Phơng trình bậc hai hệ thức vi-et Dạng 1: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm Bài 1: Chứng minh phơng trình sau có nghiệm 1) x2 – 2(m - 1)x – – m = ; 2) x2 + (m + 1)x + m = ; 2 3) x – (2m – 3)x + m – 3m = ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = ; 5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + = ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = ; 7) x2 – 2mx – m2 – = ; 8) (m + 1)x2–(2m–1)x –3 +m=0; Bµi 2: a) CMR với a, b , c số thực phơng trình sau có nghiệm: (x a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = b) CMR víi ba số thức a, b , c phân biệt phơng trình sau có hai nghiệm 1 phân biết: + + =0 (Èn x) x −a x − b x c c) CMR phơng trình: c2x2 + (a2 – b2 – c2)x + b2 = v« nghiƯm với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác d) CMR phơng trình bậc hai: (a + b)2x2 – (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = có hai nghiệm phân biệt Bµi 3: a) Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét phơng trình bậc hai sau có nghiệm: ax2 + 2bx + c = (1) bx2 + 2cx + a = (2) cx2 + 2ax + b = (3) b) Cho bốn phơng trình (ẩn x) sau: x2 + 2ax + 4b2 = (1) x2 - 2bx + 4a2 = (2) x2 - 4ax + b2 = (3) x2 + 4bx + a2 = (4) Chứng minh phơng trình có phơng trình có nghiệm c) Cho phơng trình (ẩn x sau): 2b b+ c ax − √ x+ =0 (1) b+ c c +a 2c √ c +a bx2 − x+ =0 c +a a+b 2a √ a+b cx − x+ =0 a+b b+c ( 2) (3) víi a, b, c số dơng cho trớc Chứng minh phơng trình có phơng trình có nghiệm Bài 4: a) Cho phơng trình ax2 + bx + c = BiÕt a ≠ vµ 5a + 4b + 6c = 0, chøng minh phơng trình đà cho có hai nghiệm b) Chứng minh phơng trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) cã hai nghiÖm nÕu hai điều kiện sau đợc thoả mÃn: a(a + 2b + 4c) < ; 5a + 3b + 2c = Dạng 2: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm phơng trình bậc hai cho trớc Bài 1: Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình: 5x2 3x = Không giải phơng trình, tính giá trị biểu thức sau: A=2x1 − 3x1 x 2+2x − 3x1 x ; 3x +5x x 2+ 3x2 B= 4x x + 4x x 3 2 2 Bài 2: Cho phơng tr×nh x2 – 2(m -1)x – m = a) Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm x1 ; x2 víi mäi m 1 b) Víi m 0, lập phơng trình ẩn y thoả mÃn y 1=x 1+ x vµ y 2=x 2+ x Bài 3: Cho phơng trình 2x2 3x – = cã hai nghiÖm x1 ; x2 HÃy thiết lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 tho¶ m·n: ¿ a ¿ y 1=x 1+ 2¿ y 2=x +2 ¿ b¿ ¿ ¿ y 1= x1 x ¿ y2 = ¿ ¿ { x2 x1 2 Bài 4: Cho phơng tr×nh x2 + x – = cã hai nghiệm x1 ; x2 HÃy thiết lập phơng trình ẩn y cã hai nghiƯm y1 ; y2 tho¶ m·n: x x y y a ¿ y + y 2= + ¿ + =3x1 +3x ¿ ; x2 x y y ¿ b ¿ ¿ ¿ y 1+ y 2=x1 + x ¿ y + y +5x 2 Bài 5: Cho phơng trình 2x2 + 4ax a = (a tham sè, a ≠ 0) cã hai nghiệm x1 ; x2 HÃy lập phơng trình ẩn y cã hai nghiƯm y1 ; y2 tho¶ m·n: y 1+ y 2= 1 + vµ x1 x2 1 + =x 1+ x2 y1 y2 Dạng 3: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm Bài 1: a) Cho phơng trình (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = (ẩn x) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Cho phơng trình (2m – 1)x2 – 2(m + 4)x + 5m + = Tìm m để phơng trình có nghiệm c) Cho phơng trình: (m 1)x2 2mx + m = - Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm - Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép d) Cho phơng trình: (a 3)x2 2(a – 1)x + a – = T×m a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt Bài 2: Cho phơng trình: (m2 + m 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = Xác định m để phơng trình có nghiệm Dạng 3: Xác định tham số để nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = thoả mÃn điều kiện cho trớc Bài 1: Cho phơng trình: x2 2(m + 1)x + 4m = 1) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép 2) Xác định m để phơng trình có nghiệm Tính nghiệm lại 3) Với điều kiện m phơng trình có hai nghiệm dấu (trái dấu) 4) Với điều kiện m phơng trình có hai nghiệm dơng (cùng âm) 5) Định m để phơng trình có hai nghiệm cho nghiệm gấp đôi nghiệm 6) Định m để phơng trình có hai nghiƯm x1; x2 tho¶ m·n 2x1 – x2 = - 2 7) Định m để phơng trình có hai nghiÖm x1; x2 cho A = 2x12 + 2x22 x1x2 nhận giá trị nhỏ Bài 2: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mÃn hệ thøc ®· chØ ra: a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – = ; (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 b) mx2 – (m – 4)x + 2m = ; 2(x12 + x22) = 5x1x2 c) (m – 1)x – 2mx + m + = ; 4(x12 + x22) = 5x12x22 Bài 3: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mÃn hệ thức đà ra: a) x2 + 2mx – 3m – = ; 2x1 – 3x2 = b) x2 – 4mx + 4m2 – m = ; x1 = 3x2 c) mx + 2mx + m – = ; 2x1 + x2 + = d) x2 – (3m – 1)x + 2m2 – m = ; x1 = x22 2 e) x – 4x + m + 3m = ; x12 + x2 = Bài 4: a) Cho phơnmg trình: (m + 2)x2 (2m – 1)x – + m = T×m điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 cho nghiệm gấp đôi nghiệm b) Ch phơng trình bậc hai: x2 – mx + m – = T×m m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 cho biÓu thøc R= 2x x +3 x + x +2(1+ x x 2) đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn c) Định m để hiệu hai nghiệm phơng trình sau mx2 (m + 3)x + 2m + = Bµi 5: Cho phơng trình: ax2 + bx + c = (a 0) Chứng minh điều kiện cần đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp đôi nghiệm 9ac = 2b2 Dạng 4: So sánh nghiệm phơng trình bậc hai với số Bài 1: a) Cho phơng trình x2 (2m 3)x + m2 3m = Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả m·n < x1 < x2 < b) Cho phơng trình 2x2 + (2m 1)x + m = Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mÃn: - < x1 < x2 < Bµi 2: Cho f(x) = x2 – 2(m + 2)x + 6m + a) Chứng minh phơng trình f(x) = có nghiệm với m b) Đặt x = t + Tính f(x) theo t, từ tìm điều kiện m để phơng trình f(x) = có hai nghiệm lớn Bài 3: Cho phơng tr×nh bËc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = a) Với giá trị tham số a, phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn Bài 4: Cho phơng trình: x2 + 2(m 1)x (m + 1) = a) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm nhỏ nghiệm lớn b) Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ Bài 5: Tìm m để phơng trình: x2 mx + m = có nghiệm thoả mÃn x1-2x2 Dạng 5: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình bậc hai không phụ thuộc tham số Bài 1: a) Cho phơng trình: x2 mx + 2m = Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình không phụ thuộc vào tham số m b) Cho phơng trình bậc hai: (m 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = Khi phơng trình có nghiệm, hÃy tìm hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m c) Cho phơng trình: 8x2 4(m 2)x + m(m 4) = Định m để phơng tr×nh cã hai nghiƯm x1 ; x2 T×m hƯ thøc hai nghiệm độc lập với m, suy vị trí nghiệm hai số Bài 2: Cho phơng trình: x2 2mx – m2 – = a) Chøng minh r»ng phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 với m b) Tìm biểu thức liên hệ x1 ; x2 không phụ thuộc vào m c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả m·n: x1 x2 + =− x2 x1 Bài 3: Cho phơng trình: (m 1)x2 2(m + 1)x + m = a) Giải biện luận phơng trình theo m b) Khi phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2: - Tìm hệ thức x1 ; x2 độc lập với m - T×m m cho |x1 – x2| ≥ Bài 4: Cho phơng trình (m 4)x2 2(m – 2)x + m – = Chøng minh phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 th×: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + = Dạng 6: Mối quan hệ nghiệm hai phơng trình bậc hai Kiến thức cần nhớ: 1/ Định giá trị tham số để phơng trình có mét nghiƯm b»ng k (k ≠ 0) lÇn mét nghiƯm phơng trình kia: Xét hai phơng trình: ax2 + bx + c = (1) a’x2 + b’x + c = (2) hệ số a, b, c, a’, b’, c’ phơ thc vµo tham sè m Định m để cho phơng trình (2) có mét nghiƯm b»ng k (k ≠ 0) lÇn mét nghiƯm phơng trình (1), ta làm nh sau: i) Giả sử x0 nghiệm phơng trình (1) kx0 nghiệm phơng trình (2), suy hệ phơng trình: ax + bx +c=0 a'k x + b'kx0 +c'=0 (∗) ¿{ 2 Giải hệ phơng trình phơng pháp cộng đại số để tìm m ii) Thay giá trị m vừa tìm đợc vào hai phơng trình (1) (2) để kiểm tra lại 2/ Định giá trị tham số m để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với Xét hai phơng tr×nh: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (3) a’x2 + b’x + c’ = (a’ 0) (4) Hai phơng trình (3) (4) tơng đơng với hai phơng trình có tập nghiệm (kể tập nghiệm rỗng) Do đó, muỗn xác định giá trị tham số để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với ta xÐt hai trêng hỵp sau: i) Trêng hỵp hai phơng trinhg cuùng vô nghiệm, tức là: (3)