+ Đường phân giác: l a = 2 .cos 2 A bc bc l b = 2 .cos 2 B ac ac l a = 2 .cos 2 C ab ab + Mở rộng định lí sin và cosin: cotA = 2 2 2 4 b c a s cotB = 2 2 2 4 a c b s cotC = 2 2 2 4 a b c s 1) 22 22 cos sin cot tan xx xx = sin 2 xcos 2 x 2) 2 2 2 1 (1 cot )( 1) cos 1 tan x x x = 1 3) cosx + cos(2/3 - x) + cos(2/3 - x) = 0 4) sin(a + b)sin(a - b) = sin 2 a -sin 2 b = cos 2 b - cos 2 a 5) 22 22 tan tan 1 tan tan ab ab = tan(a +b)tan(a - b) 6) cos 3 xsinx - sin 3 xcosx = 1 4 sin4x 7) cos sin cos sin xx xx = 1 cos2x - tan2x 8) sin2 2sin sin2 2sin xx xx = -tan 2 2 x 9)sin3xcos 3 x +sin 3 xcos3x = 3 4 sin4x 10)sinx - sin2x +sin3x = 4cos 3 2 x cosxsin 2 x 11) sinx +2sin3x + sin5x = 4sin3xcos 2 x 12) 4 4 2 2 2 sin cos cos cos 2(1 cos ) 2 x x x x x 13) A = sin(x + 5 2 ) - 3cos(x - 7 2 ) + 2sin(x + ) 14)B= 11 sin cos 5sin 22 x x x 15) os os 2 sin os 2 C c c c 16) D= 2cosa-3cos(+a)-5sin(/2-a)+cot( 3 2 - a) 17) cos( - a) - 2sin(3/2 + a) + tan( 3 2 - a ) + cot(2 - a) 18) A = cos 4 a + cos 2 asin 2 a +sin 2 a 19) B = cos4a - sin4a + 2sin 2 a 20) C = 2(sin 6 a + cos 6 a) - 3(sin 4 a + cos 4 a) 21)D = 1 cot 1 cot a a - 2 tan 1a 22)E = 2 sin4 4cosaa + 42 cos 4sinaa 23)F=cos 2 a+sin(30 0 +a)sin(30 0 -a) 24)G=sin 6 a+cos 6 a+3sin 2 acos 2 a 25) H = 44 66 sin cos 1 sin cos 1 aa aa 26) Biết sina + sinb = 2sin(a + b) với (a + b) k2 tính tan 2 a .tan 2 b 27) Tính sin2x nếu: 5tan 2 x - 12tanx - 5 = 0 ( 4 < x < 2 ) 28) A = cos20 0 cos40 0 cos60 0 cos80 0 29) B = cos 7 .cos 4 7 .cos 5 7 30) C = sin6 0 .sin42 0 .sin66 0 .sin78 0 31) Tính: E = sin5 0 .sin15 0 sin25 0 .sin35 0 . sin85 0 32) Tính: F = sin 18 .sin 3 18 .sin 5 18 .sin 7 18 . sin 9 18 33) A = sin37 0 .cos53 0 + sin127 0 .cos397 0 34) A = tan110 0 + cot20 0 35) Tính sin15 0 và cos15 0 36)a) A = tan20 o .tan40 o .tan60 o .tan80 o b) B = 1 2sin10 o - 2sin70 o , M = cos 5 - cos 2 5 c) C = sin 4 16 + sin 4 3 16 + sin 4 5 16 + sin 4 7 16 d) D = tan 2 12 + tan 2 3 12 + tan 2 5 12 e)E =tan9 o -tan27 o -tan63 o +tan81 o . f) F = cos 6 16 + cos 6 3 16 + cos 6 5 16 + cos 6 7 16 g) G 1 = sin18 o .cos18 o ; G 2 = sin36 o .cos36 o h) H = cos 2 7 + cos 4 7 + cos 6 7 i)I=sin 5 +sin 23 5 +sin 6 +cos 13 5 k)K=cos 5 +cos 2 5 +cos 3 5 +cos 4 5 36’). Với a ≠ k (k Z) c/m: a) cosa.cos2a.cos4a cos16a = sin32 32.sin a a b) cosa.cos2a.cos4a cos2 n a = 1 1 sin2 2 sin n n a a 37.tính a) A=cos20 o .cos40 o .cos60 o b)B=sin6 o .sin42 o .sin66 o .sin78 o . c)C = cos 7 . cos 4 7 . cos 5 7 . d)D= sin 18 .sin 3 18 .sin 5 18 .sin 7 18 . sin 9 18 . e)E=cos 65 . cos 2 65 . cos 4 65 . cos 8 65 . cos 16 65 . cos 32 65 . F=cos 15 .cos 2 15 .cos 3 15 .cos 4 15 cos 7 15 . G= sin5 o . sin15 o .sin25 o sin85 o . H= 96 3 .sin 48 .cos 48 . cos 24 . cos 12 . cos 6 . I=16.sin10 o .sin30 o .sin50 o .sin70 o . K= sin10 o .sin20 o .sin30 o sin80 o . L=cos9 o .cos27 o .cos45 o .cos63 o .cos81 o .cos99 o .cos117 o .cos135 o .cos153 o .cos171 o . 38 Rút gọn các biểu thức sau: a) A = sin3x.sin 3 x + cos3x.cos 3 x b) B = 1 cos sin x x [1 + 2 2 (1 cos ) sin x x ] c) C = cos3x.cos 3 x - sin3x.sin 3 x 39 Chứng minh rằng : a) cos15 sin15 cos15 sin15 oo oo = 3 b) sin75 cos75 cos75 sin75 oo oo = 1 3 c) 4.cosx.cos( 3 - x).cos( 3 + x) = cos3x. d) 4.sinx.sin( 3 - x).sin( 3 + x) = sin3x. e) tanx.tan( 3 - x).tan( 3 + x) = tan3x áp dụng tính .A = sin20 o .sin40 o .sin80 o . B = cos10 o .cos20 o .cos30 o cos80 o . C = tan20 o .tan40 o .tan60 o .tan80 o . f) sin 6 x + cos 6 x = 5 8 + 3 8 cos2x g) tanx = 1 cos2 sin2 x x A/D tính A=sin 6 ( 24 )+cos 6 ( 24 ) B=tan 2 ( 12 )+tan 2 (3. 12 )+tan 2 (5. 12 ) h) sin 4 x= 3 1 1 cos2 cos4 8 2 8 xx i) sin 8 x + cos 8 x = 35 7 1 cos4 cos 64 16 16 xx A/D tính A=sin 8 ( 24 )+cos 8 ( 24 ) B=sin 4 ( 16 )+sin 4 (3. 16 )+sin 4 (5. 16 )+sin 4 (7. 16 ) 40 tính A=cos( 2 7 )+cos( 4 7 )+cos( 6 7 ) B=cos( 5 )+cos( 2 5 )+cos( 3 5 )+cos( 4 5 ) 41. Cho: sin2a + sin2b = 2sin2(a + b). Tính: tana.tanb. 42 CMR: 00 00 sin75 cos75 sin75 cos75 = 1 3 43Chứng minh rằng diện tích tam giác có thể tính theo các công thức sau: S = 22 ( ).sin . sin 2.sin( ) a b A B AB = 1 4 (a 2 sin2B + b 2 sin2A) = p 2 .tan 2 A tan 2 B tan 2 C = 2R 2 .sinA.sinB.sinC. 44Chứng minh các đẳng thức sau: a) a.sin(B - C) + b.sin(C - A) + c.sin(A - B) = 0 b) (b - c)cot 2 A +(c - a)cot 2 B + (a - b)cot 2 C = 0. c) (b 2 - c 2 )cotA +(c 2 - a 2 )cotB+(a 2 - b 2 )cotC = 0. d) 2p = (a + b)cosC + (a + c)cosB+(a + b)cosC. e) sin 2 BC = bc a cos 2 A . f) cos 2 BC = bc a sin 2 A . g) b.cosB + c.cosC = a.cos(B - C).h) cosA + cosB = 2 ab c sin 2 2 C . i) 1 r = 1 a h + 1 b h + 1 c h . 45. Tam giác ABC có 2a = b + c chứng minh rằng: a) 2sinA = sinB + sinC. b) tan 2 B . tan 2 C = 1 3 . 46. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác. Chứng minh rằng: a) r = 4R.cos 2 A .cos 2 B .cos 2 C . b)IA.IB.IC=4Rr 2 . c)cosA+cosB+cosC= 1 + r R 47. Các cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng công sai của cấp số cộng đó được xác định theo công thức sau: d = 3 2 r(tan 2 C - tan 2 A ) 48. Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc.CMR:b 2 +c 2 =5a 2 . 49 Chứng minh rằng: cos 2 a A l + cos 2 b B l cos 2 c C l = 1 a + 1 b + 1 c . 50. C/m rằng trung tuyến AA' và BB' vuông góc vs nhau khi:cotC=2(cotA+cotB). 51. Cho c b = b c m m ≠ 1 chứng minh rằng : 2cotA = cotB + cotC. 52. Cho tam giác ABC và AM là trung tuyến. gọi = AMB . Chứng minh rằng: a) cot = 22 4 bc s . b) cot = cotC - cotB. c) cot = 2sin( ) 2sin sin Bc BC 53. Chứng minh rằng c b là nghiệm của phương trình: (1 + x 2 -2xcosA)(b 2 - bc) = a 2 (1 - x). 54. Tam giác có 3 cạnh lần lượt là:(x2 +2);(x 2 -2x+2);(x 2 + 2x + 2).Với giá trị nào của x (dương) thì tam giác đó tồn tại. 55. Cho m a = c. Chứng minh rằng: a) bcosC = 3cosB. b) tanB = 3tanC. c) sinA = 2sin(B - C). 56. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. H chia đường cao xuất phất từ A theo tỉ số k cho trước. CMR : a) tanB.tanC = 1 + k. b)tanB+tanC=ktanA c) cos(B-C)= (1+ 2 k )cosA. 57. . Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2tanA = tanB + tanC. Chứng minh rằng : a) tanB.tanC = 3. b) cos(B- C) = 2cosA. 58 Xđ hình dạng of tam giác ABC khi a. sin3A + sin3B + sin3C = 0 b sin4A + sin4B + sin4C = 0 c. sin5A + sin5B + sin5C + sin2A + sin2B = 4sinA.sinB d. a 3 = b 3 + c 3 e. c = Ccos2B + Bsin2B f. (1+cotA)(1 + cotB) = 2 f. sin 2 A + sin 2 B =5sin 2 C g. 1 1 1 a b c l h.sin 2 A+sin 2 B+sin 2 C 2 i. cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C 1 k C/m: nếu ABC có: sin 2 A = sin 2 B .sin 2 C thì tan 2 B . tan 2 C = 1 2 và ngược lại. 59). Trong tam giác ABC có đường cao CB cắt đường cao AD tại trung điểm H của AD. Chứng minh rằng tanB.tanC = 2. 60. Cho tam giác vuông ABC tại A. Gọi là góc giữa đường cao và đường trung tuyến ứng với cạnh huyền. Chứng minh rằng: tan 2 = tan 2 BC 61. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM = BA chứng minh rằng: a) tgB = 3tgC b) sin A = 2sin(B - C) 62. Cho A, B, C là 3 góc nhọn của một tam giác. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là có hệ thức. 1 1 1 (cot cot cot ) 3 sin sin sin A B C a B C 63. Cho tam giác ABC nhọn. CMR: (sinA) 2sinB + (sinB) 2sinC + (sinC) 2sinA > 2 Bất đẳng thức trên có đúng không nếu tam giác ABC vuông, vì sao? 64). Chứng minh các bất đẳng thức sau: a. sinA + sinB +sinC 33 2 b. 1 < sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C 3 2 c. 1 < cosA + cosB + cosC 3 2 d. Sin 2 A + Sin 2 B + Sin 2 C ≥ 9 4 e. 2 < cos 2 2 A + cos 2 2 B + cos 2 2 C 9 4 f. 3 4 sin 2 2 A +sin 2 2 B +sin 2 2 C < 1. g. sin 2 A . sin 2 B . sin 2 C 1 8 h. sinA.sinB.sinC 33 3 i. cosA.cosB.cosC 1 8 k. cos 2 A . cos 2 B . cos 2 C 33 3 l. 1 + cosA.cosB.cosC ≥ 3 .sinA.sinB.sinC m. 1 cos A + 1 cosB + 1 cosC ≥ 6 n.) 1 sin 2 A + 1 sin 2 B + 1 sin 2 C ≥ 6 v). 2.sin .sin .sin sin sin sin A B C A B C 1 33 x). (1 + 1 sin A ) + (1 + 1 sin B ) + (1 + 1 sinC ) ≥ 5 + 26 3 9 z). tan 2 A + tan 2 B + tan 2 C ≥ 3 s). tan 2 2 A + tan 2 2 B + tan 2 2 C ≥ 1 p). (Với ABC nhọn). tanA + tanB + tanC ≥ 3 3 o). tan 2 A + tan 2 A + tan 2 A ≥ 9. u). tan 2 A tan 2 B tan 2 C ≥ 1 33 y).cos 3 A+cos 3 A+cos 3 A 9 4 + 1 4 (cos3A+cos3B + cos3C). t). 36r 2 ab + bc + ca 9R 2 . r). (a + b + c)(h a + h b + h c ) ≥ 18S. W). h a + h b + h c ≥ 9r ( 1 r = 1 a h + 1 b h + 1 c h ) Q) (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) abc 65. a 2 (b+c-a)+ b 2 (a+c-b)+c 2 (a+b- c) 3abc. 66. a(b 2 +c 2 -a 2 )+b(a 2 +c 2 -b 2 )+c 2 (a 2 +b 2 -c 2 ) 3abc 67 a(b-c) 2 + b(c-a) 2 +c(a -b) 2 +4abc≥ a 3 +b 3 +c 3 68. c ab l + a bc l + b ac l 6R. 69. 1 a r + 1 b r + 1 c r ≥ 3 2 3 4 () R r a b c abc 70. 2 a m + 2 b m + 2 c m ≥ 3 s 71. a 4 + b 4 + c 4 ≥ 16S 2 . 72 tg 2 A + tg 2 B + tg 2 C + cotg 2 A + cotg 2 B + cotg 2 C ≥ 4 3 73. a 2 + b 2 + c 2 ≥ 4S 3 74. a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ≥ 16S 2 . Chứng minh, tam giác ABC đều nếu thỏa mản. 1)R = 2r 2. S = 2 3 R 2 (sin 3 A + sin 3 B + sin 3 C) 3. co s co s .cos sin s in s in a A b B c C a B b C c A = 2 9 p R 3 3 3 2 4. 2 cos b c a a b c a a b C 5. 3 3 3 2 3 sin .sin 4 abc a abc BC 6. 3 3 3 2 1 cos .cos 4 BC abc a abc 7. A, B, C là nghiệm của phương trình: tanx - tan 2 x = 23 3 8. 2(acosA + bcosB + c.cosC) = a + b + c 9. sinA + sinB + sinC = sin2A + sin2B + sin2C. 10. cosA + cosB + cos2C + cos2A + cos2b + cos2C = 0 11. cot 2 A + cot 2 B + cot 2 C = 1 12. co s co s .cosa A b B c C abc = 1 2 13. sin sin 2sin cos cos 2cos A B C A B C 14. cos cos cos sin sin sin A B C A B C = 3.cotA.cotB.cotC, với ABC nhọn 15. 3tan 2 A + tan 2 B + tan 2 C = tan 2 A. tan 2 B. tan 2 C 16. 2 1 sin A + 2 1 sin B + 2 1 sin C = 1 2sin sin sin 2 2 2 A B C 17. cot 2 A + cot 2 B + cot 2 C = tanA + tanB + tanC. 18. cot 2 A + cot 2 B cot 2 C = 9 19. .cos .cos .cos 1 2 a A b B c C abc 20. p + R = (2 + 3 3 ).r 21. Xđ hình dạng tam giác 2cosA.sinB.sinC + 3 (sinA + cosB + cosC) = 17 4 22. cotA+cotB+cotC = tan 2 A + tan 2 B + tan 2 C 23. : sinA+ inB+sinC =sin2A+sin2B+sin2C 24. 1 1 1 1 1 1 co s co s co s sin sin s in 2 2 2 A B C A B C . 25. 222 1 1 1 1 sin 2 sin 2 sin 2 2.cos .cos .cosA B C A B C 26. Tính các góc của tam giác cos2A + 3 (cos2B + cos2C) + 5 2 = 0 29. C/m ABC vuông khi : sin(A + B).cos(A - B) = 2sinA.sinB. . 30. sin sin sin 3 a b c A B C m m m 31. CMR, không tồn tại tam giác mà cả 3 góc trong của nó đều là nghiệm của phương trình: 2 1 (4cos 1)(7sin sin2 6) 0 2 x x x