Chuyên đề lượng giác lớp 11 luyện thi THPT quốc gia

Chuyên đề lượng giác lớp 11 luyện thi THPT quốc gia Chuyên đề lượng giác lớp 11 luyện thi THPT quốc gia Chuyên đề lượng giác lớp 11 luyện thi THPT quốc gia Chuyên đề lượng giác lớp 11 luyện thi THPT quốc gia Chuyên đề lượng giác lớp 11 luyện thi THPT quốc gia Chuyên đề lượng giác lớp 11 luyện thi THPT quốc gia

CHUYÊN ĐỀ: LƯỢNG GIÁC CHỦ ĐỀ CUNG LƯỢNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC (3 Tiết) cosα = x = OH sinα = y = OK sinα tanα = = AT cosα cosα cotα = = BS sinα sin I Giá trị lượng giác góc (cung) lượng giác Định nghĩa giá trị lượng giác Cho (OA,OM ) = α Giả sử M (x; y) tang A KIẾN THỨC CƠ BẢN B K   π  α ≠ + kπ ÷   T cotang S M α O ( α ≠ kπ ) H A cosin Nhận xét: • ∀α , − ≤ cosα ≤ 1; − 1≤ sinα ≤ • tanα xác định α ≠ π + kπ , k ∈ Z • sin(α + k2π ) = sinα • cotα xác định α ≠ kπ , k ∈ Z • tan(α + kπ ) = tanα cos(α + k2π ) = cosα cot(α + kπ ) = cotα Dấu giá trị lượng giác Phần tư Giá trị lượng giác cosα sinα tanα cotα Giá trị lượng giác góc đặc biệt I II III IV + + + + – + – – – – + + + – – – π π π π 2π 3π π 3π 2π 00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600 sin 2 3 2 –1 cos 2 2 –1 tan 3 3 3 cot − − 2 − –1 3 –1 − 0 Hệ thức bản: sin2α + cos2α = 1; tanα cotα = 1; 1+ tan2 α = cos2 α ; 1+ cot2 α = sin2 α Giá trị lượng giác góc có liên quan đặc biệt Góc đối Góc bù Góc phụ cos(−α ) = cosα sin(π − α ) = sinα π  sin − α ÷ = cosα 2  sin(−α ) = − sinα cos(π − α ) = − cosα π  cos − α ÷ = sinα 2  tan(−α ) = − tanα tan(π − α ) = − tanα π  tan − α ÷ = cotα 2  cot(−α ) = − cotα cot(π − α ) = − cotα π  cot  − α ÷ = tanα 2  π Góc π Góc sin(π + α ) = − sinα π  sin + α ÷ = cosα 2  cos(π + α ) = − cosα π  cos + α ÷ = − sinα 2  tan(π + α ) = tanα π  tan + α ÷ = − cotα 2  cot(π + α ) = cotα π  cot + α ÷ = − tanα 2  II Công thức lượng giác Công thức cộng sin(a + b) = sin a.cosb + sin b.cosa tan(a + b) = tana + tanb 1− tan a.tan b tan(a − b) = tana − tanb 1+ tan a.tanb sin(a − b) = sin a.cosb− sin b.cosa cos(a + b) = cosa.cosb − sin a.sin b cos(a − b) = cosa.cosb+ sin a.sin b Công thức nhân đôi sin2α = 2sinα cosα cos2α = cos2 α − sin2 α = 2cos2 α − = 1− 2sin2 α tan2α = 2tanα 1− tan2 α 1− cos2α 1+ cos2α cos α = − cos2 α tan2 α = 1+ cos2α sin2 α = Công thức biến đổi tổng thành tích ; cot2α = cot2 α − 2cotα sin3α = 3sinα − 4sin3 α cos3α = 4cos3 α − 3cosα 3tanα − tan3 α tan3α = 1− 3tan2 α tana + tan b = sin(a + b) cosa.cosb tana − tanb = sin(a − b) cosa.cosb a+ b a− b cos 2 cot a + cot b = sin(a + b) sina.sin b a+ b a− b sin 2 cot a − cot b = sin(b − a) sina.sin b cosa + cosb = 2cos a+ b a− b cos 2 cosa − cosb = − 2sin sin a + sin b = 2sin sina − sinb = 2cos a+ b a− b sin 2   π π sinα + cosα = 2.sin α + ÷ = 2.cos α − ÷ 4 4     π π sinα − cosα = 2sin α − ÷ = − 2cos α + ÷  4  4 Cơng thức biến đổi tích thành tổng B KỸ NĂNG CƠ BẢN Dạng 1: Xác định dấu giá trị lượng giác cung: + Xác định điểm cuối cung xem điểm thuộc cung phần tư nào, từ xác định dấu giá trị lượng giác tương ứng + Phải nắm rõ cung phần tư từ xác định dấu giá trị lượng giác; để xác định dấu giá trị lượng giác ta cần nắm rõ định nghĩa giá trị lượng giác cung α thực sau: Vẽ đường tròn lượng giác, trục đứng(Oy) trục sin, trục nằm (Ox) trục cosin; α thuộc cung phần tư ta cho điểm M nằm cung phần tư đó, sau chiếu điểm M vng góc xuống trục sin trục cos từ xác định sin dương hay âm, cos dương hay âm; tan=sin/cos; cot=cos/sin; dựa vào dấu sin cos ta xác định dấu tan cot theo nguyên tắc chia dấu: -/-=+; -/+= - Dạng 2: Tính giá trị lượng giác cung: + Nếu biết trước sin α dùng cơng thức: sin α + cos 2α = để tìm cosα , lưu ý:xác định dấu giá trị lượng giác để nhận, loại tan α = cot α = tan α + Nếu biết trước cosα tương tự sin α cosα ; cot α = cosα sin α + Nếu biết trước tan α dùng cơng thức: + tan α = để tìm cosα , lưu ý: cos 2α xác định dấu giá trị lượng giác để nhận, loại sin α = tan α cosα , cot α = tan α Dạng 3: Chứng minh đẳng thức lượng giác: Sử dụng đẳng thức đại số (7 đẳng thức đáng nhớ) đẳng thức lượng giác để biến đổi vế thành vế biến đổi vế thành vế kia) ( a ± b ) = a ± 2ab + b ( a ± b ) = a3 ± 3a 2b + 3ab2 ± b3 a + b3 = ( a + b ) ( a − ab + b ) a − b3 = ( a − b ) ( a + ab + b ) a − b2 = ( a + b ) ( a − b ) sin α + cos 2α = π   tan α cot α = k , k  ữ   π   + tan α =  α ≠ + kπ , k ∈ ¢ ÷ cos α   1 + cot α = ( α ≠ kπ , k ∈ ¢ ) sin α sin α cosα tan α = ; cot α = cosα sin α Dạng 4: Đơn giản biểu thức lượng giác: + Dùng hệ thức giá trị lượng giác góc có liên quan đặc biệt Giá trị lg góc có liên quan đặc biệt:“sin bù,cos đối,phụ chéo,hơn tan sai π ” + Chú ý: Với k ∈ ¢ ta có: sin ( α + k 2π ) = sin α cos ( α + k 2π ) = cosα tan ( α + kπ ) = tan α cot ( α + kπ ) = cot α C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Dạng 1: Bài tập 1.1: Cho π < α < π Xác định dấu giá trị lượng giác:  3π  −α ÷   a) sin    b) cos  α + π ÷ 2 c) tan ( α + π ) π  d) cot  α − ÷ Giải a) π π π 3π  3π  − α ÷> < α < π ⇒ −π < −α < − ⇒ < − α < π sin  2 2     Dạng 2: Bài tập 2.1: Tính giá trị lượng giác góc α biết: π với < α < π π cosα = , < α < 13 3π tan α = − , < α < 2π 3π cot α = −3, < α < 2π 2 π sin α = − , < α < 3π cosα = 0,8 với < α < 2π 13 π ,0 < α < 19 π cot α = − , < α < π 3π cosα = − , π < α < 2 π sin α = , < α < π π tan α = , < α < 3π cot α = − , < α < 2π 19 a) sin α = g) tan α = b) h) c) d) e) f) i) j) k) l) Giải a) Do π < α < π nên cosα < 0, tan α < 0, cot α <  cosα = ( loai )  16 sin α + cos 2α = ⇒ cos 2α = − sin α = ⇔ 25 cosα = − ( nhan )  tan α = c) Do sin α = − ; cot α = − cosα 3π < α < 2π nên sin α < 0, cosα > 0, cot α <  cosα = ( nhan )  25 41 2 + tan α = ⇒ cos α = ⇔ cos 2α 41  cosα = − 41 ( loai ) sin α = cosα tan α = − 41 ; cot α = =− 41 tan α Các tập lại làm tương tự Bài tập 2.2: Biết sin a = a) Do π α < a < π Hãy tính giá trị lượng giác góc: 2α ; 2 π 2 < a < π nên cos a < ⇒ cos a = − sin 2a = 2sin a cos a = − cos2a = cos a − sin a = tan 2a = b) ;cot a = π π α π α α < a < π ⇒ < < ⇒ cos > 0,sin > 2 2 sin a − cos a a − cos a 3+ 2 = ⇒ sin = = 2 2 cos a + cos a 3−2 = = 2 t an a a = + 2; cot = − 2 2 Bài tập 2.3: Tính cos2a,sin 2a, tan 2a biết: a) cos a = − 3π , π