GV- TRẦN VĂN TÌNH – 0988 339 256 CHUYÊNĐỀ LUYỆN THI TOÁN - CLC CHUYÊNĐỀPHƯƠNGTRÌNHCHỨACĂN BẬC HAI I/ DẠNG 1: f(x) e với e ≥ số 1/ Trường hợp: f(x) = ax + b f(x) = ax b thì: cx d Bước 1: Giải điều kiện f(x) ≥ để tìm điều kiện x Bước 2: Bình phương vế phươngtrình (để làm căn) Bước 3: Giải phươngtrìnhđể tìm nghiệm x thỏa mãn điều kiện Ví dụ 1: Giải phươngtrình sau: a) 2x b) x 1 6 2x 2x 2 x 1 c) d) 2x 2 x 1 2/ Trường hợp: f(x) = ax2 + bx + c kiểm tra biểu thức f(x) * Nếu f(x) = ax2 + bx + c = (Ax ± B)2 tức có dạng đẳng thức thì: KHAI CĂN Ax B e => Tìm x Ax B e Phươngtrình Ax B e Ví dụ 2: Giải phươngtrình sau: x 4x Hướng dẫn Vì x2 – 4x + = (x – 2)2, ta có x x x 3 x 1 PT x x * Nếu f(x) = ax2 + bx + c khơng có dạng đẳng thức thì: BÌNH PHƯƠNG VẾ Bước 1: Viết điều kiện f(x) ≥ Bước 2: Bình phương vế phươngtrình (để làm căn) Bước 3: Giải phươngtrình bậc hai có cách: Phân tích thành nhân tử, đưa phươngtrình tích Ví dụ 3: Giải phươngtrình sau: x 4x 15 Hướng dẫn Nhận xét: x2 – 4x – khơng có dạng (Ax ± B)2 nên ta khơng đưa phươngtrình trị tuyệt đối Ví dụ Điều kiện: x2 – 4x – ≥ GV- TRẦN VĂN TÌNH – 0988 339 256 CHUYÊNĐỀ LUYỆN THI TOÁN - CLC Bình phương hai vế phươngtrình ta được: x2 – 4x – = 15 x2 – 4x – 21 = (x – 7) (x + 3) = x = x = - Thay x tìm vào điều kiện ta thấy x = x = - thỏa mãn Vậy phươngtrình có nghiệm x = ; x = - Ví dụ 4: Giải phươngtrình sau: (x 2)(x 3) Hướng dẫn Nhận xét: Nhìn Ví dụ khác với dạng Ví dụ thực dạng Vì f(x) = (x – 2)(x + 3) = x2 + x - Do cách giải tương tự Ví dụ 3: x x x x x 3 Điều kiện: (x – 2)(x + 3) ≥ x x x 3 x x 3 Bình phương hai vế phươngtrình ta được: (x – 2)(x + 3) = 25 x2 + x - = 25 x2 + x – 31 = (x2 + x + 1 ) - – 31 = 4 1 125 =0 x ) 2 15 x 125 2 x (t / m) x x 8 (t / m) 2 x 15 2 Vậy phươngtrình có nghiệm x = ; x = - II/ DẠNG 2: f(x) g(x) 1/ Phương pháp f(x) g(x) Bước 1: Viết điều kiện phương trình: Nếu f(x) có dạng (Ax ± B)2 cần điều kiện g(x) Bước 2: Nhận dạng loại dạng tương ứng với phương pháp giải sau: * LOẠI 1: Nếu f(x) có dạng đẳng thức (Ax ± B)2 KHAI CĂN đưa phươngtrình trị tuyệt đối để giải GV- TRẦN VĂN TÌNH – 0988 339 256 CHUYÊNĐỀ LUYỆN THI TOÁN - CLC * LOẠI 2: Nếu f(x) = Ax ± B g(x) = Ex ± D dùng phương pháp BÌNH PHƯƠNG HAI VẾ * LOẠI 3: Nếu f(x) = Ax2 + Bx + C (khơng có dạng đẳng thức (Ax ± B)2 ) g(x) = Ex ± D dùng phương pháp BÌNH PHƯƠNG HAI VẾ * LOẠI 4: Nếu f(x) = Ax2 + Bx + C g(x) = Ex2 + Dx + F thử phân tích f(x) g(x) thành nhân tử, chúng có nhân tử chung đặt nhân tử chung đưa phươngtrình tích Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm xem có thỏa mãn điều kiện khơng, rối kết luận nghiệm 2/ Các ví dụ Ví dụ 5: Giải phương trình: 2x 3 x Hướng dẫn Điều kiện: x x x 2x x PT 2x x x 2x (x 5) Kết hợp điều kiện => Phươngtrình vơ nghiệm Ví dụ 6: Giải phương trình: x2 6x x Hướng dẫn Nhận xét: x2 – 6x + = (x – 3)2 dạng bình phương hiệu Điều kiện: x x 7 x x x x (x 5) x 1 PT x x Kết hợp điều kiện => Phươngtrình có nghiệm x = - Ví dụ 7: Giải phương trình: 2x x Hướng dẫn 2x x Điều kiện: x x x Bình phương hai vế ta có: 2x x 2x x 4x x x Theo điều kiện => Phươngtrình có nghiệm x = GV- TRẦN VĂN TÌNH – 0988 339 256 CHUYÊNĐỀ LUYỆN THI TỐN - CLC Ví dụ 8: Giải phương trình: x 5x x Hướng dẫn Nhận xét: f(x) = x2 - 5x – khơng có dạng đẳng thức (Ax ± B)2 nên để phá ta dùng phương pháp BÌNH PHƯƠNG HAI VẾ x 5x Điều kiện: x PT x2 5x x 4x x 10 Thay x = - 10 vào điều kiện thấy không thỏa mãn Vậy phươngtrình vơ nghiệm 3/ Bài tập vận dụng: Giải phươngtrình sau: a) x 8x 16 x b) x 2x x c) 2x 27 x 2 III/ DẠNG 3: f(x) h(x) g(x) Bước 1: Nếu thân f(x) g(x) có chứa bậc hai có điều kiện Bước 2: Đưa phươngtrình dạng phươngtrình trị tuyệt đối f(x) h(x) g(x) Bước 3: Xét dấu trị tuyệt đối giải phươngtrình Ví dụ 9: Giải phươngtrình x x x x Hướng dẫn Điều kiện: x ≥ Với phươngtrình ta dễ dàng nhận thấy: x44 x PT x 2 x 96 x x 2 x 3 1 x 2 TH1: Nếu x x ta có x 0 x = => Pt có vơ số nghiệm x ≥ x 3 GV- TRẦN VĂN TÌNH – 0988 339 256 CHUYÊNĐỀ LUYỆN THI TOÁN - CLC x x ta có x x TH2: Nếu x x x x (Loại) x 2 0 x TH3: Nếu x x x x 2 0 TH4: Nếu x x ta có x x 3 x x => Pt có vơ nghiệm Kết luận: Vậy phươngtrình có vơ số nghiệm x ≥ Ví dụ 10: (HS tự giải) Giải phương trình: x x x x IV/ PHƯƠNG PHÁP ĐẶC BIỆT TRONG GIẢI PHƯƠNGTRÌNHCHỨACĂN Trong mục THẦY lấy ví dụ cụ thể để em làm quen, từ vận dụng cho việc giải phươngtrình tương tự 1/ PHƯƠNG PHÁP đặt ẩn phụ đưa phươngtrình bậc hai phươngtrình đơn giản Ví dụ 11: Giải phươngtrình x - x + = Hướng dẫn Điều kiện: x ≥ Đặt x = t ≥ => x = t2, ta có phương trình: t2 – 5t + = (Cách giải phươngtrình bậc học chương sau) Với phươngtrình hồn tồn phân tích vế trái thành nhân tử để đưa phươngtrình tích Ví dụ 12: Giải phương trình: x x Hướng dẫn x x 1 x Điều kiện: Đặt x t => x + = t2, ta có phươngtrình t t2 t2 t (*) GV- TRẦN VĂN TÌNH – 0988 339 256 CHUYÊNĐỀ LUYỆN THI TỐN - CLC Phươngtrình (*) thuộc phươngtrình LOẠI – DẠNG 2: Điều kiện (*) là: – t ≥ t ≤ 5, BÌNH PHƯƠNG VẾ (*) ta có t2 + = 25 – 10t + t2 t = (thỏa mãn điều kiện ≤ t ≤ 5) x 1 x 1 x Vậy phươngtrình có nghiệm x = Ví dụ 13: Giải phươngtrình x 2x x 2x Hướng dẫn Điều kiện: x2 – 2x – ≥ PT x 2x x 2x 10 Đặt t x2 2x t x2 2x ta có: t t2 + 3t – 10 = (t – 2)(t + 5) = t 5 Với t = - (loại) Với t = => x2 2x x2 – 2x – = (x2 – 2x + 1) – = x 2 x 2 x 2 x 2 (x - 1)2 = (thỏa mãn điều kiện) Ví dụ 14: (HS tự giải) Giải phương trình: x 6x x 6x 2/ PHƯƠNG PHÁP đánh giá biểu thức dấu lớn nhỏ số Áp dụng với phương trình: c f(x) c h(x) d g(x) e với d c d e 2 Thường chưa nhìn thấy dạng phươngtrình này, mà đơi tách hệ số có [f(x)]2 ; [h(x)]2 [g(x)]2 Ví dụ 15: Giải phươngtrình 3x 6x 12 5x 10x 30 Hướng dẫn Nhận xét: 3x2 + 6x + 12 = 3(x2 + 2x + 1) + = 3(x + 1)2 + ≥ => 3x 6x 12 ≥ 5x4 - 10x2 + 30 = 5(x2 - 2x + 1) + 25 = 5(x - 1)2 + 25 ≥ 25 => 5x 10x 30 ≥ Do đó: 3x 6x 12 5x 10x 30 GV- TRẦN VĂN TÌNH – 0988 339 256 CHUYÊNĐỀ LUYỆN THI TOÁN - CLC 3x 6x 12 x 3 x 1 = Phươngtrình thỏa mãn x 1 2 x -1 5x 10x 30 5 x -1 25= 25 Vậy phươngtrình có nghiệm x = - Ví dụ 16: Giải phương trình: 3x 6x 5x 10x 14 2x x Hướng dẫn Nhận xét: 3x2 + 6x + = 3(x2 + 2x + 1) + = 3(x + 1)2 + ≥ => 3x 6x ≥ 5x2 + 10x + 14 = 5(x2 - 2x + 1) + = 5(x + 1)2 + ≥ => 5x 10x 14 ≥ – 2x – x2 = – (x2 + 2x + 1) = – (x + 1)2 ≤ 3x 6x 5x 10x 14 Khi đó: 4 2x x 3x 6x Phươngtrình thỏa mãn 5x 10x 14 x x 1 4 2x x Vậy phươngtrình có nghiệm x = - ... giải phương trình tương tự 1/ PHƯƠNG PHÁP đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc hai phương trình đơn giản Ví dụ 11: Giải phương trình x - x + = Hướng dẫn Điều kiện: x ≥ Đặt x = t ≥ => x = t2, ta có phương. .. x t => x + = t2, ta có phương trình t t2 t2 t (*) GV- TRẦN VĂN TÌNH – 0 988 339 256 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI TOÁN - CLC Phương trình (*) thuộc phương trình LOẠI – DẠNG 2: Điều kiện... x x Theo điều kiện => Phương trình có nghiệm x = GV- TRẦN VĂN TÌNH – 0 988 339 256 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI TOÁN - CLC Ví dụ 8: Giải phương trình: x 5x x Hướng dẫn Nhận xét: