CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH (LUYỆN THI ĐẠI HỌC VÀ THI HSG) pot

Tháng 08 2007 Phạm Kim Chung Hệ phơng trình I Hệ phơng trình dạng hoán vị vòng quanh Bài ( Đề thi HSG quốc gia năm 1994 ) ( ( ( ) ) ) ⎧ x + x − + ln x − x + = y Giải hệ phơng trình : ⎨ y + y − + ln y − y + = z ⎪ ⎪ z + 3z − + ln z − z + = x ⎩ Gi¶i : ( XÐt hµm sè : f ( t ) = t + 3t − + ln t − t + ) 2t − > 0, ∀x ∈ R t2 − t + ®ång biến R Ta viết lại hệ phơng trình nh sau : Ta cã : f' ( t ) = 3t + + VËy hµm sè f ( t ) ⎧ f (x) = y ⎪ ⎨ f (y) = z ⎪ f ( z) = x ⎩ Không tính tổng quát, giả sử : x = { x, y, z} Lóc ®ã : x ≤ y ⇒ f ( x ) ≤ f ( y ) ⇒ y ≤ z ⇒ f ( y ) ≤ f ( z ) ⇒ z ≤ x Hay : x ≤ y ≤ z ≤ x ⇒ x = y = z ( ) Víi : x = y = z , xét phơng trình : x + x − + ln x − x + = ( ) Do hµm sè : ϕ ( x ) = x + x − + ln x − x + đồng biến R nên pt có nghiÖm nhÊt : x = VËy hÖ phơng trình có nghiệm : x = y = z = Bài toán tổng quát Xét hệ phơng trình có dạng : f ( x1 ) = g ( x2 ) ⎪ ⎪ f ( x ) = g ( x3 ) ⎪ ⎨ ⎪ f (x ) = g(x ) n −1 n ⎪ ⎪ f ( x n ) = g ( x1 ) ⎩ NÕu hai hµm sè f g tăng tập A ( x1 , x2 , xn ) nghiệm hệ phơng trình , xi A, i = 1, 2, , n th× x1 = x2 = = xn Chứng minh : Không tính tổng quát gi¶ sư : x1 = { x1 , x2 , x n } Lóc ®ã ta cã : x1 ≤ x2 ⇒ f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) ⇒ g ( x2 ) ≤ g ( x3 ) ⇒ x2 ≤ x3 ⇒ x n ≤ x1 VËy : x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn ≤ x1 Tõ ®ã suy : x1 = x2 = = xn Bµi ⎧⎛ ⎞2 x + x ⎪⎜ ⎟ =y ⎪⎝ ⎠ ⎪ y3 + y ⎪⎛ Giải hệ phơng trình : =z ⎪⎝ ⎠ z3 + z ⎪ ⎛1⎞ ⎪ =x ⎪⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎩ Gi¶i: Vì vế trái phơng trình hệ dơng nên hệ có nghiệm : x, y, z > t3 +t2 ⎛1⎞ XÐt hµm sè : f ( t ) = ⎜ ⎟ , ta cã : f' ( t ) = − ( ln ) 3t + t 4⎠ ⎝ Vậy hàm số f ( t ) nghịch biến kho¶ng ( 0; + ∞ ) ( ) ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝4⎠ t3 +t2 < 0, ∀t > Không tính tổng quát, giả sử : x = { x, y, z} Lóc ®ã : x ≤ y ⇒ f ( x) ≥ f ( y) ⇒ y ≥ z ⇒ f ( y) ≤ f (z) ⇒ z ≤ x ⇒ x = z ⇒ f ( x ) = f (z) ⇒ y = x Bài toán tổng quát Xét hệ phơng trình có dạng (với n lẻ ): Vậy hệ phơng trình có nghiệm nhÊt : x = y = z = ⎧ f ( x1 ) = g ( x2 ) ⎪ ⎪ f ( x ) = g ( x3 ) ⎪ ⎨ ⎪ f (x ) = g(x ) n −1 n ⎪ ⎪ f ( x n ) = g ( x1 ) Nếu hàm số f giảm tập A , g tăng A ( x1 , x2 , x n ) lµ nghiƯm cđa hệ phơng trình , xi A, i = 1, 2, , n th× x1 = x2 = = xn víi n lỴ Chøng minh : Không tính tổng quát giả sử : x1 = { x1 , x2 , x n } Lóc ®ã ta cã : x1 ≤ x2 ⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) ⇒ g ( x2 ) ≥ g ( x3 ) ⇒ x2 ≥ x3 ⇒ x n ≤ x1 ⇒ f ( xn ) ≥ f ( x1 ) ⇒ x1 ≥ x2 ⇒ x1 = x2 Tõ ®ã suy : x1 = x2 = = xn Bµi ⎧( x − 1)2 = y ⎪ ⎪ ( y − 1) = z ⎪ Giải hệ phơng trình : ( z − 1) = t ⎪ ⎪ ( t 1) = x Giải : Vì vế trái phơng trình hệ không âm nên phơng có nghiệm : x, y, z, t ≥ XÐt hµm sè : f ( s ) = ( s − 1) , ta cã : f' ( s ) = ( s − 1) Do hàm số tăng khoảng (1; + ) giảm [ 0; 1] ( Do f(s) liên tục R ) Không tính tổng quát, giả sử : x = { x, y, z, t} + NÕu x ∈ (1; + ∞ ) ⇒ x, y, z, t ∈ (1; + ) , theo toán tổng quát 1, hÖ cã nghiÖm nhÊt : x = y = z = t = + + NÕu x ∈ [ 0; 1] ⇒ ≤ f ( x ) ≤ ⇒ ≤ y ≤ , hay y ∈ [ 0;1] , t−¬ng tù ⇒ z, t ∈ [ 0; 1] VËy x, y, z, t ∈ [ 0; 1] Do ®ã ta cã : x ≤ y ⇒ f ( x) ≥ f ( y) ⇒ y ≥ z ⇒ f ( y) ≤ f (z) ⇒ z ≤ x ⇒ x = z Víi x = z ⇒ f ( x ) = f ( z ) ⇒ y = t ⎧( x − 1)2 = y ⎧( x − 1)2 = y ⎪ ⎪ ⇔ x = y = 2− Lóc ®ã hƯ phơng trình trở thành : x = y ⎪( y − 1) = x ⎪⎢ x = y Vậy hệ phơng trình ®· cho cã nghiÖm : x = y = z = t = + vµ x = y = Bài toán tổng quát Xét hệ phơng trình có dạng (với n ch½n ): ⎧ f ( x1 ) = g ( x2 ) ⎪ ⎪ f ( x ) = g ( x3 ) ⎪ ⎨ ⎪ f (x ) = g(x ) n −1 n ⎪ ⎪ f ( xn ) = g ( x1 ) ⎩ NÕu hµm số f giảm tập A , g tăng A vµ ( x1 , x2 , x n ) nghiệm hệ phơng trình , x = x3 = = x n −1 víi n chẵn xi A, i = 1, 2, , n th× ⎢ ⎣ x2 = x = = x n Chøng minh : Kh«ng mÊt tính tổng quát giả sử : x1 = { x1 , x2 , xn } Lóc ®ã ta cã : x1 ≤ x3 ⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x3 ) ⇒ g ( x2 ) ≥ g ( x ) ⇒ x2 ≥ x ⇒ f ( x ) ≤ f ( x ) ⇒ g ( x3 ) ≤ g ( x5 ) ⇒ x3 ≤ x5 ⇒ f ( xn −2 ) ≤ f ( x n ) ⇒ g ( x n −1 ) ≤ g ( x1 ) ⇒ x n −1 ≤ x1 ⇒ f ( xn −1 ) ≥ f ( x1 ) ⇒ g ( x n ) ≥ g ( x2 ) ⇒ x n ≥ x2 VËy : x1 ≤ x3 ≤ ≤ xn −1 ≤ x1 ⇒ x1 = x3 = = xn −1 ; x2 ≥ x4 ≥ ≥ xn ≥ x2 ⇒ x2 = x4 = = xn PhÇn bμi tËp øng dụng phơng pháp Giải hệ phơng trình : x − x + x − = y ⎪ ⎨ y − 7y + 8y − = z ⎪ z3 − z + 8z − = x Chứng minh với a R , hệ phơng trình : x = y3 + y + a ⎪ ⎨y = z +z+a ⎪ z2 = x + x + a ⎩ Cho hệ phơng trình : có nghiệm nhÊt ⎧x2 = y + a ⎪ ⎨y = z + a ⎪ ⎩z = x + a Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm với dạng x = y = z Giải hệ phơng trình : x 31 x1 + = x2 ⎪ ⎪ x − x + = x3 ⎪ ⎨ ⎪ x − 3x + = x 99 100 ⎪ 99 ⎪ x 100 − x100 + = x1 ⎩ Cho n số nguyên lớn Tìm a để hệ phơng trình : x 21 = x 32 − x2 + ax2 ⎪ ⎪ x = x − x3 + ax3 ⎪ cã mét nghiÖm nhÊt ⎨ ⎪ x = x − x + ax n n n ⎪ n −1 ⎪ x n = x − x1 + ax1 Cho n số nguyên lớn a Chứng minh hệ phơng tr×nh : ⎧ x 21 = x 32 − x2 + ax2 ⎪ ⎪ x = x − x3 + ax3 ⎪ cã nghiÖm nhÊt ⎨ ⎪ x = x − x + ax n n n ⎪ n −1 ⎪ x n = x − x1 + ax1 ⎩ Chøng minh với a R , hệ phơng trình : ⎧ x = y3 + y2 + y + a ⎪ ⎨ y = z + z + z + a cã mét nghiÖm nhÊt ⎪ z2 = x + x + x + a Ii Hệ phơng trình giải đợc phơng pháp lợng giác hoá Giải hệ phơng trình : x y2 + y − x2 = ⎪ ⎨ ⎪(1 − x )(1 + y ) = ⎩ (1) (2) ⎧ ⎧1 − x ≥ ⎪ x ≤1 ⇔⎨ Giải ĐK : y 1 y Đặt x = cos ; y=cos víi α ,β ∈ [ 0; π ] , hệ phơng trình : cos sin + cosβ sinα =1 ⎪ α + β = ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩ (1 − cosα )(1 + cosβ ) = ⎪sinα − cosα − sinα cosα − = t2 Đặt t = sin cosα , t ≤ ⇒ sinα cosα = 2 1− t − = ⇔ t + 2t − ⇒ t = Khi ®ã ta cã : t − ⎧x = π⎞ π ⎛ Víi t = , ta cã : 2sin ⎜ α − ⎟ = ⇒ α = ⇒ β = ⇒ ⎨ 4⎠ ⎝ ⎩y = NÕu : x ≤ a ( a > ) , ta đặt x = acos , với α ∈ [ 0; π ] ⎧ ( x − y )(1 + xy ) = ⎪ Giải hệ phơng trình : 2 x + y =1 ⎩ Gi¶i ( 1) (2) Do x + y = ⇒ x, y [ 1; 1] Đặt x = sin , y = cosα víi α ∈ [ 0; 2π ] Khi ®ã (1) ⇔ ( sinα − cosα )(1 + 2sin2α ) = π⎞ ⎛ 1⎞ π ⎞⎛ π⎞ ⎛ ⎛ ⇔ 2sin ⎜ α − ⎟ ⎜ sin2α + ⎟ = ⇔ 4sin ⎜ α − ⎟ ⎜ sin2α + sin ⎟ = 4⎠ ⎝ 2⎠ ⎠⎝ 6⎠ ⎝ ⎝ π⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ π ⎞⎡ π π ⎞⎤ ⎛ ⎛ ⎛ ⇔ 8sin ⎜ α − ⎟ sin ⎜ α − ⎟ cos ⎜ α − ⎟ = ⇔ 4cos ⎜ α + ⎟ ⎢ cos − cos ⎜ 2α − ⎟ ⎥ = 12 ⎠ ⎣ ⎠⎦ 4⎠ ⎝ 12 ⎠ 12 ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ π ⎞ π ⎞ ⎛ π⎞ ⎛ ⎛ ⇔ 2cos ⎜ α − ⎟ − 4cos ⎜ α − ⎟ cos ⎜ 2α − ⎟ = 12 ⎠ 12 ⎠ 6⎠ ⎝ ⎝ ⎝ π⎞ π ⎞ ⎡ ⎛ π⎞ π ⎞⎤ ⎛ ⎛ ⎛ ⇔ 2cos ⎜ α − ⎟ − ⎢ cos ⎜ 3α − ⎟ + cos ⎜ α − ⎟ ⎥ = ⇔ −2cos ⎜ 3α − ⎟ = 12 ⎠ 4⎠ 12 ⎠ ⎦ 4⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎣ ⎝ 0 ⎡α = −35 + k120 π⎞ ⎛ ⇔⎢ cos ⎜ 3α − ⎟ = − (k ∈ R) 0 4⎠ ⎝ ⎣ α = 65 + k120 Tõ ®ã suy hÖ cã nghiÖm ( x, y ) = {( sin650 , cos650 ) , ( −sin350 , cos350 ) , ( sin850 , cos850 ) , ( −sin5 , − cos5 ) , ( -sin25 , − cos25 ) , ( sin305 , cos305 ) } 0 0 NÕu : x + y = a ( a > ) , ta ®Ỉt x = asinα , y = acosα , víi α ∈ [ 0; 2π ] ⎧2 x + x y = y Giải hệ phơng tr×nh : ⎨2 y + y z = z ⎪ ⎩2 z + z x = x Gi¶i : Từ phơng trình hệ , suy : x, y, z ≠ ±1 Do ®ã ta cã : ⎧ 2x ⎪ y = − x (1) ⎪ 2y ⎪ (2) ⎨z = − y2 ⎪ ⎪ 2z (3) ⎪x = − z2 ⎩ Đặt Đặt x = tg với ∈ ⎜ − ; ⎟ (4) vµ cho tgα , tg2α , tg4α ≠ ±1 (5) ⎝ 2⎠ kπ 2kπ 4kπ ⎞ ⎛ , y = tg , z = tg , k = 0, ± 1, , Tơng tự Hệ phơng trình có nghiÖm ⎜ x = tg 7 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ π π⎞ Víi mäi sè thùc x cã mét sè α víi α ∈ ⎜ − ; ⎟ cho x = tgα ⎝ 2⎠ ⎧ x − 3z x − 3z + z = ⎪ ⎨ y − 3x y − 3x + x = ⎪ z − 3y z − 3y + y = ⎩ Giải hệ phơng trình : Giải Viết lại hệ phơng trình dới dạng : x 3z = 3z − z ⎪ ⎪ ⎨ y − 3x = 3x − x ⎪ ⎪ z − 3y = 3y − y ⎩ ( ( ( Tõ ®ã, dƠ thÊy nÕu ⎧ 3z − z x= ⎪ − 3z ⎪ ⎪ 3x − x (I) ⇔ ⎨ y = − 3x ⎪ ⎪ 3y − y z= ⎪ − 3y ⎩ ( x , y, z ) ) ) ) (I) lµ nghiệm hệ đà cho phải có x, y, z ≠ ± Bëi thÕ : (1) (2) (II) (3) (5) Đặt x = tgα víi α ∈ ⎜ − ; ⎟ (4) vµ cho tgα , tg3α , tg9α ≠ ± ⎝ 2⎠ Khi ®ã tõ (2), (3), (1) sÏ cã : y = tg3α , z = tg9α x = tg27 Từ dễ dàng suy ( x, y, z ) lµ nghiƯm cđa (II) vµ chØ y = tg3α , z = tg9 , x = tg , với đợc xác định (4), (5) tg = tg27 (6) Lại cã : ( ) ⇔ 26α = kπ ( k Z ) k với k nguyên thoả mÃn : 26 −12 ≤ k ≤ 12 DƠ dµng kiểm tra đợc rằng, tất giá trị đợc xác định nh vừa nêu thoả mÃn (5) Vậy tóm lại hệ phơng trình đà cho có tất 25 nghiệm, : k 3k k ⎞ ⎛ ⎜ x = tg 26 , y = tg 26 , z = tg 26 ⎟ , k = 0, ± 1, ± 12 ⎝ ⎠ Giải hệ phơng trình : 1 ⎛ 1⎞ ⎪ 3⎜ x + ⎟ = ⎜ y + ⎟ = 5⎜ z + ⎟ x⎠ y⎠ z⎠ ⎝ ⎨ ⎝ ⎝ ⎪ xy + yz + zx = ⎩ NhËn xÐt : xyz ≠ 0; x, y, z cïng dÊu NÕu ( x, y, z ) nghiệm hệ Giải Vì thoả mÃn đồng thời (4) (6) vµ chØ α = ( − x, − y, z ) nghiệm hệ, nên tìm nghiệm ( x, y, z dơng ) Đặt x = tg ; y = tg ; z = tgγ < α , β , λ < 90 ⎧ ⎛ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎞ ⎪ ⎜ tgα + ⎟ = ⎜ tgβ + ⎟ = ⎜ tgγ + ⎟ ( 1) tgα ⎠ tgβ ⎠ tgγ ⎠ HÖ ⎨ ⎝ ⎝ ⎝ ⎪tgα tgβ + tgβ tgγ + tgγ tgα = (2) ⎩ ⎛ + tg2α ⎞ ⎛ + tg2 β ⎞ ⎛ + tg2γ ⎞ = = (1) ⇔ ⎜ = 4⎜ = 5⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⇔ sin2α sin2β sin2γ ⎝ tgα ⎠ ⎝ tgβ ⎠ ⎝ tgγ ⎠ Tõ (2) suy : tgγ ( tgα + tgβ ) = − tgβ tgα ⇒ cotgγ = ( tgα + tgβ ) = tg − tgβ tgα (α + β ) π ⎛π ⎞ ⇒ tg ⎜ − γ ⎟ = tg (α + β ) ⇔ α + β + γ = ⎝2 ⎠ ⎧ = = ⎪ sin2α sin2 sin2 Do nên 2,2,2 góc tam giác có số đo cạnh 3,4,5 ⎪0 < α , β , γ < π ;α + β + γ = π ⎪ ⎩ 2 Do tam giác có cạnh 3,4,5 tam giác vuông nên = 900 = 450 z = tgγ = 2tgα 2x = ⇔ = ⇒x= 2 − tg α 1− x 2tgβ 2y = ⇔ = ⇒y= tg2β = 2 − tg β 1− y tg2α = Tuyển tập bi toán hay II Hệ phơng tr×nh Èn 698 ⎧ (1) ⎪ x +y = Giải hệ phơng trình : 81 ⎪ x + y + xy − x − y + = (2) ⎩ Giải : Giả sử hệ phơng trình có nghiệm Ta thấy (2) tơng đơng với : x + ( y − 3) x + ( y − ) = Để phơng trình có nghiệm đối víi x ta ph¶i cã : 2 Δ = ( y − 3) − ( y − ) ≥ ⇔ ≤ y ≤ (3) Mặt khác phơng trình (2) tơng đơng với : y + ( x − ) y + x − x + = Để phơng trình có nghiệm y ta ph¶i cã : Δ = ( x − 4) − x − 3x + ≥ ⇔ ≤ x ≤ (4) 256 49 697 698 Tõ (3) vµ (4) ta cã : x + y ≤ + = < , kh«ng thoả mÃn (1) 81 81 81 Vậy hệ phơng trình đà cho vô nghiệm ( ) ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 1995-1996.Bảng A ) ⎧ ⎛ ⎞ ⎪ 3x ⎜1 + ⎟=2 x+y⎠ Giải hệ phơng trình : 7y ⎛ − ⎞ = ⎜ ⎟ ⎪ x+y⎠ ⎝ ⎩ ( §Ị thi HSG Qc Gia năm 1995-1996.Bảng A ) HÃy biện luận số nghiệm thực hệ phơng trình với ẩn x, y : ⎧ x y − y = a2 ⎨ 2 ⎩ x y + xy + y = b Giải Điều kiện có nghĩa cđa hƯ : x, y ∈ R ViÕt l¹i hƯ d−íi d¹ng : ⎧ y x − y = a ( 1) ⎪ ⎨ ⎪ y ( x + y ) = b2 (2) ⎩ Xét trờng hợp sau : Trờng hợp : b = Khi ®ã : ⎧ ⎪y=0 ⎨ 3 ⎡ ⎪y x − y = a y = : Hệ đà cho ⇔ ⎢ (2) ⇔ ⎨ ⎣ ⎧ y = −x ⎩y = −x ⎪ ⎨ 3 ⎪y x − y = a ⎩ ( ) ( (I) ( ) ) ( II ) ⎧ y = −x Cã (II) ⇔ ⎨ ⎩ −2 x = a Tõ ®ã : + NÕu a ≠ (I) (II) vô nghiệm, dẫn đến hệ vô nghiệm + Nếu a = (I) có vô số nghiệm dạng ( x R, y = ) , cßn (II) cã nhÊt nghiƯm ( x = 0, y = ) V× hệ đà cho có vô số nghiệm ( x, y ) Tr−êng hỵp : b ≠ Khi đó, từ (1) (2) dễ thấy , phải có x, y >0 Vì (2) ⇔ x = b y −y lµ nghiƯm cđa hƯ ®· cho th× ( 3) ⎡⎛ b ⎤ ⎞ − y ⎟ − y ⎥ = a2 Thế (3) vào (1) ta đợc : y y Đặt y = t > Từ (4) ta có phơng trình sau : ⎡⎛ b ⎤ ⎞ ⎢⎜ − t ⎟ − t ⎥ = a ⇔ t − b − t t ⎢⎝ t ⎥ ⎠ ⎣ ⎦ ( ) + a2 t = ( ) XÐt hµm sè : f ( t ) = t − ( b − t ) + a t xác định [ 0;+ ∞ ) cã : ( f' ( t ) = 9t + b − t ) t + a ≥ 0, ∀t ∈ [ 0; + ∞ ) Suy hàm số f ( t ) đồng biến [ 0; + ) , phơng trình (5) cã tèi ®a nghiƯm [ 0; + ∞ ) Mµ f ( ) = − b < vµ f ( b )= b 3 + b a > , nªn phơng trình (5) có b nghiệm, kÝ hiƯu lµ t0 ( 0; + ∞ ) Suy hÖ cã nhÊt nghiÖm ⎜ x = − t0 , y = t0 ⎟ t0 ⎝ ⎠ VËy tãm l¹i : + NÕu a = b = hệ đà cho có v« sè nghiƯm ` + NÕu a t ý , b hệ đà cho có nhÊt nghiÖm + NÕu a ≠ 0, b = hệ đà cho vô nghiệm x + xy − y = T×m tất giá trị m để hệ phơng tr×nh : ⎨ (1) cã nghiƯm x + xy + y = m ⎩ ⎧2 x = 1 Gi¶i + Víi y = hƯ trë thµnh ⎨ HƯ cã nghiƯm m = ⎩x = m + Víi y ≠ , đặt x = t , hệ trở thành y ⎧ ⎧ ⎪2 t + t − = y ⎪ 2t + t − = y ⎪ (2) ⇔⎨ ⎨ ⎪t + t + = m t + t − ⎪ t2 + t + = m ⎩ ⎪ y2 ⎩ VËy hÖ PT (1) cã nghiƯm ( x, y ) vµ chØ hÖ PT (2) cã nghiÖm ( t, y ) ( ) ⎡ t < −1 XÐt hÖ (2), tõ 2t + t − = suy 2t + t − > ⇔ ⎢ Do ®ã hƯ (2) cã nghiƯm ⎢t > y ⎢ ⎣ ( t, y ) ⇔m= t2 + t + t2 + t + ⎛1 ⎞ cã nghiÖm t ∈ ( −∞, −1) ∪ ⎜ , + ∞ ⎟ XÐt hµm sè f ( t ) = khoảng 2t + t − 2t + t − ⎝2 ⎠ ⎡ t = −3 − t + 6t + ⎞ , + ∞ ⎟ Ta cã : f' ( t ) = − , f' ( t ) = ⇔ ⎢ ⎝2 ⎠ ⎢ t = −3 + 2t + t − ⎣ ( −∞, −1) ∪ ⎛ ⎜ ( ) Lập bảng biến thiên : t − - f’(t) −3 − -1 + + −∞ +∞ +∞ f(t) −∞ 14 + −∞ 28 + 11 Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy để hÖ cã nghiÖm : m ≥ ⎧ x ( + 3y ) = ⎪ Gi¶i hƯ phơng trình : x y =3 ⎩ ( 14 + 28 + 11 ( 1) (2) ) Giải Rõ ràng y = hƯ v« nghiƯm Víi y ≠ , tõ (2) suy x = 27 ( + 3y ) (y −2 ) = (3) XÐt hµm sè : f ( y ) = Suy : f' ( y ) = ⇔ y = −1 Ta cã b¶ng biÕn thiªn : y f’(y) f (y) −∞ + −∞ -1 0 , thay vµo (1) ta cã : y −2 27 ( + 3y ) (y −2 ) 3 − , ta cã : f' ( y ) = − ( 81 8y + y + (y −2 +∞ - +∞ −∞ 10 −∞ ) ) ( ) Nhìn vào bảng biến thiên suy pt(3) nghiệm khoảng ( ; 1) 1; Phơng trình có nghiệm y = nghiệm khoảng Dễ thấy y = nghiệm thuộc khoảng ( ) ( 2, + ∞ ) 2, + ∞ Vậy hệ phơng trình đà cho có nghiƯm : ( −1; −1) vµ ⎜ ; ⎟ ⎝2 ⎠ ( §Ị thi HSG Qc Gia năm 2004 Bảng B ) x + xy = 49 Giải hệ phơng trình sau : ⎨ 2 ⎩ x − xy + y = y − 17 x ( §Ị thi HSG Quốc Gia năm 1998-1999 Bảng A ) (1 + x − y ) 51−2 x + y = + 22 x − y +1 ⎪ Gi¶i hệ phơng trình : y + x + + ln ( y + x ) = Giải ĐK: y + x > Đặt t = x y phơng trình thứ hệ trở thµnh : + t + t +1 = (1) 5t Vế trái hàm nghịch biến, vế phải hàm đồng biến nên t=1 lµ nghiƯm nhÊt cđa (1) y +1 thÕ vµo phơng trình thứ hai hệ ta đợc : Vậy x − y = ⇒ x = y + y + + ln y + y + = ( ) (1 + ) t 1− t = + t +1 ( ) Vế trái hàm đồng biến y =-1 nghiệm (2) Đáp số : x = 0, y = −1 ( §Ị thi HSG Qc Gia năm 2000-2001 Bảng B ) 7x + y + x + y = Giải hệ phơng tr×nh : ⎨ ⎪ 2x + y + x − y = Giải : ĐK có nghĩa hệ phơng trình : {7 x, x} y Đặt : 7x + y = a 2x + y = b Từ hệ phơng trình ®· cho ta cã hÖ : ⎧a + b = ⎪ ⎨ ⎪b + x − y = ⎩ (1 ) (2) NhËn thÊy : a − b2 = x KÕt hỵp víi (1) suy : b = 5− x + x − y = ⇔ x = 2y − ThÕ (3) vµo (2) ta cã : 5y − + y − = ⇒ y = ( x ) , vào (2) ta đợc : ( 3) 11 − 77 ThÕ vµo (3) suy nghiƯm cđa hƯ lµ: x = 10 − 77, y= 11 11 − 77 Cho hệ phơng trình ẩn x, y : k x + x + x + = yx ⎪ ⎨ ⎪ k x + x + x + + ( k − 1) x = y x Xác định k để hệ phơng trình có nghiệm Giải hệ phơng tr×nh víi k = 16 ( ( ) ) 10 ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 1995-1996 Bảng A ) ⎧ ⎛ ⎞ ⎪ 3x ⎜1 + =2 x+y Giải hệ phơng trình : ⎪ 7y ⎛ − ⎞ = x+y Giải ĐK cã nghÜa cđa hƯ : x ≥ 0, y ≥ vµ x + y ≠ DƠ thÊy , nÕu ( x, y ) lµ nghiƯm hệ đà cho phải có x >0, y>0 Do ®ã : ⎧ ⎧⎛ 2 ⎞ = − ( 1) ⎪ ⎪⎜ + ⎟= x+y⎠ 3x 7y 3x ⎪⎝ ⎪x + y HƯ ®· cho ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⎪ ⎛1 − ⎞ = ⎪1 = + 2 (2) ⎜ ⎟ ⎪ ⎪⎝ x+y⎠ 7y 3x 7y ⎩ Nhân (1) với (2) theo vế ta đợc : 1 = − ⇔ 21xy = ( x + y )( y − x ) ⇔ ( y − x )( y + x ) = ⇔ y = x ( v× x >0, y>0) x + y 3x 7y Thay vào (2) giải ta đợc : x = 11 + 22 + , y= Thử lại ta thấy thoả mÃn yêu cầu bt 21 Iii Hệ phơng trình ẩn ( Đề thi HSG TØnh Qu¶ng Ng·i 1995-1996) ⎧ y − x + 12 x − = Giải hệ phơng trình : z − y + 12 y − = ⎪ x − z + 12 z = Giải hệ phơng trình : ⎧12 x − 48 x + 64 = y ⎪ ⎨12 y − 48y + 64 = z ⎪12 z − 48z + 64 = x ⎩ ⎧ x 19 + y = 1890 z + z 2001 ⎪ 19 2001 Giải hệ phơng trình : y + z = 1890 x + x ⎪ z19 + x = 1890 y + y 2001 ⎩ Gi¶i Chóng ta chứng minh hệ phơng trình có nghiệm nhÊt x = y = z = 12 Giả sử ( x, y, z ) nghiệm hệ phơng trình ( x, − y, − z ) cịng lµ mét nghiƯm cđa hệ phơng trình , nên không tính tổng quát ta cã thĨ gi¶ thiÕt : cã Ýt nhÊt hai ba số x, y, z không âm Ví dụ x 0, y Từ phơng trình thø nhÊt ta suy z ≥ MỈt khác < u 1890 + u2000 > ≥ u18 + u4 NÕu u > th× 1890 + u2000 > + u2000 > u2000 = 2.u1000 > u18 + u4 Do ®ã 1890u + u2001 > u19 + u5 víi mäi u>0 Bëi vËy nÕu céng tõng vÕ cña HPT ta suy x = y = z = ®pcm Tìm điều kiện cần đủ m để hệ phơng trình sau có nghiệm : x = ( + m ) y − 3y + my ⎪ ⎨ y = ( + m ) z − 3z + mz ⎪ z = ( + m ) x − x + mx ⎩ ( §Ị thi HSG Quốc Gia năm 2004 Bảng A ) x + x ( y − z )2 = Giải hệ phơng trình sau : ⎨ y + y ( z − x ) = 30 ⎪ ⎪ z + z ( x − y ) = 16 ⎩ Gi¶i hƯ phơng trình : Giải ( ( ( ) ) ) ⎧ x ( x + 1) = y − x + ⎪ ⎪ ⎨ y ( y + 1) = z − y + ⎪ ⎪ z ( z + 1) = x − z + ⎩ Viết lại hệ đà cho dới dạng : x + x + x = y3 + ⎪ 3 ⎨ y + y + y = 2z + ⎪ z3 + z + z = x + ⎩ ⎧ f ( x) = g ( y) ⎪ hay ⎨ f ( y ) = g ( z ) ⎪ f ( z) = g ( x ) ⎩ Trong ®ã f ( t ) = t + t + 2t vµ g ( t ) = 2t + NhËn xÐt r»ng g(t), f(t) hàm đồng biến R : f' ( t ) = 3t + 2t + > 0, g ( t ) = 6t ≥ 0, ∀t ∈ R ⎧x = y = z Suy hệ đà cho tơng đơng với hệ : ⎨ ( 4) ⎩h ( x ) = Trong ®ã h ( t ) = t − t − 2t + NhËn xÐt r»ng h ( t ) liên tục R : h ( −2 ) < 0, h ( ) > 0, h (1) < 0, h ( ) > nên phơng trình h ( t ) = có nghiệm phân biệt nằm ( 2; ) Đặt x = 2cosu, u ( 0; ) Khi sinu (4) cã d¹ng : ⎧ x = y = z = 2cosu, u ∈ ( 0; π ) ⎧ x = y = z = 2cosu, u ∈ ( 0; π ) ⎪ hay ⎨ ⎨ 3 ⎩8cos u − 4cos u − 4cosu + = ⎪sinu 8cos u − 4cos u − 4cosu + = ⎩ ⎧ x = y = z = 2cosu, u ∈ ( 0; π ) Hay ⎨ (5) ⎩ sin4u = sin3u ( 13 ) ⎧ x = y = z = 2cosu, u ∈ ( 0; π ) ⎪ ⎧ π 3π 5π ⎫ ; Gi¶i hệ phơng trình (5) ta thu đợc u ; ⎬ vµ ⎨ ⎧ π 3π 5π ⎫ ⎩7 7 ⎭ ⎪u∈⎨ ; ; ⎬ Tìm tất ba số dơng ( x, y, z ) thoả mÃn hệ phơng trình : x 2004 = y + z ⎪ 2004 = z6 + x ⎨2 y ⎪ 2004 = x + y ⎩2 z Gi¶i : Gi¶ sư ( x, y, z ) ba số dơng thoả mÃn hệ PT đà cho Không tính tổng quát , giả sö < x ≤ y ≤ z Nh− vËy : ⎧ x 2004 ≥ x ⎧2 x 2004 = y + z ≥ x + x ⎧x ≥ ⇒ ⎨ 2004 ⇒⎨ ⇒ x = y = z =1 ⎨ 2004 6 6 ≤z = x +y ≤z +z z z 2z Đảo lại, dễ thấy x = y = z = lµ mét bé ba số dơng thoả mÃn yêu cầu toán 10 Tìm điều kiện m để hệ phơng trình sau cã nghiÖm : ⎧ x + y − z + xy − yz − zx = ⎪ 2 ⎨ y + z + yz = ⎪ x + z + xz = m ⎩ ⎧x5 − x + x2 y = ⎪ 11 Gi¶i hƯ phơng trình : y y + 2y z = ⎪ z5 − z + z x = ⎩ ( ( ( ) ) ) ⎧ x y + 3y + = 3y ⎪ ⎪ 2 12 Gi¶i hệ phơng trình : y z + 3z + = 3z ⎪ 2 ⎪z x + 3x + = 3x 13 Tìm tất số thực a cho hệ phơng trình sau cã nghiÖm thùc x, y, z : ⎧ ⎪ x −1 + y −1 + z −1 = a −1 ⎨ ⎪ x +1 + y +1 + z +1 = a +1 Giải ĐK: x 1, y 1, z Hệ phơng trình tơng đơng với hệ phơng trình : x + x + + y − + y + + z − + z + = 2a ⎪ ⎨ ⎪ x +1 − x −1 + y +1 − y −1 + z +1 − z = Đặt u = x + x + ; v = y − + y + ; s = z − + z + ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) Do x ≥ 1, y ≥ 1, z ≥ nªn u ≥ 2, v 2, s Ngợc lại u ≥ 2, v ≥ 2, s ≥ , ta cã : 1⎛ 2⎞ 1⎛ 4⎞ 2 x +1 − x −1 = = ⇒ x + = ⎜ u + ⎟ ⇒ x = ⎜ u2 + ⎟ ≥ 2⎝ u⎠ 4⎝ u ⎠ x +1 + x u Tơng tự y, z 14 Do toán ta đa toán tơng đơng : Tìm tất số thực a cho hệ phơng trình sau cã nghiÖm u ≥ 2, v ≥ 2, s ≥ : ⎧u + v + s = a ⎪ ( 1) ⎨1 1 ⎪u + v + s =1 + Điều kiện cần : Giả sử hệ phơng trình (1) có nghiệm Theo bất đẳng thøc Bunhia ta cã : ⎛ 1 1⎞ 2a = ( u + v + s ) ⎜ + + ⎟ ≥ ⇒ a ≥ ⎝u v s + Điều kiện đủ : Giả sử a ≥ Chóng ta sÏ chøng minh hƯ ph−¬ng tr×nh (1) cã nghiƯm ⎧ u + v = 2a − ⎪ LÊy s = ( tho¶ mÃn s ) Khi (1) tơng ®−¬ng víi : ⎨ ( 2a − 3) ⎪u.v = ⎩ ( 2a − ) ⇔ u, v lµ hai nghiƯm cđa tam thøc bËc hai : t − ( a − ) t + 2a − ± ( 2a − )( 2a − ) ⇒ u, v = ( Chú ý : Đặt h = 2a − ≥ ⇒ h + − 2 ( 2a − ) − 2> ( 2a − 3)( 2a − ) ) > ( h + ) > h ( h + ) Tøc lµ : ⇒ u > 2, v > Nh hệ phơng trình (1) cã nghiÖm u ≥ 2, v ≥ 2, s Tóm lại số thực a cần tìm tất số thực a 14 Giải hệ phơng trình : ⎛ 1⎞ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎪20 ⎜ x + ⎟ = 11 ⎜ y + ⎟ = 2007 ⎜ z + ⎟ x⎠ y⎠ z⎠ ⎝ ⎨ ⎝ ⎝ ⎪ xy + yz + zx = ⎩ 15 ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 2005-2006 Bảng A ) ⎧ x − x + 6.log ( − y ) = x ⎪ ⎪ Gi¶i hệ phơng trình : y y + 6.log3 ( − z ) = y ⎪ ⎪ z − z + 6.log3 ( − x ) = z Giải ĐK xác định x, y, z < Hệ đà cho tơng ®−¬ng víi : ⎧ x ⎪ log3 ( − y ) = ⎪ x − 2x + ⎪ y ⎪ ⎨ log3 ( − z ) = y − 2y + ⎪ ⎪ z ⎪log3 ( − x ) = ⎪ z2 − z + ⎩ 15 (1 ) (2) ( 3) NhËn thÊy f ( x ) = x lµ hàm tăng, g ( x ) = log3 ( x ) hàm giảm với x3, n∈ N ) Gi¶i hƯ phơng trình : x1 + x2 = x31996 1996 ⎪ x + x3 = x ⎪ ⎨ ⎪ x + x = x 1996 ⎪ 1995 1996 1996 ⎪ x1996 + x1 = x2 Giải : Gọi X giá trị lớn nhÊt cđa c¸c nghiƯm xi , i = 1, 1996 Y giá trị bé chúng Thế từ phơng trình đầu ta có : 2X x1 + x2 = x31996 2X ≥ x k1996 , k = 1, 2, ,1996 Từ phơng trình hệ ta có : Hay ta cã : 2X ≥ X1996 suy : ≥ X1995 ( X >0 ) Lập luận cách tơng tự ta đến : Y1995 Tõ (1) vµ (2) suy X1995 = Y1995 = NghÜa lµ ta cã : x1 = x2 = = x1996 = 1995 x −a ⎧ x1 − a1 x2 − a2 = = = n n b2 bn Giải hệ phơng trình : b1 ⎪ x + x + + x = c n ⎩ víi b1 , b2 , , bn ≠ 0, n ∑b i =1 i ≠0 17 (1) (2) Giải Đặt : x a x1 a1 x2 − a2 = = = n n = t b1 b2 bn n n n i =1 i =1 i =1 Ta cã : xi = tbi + ⇒ ∑ xi = ∑ + t ∑ bi n ⎛ ⎞ c − ∑ ⎟ ⎜ n n ⇒ c = ∑ + t ∑ bi ⇒ t = ⎝ n i =1 ⎠ i =1 i =1 ∑ bi i =1 ⎛ ⎞ ⎜ c − ∑ ⎟ ⇒ xi = + bi ⎝ n i =1 ⎠ ∑ bi n i =1 18 ... − 77 Cho hệ phơng trình ẩn x, y : ⎧ k x + x + x + = yx ⎪ ⎨ ⎪ k x + x + x + + ( k − 1) x = y x Xác định k để hệ phơng trình có nghiệm Giải hệ phơng trình với k = 16 ( ( ) ) 10 ( Đề thi HSG Quốc... chứng minh hệ phơng trình cã nghiÖm nhÊt x = y = z = 12 Gi¶ sư ( x, y, z ) nghiệm hệ phơng trình ( − x, − y, − z ) cịng lµ mét nghiệm hệ phơng trình , nên không tính tổng quát ta giả thi? ??t : có... (1) 81 81 81 Vậy hệ phơng trình đà cho vô nghiệm ( ) ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 1995-1996.Bảng A ) ⎧ ⎛ ⎞ ⎪ 3x ⎜1 + =2 x+y Giải hệ phơng trình : ⎪ 7y ⎛ − ⎞ = ⎜ ⎟ ⎪ x+y⎠ ⎝ ⎩ ( §Ị thi HSG Quốc Gia