Luyện thi đại học môn Toán: Nguyên hàm lượng giác - Phần 2 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài...
III CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Dạng Nguyên hàm dùng công thức lượng giác túy Dạng Nguyên hàm lượng giác hàm có sin, cosin Ví dụ 1: Tính nguyên hàm sau: a) I = ∫ sin x dx b) I = ∫ cos5 x dx c) I = ∫ cos x dx Hướng dẫn giải: a) I = ∫ sin x dx = ∫ sin x.sin x dx = − ∫ (1 − cos x ) d ( cos x ) = − cos x + cos3 x + C b) I = ∫ cos5 x dx = ∫ cos x.cos x dx = ∫ (1 − sin x ) d ( sin x ) = ∫ (1 − 2sin x + sin x ) d ( sin x ) = sin x sin x + C → I = sin x − sin x + + C 3 c) Sử dụng liên tiếp công thức hạ bậc hai ta được: = sin x − sin x + 1 + cos x 1 + cos x cos x = ( cos x ) = = (1 + 2cos x + cos x ) = + 2cos x + = + cos x + cos x 4 3x 1 3 Khi I = ∫ cos x dx = ∫ + cos x + cos x dx = + sin x + sin x + C 8 32 8 Ví dụ 2: Tính nguyên hàm sau: cos x dx sin x a) I1 = ∫ b) I = ∫ dx sin x + 3sin x + cos x dx dx c) I = ∫ d) I = ∫ sin x + sin x cos3 x Hướng dẫn giải: cos x dx d (sin x) a) Ta có I1 = ∫ = sin x + 3sin x + ∫ sin x + 3sin x + ( t + ) − ( t + 1) dt = dt − dt = ln t + + C = ln sin x + + C dt → I1 = ∫ =∫ Đặt t = sin x ∫ t +1 ∫ t + t + t + 3t + sin x + ( t + 1)( t + ) 2 sin x sin x.cos x dx sin x d (sin x) sin x d (sin x) dx = ∫ = − = ∫ − sin x ∫ sin x − cos x cos x t dt t2 −1 + dt ( t + 1) − ( t − 1) dt = ∫ + dt = → I2 = ∫ =∫ =t+ ∫ Đặt t = sin x dt = t + ∫ t −1 t −1 t −1 ( t + 1)( t − 1) t −1 b) I = ∫ t −1 sin x − 1 sin x − = t + ln + C = sin x + ln + C → I = sin x + ln + C t +1 sin x + sin x + dx dx dx sin x dx d (cos x) c) I = ∫ = = = =− ∫ sin x + sin x ∫ 2sin x.cos x ∫ 4sin x.cos x ∫ sin x.cos x (1 − cos x ) cos x Đặt cos x = t → I3 = − 2 1 (1 − t ) + t dt dt dt = − dt = − ∫ + ∫ ∫ ∫ 2 2 (1 − t ) t (1 − t ) t 4 t − t dt Mà = − + C1 t 1 1+ t → I = − − + ln dt (1 − t ) + (1 + t ) dt dt 1 + t t 1− t ∫ − t = ∫ (1 − t )(1 + t ) dt = ∫ + t + ∫ − t = ln − t + C2 ∫t + C 1 1 + cos x Thay t = cosx vào ta I = − − + ln cos x − cos x dx cos x dx d (sin x) d) I = ∫ =∫ = −∫ cos x cos x (1 − sin x ) + C ( t + 1) − ( t − 1) 1 dt = ∫ = − dt = ∫ t −1 t +1 ( t + 1)( t − 1) Đặt t = sin x → I = −∫ = dt (1 − t ) = −∫ (t dt − 1) 1 ( t + 1) − ( t − 1) dt 1 2dt 1 dt dt t −1 + + = − − +∫ − + ln ∫ = − + C 2 ∫ ∫ ( t − 1) t +1 ( t − 1)( t + 1) t − t + ( t − 1)( t + 1) t − t + ( t − 1) 1 1 sin x − Thay t = sinx vào ta I = − − + ln + C sin x − sin x + sin x + Ví dụ 3: Tính nguyên hàm sau: dx 4sin x dx a) I = ∫ b) I = ∫ sin x cos x + cos x Hướng dẫn giải: cos x dx dx d (sin x) a) I = ∫ =∫ =∫ sin x cos x sin x cos x sin x (1 − sin x ) c) I = ∫ sin x dx cos3 x − t + (1 − t ) d (1 − t ) dt t dt dt Đặt t = sin x dt = ∫ → I5 = ∫ =∫ +∫ =− ∫ + ln t = − ln − t + ln t + C 2 2 1− t 1− t t t (1 − t ) t (1 − t ) 1 Thay t = sinx vào ta I = − ln − sin x + ln sin x + C = − ln cos x + ln sin x + C = ln tan x + C 2 dx V ậy I = ∫ = ln tan x + C sin x cos x b) Sử dụng phép biến đổi lượng giác ta có: 4sin x 4sin x.sin x (1 − cos x ) sin x = = = (1 − cos x ) sin x = 4sin x − 2sin x + cos x + cos x + cos x 4sin x dx T I = ∫ = ∫ ( 4sin x − 2sin x ) dx = −4cos x + cos2 x + C → I = −4cos x + cos2 x + C + cos x sin x dx d (cos x) c) I = ∫ = −∫ cos x − cos3 x − dt dt Đặt t = cosx ta I = − ∫ = −∫ t −1 (t − 1)(t + t + 1) Bằng kĩ thuật phân tích nhảy tầng lầu ta Khi I = ( t − 1) ( t + t + 1) = 3t − ( t + t + 1) + ( t − 1) −6 ( t − 1) ( t + t + 1) 2 dt 3t − ( t + t + 1) + ( t − 1) 3t dt dt dt = − ∫ + ∫ ∫ 6∫ 2 t t t t +1 − − + ( t − 1) ( t + t + 1) d ( t − 1) 3t dt = ∫ t − ∫ t − = ln t − + C1 dt = ln t − + C2 t −1 1 t+ dt dt + C = arctan 2t + + C = arctan 3 ∫ t2 + t +1 = ∫ 3 1 3 t + + 2 1 1 2t + 2t + + C = ln t − − ln t − + Từ I = ln t − − ln t − + arctan arctan + C 2 Bình luận: Ngoài cách sử dụng kĩ thuật nhảy tầng lầu trực tiếp trên, biến đổi theo hướng khác sau dt dt d( t − ) du I7 = − ∫ = −∫ = −∫ = −∫ 2 t −1 ( t − )( t + t + ) ( t − ) ( t − ) + 3( t − ) + ) u ( u + 3u + ) 2 −1 −1 ( 3u + 6u + ) − ( u + 3u + ) + 3u 3u + 6u 1 → = = = − + 2 2 u + 3u + 3u 2u ( u + 3u + ) u ( u + 3u + ) u + 3u + 3u u ( u + 3u + ) Thay vào ta : 1 du 1 2u + I7 = ln u + 3u + 3u − ln u + ∫ arctan = ln u + 3u + 3u − ln u + + C 2 2 2 3 3 u + + 2 Ví dụ 4: Tính nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ cos6 x dx b) I = ∫ dx sin x.cos x c) I = ∫ sin x(2 + sin xdx d) I = ∫ sin xdx 2cos x − dx sin x b) I = ∫ cos3 x dx sin x c) I = ∫ sin x cos x dx d) I = ∫ dx sin x cos6 x Ví dụ 5: a) I1 = ∫ Ví dụ 6: Tính nguyên hàm sau: Tính nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ + sin x dx cos x b) I = ∫ sin x.cos x dx + cos x c) I = ∫ sin x dx + cos x d) I = ∫ cos x dx + cos x Ví dụ 7: Tính nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ cos x.cos xdx b) I = ∫ − cos3 x sin x.cos5 x dx c) I = ∫ sin x.cos x(1 + cos x) dx d) I = ∫ cos x dx + sin x cos x b) I = ∫ sin x dx + cos x Ví dụ 8: Tính nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ cos x(sin x + cos x)dx c) I = ∫ (sin x + cos3 x)dx ... − ln u + + C 2 2 2 3 3 u + + 2 Ví dụ 4: Tính nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ cos6 x dx b) I = ∫ dx sin x.cos x c) I = ∫ sin x (2 + sin xdx d) I = ∫ sin xdx 2cos x − dx sin... ( u + 3u + ) 2 −1 −1 ( 3u + 6u + ) − ( u + 3u + ) + 3u 3u + 6u 1 → = = = − + 2 2 u + 3u + 3u 2u ( u + 3u + ) u ( u + 3u + ) u + 3u + 3u u ( u + 3u + ) Thay vào ta : 1 du 1 2u + I7 = ln... C2 t −1 1 t+ dt dt + C = arctan 2t + + C = arctan 3 ∫ t2 + t +1 = ∫ 3 1 3 t + + 2 1 1 2t + 2t + + C = ln t − − ln t − + Từ I = ln