Chuyên đề lượng giác lớp 11 luyện thi THPT quốc gia

CHUYÊN ĐỀ: LƯỢNG GIÁCCHỦ ĐỀ 1 CUNG LƯỢNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 3 Tiết A.. Giá trị lượng giác của góc cung lượng giác 1... Dạng 1: Xác địn

CHUYÊN ĐỀ: LƯỢNG GIÁC

CHỦ ĐỀ 1 CUNG LƯỢNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

(3 Tiết)

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

I Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác

1 Định nghĩa các giá trị lượng giác

sin tan

cos cot

sin

α α

α α

• sin( α +k2 ) sin π = α • tan( α +kπ ) tan = α

cos(α +k2 ) cosπ = α cot(α +kπ) cot= α

2 Dấu của các giá trị lượng giác

B S

α

T

5 Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

cos( − α ) cos = α sin( π α − ) sin = α sin cos

Góc hơn kém π Góc hơn kém

2 π

sin( π α + ) = − sin α sin cos

sin(a b+ ) sin cos = a b+ sin cosb a

sin(a b− ) sin cos = a b− sin cosb a

cos(a b+ ) cos cos = a b− sin sina b

cos(a b− ) cos cos = a b+ sin sina b

tan tan tan( )

− tan tan tan( )

2 Công thức nhân đôi

sin2 α = 2sin cos α α

1 cos2 sin

2

1 cos2 cos

2

1 cos2 tan

1 cos2

α α

α α

α α

α

−

= +

=

−

= +

3 3

3 2

sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos

3tan tan tan3

cos cos 2cos cos

1 Dạng 1: Xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung:

+ Xác định điểm cuối của cung xem điểm đó thuộc cung phần tư nào, từ đó xác định dấu của các giá trị lượng giác tương ứng.

+ Phải nắm rõ các cung phần tư từ đó xác định dấu của các giá trị lượng giác; để xác định dấu của các giá trị lượng giác ta cần nắm rõ định nghĩa giá trị lượng giác của

trên cung phần tư đó, sau đó chiếu điểm M vuông góc xuống trục sin và trục cos từ đó xác định được sin dương hay âm, cos dương hay âm; tan=sin/cos; cot=cos/sin; dựa vào dấu của sin và cos ta xác định được dấu của tan và cot theo nguyên tắc chia dấu: -/-=+; -/+= -

2 Dạng 2: Tính các giá trị lượng giác của một cung:

+ Nếu biết trước sin α thì dùng công thức: sin 2 α +cos 2 α = 1 để tìm cos α, lưu ý:xác

định dấu của các giá trị lượng giác để nhận, loại tan sin

os

c

α α

α

= ; cot os

sin

c α α

+ Nếu biết trước tan α thì dùng công thức: 2

biến đổi một vế thành vế kia)

4 Dạng 4: Đơn giản các biểu thức lượng giác:

+ Dùng các hệ thức cơ bản và giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt Giá trị lg của các góc có liên quan đặc biệt:“sin bù,cos đối,phụ chéo,hơn kém tan sai π”

4 os

sin os 1 os 1 sin

4 25

2

5 os

Các bài tập còn lại làm tương tự.

Bài tập 2.2: Biết sin 1

4 2 sin 2 2sin cos

7

a= −

Bài tập 2.4: Cho sin 2 5

Bài tập 3.1: Chứng minh các đẳng thức lượng giác:

a) sin3 os3 1 sin cos

+ + Biến đổi: sin 2a c− os 2a=(sina+ cosa) (sina− cosa), chia tử và

mẫu cho cos a

c) sin 4a c+ os 4a− sin 6a c− os 6a= sin 2acos 2a Biến đổi:

sin a c+ os a= sin a+ cos a sin a− sin acos a c+ os a

d) t ana tan tan a tan

2 sin os 1 2sin cos 2 sin os sin os 2sin cos

sin cos sin cos

m) tan 2a− sin 2a= tan a sin 2 2a

n) t ana sin cos

−

p) 2 2 2 2

os sin

sin os cot tan

1 sin 2 cos sin

sinx cos sin x cos

c x

2 cos

x VT

l) cos sin cos sin 2 tan 2

cos sin cos sin

2 2 2

s) sin sin 3 sin 5 tan 3

Bài tập 4.1: Đơn giản các biểu thức sau:

a) A= −(1 sin 2a)cot 2a+ − 1 cot 2a

2

2

os cot sin cot 1 cot 1 sin sin

b) 2cos2 1

sin cos

a B

sin 2sin cos os 1 2sin cos sin

k) 2cos2 1

sin cos

a K

−

=

Bài tập 4.2: Đơn giản các biểu thức:

a) A= sin 10 2 0 + sin 20 2 0 + sin 30 2 0 + + sin 80 2 0 ( 8 số hạng)

(sin 10 2 0 sin 80 2 0) (sin 20 2 0 sin 70 2 0) (sin 30 2 0 sin 60 2 0) (sin 40 2 0 sin 50 2 0)

(sin 10 2 0 cos 10 2 0) (sin 20 2 0 cos 20 2 0) (sin 30 2 0 cos 30 2 0) (sin 40 2 0 cos 40 2 0) 4

b) B c= os10 0 +cos20 0 +cos30 0 + + cos180 0 (18 số hạng)

( os10 0 os170 0) ( os20 0 os160 0) ( os90 0 os180 0)

d) D= tan10 tan 20 tan 70 , tan 80 0 0 0 0

( an10 tan 80 0 0) (tan 20 tan 70 0 0) ( an 30 tan 60 0 0) (tan 40 tan 50 0 0)

e) E c= os20 0 +cos40 0 +cos60 0 + + cos180 0

( os20 0 os160 0) ( os40 0 os140 0) os180 0 1

(cos160 0 =cos 180( 0 − 20 0) = −cos20 0 ; tương tự những phần còn lại nên cos20 0 +cos160 0 = 0 )

D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Câu 2: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?

A cos 45o = sin135 o B.cos 120o= sin 60o. C cos 45o = sin 45 o

D cos30o = sin120 o

Câu 3: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai: Với mọi Với mọi α ; β ta có:

A cos( + )=cos +cos α β α β C tan( α β + ) tan = α + tan β

B cos( - )=cos cos -sin sin α β α β α β D tan (α- β) =

β α

β α

tan tan 1

tan tan

cos

4 sin

1

tan

α α

B cos( + )=cos cos -sin sin α β α β α β D sin( α β + ) sin = αcos -cos sin β α β

A A= 2sinx B A= −2sinx C A= 0 D A= − 2cotx

Câu 7: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:

A (sinx + cosx)2 = 1 + 2sinxcosx B (sinx – cosx)2 = 1 – 2sinxcosx

C sin4x + cos4x = 1 – 2sin2xcos2x D sin6x + cos6x = 1 – sin2xcos2x

Câu 8: Tính giá trị của biểu thức P= tan α − tan α sin 2 α nếu cho

) 2

3 (

C

2

2 ) 1 ( ) 2 4

sin( π + πk = − k D k ) ( 1 )k

2 sin(π + π = −

Câu 12: Giá trị os[ (2 1) ]

Câu 13: Trong 20 giây bánh xe của xe gắn máy quay được 60 vòng.Tính độ dài

quãng đường xe gắn máy đã đi được trong vòng 3 phút,biết rằng bán kính bánh xegắn máy bằng 6,5cm (lấy π = 3,1416 )

Câu 14: Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài 10,57cm và kim phút dài 13,34cm.Trong

30 phút mũi kim giờ vạch lên cung tròn có độ dài là:

Câu 17: Cho cot

x x

si

tan cos

Câu 19: Đơn giản biểu thức G = ( 1 − sin 2 x) cot 2 x+ 1 − cot 2 x

Câu 20: Tính M = tan1 tan 2 tan 3 tan89 0 0 0 0

3 Hµm sè y = tan x.

π/4 -π/4

π/4 -π/4 0

c − ≤ 1 sinx 1 ; -1 cosx 1 ≤ ≤ ≤ 1 sinx 0 &1 cos ± ≥ ± x≥ 0

Bài 2: Tìm tập xác định của các hàm số:

1/ 1 cos

sin

x y

x

−

= xác định khi và chỉ khisinx≠ ⇔ ≠0 x kπ, k∈Â Vậy tập xác định của hàm số đã cho là

2/ Hàm số y = 2 cos3− x xác định khi và chỉ khi 2 cos3− x≥0 Mà

2 cos3− x≥ ∀ ∈0 x Ă Vậy hàm số đã cho có tập xác định là D=Ă

Phương phỏp: Bước 1 : Tỡm TXĐ: D ; Kiểm tra x ∈D ⇒−x∈D, ∀x

Bước 2 : Tớnh f(-x) ; so sỏnh với f(x) Cú 3 khả năng

+) Nếu f(-x) = f(x) thỡ f(x) là hàm số chẵn

+) Nếu f(-x) = - f(x) thỡ f(x) là hàm số lẻ

+) Nếu f(-x) ≠ - f(x) ≠ f(x) thỡ f(x) là hàm số khụng chẵn khụng lẻ

Lưu ý: Một số nhận xét nhanh để xét tớnh chẵn lẻ của hàm số lượng giỏc

+ Tổng hoặc hiệu của hai hàm chẵn là hàm chẵn

+ Tớch của hai hàm chẳn là hàm chẵn, tớch của hai hàm lẻ là hàm chẵn

+ Tớch của một hàm chẵn và hàm lẻ là hàm lẻ

+ Bỡnh phương hoặc trị tuyệt đối của hàm lẻ là hàm chẵn (Áp dụng điều này chỳng ta

cú thể xét tớnh chẵn lẻ của hàm số lượng giỏc một cỏch nhanh chúng để làm trắc nghiệm nhanh chúng hơn nhiều)

2.2 Bài tập luyện tập

Bài tập: Xác định tính chẵn, lẻ của các hàm số:

• Hàm số y = f(x) luôn nghịch biến trên đoạn [ ]a b; thì

[ ] a ; ax ( ) = ( ) ; min ( ) [ ] a; = ( )

b b

Dạng 4.Tìm chu kỳ của hàm sốlượng giác

Phương pháp giải: Khi tìm chu kì của hàm số lượng giác, ta cần biến đổi biểu thứccủa hàm số đã cho về một biểu thức tối giản và lưu ý rằng:

1) Hàm số y = sinx , y = cosx có chu kỳ T = 2π

2) Hàm số y = tanx , y = cotx có chu kỳ T = π

3) Hàm số y = sin(ax+b) , y = cos(ax+b), với a 0≠ có chu kỳ T = 2π

a

4) Hàm số y = tan(ax+b) , y = cot(ax+b), với a 0 ≠ có chu kỳ T = π

a 5) Hàm số f1 có chu kỳ là T1 , hàm số f2 có chu kỳ là T2 thì hàm số f1 ± f2 có chu kỳ

Bài 2 Tìm chu kỳ của hàm số 2cot 4

Câu 2 Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A y= cosx B y= sinx C y=tanx D y=cotx

Câu 3 Khẳng định nào sau đây là SAI?

A Hàm số y= cotx có tập giá trị là [ ]0; π

B Hàm số y= sinx có tập giá trị là[− 1;1]

Câu 9 Biết rằng y = f(x) là một hàm số lẻ trên tập xác định D Khẳng định nào sai?

A f[sin(– x)] = – f(sinx) B f[cos(– x)] = f(cosx).

C sin[ f(– x)] = sin[ f(x) ] D cos[ f(– x)] = cos[ f(x) ].

Câu 10 Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ trên tập xác định của nó?

x B sin2

1 cos

= +

x y

x C y = 2

cos +

x y

= +

x y

x Câu 19 Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y= 4 sinx+ − 3 1 lần lượt là:

A 2 à 2v B 2 à 4v C 4 2 à 8v D 4 2 1 à 7 − v Câu 20 Hàm số y= sin 2x+ cos3x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ

Câu 23 Gọi S là tập giá trị của hàm số sin2 3 3cos 2

= x+ −

y x Khi đó tổng các giá trị nguyên của S là:

- Khả năng 1: Nếu m đợc biểu diễn qua cos của góc đặc biệt, giả sử gócα Khi đó phơng trình có dạng

3 Giải và biện luận phơng trình lợng giác tanx m c= ( )

Nhận xét: Nh vậy với mọi giá trị của tham số phơng trình luôn có nghiệm

4 Giải và biện luận phơng trình lợng giác cotx m= ( )d

Bíc1: §Æt ®iÒu kiÖn sinx≠ ⇔ ≠0 x kπ k∈¢

2 3

arcsin 2 3

II Một số phơng trình lợng giác thờng gặp.

2.1- Phơng trình bậc hai đối với một hàm số lợng giác

Dạng 1: asin 2x b+ sinx c+ = 0 (a≠ 0; , ,a b c∈Ă (1) )

Cách giải: Đặt t =sinx , điều kiện | |t ≤1

Đa phơng trình (1) về phơng trình bậc hai theo t , giải tìm t chú ý kết hợp với điều kiện rồi giải tìm x

Dạng 2: acos2x b+ cosx c+ = 0 (a≠ 0; , ,a b c∈ Ă ) (2)

Cách giải: Đặt t=cosx điều kiện | |t ≤1 ta cũng đa phơng trình (2) về

ph-ơng trình bậc hai theo t, giải tìm t rồi tìm x

Dạng 3: atan2x b+ tanx c+ =0 (a≠0; , ,a b c∈Ă ) (3)

2

x≠ ⇔ ≠ +x π kπ k∈Â

Đặt t =tanx (t∈Ă ) ta đa phơng trình (3) về phơng trình bậc hai theo t,

chú ý khi tìm đợc nghiệm x cần thay vào điều kiện xem thoả mãn hay

không

Dạng 4: acot2x b+ cotx c+ =0 (a ≠0; , ,a b c∈Ă ) (4)

Cách giải: Điều kiện sinx ≠ ⇔ ≠0 x kπ k∈Â

Đặt t =cotx (t∈Ă ) Ta cũng đa phơng trình (4) về phơng trình bậc hai theo ẩn t.

Bài tập minh họa :

Bài tập 1: Giải phơng trình 2cos2x−3cosx+ =1 0 (1)

Giải: Phơng trình (1)

2 cos 1

,

cos

3 2

x k x

2.2- Phơng trình bậc nhất đối với sin ,cosx x

a) Định nghĩa: Phơng trình asinx b+ cosx c= (1) trong đó a, b, c∈Ă và

2 2 0

a +b > đợc gọi là phơng trình bậc nhất đối với sin ,cosx x

b) Cách giải Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau:

Cách 1: Thực hiện theo các bớc

=

+ và phơng pháp đánh giá cho một số phơng trình lợng giác

Ví Dụ minh hoạ:

Ví Dụ 1: Giải phơng trình: sin 2x− 3cos 2x= 3 (1)

Giải :Cách 1: Chia cả hai vế phơng trình (1) cho 1 2 + 3 2 = 10 ta đợc

sin 2 3(1 cos 2 ) 2sin cos 6cos

(sin 3cos )cos 0

Vậy phơng trình có hai họ nghiệm

Chú ý: Khi làm bài toán dạng này chúng ta nên kiểm tra điều kiện trớc khi bắt

tay vào giải phơng trình bởi có một số bài toán đã cố tình tạo ra những

ph-ơng trình không thoả mãn điều kiện Ta xét ví dụ sau:

Ví Dụ 2: Giải phơng trình 2 2(sinx+ cos )cosx x= + 3 cos 2x ( )2

Suy ra a2 +b2 <c2 Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm

Ngoài ra chúng ta cần lu ý rằng việc biến đổi lợng giác cho phù hợp với từng bài toán sẽ biểu diễn chẵn các họ nghiệm Ta xét ví dụ sau

Ví Dụ 3: Giải phơng trình: cos7x− sin 5x= 3(cos5x− sin 7 ) (4)x

k Z k

2.3- Phơng trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x.

a) Định nghĩa: Phơng trình thuần nhất bậc hai đối với sin x ,cos x là phơng trình.

asin 2x b+ sin cosx x c+ cos 2x d= (1) trong đó a, b, c, d ∈Ă

b) Cách giải :

Chia từng vế của phơng trình (1) cho một trong ba hạng tử sin ,cos 2x 2x

hoặc sin cosx x Chẳng hạn nếu chia cho cos x2 ta làm theo các bớc sau:

Bớc 2: Với cosx≠0 chia cả hai vế cho cos x2 lúc đó phơng trình (1) trở thành

atan 2x b+ tanx c d+ = (1 tan ) + 2x ⇔ − (a d) tan 2x b+ tanx c d+ − = 0

Đây là phơng trình bậc hai theo tan ta đã biết cách giải.

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc 2 1 cos2 2 1 cos 2 sin 2

đa phơng trình đã cho về phơng trình bsin 2x+ −(c a)cos2x d c a= − −

Đây là phơng trình bậc nhất đối với sin và cos ta đã biết cách giải

*Chú ý: Đối với phơng trình đẳng cấp bậc n (n≥3) với dạng tổng quát

(sin ,cos ,sinn n k cos ) 0h

A x x x x = trong đó k h n k h n+ = ; , , ∈Ơ

Khi đó ta cũng làm theo 2 bớc :

Bớc 1: Kiểm tra xem cosx=0 có phải là nghiệm của phơng trình hay không?

Bớc 2: Nếu cosx≠0.Chia cả hai vế của phơng trình trên cho cosn x ta sẽ đợc phơng trình bậc n theo tan Giải phơng trình này ta đợc nghiệm của phơng trình ban đầu.

Ví Dụ Minh Hoạ:

Ví Dụ 1: Giải phơng trình : 2 3 cos 2x+ 6sin cosx x= + 3 3 (1)

+)Với cosx ≠0 Chia cả hai vế của phơng trình cho cos x2 ta đợc

2 3 6 tan + x= + (3 3)(1 tan ) + 2x ⇔ + (3 3) tan 2x− 6tanx+ − 3 3 0 =

Vậy phơng trình có hai họ nghiệm

* Chú ý: Không phải phơng trình nào cũng ở dạng thuần nhất ta phải thực

Phơng trình (2)

3 3

2 2 sin ( ) 4sin 2 sin( ) 4sin

+) Với cosx≠ 0 Chia cả hai vế của phơng trình (2) cho cos x3 ta đợc :

(tanx− 1) 3 = 4(1 tan + 2x) tanx⇔ 3tan 3x+ 3tan 2x+ tanx− = 1 0

*Chú ý: Ngoài phơng pháp giải phơng trình thuần nhất đã nêu ở trên có

những phơng trình có thể giải bằng phơng pháp khác tuỳ thuộc vào từng bài toán để giải sao cho cách giải nhanh nhất ,khoa học nhất.

Ví Dụ 3: Giải phơng trình: 1 tan 1 sin 2

1 tan

x

x x

cos sin cos sin

2 ( 2 ) ( )3 3 2 ( 2 )

1 tan + x− + 1 tan x tanx= + 1 tanx ⇔ tan x+ tan x+ 2 tanx= ⇔ 0 tan x+ tanx+ 2 tanx= 0 (*)

(do tan 2x+ tanx+ = 2 0 vô nghiệm) nên:

4 4

2.4-Phơng trình đối xứng đối với sin x và cos x.

a) Định nghĩa: Phơng trình đối xứng đối với sin x và cos x là phơng trình dạng

(sina x+ cos )x +bsin cosx x c+ = 0 trong đó , ,a b c∈ Ă (1)

b) Cách giải:

Cách 1: Do a(sinx cosx+ ) 2 = + 1 sin cosx x nên ta đặt

b x+ x− + =c Đây là phơng trình bậc hai đã biết cách giải

*Chú ý: Hai cách giải trên có thể áp dụng cho phơng trình

a x− x +b x x c+ = bằng cách đặt t= sinx− cosx ⇒ sin cos 1 2

2

t

x x= −

Ví Dụ Minh Hoạ :

Ví Dụ 1: Giải phơng trình sinx+cosx−2sin cosx x+ =1 0 (1)

z z

cos

3 2

2 4

VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm

VÝ Dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh tanx− 3 cotx−sinx+ 3 cosx+ −1 3 0= (3)

Gi¶i:§iÒu kiÖn sin 2 0

2

k

x≠ ⇔ ≠x π k∈¢

(3)⇔ tanx−sinx− 3(cotx−cos ) 1x + − 3 0=

1 (sin sin cos cos ) 3 (sin sin cos cos ) 0

2

t

x x= − .

 = −

⇔ 

= +



KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (*) th× t= +1 2 bÞ lo¹i

Víi t = −1 2 ta cã 2 cos( ) 1 2 cos( ) 1 2 cos

⇔ (8 6sin 2 )sin 2 − 2 x x= − 4 2sin 2 2 x⇔ 3sin 23 x−sin 22 x−4sin 2x+ =2 0

⇔ (sin 2x− 1)(3sin 2 2 x+ 2sin 2x− = 2) 0 ⇔ sin 22 1 0

Câu 2 Phương trình tan tan 3

, 4

B

,

8 2 , 4

C

,

8 2 , 4

D

Câu 10 Nghiệm của phương trình sin(π cosx) = 1 là:

Câu 11 Phương trình 3 2sin sin 3+ x x= 3cos 2x là:

Câu 15 : Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

A 3 sin 2x− cos 2x= 2 B 3sinx− 4cosx= 5

Câu 23 : Tìm m để pt 2sin2 x + m.sin2x = 2m vô nghiệm:

A 0 < m < 4

4 0

KIỂM TRA CUỐI CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC

CHỦ ĐỀ

Mức độ nhận thức

TỔNGNhận

biết

Thônghiểu

Vậndụngthấp

VậndụngcaoCung và góc lượng giác

Giá trị lượng giác của

Câu 1: Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung lượng giác nào trong các

cung lượng giác có số đo dưới đây có cùng ngọn cung với cung lượng giác có số đo

Câu 5: Giả sử tan tan   tan    

Câu 8: Nếu tanα và tanβ là hai nghiệm của phương trình x 2 –px+q=0 và cotα và cotβ

là hai nghiệm của phương trình x 2 –rx+s=0 thì rs bằng:

= +

x y

x Câu 13 Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y= 4 sinx+ − 3 1 lần lượt là:

Câu 16 Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm

A 3sinx – 5 = 0 B 2cos3x – 1 = 0 C 2cosx + 5 = 0 D sin3x + 2 = 0

Câu 17 Nghiệm dương bé nhất của phương trình : 2sin2x+5sinx− =3 0 là :

Câu 21 Phương trình cos2x – 7cosx - 3 = 0 có nghiệm là

x = +π k π x= π +k π B) 2

23