chuyên đề lượng giác, tổ hợp, xác suất lớp 11 và luyện thi thpt quốc gia

Gv: Trãn Quốc Nghĩa Phần LƯỢNG GIÁC Tóm tắt lý thuyết I Công thức lượng giác I Giá trị lượng giác góc (cung) lượng giác sin Cho  OA,OM    Giả sử M(x; y) T B K  cos  x  OH  tang Định nghĩa giá trị lượng giác sin  y  OK  tan   sin   AT cos  cot   co s   BS sin        k    S M  O cosin H sin cot xác định   k , k  sin(   k2 )  sin cos(   k2 )  cos tan(   k2 )  ta n cot(   k2 )  cot (II) (I) (III) (IV) Däu giá trị lượng giác Góc HSLG sin cos tan cot A   k   Nhận xét:  , –  cos  1; –  sin    tan xác định    k , k       cotang (I) (II) (III) (IV) + + + + + – – – – – + + – + – – “Nhất cả, nhị sin, tam tan, tứ cos” cos Chuyên đề Lượng giác-Tổ hợp-Xác suất Một số lưu ý: ① Quan hệ độ rađian: 10    180  ( rad ) 1( rad )    180    ② Với   3,14 10  0,0175 (rad), 1(rad)  5701745 ③ Độ dài l cung tròn có số đo  (rad), bán kính R l = R ④ Số đo cung lượng giác có điểm đầu A, điểm cuối B: sđ AB    k2 ,k  ⑤ Mỗi cung lượng giác CD ứng với góc lượng giác (OC, OD) ngược lại II Cung liên kết  Cung đối nhau:  – sin(– ) = – sin cos(– ) = cos tan(– ) = – tan cot(– ) = – cot  Cung bù:  –   sin( – ) = sin cos( – ) = – cos tan( – ) = – tan cot( – ) = – cot  Cung  :  Cung k2 sin( + k2) = sin cos( + k2) = cos cot( + k2) = cot tan( + k2) = tan  Cung khác :  +   sin( + ) = – sin cos( + ) = – cos tan( + ) = tan cot( + ) = cot   Cung phụ –  :     sin     = cos sin     = cos 2  2        cos     = – sin cos     = sin 2  2      tan     = – cot tan     = cot 2  2      cot     = – tan cot     = tan 2          Chú ý sin  = cos     ; – sin  = cos     2 2   “Cos đối, sin bù, phụ chéo, khác  tan” Gv: Trãn Quốc Nghĩa III Các giá trị lượng giác số góc (cung) đặc biệt Độ 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 Rad     sin cos 2 2 2 3 2 – tan 3 2 3 – || – –1 5 – – cot || 3 – 3 –1 – IV Công thức lượng giác:  Hệ thức bản: 1) 3) 5) sin2x + cos2x = s inx t anx  cosx 1  tan x  cos x 2) 4) 6) tanx cotx = cosx cot x  sinx  cot x  sin2 x 1800  –1 || Chuyên đề Lượng giác-Tổ hợp-Xác suất  Công thức cộng: 7) 8) 9) 10) sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb t ana  tanb t ana  tanb 11) tan( a  b )  12) tan( a  b )   tan a.tanb  tan a.tanb  Công thức nhân hai: 13) sin2a = 2sina.cosa 14) cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – = – 2sin2a 15) tan 2a  2t ana  tan2 a 16) cot 2a  cot a  cot a  Công thức nhân ba: (chứng minh trước dùng) 19) sin3a = 3sina – 4sin3a 20) cos3a = 4cos3x – 3cosa 3tan a  tan3 a 3cot a  22) cot 3a   3tan a cot a  3cot a  Công thức hạ bậc:  cos 2a  cos 2a 23) sin2 a  24) co s a  2  cos 2a  cos 2a 25) tan2 a  26) cot a   cos 2a  cos 2a  Công thức biến đổi tích thành tổng: 27) sin a.cosb   sin( a  b )  sin( a  b ) 28) cos a.sinb   sin( a  b )  sin( a  b ) 29) cos a.cosb  cos( a  b )  cos( a  b ) 30) sin a.sinb   cos( a  b )  cos( a  b )  Công thức biến đổi tổng thành tích: ab a b cos 31) sin a  sinb  sin  sin cộng sin = lần sin cos 2 21) tan3a  Gv: Trãn Quốc Nghĩa ab a b  sin trừ sin = lần cos sin sin 2 ab a b 33) cos a  cosb  2cos  cos cộng cos = lần cos cos cos 2 ab a b 34) cos a  cosb  2 sin  cos trừ cos = trừ lần sin sin sin 2 sin(a  b) 35) tan a  tanb  (chứng minh trước dùng) cos a.cos b sin( a  b ) 36) tan a  tanb  (chứng minh trước dùng) cos a.cos b sin( b  a ) 37) cot a  cot b  (chứng minh trước dùng) sin a.sinb sin( b  a ) 38) cot a  cot b  (chứng minh trước dùng) sin a.sinb  Một số hệ quả: 1 39) sin a cos a  sin 2a 40) sin2 a cos a  sin 2a ka ka 41)  cos ka  2cos 42)  cos ka  sin 2 32) sin a  sinb  2cos ka ka   43)  sin ka   sin  cos  2     45) sin x  cosx  sin  x   4  ka ka   44)  sin ka   sin  cos  2     46) sin x  cosx  sin  x   4    48) cos x  sin x  cos  x   4  49) sin4 x  cos x   sin xcos x   sin 2x   cos 4x 4 50) sin6 x  cos6 x   sin xcos x   sin 2x   cos 4x 8   47) cos x  sin x  cos  x   4  Chuyên đề Lượng giác-Tổ hợp-Xác suất II Hàm số lượng giác Hàm số y = sinx y = cosx y = sinx y = cosx Tập xác định D=R D=R Tập giá trị T = [– ; ] T = [– ; ] Chu kỳ T = 2 T = 2 Tính chẵn lẻ Lẻ Chẵn Đồng biến trên: Sự biến thiên        k2 ;  k2    Đồng biến trên: Nghịch biến trên: Nghịch biến trên:   3  k 2    k 2 ; 2   k 2 ;   k2  x –    k 2 ; k2      y = sinx Bảng thiên biến x – –1 0  y = cosx y = sinx Đồ thị y = cosx –1 –1 Gv: Trãn Quốc Nghĩa Hàm số y = tanx y = cotx y = tanx Tập xác định D=R\{ y = cotx  + k} D = R \ {k} Tập giá trị R R Chu kỳ T= T= Tính chẵn lẻ Lẻ Lẻ Đồng biến khoảng: Sự biến thiên        k ;  k    x y = tanx  Nghịch khoảng: biến  k ;   k    + – Bảng biến thiên x y = cotx  + – A y = tanx Đồ thị y = cotx Chuyên đề Lượng giác-Tổ hợp-Xác suất III Phương trình lượng giác Phương trình Phương trình bậc theo hàm số lượng giác  Tổng quát: m [– ; 1], n  R  u  arcsin m  k2  sinu = m    u    arcsin m  k2  cosu = m   u  arccos m  k2   u   arccos m  k2  tanu = n  u  arctan n  k (chú ý đk)  cotu = n  u  arccot n  k (chú ý đk)  Nếu m, n số đặc biệt:    3     m  0; 1;  ;  ;  ;   thì:  , n  0; 1;  2          u  v  k 2  sinu = sinv    u    v  k 2  u  v  k 2  cosu = cosv    u   v  k 2  tanu = tanv  u  v  k (chú ý đk)  cotu = cotv  u  v  k (chú ý đk)  Chú ý:  Các trường hợp đặc biệt:   sinx = –  x = – + k2 tanx = –  x = – + k sinx =  x = k tanx =  x = k   sinx =  x = + k2 tanx =  x = + k  cosx = –  x = (2k + 1) cotx = –  x = – + k   cosx =  x = + k cotx =  x = + k 2  cosx =  x = k2 cotx =  x = + k  Khi gặp dấu trừ trước thì: – sinx = sin(– x) – cosx = cos( – x) – tanx = tan(– x) – cotx = cot(– x)  Khi giải phải dùng đơn vị rad đề không cho độ (0) Gv: Trãn Quốc Nghĩa Phương trình bậc hai theo hàm số lượng giác Là phương trình mà sau biến đổi ta dạng (a  0):  asin2 u + bsinu + c = (1)  acos2 u + bcosu + c = (1) Đặt t = sinu Đặt t = cosu Điều kiện: –  t  Điều kiện: –  t  (1)  at2 + bt + c = 0… (1)  at2 + bt + c = 0…  atan2 u + btanu + c = (1)  acot2 u + bcotu + c = (1) Điều kiện: cosu  Điều kiện: sinu  Đặt t = tanu, Đặt t = cotu, (1)  at + bt + c = 0… (1)  at2 + bt + c = 0… Phương trình bậc sinx cosx (Phương trình cổ điển) asinx + bcosx = c (1) với a, b, c  R, v a2 + b2   Điều kiện để phương trình có nghiệm là: a2 + b2  c2  Chia vế phương trình cho a2  b2 , ta được: a b c sinx + cosx = 2 2 a b a b a  b2  a Vì   2  a b 2    b    1   2    a b  a b nên đặt cos = , sin = 2 a b a  b2 c Khi ta được: sin(x + ) = giải phương trình a2  b2  Chú ý: Nếu a = b dùng công thức sau để giải:   ) = cos(x ) 4 Phương trình bậc hai, bậc ba sinx cosx (Phương trình đẳng cấp) asin2x + bsinxcosx + ccos2x = (1) 2 Hoặc asin x + bsinxcosx + ccos x = d (2) (2)  asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d(sin2x + cos2x)  (a– d)sin2x + bsinxcosx + (c– d)cos2x = (2) Phương trình (2) dạng (1), nên ta xét dạng (1) Nếu gặp dạng (2) ta đưa dạng (1) sinx  cosx = sin(x  Gv: Trãn Quốc Nghĩa 69 2.164 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức: 2n 1 C12n  C32n   C2n  2048 ĐH Khối D - 08 ĐS: 2.165 Cho n số nguyên dương thỏa mãn 5Cnn 1  C3n Tìm số hạng chứa x5 n  nx  khai triển nhị thức Niu-tơn    , x0  14 x  ĐS:  ĐH Khối A, A1 - 12 X 35 x 16 Tính giá trị biểu thức 2.166 Đặt (x  2)n  a  a1x  a x   a100 x100 a) Tìm hệ số a97 b) Tính tổng: S  a  a1  a   a100 c) Tính tổng: S  a1  2a  3a   100a100 ĐH Hàng hải - 97 ĐS: a97 = – 1293600, S = 1, M = –100 11 2.167 Tính S  C11  C11  C11  C11  C10 11  C11 ĐH Quốc gia HN khối D - 97 ĐS: 1024 2.168 Tính In   (1  x)n dx , n  N* 1 Áp dụng, tính: S  C0n  C1n  C3n   Cnn n 1 ĐH Sư phạm TpHCM khối D, E – 00 ĐS: I n  S  2n 1  n1 2000   2001C2000 2.169 Tính tổng: S  C02000  2C12000  3C2000 ĐS: S  1000.22000 ĐH An Ninh khối D, G - 00 2.170 Tính tổng: S  A0n A1n   0! 1! CĐ Hải Quan - 01  A nn n! ĐS: S  2n 70 Chuyên đề Lượng giác-Tổ hợp-Xác suất 2.171 Cho đa thức P(x) = (3x – 2)10: a) Tìm hệ số x2 khai triển P(x) b) Tìm tổng hệ số khai triển P(x) ĐHDL Duy Tân - 01 2.172 Tính giá trị ĐS: 103680, biểu thức: M A 4n 1  3A3n , (n  1)! biết C2n1  2Cn22  2C2n3  Cn24  149 (với n nguyên dương, A kn số chỉnh hợp chập k n phần tử C kn số tổ hợp chập k n phần tử) ĐH Khối D - 05 ĐS: 3/4 XI Chứng minh đẳng thức – Bất đẳng thức 2.173 a) Với n nguyên dương, chứng minh rằng: 2n 1 C02n  C22n   C2n 2n  C2n  C2n   C2n b) Với k, n số nguyên dương cho  k  n, chứng minh rằng: Cnk  4Cnk1  6Cnk2  4Cnk3  Cnk4  Cnk4 ĐH Quốc gia TpHCM khối D - 97 2.174 Tính In   (1  x ) n dx , n  N 1 (1)n n 2.4 2n Cn  Áp dụng, chứng minh: C0n  C1n  C2n   2n  3.5 (2n  1) ĐH QG TpHCM khối A, đợt – 97 2.175 a) Tính In   x(1  x )n dx , n  N* b) Chứng minh: 1 1 (1)n n Cn  Cn  Cn  Cn   Cn  2n  2(n  1) ĐH Luật + ĐH BK Hà Nội - 97 + ĐH CSND - 00 ĐS: a) I n  2( n  1) 2.176 Với k, n  N* Chứng minh rằng: 1 1   3n  C0n  C1n  C2n   (1)k k Ckn   (1)n n Cnn   2n 3 3   ĐH Mở Hà Nội - 97 Gv: Trãn Quốc Nghĩa 71 2.177 Tính In   x(1  x ) n dx , n  N* 1 2n 1  Áp dụng, chứng minh: C0n  C1n  C2n   Cnn  n 1 n 1 1 ( 1)n n ĐS: I n  Cn0  Cn1  Cn2   Cn 2n  ĐH Thủy sản Nha Trang – 98 2.178 Cho n, k số nguyên dườn, k < n Chứng minh rằng: Ckn  Ckn 1  Ckn 11 ĐH Quốc gia TpHCM khối D, đợt - 96, 98 2.179 Chứng minh n, k  N*  k  n ta có: k(k  1)Ckn  n(n  1)Ckn 22 ĐH Quốc gia Hà Nội khối D - 99 2.180 Chứng minh rằng: k, n  N,  k  n, ta có: Ckn  3Ckn1  3Ckn2  Ckn3  Ckn3 ĐH Thủy Lợi HN - 99 2.181 Chứng minh rằng: Ckn  2Ckn 1  Ckn 2  Ckn  , với  k  n ĐH Cảnh Sát Nhân Dân - 99 2.182 Với n nguyên n  2, chứng minh rằng: 2n 2 2n 1 C22n  C2n   C2n  C12n  C32n   C2n 2 ĐH Sư phạm Vinh khối D - 99 2.183 a) Tính In   x (1  x )n dx , n  N* b) Chứng minh: ĐH Mở HN - 99 1 1 2n 1  Cn  Cn  Cn   Cnn  3n  3(n  1) ĐS: a) I n  n 1  3( n  ) 72 Chuyên đề Lượng giác-Tổ hợp-Xác suất 2.184 a) Tính In   (1  x)n dx , n  N* 1 1 2n 1  b) Chứng minh:  C1n  C2n  C3n   Cnn  n 1 n 1 ĐS: a) I n  ĐH Cảnh Sát Nhân Dân khối A - 00 n 1  n1 2.185 Với n  N Chứng minh rằng: C1n  2C2n  3C3n  4C4n   nCnn  n.2n 1 ĐH Tài Kế toán Hà Nội - 00 2.186 Chứng minh rằng: 2n 1 C1n  2n 1 C2n  3.2n 3 C3n  4.2n 4 C4n   nCnn  n.3n 1 ĐH Kinh tế Quốc dân HN - 00 2.187 Chứng minh với n nguyên n  ta có đẳng thức: 1 1 n 1      A A3 A An n ĐH Thủy Lợi HN - 00 2.188 Cho n số nguyên dương Chứng minh rằng: a) C0n  C1n  C2n   Cnn  2n b) C12n  C32n  C52n   C22nn 1  C02n  C22n  C24n   C22nn ĐH Y Dược TPHCM - 00 2.189 Với n, k N Chứng minh rằng: n 1 a)  k 1 n Cnk  2(2n 1  1) b) C k 0 k k n ( 1) ĐH Lâm nghiệp - 00 2.190 Với n, k N Chứng minh rằng: ĐH GTVT TPHCM - 00 Cnk 2n 1   n 1 k 0 k  n  0 Gv: Trãn Quốc Nghĩa 73 2.191 Chứng minh rằng: C k 2001 k 1 2001 C C 1000 2001 C 1001 2001 , với  k  2000, k  Z ĐH Quốc gia HN khối A - 00 2.192 Chứng minh rằng: a) 1 1 2000 [22001  2002]  C12000  C22000   C2000 2001 2001 b) 1 1 [2n 1  n  2]  C1n  C2n  C3n   Cnn n 1 n 1 CĐ Kiểm Sát phía Bắc - 00 2.193 Chứng minh rằng: 3n  20.C0n  21.C1n  22.C2n   2n.Cnn CĐ Sư phạm Kỹ Thuật - 00 2.194 Cho k, n số nguyên dương cho  k  n, chứng minh rằng: C50Cnk  C15Cnk1   C55Cnk5  Cnk5 ĐH Hồng Đức - 00 2.195 Chứng minh rằng: 2n C02n  C2n 32  C42n 34   C2n  22n1 (22n  1) 2n ĐH Hàng hải - 01 2.196 Chứng minh rằng: 2000 C02001  32 C2001  34 C2001   32000 C2001  22000 (22000 1) ĐH Sư phạm Vinh khối D, T, M - 01 2.197 Chứng minh rằng: C1n 3n 1  2.C2n 3n 2  3.C3n 3n 3   n.Cnn  n.4n 1 ĐH Sư phạm – ĐH Luật TPHCM - 01 2001 2001 2.198 Chứng minh  k  2001, thì: C2001 4002  k C4002  k   C4002  Học viện Quân Y - 01 2.199 Cho k n số nguyên thỏa  k  n Chứng minh rằng: Cn2n  k Cn2n  k   Cn2n  ĐH Y Dược TPHCM - 98, 01 2 74 Chuyên đề Lượng giác-Tổ hợp-Xác suất 2.200 Cho n số nguyên dương cố định Chứng minh C lớn k n k số tự nhiên lớn không vượt n 1 ĐH Sư phạm Vinh khối A, B - 01 2.201 Chứng minh n 1  1   k  k 1   k (n, k số nguyên n   Cn 1 Cn 1  Cn dương, k  n, C kn số tổ hợp chập k n phần tử) ĐH Khối B - 08 XII Xác suất 2.202 Bình đựng bi xanh, bi vàng bi trắng khác màu Lấy ngẫu nhiên bi Tính xác suất biến cố sau: a) Lấy bi xanh b) Lấy có bi vàng c) Lấy bi màu ĐH Nông Nghiệp HN - 96 ĐS: a) 1/22 b) 34/55 c) 3/44 2.203 Có ba thùng đựng cầu Thùng I đựng trắng, đen; thùng II đựng trắng, đen; thùng III đựng trắng, đen Lấy ngẫu nhiên thùng I trộn vào thùng II; lấy ngẫu nhiên thùng II trộn vào thùng III; lấy ngẫu nhiên thùng III trộn vào thùng I a) Tính xác xuất để thùng I có trắng, đen b) Với xác suất lớn thành phần thùng I có trắng, đen ? HV Kỹ Thuật Quân Sự - 96 ĐS: a) 92/270 b) 136/270, ban đầu 2.204 Một hộp bi đựng viên đen, viên trắng a) Ngẫu nhiên lấy lúc viên bi Tính xác suất để viên bi có viên bi trắng b) Lấy ngẫu nhiên lần viên bi Tính xác suất để viên bi thứ trắng viên bi thứ hai đen ĐH Tài Chính Kế Toán HN - 96 ĐS:a) 21/44 b) 35/132 2.205 Trong hộp có 20 cầu giống gồm 12 trắng đen a) Tính xác suất để lấy có đen b) Tính xác suất để lấy có đen ĐH Ngoại ngữ HN - 96 ĐS:a) 44/95 b) 16/57 Gv: Trãn Quốc Nghĩa 75 2.206 Có 25 cầu đen trắng thùng Thùng có số cầu nhiều có số cầu trắng nhiều Lấy ngẫu nhiên từ thùng xác suất lấy trắng 0,48 Tính xác suất để cầu đen cầu trắng HV Kỹ Thuật Quân Sự - 97 ĐS: 0,44 2.207 Một bà mẹ muốn sinh đứa gái (nếu thôi, chưa sinh sinh nữa) Xác suất sinh gái lần sinh 0,486 Tìm xác suất để bà mẹ đạt mong muốn lần sinh thứ ĐH Y khoa HN - 97 ĐS: 0,249804 2.208 Trong xúc sắc đồng a) Tìm xác suất để tổng số chấm b) Tìm xác suất để tổng số chấm số lẻ chia hết cho ĐH Đà Nẵng - 97 ĐS: a) 5/36 b) 2/3 2.209 Một bình đựng 10 viên bi có bi xanh, bi đỏ a) Lấy ngẫu nhiên bi Tính xác suất để lấy bi xanh b) Lấy ngẫu nhiên bi lấy ngẫu nhiên bi Tính xác suất để bi xanh lần bi đỏ lần ĐH Sư phạm HN II - 97 ĐS: a) 7/40 b) 21/40 2.210 Có bình: Bình A đựng bi xanh bi trắng Bình B đựng bi xanh bi đỏ a) Lấy viên bi bình A Tính xác xuất để lấy bi xanh bi trắng b) Lấy bình bình lấy viên bi Tính xác suất để lấy bi xanh ĐH Lâm nghiệp - 97 ĐS: a) ……… b) ……… 2.211 Một tổ gồm học sinh nam học sinh nữ a) Cần chọn nhóm người để trực nhật Hỏi có cách chọn khác ? Tính xác suất để chọn nhóm nhóm có nữ b) Cần chia tổ thành nhóm, nhóm người để làm công việc khác nhau, hỏi có bao nhirru cách chia khác nhau? Tính xác suất để chia ngẫu nhiên ta nhóm có nữ ? ĐH Nông Nghiệp HN khối B - 97 ĐS: a) 495; P = 28/55 b) 495; P = 16/55 Chuyên đề Lượng giác-Tổ hợp-Xác suất 76 2.212 Một hộp đựng bi đỏ, bi trắng, bi đen khác màu Lấy ngẫu nhiên viên Tính xác xuất để: a) Trong bi lấy có bi màu đỏ b) Trong bi lấy số bi đỏ số bi trắng ĐH Nông Nghiệp HN khối A - 97 ĐS: a) 21/40 b) 1/3 2.213 Trong hộp bóng đèn có 12 bóng, có bóng tốt Lấy ngẫu nhiên bóng đèn Tính xác suất để lấy được: a) bóng tốt b) Ít bóng tốt c) Ít bóng tốt ĐH Tài Chính Kế Toán HN - 97 ĐS:a) 7/44 b) 7/11 c) 21/22 2.214 Tập E gồm số có chữ số khác lập từ G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}/ Lấy ngẫu nhiên phần tử E Tính xác suất để lấy a) phần tử chia hết cho b) phần tử có tổng chũa số chia hết cho HV Quân Y - 97 ĐS: a) ………… b) …………… 2.215 Có thẻ, thẻ ghi số, từ đến Lấy ngẫu nhiên đồng thời thẻ Tìm xác suất để tích số hai thẻ số chẵn HV CN BCVT HN - 98 ĐS: 13/18 2.216 Xác suất sinh trai lần 0,51 Tìm xác suất để sinh lần có trai Xét lần sinh ĐH Y khoa HN - 98 ĐS: 0,88 2.217 Một hộp đựng 12 bóng đèn, có bóng đền bị hỏng Lấy ngẫu nhiên bóng đèn (không kể thứ tự) khỏi hộp Tính xác suất để: a) Trong bóng có bóng hỏng b) Có bóng hỏng bóng CĐSP TpHCM - 98 ĐS: a) 28/55; b) 41/55 2.218 Có hai bình chứa viên bi khác màu sắc Bình thứ có bi xanh, bi vàng, bi đỏ Bình thứ hai có bi xanh, bi vàng bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ bình viên bi Tính xác suất để bi xanh ĐH Kỹ Thuật Công Nghệ - 98 ĐS:1/6 Gv: Trãn Quốc Nghĩa 77 2.219 Ngân hàng đề thi gồm 100 câu hỏi Mỗi đề thi có câu Một học sinh thuộc 80 câu Tìm xác suất để học sinh rút ngẫu nhiên đề có câu hỏi học thuộc ĐH Luật Hà Nội - 98 ĐS:5135/12222  0,42 2.220 Một nhóm ca sĩ gồm nữ nam Chọn ngẫu nhiên từ nhóm ca sĩ để lập nhóm tam ca Gọi X số nữ ca sĩ có lần chọn Tính xác suất biến cố: X=0 ; X=1 ; X=2 ; X=3 ĐH DL Văn Lang - 98 ĐS:1/6; 1/2; 3/10; 1/30 2.221 Biết xác suất để học sinh thi đạt yêu cầu lần thi thứ 0,7; lần thi thứ hai 0,9 Tính xác suất để học sinh đạt yêu cầu kì thi, biết học sinh phép thi tối đa hai lần kì thi ĐH Hàng Hải - 98 ĐS: 0,97 2.222 Cho cầu giống đánh số từ đến đựng hộp kín Lấy ngẫu nhiên cầu a) Sắp xếp chúng theo thứ tự lấy thành hàng ngang từ trái qua phải Tìm xác suất để số 1234 b) Tìm xác suất để tổng chữa số 10 ĐH Sư phạm HN II - 98 ĐS: a) 1/360 b) 1/15 2.223 Gọi M tập hợp số có chữ số khác lập thành từ số 1, 2, 3, 4, 5, Lấy ngẫu nhiên phần tử M Tính xác suất để có phần tử chia hết cho ĐH Thái Nguyên - 98 ĐS:0,4 2.224 Một hộp chứa viên bi trắng, viên bi đen, lấy ngẫu nhiên viên bi Tìm xác xuất để lấy viên bi trắng viên bi đen ĐH Cần Thơ khối D - 98 ĐS: 15/56 2.225 Có hai xạ thủ loại I xạ thủ loại II Xác suất bắn trúng xạ thủ loại I loại II 0,9 0,8 Lấy ngẫu nhiên xạ thủ xạ thủ bắn viên đạn Tìm xác suất để viên đạn trúng đích ĐH Đà Nẵng khối A - 98 ĐS: 0,82 Chuyên đề Lượng giác-Tổ hợp-Xác suất 78 2.226 Hai cầu thủ bóng đá sút phạt đền người đá lần với xác suất làm bàn tương ứng 0,8 0,7 Tìm xác suất để cầu thủ làm bàn ĐH Đà Nẵng khối B - 98 ĐS: 0,94 2.227 Cho cân trọng lượng 1kg, 2kg, …, 7kg, 8kg Chọn ngẫu nhiên cân a) Có cách chọn ? b) Tính xác suất để tổng trọng lượng cân chọn không vượt 9kg ĐH Huế khối B - 98 ĐS: a) 56 b) 0,125 2.228 Cho đa giác đỉnh Chọn ngẫu nhiên đỉnh Tìm xác suất cho đoạn thẳng nối đỉnh chọn thành đường chéo có độ dài nhỏ ĐH Quốc gia Hà Nội khối D - 98 ĐS: 2/7 2.229 Trong 100 vé số có vé trúng 10000đ, vé trúng 5000đ có 10 vé trúng 1000đ Người mua ngẫu nhiên vé Tìm xác suất để: a) Người trúng 3000đ b) Người trúng 3000đ ĐH Nông Nghiệp HN khối B - 98 ĐS:a) ……… b) ……… 2.230 Gieo đồng thời đồng xu đối xứng đồng chất tính xác suất để có mặt sấp xuất ĐH GTVT HN - 98 ĐS: 7/8 2.231 Có hộp bi hộp có bi trắng, bi đỏ Cho người người hộp Từ hộp mình, người lấy ngẫu nhiên viên Tìm xác suất để người lấy số bi đỏ ĐH Nông Nghiệp HN khối A - 98 ĐS: 0,44 2.232 Một bình đựng viên bi có viên bi xanh, viên bi đỏ Lấy ngẫy nhiên viên bi Tìm xác suất để được: a) viên đỏ viên xanh b) Cả viên màu xanh ĐH Tài Chính Kế Toán HN - 98 ĐS:a) 12/35 b) 4/35 2.233 a) Gieo liên tiếp ba lần xúc xắc Tìm xác suất biến cố “tổng số chấm không nhỏ 16” b) Xếp ngẫu nhiên chữ B, G, N, O, O Tìm xác suất để chữ BOONG ĐHQG TPHCM - 99 ĐS:5/108; 1/60 Gv: Trãn Quốc Nghĩa 79 2.234 Trong hộp có viên bi đỏ viên bi xanh (các viên bi khác màu sắc) Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi lúc Tính xác suất để viên bi lấy có viên màu đỏ ĐH Kinh Tế Quốc Dân - 99 ĐS:18/35 2.235 Chọn ngẫu nhiên số có chữ số Tìm xác suất để số chọn số chẵn chữ số khác ? HV Kỹ Thuật Quân Sự - 99 ĐS:328/899 2.236 Chia hai hộp bi: hộp thứ có bi xanh bi đỏ, hộp thứ hai có bi xanh bi đỏ Từ hộp lấy viên bi Tính xác suất để: a) bi xanh bi đỏ b) Được bi đỏ c) Được bi đỏ ĐH Y TPHCM - 99 ĐS:23/50; 3/25; 29/50 2.237 Một hộp đựng 10 viên bi, có viên màu xanh viên màu đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Tính xác suất để:: a) Cả viên bi lấy màu xanh b) viên bi lấy có viên bi màu xanh CĐSP TPHCM - 99 ĐS:1/6; 29/30 2.238 Gieo lần hai xúc xắc Tính xác suất biến cố “tổng số chấm hai mặt 9” ĐH DL Hùng Vương - 99 ĐS:1/9 2.239 Cho tập F = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Lấy ngẫu nhiên phần tử F Tính xác suất để hai số lấy chẵn, biết tổng chúng nhỏ ĐH Cảnh Sát Nhân Dân - 99 ĐS:1/3 2.240 Một người gọi điện thoại, quên hai chữ số cuối số điện thoại cần gọi nhớ hai chữ số khác Tính xác suất để người quay số lần số điện thoại cần gọi ĐH Qui Nhơn - 99 ĐS:1/90 2.241 Một lô hàng có 30 sản phẩm, có phế phẩm, chia ngẫu nhiên thành phần nhau, phần 10 sản phẩm Tính xác suất để: a) Có phần có phế phẩm b) Mỗi phần có phế phẩm HV Kỹ Thuật Quân Sự - 99 ĐS:185/203; 50/203 Chuyên đề Lượng giác-Tổ hợp-Xác suất 2.242 Một bình đựng bi xanh bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi a) Tính xác suất để bi xanh b) Tính xác suất để bi xanh bi đỏ ĐH Đà Nẵng khối D - 99 80 ĐS: a) 1/21 b) 10/21 2.243 Một bình có bi đen bi trắng Lấy ngẫu nhiên viên bi đến số bi khác màu dừng lại Tìm xác suất để lấy số bi đen số bi trắng HV Quân Y - 99 ĐS:…………… 2.244 Xếp bi đỏ có bán kính khác bi xanh giốn gnhau vào dãy ô trống Hỏi: a) Có cách xếp khác ? b) Có cách xếp khác cho bi đỏ xếp cạnh bi xanh xếp cạnh ? HV Quân Y - 00 ĐS:a) 849 b) 36 2.245 Một lô hàng có 10 sản phẩm, có phế phẩm Lấy tùy ý sản phẩm từ lô hàng Hãy tìm xác suất để sản phẩm lấy có không phế phẩm ĐH GTVT Hà Nội - 00 ĐS:2/3 2.246 Trong lớp học gồm có 15 học sinh nam 10 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên học sinh lên bảng giải tập Tính xác suất để học sinh gọi có nam nữ ĐH Khối B - 12 ĐS: 443/506 2.247 Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt chọn từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Xác định số phần tử S Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để số chọn số chẵn ĐH Khối A, A1 - 13 ĐS: 3/7 2.248 Có hai hộp chứa bi Hộp thứ chứa viên bi đỏ viên bi trắng, hộp thứ hai chứa viên bi đỏ viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi, tính xác suất để viên bi lấy có màu ĐH Khối B - 13 ĐS: 10/21 2.249 Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta gửi đến phận kiểm nghiệm hộp sữa cam, hộp sữa dâu hộp sữa nho Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên hộp sữa để phân tích mẫu Tính xác suất để hộp sữa chọn có loại ĐH Khối B - 14 ĐS: 3/11 Gv: Trãn Quốc Nghĩa 81 2.250 Từ hộp chứa 16 thẻ đánh số từ đến 16, chọn ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để thẻ chọn đánh số chẵn ĐH Khối A, A1 - 14 2.251 Cho đa giác n đỉnh, n  cho có 27 đường chéo ĐH Khối D - 14 ĐS: 1/26 n  Tìm n biết đa giác ĐS: n = 2.252 Hai thí sinh A B tham gia buổi thi vấn đáp Cán hỏi thi đưa cho thí sinh câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, đựng 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, phong bì đựng câu hỏi; thí sinh chọn phong bì số để xác định câu hỏi thi Biết 10 câu hỏi thi dành cho thí sinh nhau, tính xác suất để câu hỏi A chọn câu hỏi B chọn giống Đề minh họa THPT Quốc gia - 2015 ĐS: 1/120 2.253 Trong kỳ thi Trung học phổ thông Quốc gia nam 2015 có môn thi trắc nghiệm môn thi tự luận Một giáo viên bốc tham ngẫu nhiên để phụ trách coi thi môn Tính xác suất để giáo viên phụ trách coi thi môn thi trắc nghiệm Đề dự bị THPT Quốc gia - 2015 ĐS: 13/14 2.254 Trong đợt ứng phó dịch MERS-CoV, Sở Y tế thành phố chọn ngẫu nhiên đội phòng chống dịch động số đội Trung tâm y tế dự phòng thành phố 20 đội Trung tâm y tế sở để kiểm tra công tác chuẩn bị Tính xác suất để có đội Trung tâm y tế sở chọn THPT Quốc gia - 2015 ĐS: 209/230 2.255 Học sinh A thiết kế bảng điều khiển điện tử mở cửa phòng học lớp Bảng gồm 10 nút, nút ghi số từ đến hai nút ghi số Để mở cửa cần nhấn liên tiếp nút khác cho số nút theo thứ tự nhấn tạo thành dãy số tăng có tổng 10 Học sinh B quy tắc mở cửa trên, nhấn ngẫu nhiên liên tiếp nút khác bảng điều khiển Tính xác suất để B mở cửa phòng học THPT Quốc gia - 2016 ĐS: 1/90 Chuyên đề Lượng giác-Tổ hợp-Xác suất 82 Mục lục Phần LƯỢNG GIÁC Tóm tắt lý thuyết I Công thức lượng giác II Hàm số lượng giác III Phương trình lượng giác Bài tập đề thi 13 I Phương trình tích 13 II Biến đổi tổng thành tích - tích thành tổng 19 III Phương trình bậc - bậc 21 IV Phương trình bậc theo sinx, cosx 29 V Phương trình đẳng cấp 34 VI Phương trình đối xứng 35 VII Phương pháp hạ bậc 35 VIII Công thức nhân ba 39 IX Phương trình có chứa giá trị tuyện đối, chứa thức 40 X Phương trình có chứa tham số 42 Phần TỔ HỢP – XÁC SUẤT 43 Tóm tắt lý thuyết 43 Bài tập đề thi 46 I Chỉnh hợp 46 II Tổ hợp 48 III Tổ hợp với điều kiện 50 IV Số tự nhiên chẵn – lẻ 55 V Số tự nhiên chia hết 58 VI Chữ số có mặt nhiều lần 59 VII Số có điều kiện 60 VIII Phương trình – Bất phương trình 63 IX Nhị thức newtơn 64 X Tính giá trị biểu thức 69 XI Chứng minh đẳng thức – Bất đẳng thức 70 XII Xác suất 74 Mục lục 82