . 1 h 1 h 1 k 1 h k.h 1 k 1 h Với 2 kh 0 .Bất đẳng thức đợc chứng minh 2) Bài tập áp dụng 1*/. Cho 1 2 n 0 a ; a ; .; a 1 CMR: ( ) ( ) ( ) 1 2 n 1 n 1 a . 1 a . 1 a 1 a . a n N 2*/ CMR 1 1 2n 1 1 . . n N 2 4 2n 3n 1 + 3*/ 1 4a 1 a a . a (a 0) 2 + + + + + < > 4*/ Cho n số dơng a 1 ; a 2 ; ; .a n t/m a 1 + a 2 + .+ a n = f CMR: Với x 0 > ta có n 1 2 n 1 1 1 n x . a . x x a fa a + + + + ữ ữ ữ ữ 5*/ CMR số nguyên n 2 ta có ( ) ( ) 2 2n ! 4n n 1 n! < + * Ph ơng pháp 3 : Phơng pháp đổi biến 1) Ví dụ : Cho:a + b = 4. CMR a 4 +b 4 32 Giải; Có a + b = 4 a 2 m b 2 m = + = với m R Khi đó a 4 + b 4 = (2 + m) 4 + (2 - m) 4 = 32 + 48 m 2 + 2m 4 32 m Dấu - xảy ra a = b = 2 2) Bài tập áp dụng 1/* Cho a + b = c + d. CMR d 2 +c 2 + cd 3ab 2/* Cho a < 2 ; x+ y > 5.CMR 5x 2 + 2y 2 + 8y 62 3/* Cho x + y = z = 3 .CMR x 2 + y 2 + z 2 + xy xz + yz 6 * Ph ơng pháp 4: Phơng pháp làm trội 1) Ví dụ CMR: a b c d 1 2 a b c d b c d c d a d a b < + + + < + + + + + + + + + Giải : Ta có < < < < + + + + + + + + + + + + < < < < + + + + + + + + + + + + a a a b b b ; ; a b c d a b c a c a b c d b c d b d c c c d d d ; a b c d c d a a c a b c d d a b d b 2 Chuyên đề BĐT - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh-Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong Cộng từng vế các BĐT ta có a b c d a b c d a c b d a b c d a b c b c d c d a d a b a c b d a b c d 1 2 a b c b c d c d a d a b + + + + + < + + + < + + + + + + + + + + + + + + < + + + < + + + + + + + + 2) Bài tập áp dụng: 1/* Cho a ; b ; c ; d t/m 1 a b c d 100 . CMR a c 1 b d 5 + 2/* Cho 0 < a 1 , a 2 < < a 12 CMR: 1 2 9 1 2 12 3 6 9 4 8 12 a a . a a a .a 7 a a a a a a + + + + + + < + + + + 3/* CMR: a) 1 1 1 1 2 n 1 2 2 1 2 n 1 1 2 2 n + + < + + + < b) 1 1 1 1 . n 1 n 2 2 3 n + + + + < + + 4/* Cho a = 2 1 3 2 4 3 25 21 . 1 2 2 3 4 3 25 21 + + + + + + + + . CMR: < 2 a 5 5/* CMR 2 1 1 1 5 1 . 4 Khóa hc Luyn thi H môn Vt lí 2014 – Thy ng Vit Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.hocmai.vn NGÔI TRƯNG CHUNG CA HC TRÒ VIT §ÆNG VIÖT HïNG BÀI GING TRNG TÂM DAO NG CƠ Khóa hc Luyn thi H môn Vt lí 2014 – Thy ng Vit Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.hocmai.vn CHUYÊN : DAO NG CƠ LUYN THI H-C A. TÓM TT LÝ THUYT I/ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA 1. Dao động điều hòa + Dao ng iu hòa là dao ng trong ó li  ca vt là mt hàm côsin (hay sin) ca thi gian. + Phương trình dao ng: x = Acos(ω ωω ωt + ϕ ϕϕ ϕ). + im P dao ng iu hòa trên mt on thng luôn có th ưc coi là hình chiu ca mt im M chuyn ng tròn u trên ưng tròn có ưng kính là on thng ó. 2. Các đại lượng đặc trưng của dao động điều hoà: Trong phương trình x = Acos(ω ωω ωt + ϕ ϕϕ ϕ) thì: Các đại lượng đặc trưng Ý nghĩa ơn v A biên  dao ng; x max = A >0 m, cm, mm (ωt + ϕ) pha ca dao ng ti thi im t (s) Rad; hay  ϕ pha ban u ca dao ng, rad ω tn s góc ca dao ng iu hòa rad/s. T Chu kì T ca dao ng iu hòa là khong thi gian  thc hin mt dao ng toàn phn :T = 2 π ω = N t s ( giây) f Tn s f ca dao ng iu hòa là s dao ng toàn phn thc hin ưc trong mt giây . 1 f T = Hz ( Héc) hay 1/s Liên h gia ω, T và f: ω = T π 2 = 2πf; Biên  A và pha ban u ϕ ph thuc vào cách kích thích ban u làm cho h dao ng, Tn s góc ω (chu kì T, tn s f) ch ph thuc vào cu to ca h dao ng. 3. Mối liên hệ giữa li độ , vận tốc và gia tốc của vật dao động điều hoà: Đại lượng Biểu thức So sánh, liên hệ Ly  x = Acos(ω ωω ωt + ϕ ϕϕ ϕ): là nghim ca phương trình : x’’ + ω ωω ω 2 x = 0 là phương trình ng lc hc ca dao ng iu hòa. x max = A Li  ca vt dao ng iu hòa bin thiên iu hòa cùng tn s nhưng tr pha hơn 2 π so vi vi vn tc. Vn tc v = x' = - ω ωω ωAsin(ω ωω ωt + ϕ ϕϕ ϕ) v= ω ωω ωAcos(ω ωω ωt + ϕ ϕϕ ϕ + 2 π ) -V trí biên (x = ± A), v = 0. -V trí cân bng (x = 0), |v| = v max = ωA. -Vn tc ca vt dao ng iu hòa bin thiên iu hòa cùng tn s nhưng sm pha hơn 2 π so vi vi li . - Khi vt i t v trí biên v v trí cân bng thì vn tc có  ln tăng dn, khi vt i t v trí cân bng v biên thì vn tc có  ln gim dn. Gia tc a = v' = x’’ = - ω ωω ω 2 Acos(ω ωω ωt + ϕ ϕϕ ϕ) a= - ω ωω ω 2 x. Véc tơ gia tc ca vt dao ng iu hòa luôn hưng v v trí cân bng, có  ln t l vi  ln ca li . -  biên (x = ± A), gia tc có  ln cc i: a max = ω 2 A. -  v trí cân bng (x = 0), gia tc bng 0. -Gia tc ca vt dao ng iu hòa bin thiên iu hòa cùng tn s nhưng ngưc pha vi li  x(sm pha 2 π so vi vn tc v). -Khi vt i t v trí cân bng n v trí biên, a  ngưc chiu vi v  ( vt chuyn ng chm dn) -Khi vt i t v trí biên n v trí cân bng, a  cùng chiu vi v  ( vt chuyn ng nhanh dn). Lc kéo v F = ma = - kx Lc tác dng lên vt dao ng iu hòa :luôn hưng v v trí cân bng, gi là lc kéo v (hi phc). - Chuyn ng nhanh dn : a.v>0, vF   ⇑ ; - Chuyên ng chm dn a.v<0 , vF   ↑↓ Khóa hc Luyn thi H môn Vt lí 2014 – Thy ng Vit Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.hocmai.vn F max = kA ( F  là ... 2π/3 π/4 /2 3π/4 /2 5π/6 x' π π/6 /3 1/2 1/2 - /2 - /2 -1 /2 -1 x A (Ñieåm goác) /2 /2 O -1 /2 - /6 - /3 - /2 - /4 - /2 -1 -1 - /3 - π/2 t' - Bảng lượng giác số góc đặc biệt 00 300 450 600 900 1200... Ths Lê Văn Đoàn – TS Huỳnh Công Thái Page - 20 - dethi24h.net || dethithptquocgia.com || fb.com/thithuthptquocgia [dethi24h.net] BT 118 Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán dethi24h.net || dethithptquocgia.com... Ths Lê Văn Đoàn – TS Huỳnh Công Thái dethi24h.net || dethithptquocgia.com || fb.com/thithuthptquocgia Page - 15 - [dethi24h.net] VD 31 Giải: dethi24h.net || dethithptquocgia.com || fb.com/thithuthptquocgia