LUYỆN THI ðẠI HỌC CHUYÊN ðỀ :KHẢO SÁT HÀM SỐ hú ý:: Các bạn cần nắm vững kiến thức KSHS , cùng kết hợp với các dạng Bài Toán dưới đây thì khả nẳng của bạn giải quyết phần KSHS trong
Trang 1LUYỆN THI ðẠI HỌC CHUYÊN ðỀ :KHẢO SÁT HÀM SỐ
hú ý:: Các bạn cần nắm vững kiến thức KSHS , cùng kết hợp với các dạng Bài Toán dưới đây thì khả nẳng của bạn giải quyết phần KSHS trong đề thi Đại Học rất dể dàng (Hehe )và điều quan trọng là các bạn cần phải nhớ kĩ các dạng để tránh sự nhầm lẫn giữa dạng này với dạng khác nhé , nếu k thì …
BA CƠNG THỨC TÍNH NHANH ðẠO HÀM
CỦA HÀM SỐ HỮU TỈ
+
'
d cx
bc ad y d
cx
b
ax
y
+
−
=
⇒
+
+
=
2
'
e dx
cd be aex adx
y e
dx
c bx
ax
y
+
− + +
=
⇒ +
+
+
=
+
2 2 2
2 2
1 2 2 1 1 2 2 1
2 1 2 2
1
2 2
2
2
1 1
2
1
) (
) (
2 ) (
'
c x b x a
c b c b x c a c a x b a b
a
y
c x
b
x
a
c x
b
x
a
y
+ +
− +
− +
−
=
⇒
+ +
+ +
=
CHUYÊN ðỀ: CÁC CÂU HỎI THỨ HAI TRONG
ðỀ THI KHẢO SÁT HÀM SỐ LTðH
Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) cĩ chứa tham số m ðịnh m
để hàm số đồng biến trên ℝ?
Phương pháp:
TXð: D = ℝ
Ta cĩ: y’ = ax2 + bx + c
ðể hàm số đồng biến trên ℝ
thìy' 0≥ ∀ ∈ ℝ ⇔x 0
0
a >
∆ ≤
Dạng 2: Cho hàm số y = f(x) cĩ chứa tham số m ðịnh m
để hàm số nghịch biến trên ℝ?
Phương pháp:
TXð: D = ℝ
Ta cĩ: y’ = ax2 + bx + c
ðể hàm số đồng biến trên ℝ
thìy' 0≤ ∀ ∈ ℝ ⇔x 0
0
a <
∆ ≤
Dạng 3: Cho hàm số y = f(x) cĩ chứa tham số m ðịnh m
để đồ thị hàm số cĩ cực trị?
Phương pháp:
TXð: D = ℝ
Ta cĩ: y’ = ax2 + bx + c
ðồ thị hàm số cĩ cực trị khi phương trình y’ = 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi x đi qua hai nghiệm đĩ
⇔ 0
0
a ≠
∆ >
C
Trang 2Dạng 4: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m Chứng
minh rằng với mọi m ñồ thị hàm số luôn luôn có cực trị?
Phương pháp:
TXð: D = ℝ
Ta có: y’ = ax2 + bx + c
Xét phương trình y’ = 0, ta có:
∆=….>0, ∀m
Vậy với mọi m ñồ thị hàm số ñã cho luôn luôn có cực trị
Dạng 5: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m ðịnh m
ñể ñồ thị hàm số không có cực trị?
Phương pháp:
TXð: D = ℝ
Ta có: y’ = ax2 + bx + c
Hàm số không có cực trị khi y’ không ñổi dấu trên toàn
tập xác ñịnh 0
0
a ≠
⇔
∆ ≤
Dạng 6: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m ðịnh m
ñể ñồ thị hàm số ñạt cực ñại tại x 0 ?
Phương pháp:
TXð: D = ℝ
Ta có: y’ = ax2 + bx + c
ðể hàm số ñạt cực ñại tại x0 thì 0
0
'( ) 0 ''( ) 0
f x
f x
=
<
Dạng 7: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m ðịnh m
ñể ñồ thị hàm số ñạt cực tiểu tại x 0 ?
Phương pháp:
TXð: D = ℝ
Ta có: y’ = ax2 + bx + c
ðể hàm số ñạt cực tiểu tại x0 thì 0
0
'( ) 0 ''( ) 0
f x
f x
=
>
Dạng 8: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m ðịnh m
ñể ñồ thị hàm số ñạt cực trị bằng h tại x 0 ?
Phương pháp: TXð: D = ℝ
Ta có: y’ = ax2 + bx + c
ðể hàm số ñạt cực trị bằng h tại x0 thì
0
0
'( ) 0
( )
f x
=
=
Dạng 9: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m ðịnh m
ñể ñồ thị hàm số ñi qua ñiểm cực trị M(x 0 ;y 0 )?
Phương pháp:
TXð: D = ℝ
Ta có: y’ = ax2 + bx + c
ðể hàm số ñi qua ñiểm cực trị M(x0;y0) thì 0
0 0
'( ) 0 ( )
f x
=
=
Dạng 10: Cho hàm số y = f(x) có ñồ thị (C) và
M(x0;y0)∈(C) Viết PTTT tại ñiểm M(x 0 ;y 0 ) ?
Phương pháp:
Ta có: y’ = f’(x) ⇒ f’(x0) Phương trình tiếp tuyến tại ñiểm M(x0;y0) là
y – y0 = f’(x0).( x – x0 )
Các dạng thường gặp khác :
1/ Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị (C) tại ñiểm có hòanh ñộ x 0
Ta tìm: + y0 = f(x0)
+ f’(x) ⇒ f’(x0) Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là
y – y0 = f’(x0).( x – x0 )
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị (C) tại ñiểm thỏa mãn phương trình f”(x)= 0
Ta tìm: + f’(x)
+ f”(x) +Giải phương trình f”(x) = 0⇒ x0
+ y0 và f’(x0) Suy ra PTTT
Dạng 11: Cho hàm số y = f(x) có ñồ thị (C) Viết phương
trình tiếp tuyến (d) của (C)
a/ song song với ñường thẳng y = ax + b
b/ vuông góc với ñường thẳng y = ax + b
Phương pháp:
a/ Tính: y’ = f’(x)
Vì tiếp tuyến (d) song song với ñường thẳng y = ax + b nên (d) có hệ số góc bằng a
Ta có: f’(x) = a (Nghiệm của phương trình này chính là hoành ñộ tiếp ñiểm)
Tính y0 tương ứng với mỗi x0 tìm ñược
Suy ra tiếp tuyến cần tìm (d):
y – y0 = a ( x – x0 )
Trang 3b/ Tính: y’ = f’(x)
Vì tiếp tuyến (d) vuông góc với ñường thẳng y = ax + b
nên (d) có hệ số góc bằng 1
a
−
Ta có: f’(x) = 1
a
− (Nghiệm của phương trình này chính
là hoành ñộ tiếp ñiểm)
Tính y0 tương ứng với mỗi x0 tìm ñược
Suy ra tiếp tuyến cần tìm (d):
y – y0 = 1
a
− ( x – x0 ) Chú ý:
+ ðường phân giác của góc phần tư thứ nhất y = x
+ ðường phân giác của góc phần tư thứ hai y = - x
Dạng 12: Cho hàm số y = f(x) có ñồ thị (C) Tìm GTLN,
GTNN của hàm số trên [a;b]
Phương pháp:
Ta có: y’ = f’(x)
Giải phương trình f’(x) = 0, ta ñược các ñiểm cực trị: x1,
x2, x3,…∈ [a;b]
Tính: f(a), f(b), f(x1), f(x2), f(x3),…
Từ ñó suy ra:
[ ax; ] ; in[ ; ]
Phương pháp chung ta thường lập BBT
Dạng 13: Cho họ ñường cong y = f(m,x) với m là tham
số.Tìm ñiểm cố ñịnh mà họ ñường cong trên ñi qua với
mọi giá trị của m
Phương pháp:
Ta có: y = f(m,x)
⇔ Am + B = 0, ∀m (1)
Hoặc Am2 + Bm + C = 0, ∀m (2)
ðồ thị hàm số (1) luôn luôn ñi qua ñiểm M(x;y) khi (x;y)
là nghiệm của hệ phương trình:
0
0
A
B
=
=
(a) (ñối với (1))
Hoặc
0
0
0
A
B
C
=
=
=
(b) (ñối với (2))
Giải (a) hoặc (b) ñể tìm x rồi→ y tương ứng
Từ ñó kết luận các ñiểm cố ñịnh cần tìm
Dạng 14: Giả sử (C1) là ñồ thị của hàm số y = f(x) và (C2) là ñồ thị của hàm số y = g(x) Biện luận số giao ñiểm của hai ñồ thị (C1), (C2)
Phương pháp:
Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của y = f(x) và
y = g(x) là f(x) = g(x)
⇔ f(x) – g(x) = 0 (*)
Số giao ñiểm của hai ñồ thị (C1), (C2) chính là số nghiệm của phương trình (*)
Dạng 15: Dựa vào ñồ thị hàm số y = f(x), biện luận theo
m số nghiệm của phương trình f(x) + g(m) = 0
Phương pháp:
Ta có: f(x) + g(m) = 0
⇔ f(x) = g(m) (*)
Số nghiệm của (*) chính là số giao ñiểm của ñồ thị (C): y
= f(x) và ñường g(m)
Dựa vào ñồ thị (C), ta có:…v.v…
Dạng 16: Cho hàm số y = f(x), có ñồ thị (C) CMR ñiểm
I(x0;y0) là tâm ñối xứng của (C)
Phương pháp:
Tịnh tiến hệ trục Oxy thành hệ trục OXY theo vectơ
( 0; 0)
OI= x y
Công thức ñổi trục: 0
0
= +
= +
2 3
x y x
+
=
−
Thế vào y = f(x) ta ñược Y = f(X)
Ta cần chứng minh hàm số Y = f(X) là hàm số lẻ Suy ra I(x0;y0) là tâm ñối xứng của (C)
Dạng 17: Cho hàm số y = f(x), có ñồ thị (C) CMR ñường
thẳng x = x0 là trục ñối xứng của (C)
Phương pháp:
ðổi trục bằng tịnh tiến theo vectơ OI=(x0;0)
Công thức ñổi trục x X x0
y Y
= +
=
Thế vào y = f(x) ta ñược Y = f(X)
Ta cần chứng minh hàm số Y = f(X) là hàm số chẵn Suy
ra ñường thẳng x = x0 là trục ñối xứng của (C)
Trang 4Dạng 18: Sự tiếp xúc của hai ñường cong có phương trình
y = f(x) và y = g(x)
Phương pháp:
Hai ñường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau khi
và chỉ khi hệ phương trình
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
=
=
Có nghiệm và nghiệm của hệ phương trình trên là hoành
ñộ tiếp ñiểm của hai ñường cong ñó
Dạng 19: Tìm ñiểm A ,từ A kẻ ñc n tiếp tuyến tới ñồ
thị y = f (x) (C)
Phương pháp
+Giả sử A(x0, y0)
+ Pt ñthẳng ñi qua A(x0, y0) có hệ số góc k có dạng :
( )d :y =k(x−x0)+y0
+ðthẳng (d) tiếp xúc vớI ñồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm
( )
=
+
−
=
)
2
(
) 1 ( '
0 0
k
x
f
y x
x
k
x
f
Thay (2) vào (1) ñược : ( ) '( )( 0) 0
y x x x f x
f = − + (3) +Khi ñó số nghiệm phân biệt của (3) là số tiếp tuyến kẻ từ
A tớI ñồ thị (C)
Do ñó từ A kẻ ñược k tiếp tuyến tớI ñồ thị (C)
⇔ có k nghiệm phân biệt ⇒ñiểm A (nếu có)
Dạng 20: ðịnh ñkiện ñể ñồ thị hàm số bậc 3 có Cð ,
CT nằm về 2 phía (D)
Phương pháp +ðịnh ñkiện ñể ñồ thị hàm số bậc 3 có các
ñiểm cực trị M1(x1,y1)&M2(x2,y2)
(x1, x2 là nghiệm của pt y' = 0)
1)Nếu (D) là trục Oy thì ycbt⇔x1<0 x< 2
2)Nếu (D) là ñthẳng x = m thì ycbt⇔ x1 < 0 x < 2
3)Nếu (D) là ñthẳng ax+by+c=0thì:
ycbt⇔(ax1+by1+c)(ax2 +by2 +c)<0
@ Nếu (D) là ñường tròn thì cũng giống trường hợp 3)
Dạng 21: ðịnh ñkiện ñể ñồ thị hàm bậc 3 có Cð , CT
nằm về cung 1 phía ñốI vớI (D)
Phương pháp +ðịnh ñkiện ñể ñồ thị hàm số bậc 3 có các ñiểm cực trị M1(x1,y1)&M2(x2,y2)
(x1, x2 là nghiệm của pt y' = 0) 1)Nếu (D) là trục Oy thì ycbt⇔ x1 < x2 < 0 ∨ 0 < x1< x2
2)Nếu (D) là ñthẳng x = m thì
ycbt⇔x1 <x2 <m∨0< x1< x2
3)Nếu (D) là ñthẳng ax+by+c=0thì:
ycbt⇔(ax1+by1+c)(ax2 +by2 +c)>0
@ Nếu (D) là ñường tròn thì cũng giống trường hợp 3)
Dạng 22: ðịnh ñkiện ñể ñồ thị hàm số (C) cắt ñthẳng
(D) tạI 2 ñiểm phân biệt thoả 1 trong nhưng ñkiện sau: 1)Thuộc cùng 1 nhánh ⇔(I) có nghiệm phân biệt nằm cùng 1 phía ñốI vớI x = m ( (I) là PTHðGð của (C) và (D) ; x = m là t/cận ñứng của (C) )
2) Cùng 1 phía Oy ⇔(I)có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu
3)Khác phía Oy ⇔(I) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
Dạng 23: Tìm ñiểm trên ñồ thị hàm số (C) sao cho:
Tổng các khoảng cách từ ñó ñến 2 t/cận là Min
Phương pháp:
+Xét M0(x0, y0) thuộc (C) ⇔(x0,, y0) thoã y = thương +dư /mẫu
+Dùng BðT Côsi 2 số ⇒kquả
Dạng 24:Tìm ñiểm trên ñồ thị hàm số (C) sao
cho:khoảng cách từ ñó ñến 2 trục toạ ñộ là Min
Phương pháp:
+Xét M0(x0, y0) thuộc (C)
Trang 5+ðặt P = d(M0,Ox)+d(M0,Oy)⇒P= x0 + y0
+Nháp :Cho x0 =0⇒y0 = A; y0 =0⇒x0 =B
GọI L = min(A,B)
+Ta xét 2 trường hợp :
TH1: x0 >L⇒P> L
TH2: x ≤0 L.Bằng ppháp ñạo hàm suy ra ñc kquả
Dạng 25:Tìm ñkiện cần và ñủ ñể 3 ñiểm M,N,P cung
thuộc ñthị (C) thẳng hàng?
Phương pháp
M ,N,P thẳng hàng⇔vetơ MN cùng phương vớI vectơ
MP
a
b x x
x M + N + P = −
⇔
Dạng 26: Tìm trên ñồ thị (C) :y = f(x) tất cả các ñiểm
cách ñều 2 trục toạ ñộ
Phương pháp:
+Tập hợp những ñiểm cách ñều 2 trục toạ ñộ trong (Oxy)
là ñường thẳng y = x và y = -x Do ñó :
+Toạ ñộ của ñiểm thuộc (C) :y = f(x) ñồng thờI cách ñều
2 trục toạ ñộ là nghiệm của :
−
=
=
=
=
x y
x f y
x y
x f y
) (
) (
⇒kquả
Dạng 27:Lập pt ñ/t ñi qua 2 ñiểm cực trị của hàm số hữu
tỉ :
' '
2
b x
a
c bx
ax
y
+
+ +
= (C m)
Phương pháp :
ðặt ( )
( )x
x
V
U
y =
+ có ( ) ( )
( )2 )
) (
' ) ( ) (
' )
(
'
x
x x x x
V
U V V U
+GọI A(x1, y1) là ñiểm cực trị của (C m)
' 1
' 1 1
1 1
' 1 1
' 1 0 '
x x x
x x
x x x
V
U V
U U
V V U
+ GọI B(x2, y2) là ñiểm cực trị của (C m)
' 2
' 2 2
x
x
V
U
y =
⇔
⇔
Từ (1), (2) suy ra pt ñ/t ñi qua 2 ñiểm cực trị là '
'
x
x
V
U
y =
Dạng 28:Lập pt ñ/t ñi qua 2 ñiểm cực trị của hsố bậc 3
(C m) , khi ko tìm ñc 2 ñiểm cực trị
Phương pháp:
+Chia
' ' y
d cx b ax y
+ +
= (cx+d :là phần dư của phép chia)
(ax b)y cx d
⇒ '
+Goi A((x1,y1) (,B x2,y2) là 2 ñiểm cực trị của hàm số
(C m) ⇒ ' 1= ' 2=0
x
y
+Do A∈(C m)nên y1 =(ax1+b)y1'+cx1+d
d cx
⇒ 1 1 (1)
+Do B∈(C m)nên y2 =(ax2 +b)y2'+cx2 +d
d cx
⇒ 2 2 (2)
Từ (1),(2) suy ra pt ñ/t ñi qua 2 ñiểm cực trị :y=cx+d
Dạng 29:ðịnh ñkiện ñể ñồ thị hàm số bậc 3 có ñiểm
Cð và CT ñốI xứng nhau qua 1 ñ/t y = mx + n
(m≠0)
Phương pháp:
+ðịnh ñkiện ñể hàm số có Cð, CT (1) +Lập pt ñ/t (D) ñi qua 2 ñiểm cực trị +Gọi I là trung ñiểm ñoạn nốI 2 ñiểm cực trị
n mx y I
D n mx y
dk
⇒
+
=
∈
⊥ +
=
⇔ ( )
) 1 (
Trang 6Dạng 30:Tìm 2 ñiểm thuộc ñthị (C) y = f(x) ñốI xứng
nhau qua ñiểm I(x0, y0)
Phương pháp:
+Giả sử M(x1,y1) ( )∈ C :y1 = f( )x1 (1)
+GọI N(x2, y2) ñốI xứng M qua I suy ra toạ ñộ ñiểm N
theo x1, y1
+Do N thuộc (C):y =2 f( )x2 (2)
(1),(2) :giảI hệ , Tìm x1,y1⇒x2,y2
Dạng 31:Vẽ ñồ thị hàm số y = f ( x) (C)
Phương pháp:
+ Vẽ ñồ thị y = f( )x (C ')
+Có y = f ( x)= ( )
<
−
≥
) ( 0 ,
) ( 0 ,
2
1
C x x f
C x x f
⇒ ðồ thị (C) gồm ñồ thị (C1) và ñồ thị ( )C2
VớI : ( ) ( )C1 ≡ C' lấy phần x ≥0
( )C2 là phần ñốI xứng của ( )C1 qua Oy
Dạng 32 :Vẽ ñồ thị hàm số y = f ( )x (C)
Phương pháp:
+ Vẽ ñồ thị y = f( )x (C ')
+Có y = f( )x = ( ) ( )
( ) ( )
<
−
≥
) ( 0 ,
) ( 0 ,
2
1
C x f x f
C x f x f
⇒ðồ thị (C) gồm ñồ thị (C1) và ñồ thị ( )C2
VớI ( ) ( )C1 ≡ C' lấy phần dương của (C') (nằm trên
Ox)
( )C2 là phần ñốI xứng của phần âm (nằm dướI
Ox ) của (C') qua Ox
@:Chú ý :ðồ thi y = f( )x sẽ nằm trên Ox
Dạng 33 :Vẽ ñồ thị hàm số y = f ( )x (C)
Phương pháp:
+ Vẽ ñồ thị y = f( )x (C ') +Vẽ ñồ thị hàm số y = f ( x) (C1)
CHUYÊN ðỀ :CÁC BÀI TẬP LIÊN QUAN ðẾN
KHẢO SÁT HÀM SỐ LTðH
Caâu 1.Tìm m ñể ñường thẳng y=x+4 cắt ñồ thị hàm số
3 2 2 ( 3) 4
y=x + mx + m+ x+ tại 3 ñiểm phân biệt A, B,C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4 (ðiểm B,
C có hoành ñộ khác 0, M(1;3) Caâu 2 Tìm m ñể hàm số
y=x −mx + m+ x−m− cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ dương
Caâu 3 Tìm hai ñiểm A, B thuộc ñồ thị hàm số
3 3 2 1
y=x − x + sao cho tiếp tuyến tại A, B song song với nhau và AB =4 2
Caâu 4 Cho :
1
hs y
x
+
=
− Tìm m ñể tiếp tuyến của ñồ thị tại giao ñiểm I của hai tiệm cận cắt trục Ox , Oy tại A, B
và diện tích tam giác IAB bằng 1 Caâu 5.Cho hàm số
1
1 2
−
+
=
x
x
y viết phương trình tiếp tuyến cuả HS biết tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa ñộ tam giác
có diện tích bằng 8
Caâu 6 Cho hàm số y =
1
2
−
x
x
(H) Tìm các giá trị của m ñể ñường thẳng (d): y = mx – m + 2 cắt ñồ thị ( H ) tại hai ñiểm phân biệt A,B và ñoạn AB có ñộ dài nhỏ nhất Caâu 7 Cho hàm số 1( )
1
x
x
−
= + Tìm ñiểm M thuộc (H)
ñể tổng khoảng cách từ M ñến 2 trục toạ ñộ là nhỏ nhất Caâu 8 Cho hàm số 3 1( )
1
x
x
+
=
− và ñường thẳng
( 1) 2
y= m+ x+m− (d) Tìm m ñể ñường thẳng (d) cắt (H) tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3
2
Caâu 9 Cho hàm số y=x3−3x2+3(1−m x) + +1 3m
(Cm) Tìm m ñể hàm số có cực ñại cực tiểu ñồng thời các ñiểm cực trị cùng với gốc toạ ñộ tạo thành tam giác có diện tích bằng 4
Trang 7Caõu 10 Cho hàm số 2 1
1
x y x
+
= + Tỡm m ủể ủường thẳng y=-2x+m cắt ủồ thị tại hai ủiểm phõn biệt A, B sao cho
tam giỏc OAB cú diện tớch bằng 3
•
• Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ ủồ thị hàm số (1)
•
• Viết phương trỡnh ủường thẳng ủi qua M(1;3) cắt
ủồ thị hàm số (1) tại hai ủiểm phõn biệt A, B sao
cho AB= 2 3
Caõu 11 Cho hàm số y = y=x3−2x2+(1−m x) +m (1),
m là tham số thực
1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ ủồ thị của hàm số khi m
= 1
2 Tỡm m ủể ủồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3
ủiểm phõn biệt cú hoành ủộ x x x1; ;2 3thoả món ủiều kiện
x +x +x <
Caõu 12 Cho hàm số 2
2 2
x y x
+
=
− (H) 1) Khảo sỏt và vẽ ủồ thị hàm số (H)
2) Tỡm m ủể ủường thẳng (d): y=x+m cắt ủồ thị hàm số
(H) tại hai ủiểm phõn biệt A, B sao cho 2 2 37
2
OA +OB =
Caõu 13 Cho hàm số y=x4−2x2 (C)
1) Khảo sỏt và vẽ ủồ thị hàm số
2) Lấy trờn ủồ thị hai ủiểm A, B cú hoành ủộ lần lươt là a,
b.Tỡm ủiều kiện a và b ủể tiếp tuyến tại A và B song song
với nhau
Caõu 14 Cho hàm số y 2m x( )H
−
= + và A(0;1) 1) Khảo sỏt và vẽ ủồ thị hàm số khi m=1
2) Gọi I là giao ủiểm của 2 ủường tiệm cận Tỡm m ủể
trờn ủồ thị tồn tại ủiểm B sao cho tam giỏc IAB vuụng cõn
tại A
Caõu 15 Cho hàm số y=x4+2mx2−m−1 (1) , với m
là tham số thực
1)Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ ủồ thị hàm số (1) khi
1
m = −
2)Xỏc ủịnh m ủể hàm số (1) cú ba ủiểm cực trị, ủồng thời
cỏc ủiểm cực trị của ủồ thị tạo thành một tam giỏc cú diện
tớch bằng 4 2
Caõu 16 Cho hàm số y=x4−2mx2+m−1 (1) , với m
là tham số thực
1)Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ ủồ thị hàm số (1) khi
1
m =
2)Xỏc ủịnh m ủể hàm số (1) cú ba ủiểm cực trị, ủồng thời
cỏc ủiểm cực trị của ủồ thị
tạo thành một tam giỏc cú bỏn kớnh ủường trũn ngoại tiếp
bằng 1
Caõu 17 Cho hàm số y= x4+2mx2+m2+m (1) , với
m là tham số thực
1)Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ ủồ thị hàm số (1) khi
2
m = − 2) Xỏc ủịnh m ủể hàm số (1) cú ba ủiểm cực trị, ủồng thời cỏc ủiểm cực trị của ủồ thị tạo thành một tam giỏc cú gúc bằng 120
Caõu 18 Cho hàm số y=x4−2mx2 (1), với m là tham số
thực
1)Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ ủồ thị của hàm số (1) khi
1
m = − 2)Tỡm m ủể ủồ thị hàm số (1) cú hai ủiểm cực tiểu và hỡnh phẳng giới hạn bởi ủồ thị hàm số và ủường thẳng ủi qua hai ủiểm cực tiểu ấy cú diện tớch bằng 1
Caõu 19 Cho hàm số
y = f x = x + m − x + m − m +
1/ Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ ủồ thị (C ) hàm số với m
= 1 2/ Tỡm cỏc giỏ trị của m ủể đồ thị hàm số cú cỏc ủiểm cực ủại, cực tiểu tạo thành một tam giỏc vuụng cõn
Caõu 20 Cho hàm số 1 3 2
2 3 3
y= x − x + x (1)
1).Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ ủồ thị của hàm số (1) 2)Gọi A B, lần lượt là cỏc ủiểm cực ủại, cực tiểu của ủồ thị hàm số (1) Tỡm ủiểm M thuộc trục hoành sao cho tam giỏc MAB cú diện tớch bằng 2
Caõu 21 Cho hàm số y=x3−6x2+9x−4 (1)
1)Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ ủồ thị của hàm số (1) 2)Xỏc ủịnh k sao cho tồn tại hai tiếp tuyến của ủồ thị hàm số (1) cú cựng hệ số gúc k Gọi hai tiếp ủiểm là
1, 2
M M Viết phương trỡnh ủường thẳng qua M1 và M2
theo k
Caõu 22 Cho hàm số y= −x3+3x2−4 (1)
1.Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ ủồ thị (C) của hàm số (1)
2 Giả sử A B C, , là ba ủiểm thẳng hàng thuộc ủồ thị (C), tiếp tuyến với (C) tại A B C, , tương ứng cắt lại (C) tại
', ,' '
A B C Chứng minh rằng ba ủiểm A B C', ,' ' thẳng hàng
Caõu 23 Cho hàm số y=x3−3x+1 (1)
1)Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ ủồ thị (C) của hàm số (1) 2)ðường thẳng (∆): y=mx+1 cắt (C) tại ba ủiểm Gọi
A và B là hai ủiểm cú hoành ủộ khỏc 0 trong ba ủiểm núi
ở trờn; gọi D là ủiểm cực tiểu của (C) Tỡm m ủể gúc ADB là gúc vuụng
Caõu 24 Cho hàm số
( )
3 3 2 3 2 1 3 2 1
y= −x + x + m − x− m − (1), với m là
tham số thực
1.Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ ủồ thị của hàm số (1) khi
1
m =
Trang 82 Tìm m ñể hàm số (1) có cực ñại và cực tiểu, ñồng thời
các ñiểm cực trị của ñồ thị cùng với gốc toạ ñộ O tạo
thành một tam giác vuông tại O
Caâu 25 Cho hàm số y=(x−2) (2 2x−1) (1)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số (1)
2.Tìm m ñể ñồ thị (C) có hai tiếp tuyến song song với
ñường thẳng y=mx Giả sử M N, là các tiếp ñiểm Hãy
chứng minh rằng trung ñiểm của ñoạn thẳng MN là một
ñiểm cố ñịnh (khi m biến thiên)
Caâu 26 Cho hàm số y=x3−3x2+4 (1)
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số (1)
2)Gọi d k là ñường thẳng ñi qua ñiểm A − ( 1;0 ) với hệ số
góc k ( k ∈ R ) Tìm k ñể ñường thẳng d k cắt ñồ
thị (C) tại ba ñiểm phân biệt và hai giao ñiểm B C, (B và
C khác A) cùng với gốc toạ ñộ O tạo thành một tam
giác có diện tích bằng 1
Caâu 27 Cho hàm số y=x3−3x2+4 (1)
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số (1)
2)Cho ñiểm I − ( 1;0 ) Xác ñịnh giá trị của tham số thực
m ñể ñường thẳng d y: =mx+m cắt ñồ thị (C) tại ba
ñiểm phân biệt I A B, , sao cho AB < 2 2
Caâu 28 Cho hàm số y = 2x3 + 9mx2 + 12m2x + 1, trong ñó
m là tham số
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ñã cho
khi m = - 1
2)Tìm tất cả các giá trị của m ñể hàm số có cực ñại tại
xCð, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: x2
Cð= xCT
Caâu 29 Cho hàm số y (m 2)x= + 3+3x2+mx 5− , m là
tham số
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C ) của hàm số khi
m = 0
2)Tìm các giá trị của m ñể các ñiểm cực ñại, cực tiểu của
ñồ thị hàm số ñã cho có hoành ñộ là các số dương
Caâu 30 Cho hàm số
2
y x
−
= + (Hm) Tìm m ñể ñường thẳng d:2x+2y-1=0 cắt (Hm) tại 2 ñiểm phân biệt A, B sao
cho tam giác OAB có diện tích bằng 3
8
Caâu 31 Tìm m ñể hàm số y=x3−mx+2 cắt Ox tại một
ñiểm duy nhất
Caâu 32 Cho hàm số 2 4
1
x y
x
+
=
− (H) Gọi d là ñường thẳng có hệ số góc k ñi qua M(1;1) Tìm
k ñể d cắt (H) tại A, B mà AB =3 10
Caâu 33 Tìm m ñể ñồ thị hàm số y=x3−mx2+2m cắt
trục Ox tại một ñiểm duy nhất
Caâu 34 Cho hàm số: 2
1
x y x
+
=
− (C) 1) Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) hàm số 2) Cho ñiểm A( 0; a) Tìm a ñể từ A kẻ ñược 2 tiếp tuyến tới ñồ thị (C) sao cho 2 tiếp ñiểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành
Caâu 35 Cho hàm số y=x3−3x+2 (C) 1) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) 2) Tìm ñiểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt (C)
ở N mà MN =2 6
Caâu 36 Tìm m ñể ñường thẳng y=x+4 cắt ñồ thị hàm số
3 2 2 ( 3) 4
y=x + mx + m+ x+ tại 3 ñiểm phân biệt A, B,C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4 (ðiểm B,
C có hoành ñộ khác 0, M(1;3) Caâu 37 Tìm m ñể hàm số
y=x −mx + m+ x−m− cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ dương
Caâu 38 Tìm hai ñiểm A, B thuộc ñồ thị hàm số
3 3 2 1
y=x − x + sao cho tiếp tuyến tại A, B song song với nhau và AB = 4 2
Caâu 39 Cho :
1
hs y
x
+
=
− Tìm m ñể tiếp tuyến của ñồ thị tại giao ñiểm I của hai tiệm cận cắt trục Ox , Oy tại A,
B và diện tích tam giác IAB bằng 1
Caâu 40 Cho hàm số
1
1 2
−
+
=
x
x
y viết phương trình tiếp tuyến cuả HS biết tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa ñộ tam giác
có diện tích bằng 8
Phần một: CÁC BÀI TẬP LIÊN QUAN ðIỂM CỰC ðẠI VÀ CỰC TIỂU HÀM SỐ
Câu 1) Cho hàm số 1
3
1 3 2
+ +
−
−
= x mx x m
a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m=1 b) Tìm m ñể hàm số có cực ñại cực tiểu và khoảng cách giữa ñiểm cực ñại và cực tiểu là nhỏ nhất
Câu 2) Cho hàm số 1
3
1 3 2
− +
−
= x mx mx
a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= 1 b) Tìm m ñể hàm số ñạt cực trị tại x1; x2 thoả mãn
8
2
1− x ≥
x
Câu 3) Cho hàm số y =x3+mx2 +7x+3 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= -8 b) Tìm m ñể hàm số có ñường thẳng ñi qua ñiểm cực ñại cực tiểu vuông góc với ñường thẳng y=3x-7
Trang 9Câu 4) Cho hàm số y= x3−3x2+m2x+m
a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= 0
b) Tìm m ñể hàm số có cực ñại cực tiểu ñối xứng
qua ñường thẳng
2
5 2
1
−
= x y
Câu 5) Cho hàm số
1 3 ) 1 ( 3
3 2 2 2
3
−
−
− + +
−
= x x m x m
a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= 1
b) Tìm m ñể hàm số có cực ñại cực tiểu cách ñều
gốc toạ ñộ O
Phần hai: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ðẾN TIẾP
TUYẾN VÀ ðƯỜNG TIỆM CẬN
Câu 1) Cho hàm số 3 1
+
−
−
= x mx m
a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= 3
b) Tìm m ñể tiếp tuyến tại giao ñiểm cuả (Cm) với
trục Oy chắn trên hai trục toạ ñộ một tam giác có
diện tích bằng 8
Câu 2) Cho hàm số y= x3+3x2+mx+1 (Cm)
a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= 0
b) Tìm m ñể ñường thẳng y=1 cắt (Cm) tại 3 ñiểm
phân biệt C(0;1), D,E và các tiếp tuyến tại D và E
của (Cm) vuông góc với nhau
Câu 3) Cho hàm số ( )
2 Hm
x
m x y
−
+
=
a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= 3
b) Tìm m ñể từ A(1;2) kẻ ñược 2 tiếp tuyến AB,AC
ñến (Hm) sao cho ABC là tam giác ñều (A,B là
các tiếp ñiểm)
Câu 4) Cho hàm số 2 3(Hm)
m x
mx y
−
+
= * 1) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m=1
2) Tìm m ñể tiếp tuyến bất kỳ của hàm số (Hm) cắt 2
ñường tiệm cận tạo thành một tam giác có diện
tích bằng 8
Câu 5) Cho hàm số ( )
1
2
H x
x y
+
= * a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho
b) Tìm M thuộc (H) sao cho tiếp tuyến tại M của (H)
cắt 2 trục Ox, Oy tại A, B sao cho tam giác OAB
có diện tích bằng
4 1
Câu 6) Cho hàm số ( )
1
1 2
H x
x y
−
−
= * a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số
b) Gọi I là giao ñiểm 2 ñường tiệm cận của (H) Tìm
M thuộc (H) sao cho tiếp tuyến của (H) tại M vuông góc với ñường thẳng IM
Câu 7) Cho hàm số ( )
2
2
H x
x y
+
= * a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (H) b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết khoảng cách từ tâm ñối xứng của ñồ thị hàm số (H) ñến tiếp tuyến là lớn nhất
Câu 8) Viết các phương trình tiếp tuyến kẻ từ ñiểm
4
; 12
19
A ñến ñồ thị hàm số 2 3 3 2 5
+
−
= x x y
Câu 9) Tìm ñiểm M thuộc ñồ thị hàm số
2
3 2 3
− +
−
= x x
y mà qua ñó chỉ kẻ ñược một tiếp tuyến ñến ñồ thị
Câu 10) Tìm những ñiểm thuộc ñường thẳng y=2 mà từ
ñó có thể kẻ ñược 3 tiếp tuyến ñến ñồ thị hs y=x3−3x
Câu 11) Tìm những ñiểm thuộc trục tung qua ñó có thể kẻ
ñược 3 tiếp tuyến ñến ñồ thị hs 4 2 2 1
+
−
= x x y
Câu 12) Tìm những ñiểm thuộc ñường thẳng x=2 từ ñó kẻ
ñược 3 tiếp tuyến ñến ñồ thị hs y x3 3x
−
=
Câu 113) Tìm những ñiểm thuộc trục Oy qua ñó chỉ kẻ
ñược một tiếp tuyến ñến ñồ thị hs
1
1
−
+
=
x
x y
Câu 14) Cho hàm số
1
−
+
=
x
m x y
a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m=1 b) Với giá trị nào của m ñồ thị hàm số cắt ñường thẳng y=2x+1 tại 2 ñiểm phân biệt sao cho các tiếp tuyến với ñồ thị tại 2 ñiểm ñó song song với nhau
Phần ba: CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO 2 ðỒ THỊ Câu 1) Cho hàm số y =2mx3−(4m2+1)x2 −4m2
a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m=1 b) Tìm m ñể ñồ thị hs tiếp xúc với trục Ox
Câu 2) Cho hàm số y =x4 −2mx2 +m3−m2
a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m=1
Trang 10b) Tìm m ñể ñồ thị hs tiếp xúc với trục Ox tại 2 ñiểm
phân biệt
Câu 3) Cho hàm số
2
5 3 2 2 4
+
−
= x x y
a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số
b) Tìm ñể phương trình sau có 8 nghiệm phân biệt
m m x
x4 −6 2+5 = 2 −2
Câu 4) Cho hàm số y x3 3mx2 6mx
−
−
=
a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m=1/4
b) Biện luận số nghiệm 4 3 3 2 6 4 0
=
−
−
− x x a x
Câu 5) Cho hàm số y=4x3 −3x (C )
a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C )
b) Tìm m ñể phương trình 4x3 3x 4m3 4m
−
=
−
có 4 nghiệm phân biệt
Câu 6) Cho hàm số
) 1 ( ) 1 ( 3
3 2 2 2
3
−
−
− +
−
= x mx m x m
y
a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= 1
b) Tìm m ñể hàm số cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt có
hoành ñộ dương
Câu 7) Cho hàm số
) 5 ( 2 ) 7 5 ( ) 2
1
(
2 2
= x m x m x m
y
a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= 5/7
b) Tìm m ñể ñồ thị hs cắt Ox tại 3 ñiểm có hoành ñộ
nhỏ hơn 1
Câu 8) Tìm m ñể hàm số
8 18 ) 3 (
3
2 3 2
− +
+
−
= x m x mx
y có ñồ thị tiếp xúc với
trục Ox
Câu 9) Cho hàm số y=x4−3x2+2
a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hs
b) Biện luận số nghiệm phương trình
m x
x2 −2( 2 −1)=
Câu 10) Cho hàm số y=x3+3x2− −x 3
a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình
1 2 ) 3
3 ( 1 2
+
=
+
− x m x
Phần bốn: CÁC CÂU TOÁN LIÊN QUAN ðẾN KHOẢNG CÁCH
Câu 1) Tìm M thuộc (H)
2
5 3
−
−
=
x
x
y ñể tổng khoảng cách từ M ñến 2 ñường tiệm cận của H là nhỏ nhất
Câu 2) Tìm M thuộc (H) :
1
1 +
−
=
x
x
y ñể tổng khoảng cách
từ M ñến 2 trục toạ ñộ là nhỏ nhất
Câu 6) Tìm m ñể hàm số y=-x+m cắt ñồ thị hàm số
2
1 2 +
+
=
x
x
y tại 2 ñiểm A,B mà ñộ dài AB nhỏ nhất
Zzzzzz
g