Đang tải... (xem toàn văn)
chuyen de luong giac 7730 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực ki...
Chuyên đề: LG 1 Chuyên đề LƢỢNG GIÁC Phần 1: CÔNG THỨC 1. Hệ thức LG cơ bản 2222sin cos 1sintancos 21tan 12coskk 22tan .cot 1coscotsin1cot 1sinkk 2. Công thức LG thường gặp Công thức cộng: sin sinacosb sinbcosacos cosacosb sinasinbtan tantan b1 tan tanabababaab Công thức nhân: 2 2 2 23332sin 2 2sin .coscos2 cos sin 2cos 1 1 2sincos3 4cos 3cossin3 3sin 4sin3tan tantan3 =1 3tana a aa a a a aa a aa a aaaaa Tích thành tổng: cosa.cosb =12[cos(ab)+cos(a+b)] sina.sinb =12[cos(ab)cos(a+b)] sina.cosb =12[sin(ab)+sin(a+b)] Tổng thành tích: sin sin 2sin cos22a b a bab sin sin 2cos sin22a b a bab cos cos 2cos cos22a b a bab cos cos 2sin sin22a b a bab sin( )tan tancos .cosababab Công thức hạ bậc: cos2a =12(1+cos2a) sin2a =12(1cos2a) Chun đề: LG 2 Biểu diễn các hàm số LG theo tan2at 22 2 22 1- 2sin ; cos ; tan .1 1 1t t ta a at t t 3. Phương trìng LG cơ bản * sinu=sinv22u v ku v k * cosu=cosvu=v+k2 * tanu=tanv u=v+k * cotu=cotv u=v+k Zk . 4. Một số phương trình LG thường gặp 1. Phƣơng trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lƣợng giác: a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các cơng thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản. b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG 2. Phƣơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx: Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là 2 2 2a b c. Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt tanba, ta được: sinx+tancosx=cosca sinxcos+sincosx=cosca sin(x+)=coscasinđặt. Cách 2: Chia hai vế phương trình cho22ab, ta được: 2 2 2 2 2 2sin cosa b cxxa b a b a b Đặt: 2 2 2 2cos ; sinaba b a b. Khi đó phương trình tương đương: 22cos sin sin coscxxab hay 22sin sincxab đặt. Cách 3: Đặt tan2xt . 3. Phƣơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx: Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*). Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với 2xk. + Giả sử cosx0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0. Chú ý: 221tan 12cosx x kx Cách 2: Áp dụng cơng thức hạ bậc. 4. Phƣơng trình đối xứng đối với sinx và cosx: Dạng: a(sinx cosx)+ bsinxcosx=c. Cách giải: Đặt t= sinx cosx. Điều kiện t 2. sin cos 2 sin 2 cos44sin cos 2 sin 2 cos44x x x xx x x x Lưu y ùcác công thức : Chuyên đề: LG 3 Phần 2: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích. Ví dụ 1. Giải phương tình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1). Giải Phương trình (1) tương đương với: 1 cos2 1 cos6 1 cos4 1 cos82 2 2 2x x x x cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0 2cos5x(cos3x+cosx) = 0 4cos5x.cos2x.cosx = 0 510 52cos5 0cos2 0 2 , ( , , )2 4 2cos 022 π kππxxkπxπ π lπx x kπ x k l nxππxkπ x nπ Ví dụ 2. Giải phương trình: cos6x+sin6x = 2 ( cos8x+sin8x) (2). Giải Ta có (2) cos6x(2cos2x1) = sin6x(12sin2x) cos2x(sin6x–cos6x) = 0 cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) = 0 cos2x = 0 2 ,( )2 4 2π π kπxkπ x k Ví dụ 3: Giải phương trình: 6 3 48 2 cos 2 2 sin sin3 6 2 cos 1 0x x x x (3). Giải Ta có: 3 3 3222(3) 2 2 cos (4cos 3cos ) 2 2 sin sin3 1 02cos onthionline.net Lượng giác 11 Ôn tập chương I : 1.61 Giải phương trình sau a) cos ( π - 3x ) = b) 6tan ( 2x - π ) = -2 3 c) 2cos2x – sin2x – 4cosx + = d) 9sin2x – 5cos2x – 5sinx + = e) cos2x + sin2x + 2cosx + = f) 3cos2x + 2(1 + + sinx )sinx – - = 1.62 Tìm nghiệm thuộc đoạn [ ; π ] phương trình : Sin(2x + 9π 15π ) – 3cos ( x ) = + 2sinx 2 Tính giá trị gần , xác đến hàng phần trăm nghiệm 1.63 Giải phương trình sau : a) sin2x + cos2x = b) 2 ( sinx + cosx )cosx = + cos2x c) cos2x - sin2x = + sin2x d) sinxcosx + 4cos2x – 2sin2x = 1.64 Giải phương trình sau : a) sin ( π + 2x )cot3x + sin( π + 2x ) 2 cos5x = b) tan2x + cos4x = c) 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = d) sin4 ( x + π ) = + cos2x – cos4x 4 e) ( 2sinx + )(3cos4x + 2sinx – ) + 4cos2x = f) sin2 ( x + π ) = 2sinx 1.65 Giải phương trình sau : a) 2sinx + cotx = 2sin2x + b) tan2x ( – sin3x ) + cos3x – = − cos x ( không gõ mẫu : sin2x.sin2x = sin bình 2x ) sin x sin x sin x cos x d) 5sinx – 2cos3x = cos x c) + cot2x = onthionline.net 1.67 Cho phương trình : m sinx + ( m + ) cosx = a) giải phương trình m = m cos x b) tìm giá trị m cho phương trình cho có nghiệm VD3(35) Giải phương trình : sin( x - π 1+ )= 2 ( ĐH) VD9(38) Giải phương trình Cosxcos2xcos4xcos8x = cos15x (CĐ) VD10 Giải phương trình 13π -x)=1 π 3π + sin sin2x = sin cos2x 10 a) sinx + sin( b) VD11 : Giải phương trình ( ĐH Mỏ Địa chất 97-98) sin x =1 sin x VD12 Giải phương trình tan2xsin2x - 3 cot2xcos2x = VD1(53) Tan2x.tan4x = VD3 Tìm nghiệm x ∈ ( 0;2 π ) phương trình Sin(3x – ) = sin ( x – ) VD4 Giải phương trình sin( π cosx) = π VD5 Giải phương trình : tan( (cosx – sinx)) = Câu hỏi và bài tập ôn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC §1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A. Kiến thức cần nhớ 1. Ôn tập Công thức lượng giác cơ bản sin 2 α + cos 2 α = 1 1 + tan 2 α = α 2 cos 1 Zkk ∈+≠ , 2 π π α 1 + cot 2 α = α 2 sin 1 Zkk ∈≠ , πα tan α .cot α = 1 Zkk ∈≠ , 2 π α Cung đối nhau cos(- α ) = cos α sin(- α ) = -sin α tan(- α ) = -tan α cot(- α ) = - α Cung bù nhau sin )( απ − = sin α cos )( απ − = -cos α tan )( απ − = -tan α cot )( απ − = -cot α Cung hơn kém π sin )( απ + = - sin α cos )( απ + = -cos α tan )( απ + = tan α cot )( απ + = cot α Cung phụ nhau sin ) 2 ( α π − = cos α cos ) 2 ( α π − = sin α tan ) 2 ( α π − = cot α cot ) 2 ( α π − = tan α Công thức cộng cos(a –b) = cosa cosb + sina sinb cos(a +b) = cosa cosb – sina sinb sin(a – b) = sina cosb – sinb cosa sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa tan(a – b) = ba ba tantan1 tantan + − GV: Phạm Thanh Tâm 1 Câu hỏi và bài tập ôn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác tan(a + b) = ba ba tantan1 tantan − + Công thức nhân đôi sin2a = 2sina cosa cos2a = cos 2 a – sin 2 a = 2cos 2 a – 1 = 1 – 2sin 2 a tan2a = a a 2 tan1 tan2 − Công thức hạ bậc cos 2 a = 2 2cos1 a + sin 2 a = 2 2cos1 a − tan 2 a = a a 2cos1 2cos1 + − Công thức biến đổi tích thành tổng cosa cosb = [ ] )cos()cos( 2 1 baba ++− sina sinb = [ ] )cos()cos( 2 1 baba +−− sina cosb = [ ] )sin()sin( 2 1 baba ++− Công thức biến đổi tổng thành tích cosu + cosv = 2cos 2 vu + cos 2 vu − cosu - cosv = -2sin 2 vu + sin 2 vu − sinu + sinv = 2sin 2 vu + cos 2 vu − sinu - sinv = 2cos 2 vu + sin 2 vu − 2. Hàm số sin • Hàm số y = sinx có tập xác định là R và -1 ≤ sinx ≤ 1, Rx ∈∀ . • Là hàm số lẻ. • Tuần hoàn với chu kì 2 π . GV: Phạm Thanh Tâm 2 Câu hỏi và bài tập ôn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác • Hàm số y = sinx nhận các giá trị đặc biệt: + sinx = 0 ⇔ x = k π , k ∈ Z + sinx = 1 ⇔ x = π π 2 2 k + , k ∈ Z + sinx = -1 ⇔ x = - π π 2 2 k + , k ∈ Z 3. Hàm số côsin • Hàm số y = cosx có tập xác định là R và -1 ≤ cosx ≤ 1, Rx ∈∀ . • Là hàm số chẵn. • Tuần hoàn với chu kì 2 π . • Hàm số y = cosx nhận các giá trị đặc biệt: + cosx = 0 ⇔ x = π π k + 2 , k ∈ Z + cosx = 1 ⇔ x = k2 π , k ∈ Z + cosx = -1 ⇔ x =(2k + 1) π , k ∈ Z 4. Hàm số tang • Hàm số y = tanx = x x cos sin có tập xác định là D= R\ ∈+ Zkk , 2 π π • Là hàm số lẻ. • Tuần hoàn với chu kì π . • Hàm số y = tanx nhận các giá trị đặc biệt: + tanx = 0 ⇔ x = k π , k ∈ Z + tanx = 1 ⇔ x = π π k + 4 , k ∈ Z + tanx = -1 ⇔ x = - π π k + 4 , k ∈ Z 5. Hàm số côtang • Hàm số y = cotx = x x sin cos có tập xác định là D= R\ { } Zkk ∈ , π • Là hàm số lẻ. • Tuần hoàn với chu kì π . • Hàm số y = cotx nhận các giá trị đặc biệt: + cotx = 0 ⇔ x = π π k + 2 , k ∈ Z GV: Phạm Thanh Tâm 3 Câu hỏi và bài tập ôn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác + cotx = 1 ⇔ x = π π k + 4 , k ∈ Z + cotx = -1 ⇔ x = - π π k + 4 , k ∈ Z B. Ví dụ và bài tập VD1. Tìm tập xác định của các hàm số sau: a. y = sin(2x + 1) b. y = cos x 1 c. y = tan(x + 2 π ) d. y = cot(2x - 3 2 π ) Giải a. Tập xác định của hàm số y = sin(2x + 1) là D = R. b. Hàm số y = cos x 1 xác định khi x ≠ 0. Vậy tập xác định của hàm số y = cos x 1 là D = R\ { } 0 . c. Hàm số y = tan(x + 2 π ) xác định khi x + 2 π ≠ 2 π + k π ⇔ x ≠ k π . Vậy tập xác định của hàm số là D = R\ { } Zkk ∈ , π . d. Hàm số y = cot(2x - 3 2 π ) xác định khi 2x - 3 2 π ≠ k π ⇔ x ≠ 3 π + k 2 π . Vậy tập xác định của hàm số là D = R\ ∈+ Zkk , 23 ππ . Bài tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau: a. y = sin x b. y = x x sin cos1 + c. y = x x cos3 tan + d. y = 1sin cot − x x e. y = cot( ) 3 5 3 π + x f. y = 5cos 1sin + + x x g. y = 1sin 3cos + + x x h. y = tan( x3 3 2 − π ) i. y = sin 1 1 2 − x k. y = x x 3sin 3tan + l. y = cos 1 2 − x x m. y = xcos1 + GV: Chuyên đề 8: LƯNG GIÁC TÓM TẮTGIÁO KHOA A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: I. Đơn vò đo góc và cung: 1. Độ: bẹtgóc 0 1 Góc 180 1 = 2. Radian: (rad) rad 0 180 π = 3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng: Độ 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 360 0 Radian 0 6 π 4 π 3 π 2 π 3 2 π 4 3 π 6 5 π π π 2 II. Góc lượng giác & cung lượng giác: 1. Đònh nghóa: 2. Đường tròn lượng giác: Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt: π π π π π ππ π π π k CA k C k A +→ → +→ +→ +→ → 2 DB, k , 2 2 - D 2k 2 2 B 2k 33 x y (tia gốc) Z)(k 2),( ∈+= πα kOyOx + t (tia ngọn) O α . y x o 180 O + − x y O C A B D x y B α M α (điểm gốc) + t O A (điểm ngọn) πα 2kAB += III. Đònh nghóa hàm số lượng giác: 1. Đường tròn lượng giác: • A: điểm gốc • x ' Ox : trục côsin ( trục hoành ) • y ' Oy : trục sin ( trục tung ) • t ' At : trục tang • u ' Bu : trục cotang 2. Đònh nghóa các hàm số lượng giác: a. Đònh nghóa: Trên đường tròn lượng giác cho AM= α . Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x ' Ox vàø y ' Oy T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t ' At và u ' Bu Ta đònh nghóa: cos sin tg cot OP OQ AT g BU α α α α = = = = b. Các tính chất : • Với mọi α ta có : 1 sin 1 hay sin 1 α α − ≤ ≤ ≤ 1 cos 1 hay cos 1 α α − ≤ ≤ ≤ • tg xác đònh 2 k π α α π ∀ ≠ + • cotg xác đònh k α α π ∀ ≠ c. Tính tuần hoàn sin( 2 ) sin cos( 2 ) cos ( ) cot ( ) cot k k tg k tg g k g α π α α π α α π α α π α + = + = + = + = )( Zk ∈ IV. Giá trò các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt: 34 + − x y O C A B D 1 1 1=R 1− 1− 'x 'u u t 't 'y y t 'u 't t x u 'y 'x O t 1− Q B T α M α A P U Trục cosin Trục tang Trục sin Trục cotang + − Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trò đặc biệt - 3 -1 - 3/3 (Điểm gốc) t t' y y' x x' u u' - 3 -1 - 3/3 1 1 -1 -1 - π /2 π 5 π /6 3 π /4 2 π /3 - π /6 - π /4 - π /3 -1/2 - 2 /2 - 3 /2 -1/2- 2 /2- 3 /2 3 /2 2 /2 1/2 3 /2 2 /2 1/2 A π /3 π /4 π /6 3/3 3 B π /2 3/3 1 3 O Góc Hslg 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 360 0 0 6 π 4 π 3 π 2 π 3 2 π 4 3 π 6 5 π π π 2 sin α 0 2 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 0 0 cos α 1 2 3 2 2 2 1 0 2 1 − 2 2 − 2 3 − -1 1 tg α 0 3 3 1 3 kxđ 3 − -1 3 3 − 0 0 cotg α kxđ 3 1 3 3 0 3 3 − -1 3 − kxđ kxđ V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt: Đó là các cung : 35 + − 1. Cung đối nhau : và - α α (tổng bằng 0) (Vd: 6 & 6 ππ − ,…) 2. Cung bù nhau : và - α π α ( tổng bằng π ) (Vd: 6 5 & 6 ππ ,…) 3. Cung phụ nhau : và 2 π α α − ( tổng bằng 2 π ) (Vd: 3 & 6 ππ ,…) 4. Cung hơn kém 2 π : và 2 π α α + (Vd: 3 2 & 6 ππ ,…) 5. Cung hơn kém π : và α π α + (Vd: 6 7 & 6 ππ ,…) 1. Cung đối nhau: 2. Cung bù nhau : cos( ) cos sin( ) sin ( ) cot ( ) cot tg tg g g α α α α α α α α − = − = − − = − − = − cos( ) cos sin( ) sin ( ) cot ( ) cot tg tg g g π α α π α α π α α π α α − = − − = − = − − = − 3. Cung phụ nhau : 4. Cung hơn kém 2 π cos( ) sin 2 sin( ) cos 2 ( ) 2 cot ( ) t 2 tg cotg g g π α α π α α π α α π α α − = − = − = − = cos( ) sin 2 sin( ) cos 2 ( ) 2 cot ( ) t 2 tg cotg g g π α α π α α π α α π α α + = − + = + = − + = − 5. Cung hơn kém π : cos( ) cos sin( ) sin ( ) cot ( ) cot tg tg g g π α α π α α π α α π α α + = − + = − + = + = Ví dụ 1: Tính ) 4 11 cos( π − , 4 21 π tg Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: )3cos()2cos() 2 cos( xxxA ++−++= ππ π 36 Đối cos Bù sin Phụ chéo Hơn kém 2 π sin bằng cos cos bằng trừ sin Hơn kém π tang , cotang VI. Công thức lượng giác: 1. Các hệ thức cơ bản: 2 2 cos sin 1 sin tg = cos cos cotg = sin α α α α α α α α + = 2 2 2 2 1 1 tg = cos 1 1 cotg = sin tg . cotg = 1 α α α α α α + + Ví dụ: Chứng minh rằng: 1. xxxx 2244 cossin1sincos −=+ 2. xxxx 2266 cossin31sincos −=+ 2. Công thức cộng : cos( ) cos .cos sin .sin cos( ) cos .cos sin .sin sin( ) sin .cos sin .cos sin( ) sin Trường THPT chuyên Quang Trung Bài tập LTĐH Lớp 11B-D BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 1 2 2 cos 3 sin 2 1 sinx x x− = + Bài 2 3 3 2 cos 4sin 3cos .sin sin 0x x x x x− − + = Bài 3 Giải phương trình: sin 2 2 tan 3x x + = 3 sin .sin 2 sin 3 6cosx x x x+ = Bài 4 2 cos 2 1 cot 1 sin sin 2 1 tan 2 x x x x x − = + − + (ĐH khối A 2003) Bài 5 sin 3 cos3 2cos 0x x x+ + = Bài 6 3 sin 4sin cos 0x x x− + = Bài 7 2 2 tan .sin 2sin 3(cos 2 sin cos )x x x x x x− = + Bài 8 cos3 4cos 2 3cos 4 0x x x − + − = Bài 9 (2cos 1)(2sin cos ) sin 2 sinx x x x x− + = − Bài 10 cos cos 2 cos3 cos 4 0x x x x+ + + = Bài 11 2 2 2 2 sin sin 3 cos 2 cos 4x x x x+ = + Bài 12 3 3 3 sin cos3 cos sin 3 sin 4x x x x x+ = Bài 13 3 3 2 4sin 3cos 3sin sin cos 0x x x x x+ − − = Bài 14 Giải phương trình: 2 (2sin 1)(3cos 4 2sin 4) 4cos 3x x x x+ + − + = Bài 15 6 6 8 8 sin cos 2(sin cos )x x x x+ = + Bài 16 1 cos .cos 2 .cos 4 .cos8 16 x x x x = Bài 17 3 8cos cos3 3 x x π + = ÷ Bài 18 Giải phương trình: 2 (2sin 1)(2sin 2 1) 3 4cosx x x− + = − Bài 19 Giải phương trình: cos 2 cos8 cos6 1x x x− + = Bài 20 Giải phương trình: sin 4 4 sin 4 cos cos 4 1x x x x− + − = Bài 21 Giải phương trình: 3sin 2cos 2 3x x tgx+ = + Bài 22 Giải phương trình: 3 2cos cos 2 sin 0x x x+ + = Bài 23 Giải phương trình: 2( sin ) 3(cot cos ) 5 0tgx x gx x− + − + = Bài 24 Giải phương trình: 4cos 2 cos 2 cos 4 1x x x − − = Bài 25 Giải phương trình: sin sin 2 sin 3 3 cos cos 2 cos3 x x x x x x + + = + + Bài 26 Giải phương trình: sin .sin 4 2 cos 3 cos .sin 4 6 x x x x x π = − − ÷ Bài 27 Giải phương trình: 2 2 1 sin sin cos sin 2 os 2 2 4 2 x x x x x c π + − = − ÷ Bài 28 Giải phương trình: 2cos 2 sin 2 2(sin cos )x x x x− = + Bài 29 Giải phương trình: 1 cos cos 2 cos3 2 x x x− + = Bài 30 Giải phương trình: 3 sin 2 sin 4 x x π + = ÷ Bài 31 Giải phương trình: 1 sin cos sin 2 cos 2 0x x x x + + + + = Bài 32 Giải phương trình: 2 3 2 3 6tgx tg x tg x cotgx cotg x cotg x+ + + + + = Bài 33 Giải phương trình: 1 sin 3 sin cos 2x x x+ = + Bài 34 Giải phương trình: 4 4 7 sin cos cot .cot 8 3 6 x x g x g x π π + = + − ÷ ÷ Bài 35 Giải phương trình: 2 3 cos 2 2(sin cos ) 3sin 2 3 0x x x x+ + − − = Bài 36 Giải phương trình: 4(sin 3 cos 2 ) 5(sin 1)x x x− = − Bài 37 Giải phương trình: 3 sin 4sin cos 0x x x− + = Bài 38 Giải phương trình: 3 cos10 1 cos8 6cos 3 .cos cos 8cos .cos 3x x x x x x x + + + = + Bài 39 Giải phương trình: 4 4 1 sin cos 4 4 x x π + + = ÷ Bài 40 Giải phương trình: 3 3 2 cos .cos3 sin .sin 3 4 x x x x+ = Bài 41 Giải phương trình: 3 3 3 3 (sin sin 2 sin 3 ) sin sin 2 sin 3x x x x x x+ + = + + Bài 42 Giải phương trình: 3 1 8sin cos sin x x x = + Năm học 2008 – 2009 GV: Phạm Văn Quý Trường THPT chuyên Quang Trung Bài tập LTĐH Lớp 11B-D Bài 43 Giải phương trình: 2 2 2cos 1 3cos 2 3 x x + = Bài 44 Giải phương trình: 6 8 1 sin 3sin 256 x x− = Năm học 2008 – 2009 GV: Phạm Văn Quý Bài tập về công thức lợng giác A. Lý thuyết Công thức cộng Công thức nhân đôi cos( ) cos .cos sin .sin cos( ) cos .cos sin .sin sin( ) sin .cos cos .sin sin( ) sin .cos cos .sin tan tan tan( ) 1 tan .tan tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b = + + = = + = + = + + + = 2 2 2 2 2 sin 2 2sin .cos cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin 2 tan tan 2 1 tan a a a a a a a a a a a = = = = = Công thức biến đổi tích thành tổng Công thức biến đổi tổng thành tích: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 cos .cos cos cos 2 1 sin .sin cos cos 2 1 sin .cos sin sin 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b = + + = + = + + cos cos 2cos .cos 2 2 cos cos 2sin .sin 2 2 sin sin 2sin .cos 2 2 sin sin 2cos .sin 2 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b + + = + = + + = + = Công thức hạ bậc nâng cung Hệ quả của công thức hạ bậc nâng cung 2 2 2 1 cos 2 sin 2 1 cos 2 cos 2 1 cos2 tan 1 cos 2 a a a a a a a + = + = = + 2 2 1 cos 2 2cos 1 cos2 2sin a a a a + = = B. bài tập I. Bài tập về công thức cộng Bài 1. a. Cho 12 sin 13 3 2 2 a a = < < .Tính cos( ) 3 a b. Cho 3 5 sin = và 2 < < . Tính tan( 3 + ) c. Cho 3 a b = . Tính GT của biểu thức 2 2 (cos cos ) (sin sin )C a b a b= + + + Bài 2. a. Cho 2 góc nhọn a, b với 1 1 tan , tan 2 3 a b= = . Tính a+b b. Biết tan( ) , 1 4 m m + = . Tính tan theo m. c. Cho 1 sin 5 (0 , ) 21 sin 10 a a b b = < < = .Chứng minh rằng 4 a b + = d. Cho tanx, tany là nghiệm của phơng trình : at 2 + bt + c = 0 ( 0a ). Tính giá trị của biểu thức S = a.sin 2 (x + y) + b.sin(x + y).cos( x + y) + c.cos 2 (x + y ) e. Cho cos( ) . cos( ) a b m a b n + = Tính tana.tanb Bài 3. : Chứng minh rằng : a. cos( a + b)cos(a - b) = cos 2 a - sin 2 b b. sina.sin( b - c) + sinb.sin( c- a) + sinc.sin( a - b) = 0 c. cosa.sin(b - c) + cosb.sin( c - a) + cosc.sin( a - b) = 0 d. cos( a + b)sin(a - b) + cos( b + c)sin(b - c ) + cos( c + a)sin( c - a) = 0 e. sin( ) sin( ) sin( ) 0 cos .cos cos .cos cos .cos a b b c c a a b b c c a + + = Bài 4. Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có: a. tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC b. cot cot .cot .cot 2 2 2 2 2 2 cot cot A B C A B C + + = c. tan .tan t tan tan tan 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A an+ + = d. cotA. cotB + cotB. cotC + cotC. cotA = 1 Bài 5. Chứng minh rằng : sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b = . áp dụng tính 1 1 1 . cos .cos2 cos2 .cos3 cos( 1) .cos S a a a a n a na = + + + II. Bài tập về công thức nhân đôi và hạ bậc Bài 1. Cho 1 sin , 0 5 2 x x = < < . Tính a. sin2x, cos2x, tan2x, cot2x b. sin 2 x , cos 2 x , tan 2 x , cot 2 x Bài 2. Chứng minh rằng: 2 cot tan sin 2 x x x + = . áp dụng tính: A = 0 0 0 0 tan 9 tan 27 tan 63 tan 81 + Bài 3: Chứng minh rằng: cot tan 2 cot 2x x x = . áp dụng chứng minh: a. cot tan 2 tan 2 4 tan 4 8cot 8x x x x x = b. 8 4 tan 2 tan tan cot 8 16 32 32 + + + = Bài 4. Chứng minh rằng: 1 sin .cos .cos 2 .cos 4 .cos8 sin16 16 x x x x x x= . áp dụng tính: A = 2 cos .cos 5 5 D = 2 3 4 sin .sin sin .sin 5 5 5 5 B = 0 0 0 sin10 .cos 20 .cos 40 E = 0 0 0 0 sin6 .sin 42 .sin66 .sin78 C = 0 0 0 sin10 .sin 50 .sin 70 F = 4 5 cos .cos .cos 7 7 7 Bµi 5. Chøng minh r»ng: a. 4 4 3 1 sin cos cos4 4 4 a a a+ = + b. 6 6 5 3 sin cos cos4 8 8 a a a+ = + c. 1 1 1 1 (1 )(1 )(1 )(1 ) tan8 .cot cos cos2 cos4 cos8 2 a a a a a a + + + + = d. 1 1 cos 2 2 . 2 2 2 2 n π + = + + + + Bµi 6 : Chøng