Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán THPT chuyên tỉnh Nam Định năm 2020 - 2021

Có thể thực hiện công việc như sau: Bước 1: Bỏ đi một viên sỏi và chia chiếc túi này làm hai chiếc túi mới.. Bước 2: Chọn một trong hai túi này sao cho túi đó có ít nhất ba viên sỏi, [r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2020 – 2021

Mơn Tốn chun

Ngày thi 11/7/2020 Thời gian 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu (2,0 điểm)

a) Cho số thực x y z, , khác Đặt a x 1;

x

  b y 1;

y

  c xy

xy

 

Chứng minh a2b2 c2 abc4

b) Cho số thực a b, khác 2 thỏa mãn 2a1 2 b 1

Tính giá trị biểu thức 1

2

A

a b

 

 

Câu (2,0 điểm)

a) Giải phương trình: 2x2  x 3x x3

b) Giải hệ phương trình:

  

2

( )

2

2

x y

x y

x y x y x y

 

     



      

Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọnABCcó ABACnội tiếp đường tròn  O Một đường tròn tiếp xúc với cạnh AB AC, M N, có tâm I thuộc cạnh BC Kẻ đường cao AH tam giác ABC

a) Chứng minh điểm A M H I N, , , , thuộc đường trịn HA tia phân giác góc MHN b) Đường thẳng qua I vng góc với BC cắt MN K Chứng minh AK qua trung điểm D

BC

c) Tiếp tuyến đường tròn  O B C cắt điểm S Chứng minh CADBAS

Câu (1,5 điểm)

a) Tìm số nguyên x y, thỏa mãn x3y2xy21 a) Cho số nguyên dương a b c, , thỏa mãn c a b

b a

   Chứng minh ab lập phương số nguyên

dương

Câu (1,5 điểm)

a) Cho số thực không âm a b c, , thỏa mãn điều kiện a  b c Chứng minh rằng:

3 3 4

a    b c a b c

b) Ban đầu có 2020 viên sỏi túi Có thể thực công việc sau: Bước 1: Bỏ viên sỏi chia túi làm hai túi

Bước 2: Chọn hai túi cho túi có ba viên sỏi, bỏ viên từ túi chia túi làm hai túi mới, có ba túi

Bước 3: Chọn ba túi cho túi có ba viên sỏi, bỏ viên từ túi chia túi làm hai túi mới, có bốn túi

LỜI GIẢI ĐỀ TOÁN CHUYÊN LỚP 10/2020 THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI

THUVIENTOAN.NET

Câu a) Ta có:

2

2

2 2

2 2

2 3

2

2

1 1 1

1 1 1

2

1

a b c abc x y xy x y xy

x y xy x y xy

x y

x y x y xy xy

x y x y y x xy xy

x y x                                                                 

     2 2

2 2 2 2

1 1 1

1

4

x y x y

y x y     y  x  x y



Suy điều phải chứng minh

b) Ta có: 2a1 2 b  1 4ab2(a   b) 2ab      a b a b 2ab

Lại có:

    

 

 

2

2 4

2 2 4

ab

b a a b ab

A

a b a b ab ab ab ab



      

    

        

Vậy

3

A

Câu

a) Điều kiện xác định: x 3 Ta có:

   

  

2

2

2

2 3

2 3

2 3

0

1

4

2

13 3

x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x x x x x x x x x                                                          

Vậy phương trình cho có hai nghiệm 1, 13

x x 

b) Điều kiện xác định: ,

  

  

    

  

2

1 2

1

1

1

2

x y x y x y

x y x y x y x y

x y x y x y

x y

x y x y

x y

    

        

       

   

      

   



Trường hợp 1: x 1 y Do 1 2

2 2

x      y y y 

Do 1 2

2

y   y Do suy ra:   2 2y2

Khi đó:    

2

1

2

2 2

xy  y

  

Lại có:  2x 1 2y122x 1 2y 1 2x1 2 y 1 2(xy) 2 Suy ra: 2x 1 2y 1

Suy  

2

2

2

x y

x  y  

Đẳng thức xảy

y 

y

Với

2

y  ta có

x Với

2

y ta có

2

x 

Trường hợp 2: x  4 2y

Do

2 2

x    y   ymà

2

y Suy khơng có giá trị thỏa mãn

Vậy hệ cho có hai nghiệm  ;  3; , 3;

2 2

x y       

   

a) Ta có: AMIANI90oAHINăm điểm A M H I N, , , , thuộc đường trịn đường kính AI Do AM AN, tiếp tuyến đường tròn tâm I bán kính IM AM ANmà AM AN, thuộc đường trịn đường kính AI AM  ANAHMAHN Hay HA phân giác MHN

b) Từ K kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB AC, X Y, Vì KIBC nên IK XYXKI XMI90

Suy tứ giác IMXK nội tiếp IXKIMK  1 Tương tự IKNY nội tiếp IYKINK 2 Mà tam giác IMN cân I nên IMNINM 2

Từ    1 ,  3 suy IXKIYK tam giác IXY cân I Mà IKXYKX KY

Lại có: XY BC XK YK

BD CD

 

 mà XKYKBDCDD trung điểm BC

c) Ta có OS trung trực BC Hay O D S, , thẳng hàng

Từ suy 2

OD OS OC OA Hay OADOSAOADOSA Mặt khác: OSAHAS

Suy OADHAS Lại có  





90 90

2

o o AOC

BAH  ABH  OAC

Do đó: CADBAS Câu

a) Ta có phương trình tương đương:   2

2

1

1

1

x

x x x y

x x y

  

         



Với x1 ta có y thỏa mãn Với y2x2 x Ta có

1

x  x số phương,

Xét x0, ta có: 2  2

1

x x   x x Suy  2

1

x   x x  x

Với x0 ta tìm y1 y 1

Xét x0, ta có: x12x2   x x 2 Suy

 

2

2

1

1

1

x x x

x

x x x

   

   

     

Với x 1, ta có: y1 y 1

Tóm lại hệ cho có nghiệm x y;       1;k , 0;1 , 0; ,  1;1 ,  1; 1 với k

b) Từ c a b

b a

   với a b c, , *

Nhân hai vế với a ta được: ac a a2 b a b a kb b

       với k*

Nhân hai vế với b ta được:  

2

2

1 b

bc ab b a b kb b k

a

Thay vào phương trình đầu suy ra: c a b 1 b k b k b k b 2

a b k b bk



          

Từ  1  2 suy ra: bk Suy ra: ab2

Vậy

abb

Câu

a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

           

3 3 3

1

1 1

8a  a b  b c   c a b c b c a c ab

Ta có:

     

2 2 3

(a b c )(abbcca)a b c abc a  b c a bc

Do cần chứng minh:  2 2 

8

a b c abbcca 

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

2 2 2 2

1(a b c) a b c 2(abbcca)2 (a b c )2(abbcca)

Suy  2 2 

8

a b c abbcca  Từ ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy 1,

2

a b c hoán vị chúng b) Trước hết ta có nhận xét:

Nhận xét 1: Cứ bước tổng số viên bị bị giảm viên Suy tổng số bi tất túi sau bước thứ n 2020 – n viên bi

Nhận xét 2: Sau bước tổng số túi thêm túi Như sau bước thứ n có n1 túi Giả sử tồn bước thứ k k  thỏa mãn yêu cầu đề bài: Tất túi có hai viên

Áp dụng nhận xét 1, số viên bi sau bước thứ k 2020k viên

Theo nhận xét số túi sau bước k k1 túi Khi tổng số viên bi tất túi 2k1 viên Như vậy: 2k 1 2020 k 3k2018.Vô lý k số tự nhiên

Vậy không tồn bước thỏa mãn yêu cầu đề