Chuyên đề 18 phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Chuyên đề 18 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC A Kiến thức cần nhớ Bước 1: Tìm điều kiện xác định phương trình, (tức tìm giá trị ẩn làm tất mẫu thức phương trình khác 0) Viết tắt: ĐKXĐ Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế phương trình khử mẫu Bước 3: Giải phương trình vừa nhận Bước 4: (Kết luận) Trong giá trị tìm bước 3, giá trị thỏa mãn điều kiện xác định nghiệm phương trình cho  Chú ý Nếu A( x ) = x = x1 x = x2 A( x ) ¹ x ¹ x1 x ¹ x2 B Một số ví dụ Ví dụ Giải phương trình: a) 1 + = x - x - 2x - 2x - b) 25 + x = 25 x - x +1 1- x ( 1) ( 2)  Tìm cách giải a) Do x - = ( x - 3) ; x - = ( x - 2) nên ĐKXĐ x - ¹ 0; x - ¹ x - ¹ Thực bước giải b) Ta tìm ĐKXĐ tức tìm giá trị ẩn làm tất mẫu thức 25 x - 1;5 x +1; x - phương trình khác Mà 25 x - = ( x +1) ( x - 1) nên ĐKXĐ x +1 ¹ x - ¹ Thực đầy đủ bước giải phương trình có ẩn mẫu Giải a) ĐKXĐ: x ¹ 1; x ¹ x ¹ Hai giá trị x =1,5 x = thỏa mãn ĐKXĐ nên nghiệm phương trình (1) b) ĐKXĐ: x ¹ ±0, ( 2) Þ 25 + x = ( x - 1) + ( x +1) Û 25 + x = 20 x - + 30 x + Û - 46 x =- 23 Û x = 0,5 Giá trị thỏa mãn ĐKXĐ Vậy phương trình có nghiệm x = 0,5 x - x - x - 41 x - + = Ví dụ Giải phương trình x +1 x - 3x - x- Giải ( 1) Ta có ( 1) Û x - x - x - 41 3x - + = x +1 ( x +1) ( x - 4) x- ĐKXĐ: x ¹ x ¹ - Quy đồng mẫu số hai vế khử mẫu ta có phương trình: ( x - 5) ( x - 4) + x - x - 41 = ( 3x - 8) ( x +1) Û x - 13 x + 20 + x - x - 41 = x - x - Û - 13x = 13 Û x =- Giá trị không thỏa mãn ĐKXĐ Vậy phương trình (1) vơ nghiệm Ví dụ Cho A ( x) = ( x - x - 6) ( x - 5) x ( x + x + 2) B ( x) = ( x2 - x - 6) ( x - 4) 3x3 + x2 + x a) Tìm x để giá trị hai biểu thức A(x) B(x) nhau; b) Tìm x để A( x) =5 B ( x) * Tìm cách giải: Bài tốn tìm X để giá trị hai biểu thức A(x) B(x) quy tìm nghiệm phương trình A(x) = B(x) Xét A( x) = đặc biệt lưu ý A(x); B(x) có nghĩa B ( x ) ¹ B ( x) Giải ( x - x - 6) ( x - 5) ( x - x - 6) ( x - 4) = a) Để A(x) = B(x) x ( x + x + 2) x ( x + x + 2) 2 ĐKXĐ: x ( x + x + 2) ¹ 3x + x + x ¹ hay 3x ( x + x + 2) ¹ Do x + x + = ( x +1) +1 ¹ 0, " x nên ĐKXĐ x ¹ 2 Từ phương trình suy ra: 3( x - x - 6) ( x - 5) = ( x - x - 6) ( x - 4) Û ( x - x - 6) ( x - 15) - ( x - x - 6) ( x - 4) = Û ( x - x - 6) ( x - 15 - x + 4) = éx - = ê Û ( x - 3) ( x + 2) ( x - 11) = Û êx + = Û ê ê2 x - 11 = ë Cả ba giá trị thỏa mãn ĐKXĐ Vậy với x =- 2; x = 3; x = 5,5 A(x) = B(x) éx = ê êx = - ê êx = 5,5 ë x - x - 6) ( x - 5) ( x - x - 6) ( x - 4) A( x) ( = nghĩa : =5 b) B ( x) 3x3 + x + x x ( x + x + 2) ( x - x - 6) ( x - 5) 3x ( x + x + 2) = ( *) Hay x ( x + x + 2) ( x - x - 6) ( x - 4) Do x + x + = ( x +1) +1 ¹ 0, " x , nên ta có x ( x - x - 6) ( x - 5) ( *) Û x ( x - x - 6) ( x - 4) =5 x ( x + 2) ( x - 3) ( x - 5) =5 x ( x + 2) ( x - 3) ( x - 4) ĐKXĐ: x ¹ 0; x ¹ - 2; x ¹ 3; x ¹ Từ ĐKXĐ phương trình suy 3( x - 5) - ( x - 4) = Û x - 15 - x + 20 = Û x = Û x = 2, thỏa mãn ĐKXĐ  Nhận xét: Từ x ( x + 2) ( x - 3) ( x - 5) = suy 3( x - 5) - ( x - 4) = x ( x + 2) ( x - 3) ( x - 4) Ta hiểu sau: Do x ¹ 0; x ¹ 2; x ¹ ; nên x ( x - 2) ( x - 3) ¹ Do chia tử mẫu cho số khác ta có 3( x - 5) = với x ¹ ta phương trình tương đương 3( x - 5) - ( x - 4) = ( x - 4) Hoặc hiểu sau: Từ x ( x + 2) ( x - 3) ( x - 5) = với x ¹ 0; x ¹ - 2; x ¹ 3; x ¹ ta có: x ( x + 2) ( x - 3) ( x - 4) 3x ( x + 2) ( x - 3) ( x - 5) = x ( x + 2) ( x - 3) ( x - 4) ù Û x ( x + 2) ( x - 3) é ë3( x - 5) - ( x - 4) û= Û 3( x - 5) - 5( x - 4) = x ( x + 2) ( x - 3) ¹ Ví dụ Cho phương trình ẩn x: x + 2m x +5 - 1= +1 (với m số) x- 2m - x a) Giải phương trình với m = 5; a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 10 ; b) Giải phương trình với tham số m * Tìm cách giải: Đây phương trình tham số Khi giải cần lưu ý biện luận theo giá trị tham số m Giải x + 2m x +5 x + 2m x +5 - 1= +1 Û + =2 x- 2m - x x- x - 2m a) Khi m = ta có: x +10 x + + =2 x - x - 10 ( 1) Với ĐKXĐ x ¹ x ¹ 10 2 từ ( 1) Þ x - 100 + x - 25 = x - 30 x +100 Û 30 x = 225 Û x = 7,5 (thỏa mãn ĐKXĐ) b) Nếu x = 10 ta có ( 10 + 2m 15 + =2 10 - 2m ( 2) Vi KX m ( 2) ị 100 - 4m + 75 = 100 - 20m Û 4m - 20m - 75 = é2m - 15 = Û ( 2m - 15) ( 2m + 5) = Û ê Û ê m + = ë c) ém = 7,5 ê êm = - 2,5 ë Điều kiện nghiệm có x ¹ x ¹ 2m Biến đổi phương trình x + 2m x +5 + = thành x- x - 2m ( x + 2m) ( x - 2m) +( x + 5) ( x - 5) = ( x - 5) ( x - 2m) Û x - 4m + x - 25 = x - mx - 10 x + 20m Û 4mx +10 x = 4m + 20m + 25 Û x ( 2m + 5) = ( 2m + 5) Nếu m ¹ - 2,5 x = ( *) 2m + Giá trị nghiệm phương trỡnh nu 2m + 2m ị 2m + ¹ 4m Û m ¹ 2,5 2m + ị 2m + 10 ị m 2, Nu m =- 2,5 (*) có dạng x = Phương trình nghiệm " x ¹ ±5 Kết luận: Nếu m ¹ ±2,5 phương trình có nghiệm x = Nếu m = 2,5 phương trình vơ nghiệm; Nếu m =- 2,5 phương trình nghiệm " x ¹ ±5 Nhận xét: Câu b) có cách giải khác sau: 10 + 2m 15 + = Þ 100 - 4m + 75 = 100 - 20m 10 - 2m Û 100 = 4m - 20m + 25 2m + é2m - =10 Û 102 = ( 2m - 5) Û ê Û ê m = ë é2m =15 ê Û ê m = ë ém = 7,5 ê ê ëm = - 2, Ví dụ Giải phương trình: 1 1 1 + + + + = y + y y + y + y + y + y + y +12 y + y + 20 15 * Tìm cách giải: Các phân thức vế trái sau phân tích mẫu thành nhân tử có dạng Ta có: a ( a +1) ( a +1) - a a +1 a 1 = = = a ( a +1) a ( a +1) a ( a +1) a ( a +1) a a +1 Giải ĐKXĐ: y ¹ 0; y ¹ - 1; y ¹ - 2; y ¹ - 3; y ¹ - 4; y ¹ - Biến đổi phương trình dạng: 1 1 1 + + + + = y ( y +1) ( y +1) ( y + 2) ( y + 2) ( y + 3) ( y + 3) ( y + 4) ( y + 4) ( y + 5) 30 Û 1 1 1 1 1 + + + + = y y +1 y +1 y + y + y + y + y + y + y + 30 Û 1 = y y + 30 Þ 30 ( y + 5) - 30 y = y + y Û y + y - 150 = éy - 10 = Û ( y - 10) ( y +15) = Û ê Û ê ëy +15 = éy =10 ê ê ëy = - 15 Tập nghiệm S = { - 15;10} Ví dụ Giải phương trình (với z ẩn; m, n tham số): m ( z +1) z - - n mz + = z +1 z - z - * Tìm cách giải Phương trình có ẩn mẫu chứa tham số, cần lưu ý ĐKXĐ biện luận theo tham số m n Giải ĐKXĐ: z ¹ ±1 Khi phương trình (PT) trở thành m ( z +1) z - m ( z +1) - n ( z - 1) +( 1- mz ) ( z +1) Û z2 - - n 1- mz + =0 z +1 z- =0 mz + m - nz + n + z +1- mz - mz =0 z2 - Û ( m + n +1) - ( m + n - 1) z Û z2 - =0 Þ ( m + n +1) - ( m + n - 1) z =  Nếu n + n - = phương trình trở thành - z = Û z = Phương trình vơ nghiệm Do PT vơ nghiệm  Nếu Û m + n - ¹ z = m + n +1 m +n- Đối chiếu với ĐKXĐ ta thấy: z= m + n +1 ¹ ln thỏa mãn m +n- z = suy = -1, vơ lí z= m + n +1 ¹ - thỏa mãn m + n ¹ m +n- Vì z =- m + n +1 =- m + n +1 =- m - n +1 suy ( m + n) = hay m + n = m +n- Kết luận:  Nếu m + n = m + n = PT vơ nghiệm  Nếu m + n ¹ m + n ¹ PT có nghiệm z = C Bài tập vận dụng 18.1 Giải phương trình: a) x +3 x - 2x2 + = ; x - x + x + x - 12 b) 3 + = ; x- x- x- c) x- +1 = ; x +2 x - x +x- d) +1 = x- x - 5x + x - m + n +1 m +n- Hướng dẫn giải – đáp số a) ĐKXĐ: x ¹ 3; x ¹ - Lưu ý: x + x - 12 = ( x - 3) ( x + 4) Đáp số: x = 27 b) ĐKXĐ: x ¹ 2; x ¹ 3; x ¹ Biến đổi thành x - 17 x + 30 = Đáp số: x = 2,5; x = c) ĐKXĐ: x ¹ 1; x ¹ - Lưu ý: x + x - = ( x - 1) ( x + 2) Đáp số x =- 0,8 d) ĐKXĐ: x ¹ 1; x ¹ Lưu ý: x - x + = ( x - 1) ( x - 4) Đáp số: x = 2; x =- 18.2 Giải phương trình: a) + b) + x 3x - 35 = - ; 3- x x +3 x - x - x - 21 + = 2- x x - x + 2x + x - 3x 25 5- 2x x + 61 + = + c) x + x x + x - x - ( x - 3) ( x + 3) Hướng dẫn giải – đáp số a) ĐKXĐ: x ¹ 3; x ¹ - Lưu ý: x - = ( x - 3) ( x + 3) Biến đổi thành - x + x - = Đáp số: x = Ta có x - = ( x - 2) ( x + x + 4) mà x + x + = ( x +1) + > b) " x nên ĐKXĐ: x ¹ Biến đổi thành - ( x - 3x + x - 1) = Đáp số: x = ĐKXĐ: x ¹ 1,5; x ¹ - Lưu ý: x + 3x - = ( x - 3) ( x + 3) c) Biến đổi thành x - x - 21 = Û ( x + 3) ( x - 7) = Û x = - x = Nghiệm x = (loại x =- khơng thỏa mãn ĐKXĐ) 18.3 Giải phương trình: a) y +1 + y ( y +1) +1 ( y - 1) +1 = ( y + 5) y4 + y ( y + 2) y ( y - 2) 36 - y = b) ; y + ( y + 2) y - ( y - 2) y + y +16 é ù 1 2y - 2 ú c) y ê êy ( y - 1) +1 y ( y +1) +1ú= ( y + y +1) y + y - y +1 ê ú ë û Hướng dẫn giải – đáp số Các phân thức phương trình xuất đa thức bạc bốn mẫu số, việc phân tích mẫu thành nhân tử đòi hỏi việc thêm, bớt hạng tử cách hơp lý, sáng tạo a) Nhận xét: ( y +1) +1 = y + y + > 0, " y ( y - 1) +1 = y - y + > 0, " y y + = ( y + 2) - y = ( y + y + 2) ( y - y + 2) > 0, " y Do ĐKXĐ " y Ỵ  Quy đồng, khử mẫu, chuyển vế thu gọn phương trình y + y - = Û ( y + 4) ( y - 2) = Û y = - y = Cả hai giá trị thỏa mãn ĐKXĐ Phương trình có hai nghiệm y =- y = b) Ta có y + ( y + 2) = y + y + = ( y +1) + > 0, " y y - ( y - 2) = y - y + = ( y - 1) + > 0, " y y + y +16 = y + y +16 - y = ( y + 4) - y = ( y + y + 4) ( y - y + 4) > 0, " y Do ĐKXĐ " y Ỵ  Quy đồng, khử mẫu, chuyển vế thu gọn được: y +16 y - 36 = Û ( y +18) ( y - 2) = Û y =- 18 y = Cả hai giá trị thỏa mãn ĐKXĐ Vậy phương trình có hai nghiệm y =- 18 y = é ù 1 2y - 2 ú c) y ê êy ( y - 1) +1 y ( y +1) +1ú= ( y + y +1) y + y - y +1 ê ú ë û ỉ 1ư Ta có: y ( y - 1) +1 = y - y +1 = ỗ y- ữ + > 0, " y ; ữ ỗ ữ ỗ ố 2ứ ổ 1ữ ö y ( y +1) +1 = y + y +1 = ỗ y+ ữ + > 0, " y ỗ ỗ ố 2ữ ứ y + y +1 = y + y +1- y = ( y +1) - y = ( y + y +1) ( y - y +1) > 0, " y Vậy ĐKXĐ y ¹ Thực bước giải ta nghiệm phương trình y = 1,5 18.4 Giải phương trình: a) 1ỉ 1ư ổ 1ử ữ ỗ ỗ z+ ữ = z + ữ ữ ỗ ỗ ữ 2ố ữ ỗ 2ứ ố zứ zỗ ổ 1ử ổ 1ử ổ 1ử ữ ỗ ỗ 1+ ữ = z + 1- + ữ ữ ữ ữ b) 3ỗ ỗ ỗ ç ÷ ÷è ÷; ç ç zø ç z z2 ø è zø è c) z - z +13 = 10 z - z +10 2 æz + z + ö - z3 ữ ỗ ữ+ = d) ỗ ữ ữ ỗ ố z- ứ ( z - 2) Hướng dẫn giải – đáp số a) ĐKXĐ: z ¹ 2 Biến đổi thành z - z - = Û ( x - 2) ( z + z + 2) = ộổ ử2 15 ự ờỗz + ữ 2z + z + = + ú Û z = ữ ờỗ ỳ> 0, " z ữ ỗ ố ứ 16 ỳ ỷ z = thỏa mãn ĐKXĐ nên nghiệm phương trình b) ĐKXĐ: z ¹ Ta có: z - z - 3z + = Û ( z +1) ( z - 2) ( z - 1) = Û z =- 1; z = z = Cả ba giá trị thỏa mãn ĐKXĐ nên nghiệm phương trình c) Do z - z +10 = ( z - 3) +1>0," z nên ĐKXĐ: " z Ỵ  Đặt z - z +10 = t > ta có ( t + 3) - 10 = Û t +3t - 10 = t Û ( t + 5) ( t - 2) = Û t = ( t > 0) Û z - z +10 = éz = Û ( z - 2) ( z - 4) = Û ê ê ëz = z = 2; z = thỏa mãn ĐKXĐ nên nghiệm phương trình d) ĐKXĐ: z ¹ Lưu ý z - = ( z - 2) ( z + z + 4) Đặt z + 2z + =t z- ét = - Biến đổi phương trình thành Û t + 8t + = Û ( t +1) ( t + 7) = Û ê ê ët =-  Với t =- z2 +2z +4 = - Û z + z + = Û ( z +1) ( z + 2) = z- éz = - Û ê Thỏa mãn ĐKXĐ ê ëz = -  Với t =- z2 +2z +4 = - Û z + z - 10 = Û ( z - 1) ( z +10) = z- éz = Û ê Thỏa mãn ĐKXĐ ê ëz = - 10 Vậy tập nghiệm phương trình S = { - 10; - 2; - 1;1} 18.5 Giải phương trình: a) ( t - 2) 2 t - 4t + - t - 4t + ( t - 2) = 90 b) t + 2t + t + 2t + 17 + = t + 2t + t + 2t + 12 c) 3t 2t + =1 t + 3t + t + t + 2 Hướng dẫn giải – đáp số Trong câu a); b) ta thấy xuất hạng tử chứa ấn bậc đa thức có hệ số giống nên sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải Câu c) sau chia tử mẫu cho xuất ẩn phụ a) ĐKXĐ: t ¹ - Đặt t - 4t = u u ¹ - u ¹ - Phương trình trở thành u + u +3 = Biến đổi u + 9u - 70 = u + u + 90 éu - = Û ( u - 5) ( u +14) = Û ê ê ëu +14 = ét =  Với u - = Û t - 4t - = Û ( t - 5) ( t +1) = Û ê ê ët = -  Với u +14 = Û t - 4t +14 = vơ nghiệm t - 4t +14 = ( t - 2) +10 > " t Phương trình có hai nghiệm t =- t = b) ĐKXĐ: " x Ỵ  t + 2t + = ( t +1) + > " t t + 2t + = ( t +1) + > " t Đặt t + 2t + = u phương trình trở thành u- u 17 + = u u +1 12 Biến đổi phương trình thành 7u - 17u - 12 = Û ( u - 3) ( 7u + 4) = Û u = 3( u >0) ét = 2 Hay t + 2t + = Û t + 2t = Û t ( t + 2) = Û ê ê ët = - Nghiệm phương trình t =- t = c) ĐKXĐ: t + 3t + = ( t +1) ( t + 2) ¹ t ¹ - t ¹ - ỉ 1÷ Vì t + t + = ỗ t+ ữ + > 0, " t Do t = nghiệm ị t ỗ ữ ỗ 2ứ ố Chia tử mẫu hai phân thức vế trái cho t ta phương trình: - 3 2 + =1 Û + =1 2 với t + = u u ¹ - u ¹ - u + u + t + + t + +1 t t t Giải phương trình với ẩn u ta u - u - = Û ( u - 3) ( u + 2) = Û u = u =- thỏa mãn ĐKXĐ 2 Với u = ta có t + = Û t - 3t + = Û ( t - 1) ( t - 2) = t Û t = t = 2 Với u =- ta có + =- Û t + 2t + = vơ nghiệm t t + 2t + = ( t +1) +1 > 0, " t Vậy nghiệm phương trình t = t = 18.6 Giải phương trình: ỉ æ 3x - ö 3x - ö +1ữ = ( x +11x + 20) ỗ +1ữ ÷ ÷ a) ( x + x - 4) ỗ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố8 - x ø è8 - x ø b) x 2x + x +7 = 2 2 x - 5x +3 x - x + x - x +3 x - x + Hướng dẫn giải – đáp số a) Hai vế có nhân tử chung Ta chuyển vế đưa dạng A( x ) B ( x ) = ĐKXĐ: x ¹ ỉ 3x - +1÷ ÷ Biến đổi phương trình thành ( x - x - 24) ç ç ÷= ç è 8x +9 ø éx = -  Với x - x - 24 = Û ( x + 4) ( x - 6) = Û ê ê ëx =  Với 3x - +1 = Û x - + - x = Û x = 8- 9x Cả ba giá trị x thỏa mãn ĐKXĐ nên tập nghiệm phương trình S = { - 4;1;6} b) Các mẫu số phức tạp nên không dễ tìm ĐKXĐ Nếu ta chuyển vế cộng, trừ phân thúc mẫu ta thấy xuất nhân tử chung ( x - 5) Từ có cách giải sau: Biến đổi phương trình dạng: x- x- =0 2 x - x +3 x - x + ỉ ( x - 5) ( - x) 1 ữ ( x - 5) ỗ = =0 ữ ỗ 2 ữ ỗ2 x - x + x - x + ø è ( x - x + 3) ( x - x + 7) Xét tử số ( x - 5) ( - x ) = Û x = x =  Với x = x - x + = Þ phương trình khơng xác định 2  Với x = ( x - x + 3) ( x - x + 7) = 28.12 ¹ Vậy nghiệm phương trình x = 18.7 Cho phương trình ỉ1 5a ( a + x ) x ữ xỗ + = ữ ỗ 2 ữ ỗ ốx + a x - a ứ ( x - a ) x - a với a số a) Tìm a để phương trình có nghiệm nghiệm phương trình b) Giải phương trình với a = Hướng dẫn giải – đáp số ĐKXĐ: x ¹ ±a Với ĐKXĐ ta biến đổi phương trình thành: x 2x 5a +15ax + = Quy đồng khử mẫu phương trình x + a x - a 4( x2 - a2 ) x ( x - a ) + x ( x + a ) = 5a - 15ax - 29 = ; x - x + 25 - x Û 12 x - 11ax - 5a = Û 12 x + 4ax - 15ax - 5a = Û ( x + a) ( x - 5a ) = a) Giải phương trình - 29 = với x ¹ ±5 ta có nghiệm x = x - x + 25 - x éa =- 1, Với x = ta có: ( 12 + a ) ( 16 - 5a ) = Û ê ê ëa = 3, éx = - b) Khi a = ( 3x + 6) ( x - 30) = Û ê thỏa mãn ĐKXĐ ê ëx = 7,5 ö m2 + n m2 n ổ 1ữ 2mn + ỗ + ÷ =- ( m + n) với m; n số m ¹ 0, n ¹ ; 18.8 Tỡm x bit ỗ ữ ỗ x x ốm n ø x Hướng dẫn giải – đáp số ĐKXĐ: x ¹ m + n + 2mn m n ổ 1ử + ỗ + ữ Chuyn v ta cú ữ ỗ ữ+( m + n) = ốm n ứ x x ỗ ( m + n) x + mn ( m + n ) +( m + n ) = x2 Quy đồng khử mẫu phương trình ù= ( m + n) x +( m + n) x + mn ( m + n) = Û ( m + n) é ê ëx +( m + n ) x + mn ú û  Nếu m + n = phương trình thỏa mãn " x ¹  Nếu m + n ¹ x +( m + n) x + mn = éx =- m Û ( x + m) ( x + n) = Û ê thỏa mãn ĐK x ¹ ê ëx = - n 18.9 Giải phương trình: a) 14 - = + x - x + x - x +12 x - x + x - x + 26 x - 24 b) 1 19 + + + = x + 3x + x + 5x + x + 39 x + 380 42 c) 2 + + + = x - x x - x +8 x - 18 x + 80 12 2 Hướng dẫn giải – đáp số a) ĐKXĐ: x ¹ 2; x ¹ 3; x ¹ Phân tích mẫu thành nhân tử ta có: - ( x - 2) ( x - 3) ( x - 3) ( x - 4) = ( x - 2) ( x - ) Quy đồng khử mẫu phương trình + 14 ( x - 2) ( x - 3) ( x - 4) 3( x - 4) - ( x - 2) = 5( x - 3) +14 Û 3x - 12 - x +8 = x - 15 +14 Û x =- 0,5 thỏa mãn ĐKXĐ b) ĐKXĐ: x Ï { - 1; - 2; - 3; ; - 19; - 20} Nhận xét: với n Î N ( x + n +1) - ( x + n) 1 = = x + n x + n +1 ( x + n) ( x + n +1) ( x + n) ( x + n +1) Biến đổi phương trình cho thành: ( x +1) ( x + 2) + ( x + 2) ( x + 3) + + ( x +19) ( x + 20) = 19 42 Û 1 1 1 19 + + + = x +1 x + x + x + x +19 x + 20 42 Û 1 19 = Quy đồng khử mẫu phương trình x +1 x + 20 42 éx =1 x + 21x - 22 = Û ( x - 1) ( x + 22) = Û ê thỏa mãn ĐKXĐ ê ëx = - 22 c) ĐKXĐ: x Ï { 0; 2; 4;6;8;10} Nhận xét: với n Ỵ N ta có ( x + n) - ( x + n - 2) 1 = = x +n - x + n ( x + n ) ( x + n - 2) ( x + n ) ( x + n - 2) Biến đổi phương trình cho thành: 2 + + + = x ( x - 2) ( x - 2) ( x - 4) ( x - 8) ( x - 10) 12 Û 1 1 1 1 - + + + = Û - = x- x x- x- x - 10 x - 12 x - 10 x 12 Quy đồng khử mẫu phương trình: x - 10 x - 24 = éx = 12 Û ( x - 12) ( x + 2) =0 Û ê thỏa mãn ĐKXĐ ê ëx = - x - x + x - x +12 x - 24 + = ( x - 5) - 18.10 Giải phương trình: x- x- x - 5x + Hướng dẫn giải – đáp số Ta vận dụng bước để giải Nếu quy đồng mẫu xuất đa thức bậc ba, việc thực dài Tuy nhiên có phương pháp sáng tạo ngắn gọn sau:  ĐKXĐ: x ¹ 2; x ¹ Biến đổi phương trình thành: x - x + ( x - x + 9) + x - 24 + = ( x - 5) x- x- ( x - 2) ( x - 3) Û ( x - 2) + Û x - 24 +( x - 3) + = ( x - 5) x- x- ( x - 2) ( x - 3) x - 24 + + =0 x - x - ( x - 2) ( x - 3) Quy đồng khử mẫu phương trình x + x - 36 = Û ( x + 9) ( x - 4) = Û x = - x = thỏa mãn ĐKXĐ 18.11 Giải phương trình: 2x 13 x + =6 x - 5x +3 x + x +3 (Thi vào lớp 10 chuyên Quốc học Huế, năm học 1996 - 1997) Hướng dẫn giải – đáp số ĐKXĐ: x - x + = ( x - 1) ( x - 3) ¹ x ¹ x ¹ 1,5 ỉ 1÷ 23 x = khơng nghiệm phương, đặt 2x + = t Do x2 + x +3 = 2ỗ x+ ữ + > 0, " x ỗ ỗ x ố 4ữ ứ PT Û 2x - + x 13 + x +1 + x =6 Û 13 + =6 t - t +1 ĐKXĐ t ¹ t ¹ - ét = Û 6t - 39t + 33 = 0t Û ( t - 1) ( 6t - 33) = Û ê ê ët = 5,5 é ê2 x + = ê x Û Ta có: ê 11 ê ê2 x + = ê x ë é2 x - x + = ( 1) ê ê ê ë4 x - 11x + = ( 2) ỉ 1ư 23 (1) vơ nghiệm x - x + = ỗ x- ữ + > 0, " x ữ ỗ ữ ỗ ố 4ứ ( 2) Û ( x - 2) ( x - 3) = Û x = x = thỏa mãn ĐKXĐ Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2; x = 18.12 Giải phương trình x + x3 ( x - 1) + 3 3x - 2=0 x- (Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, năm học 2000 - 2001) Hướng dẫn giải – đáp số 3 Từ ( a + b) = a + b3 + 3ab ( a + b) Þ a + b3 = ( a + b) - 3ab ( a + b) Áp dụng để giải phương trình Ta có ĐKXĐ: x ¹ ỉ x x ổ x 3x ữ ữ ỗ PT ç x + x x + + ÷ ữ ỗ ỗ ữ ữ x - 1- = ỗ ỗ ố x - 1ứ x - 1ố x - 1ø ỉx ỉx ổx x2 ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ + 1 = t ta cú y = ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ữ ố ữ ỗ ỗx - 1ø x- èx - 1ø èx - 1ø y - y + y - 1- = Û ( y - 1) =1 Û y = Hay x2 = Þ x2 = 2x - Û x2 - 2x + = x- Phương trình cho vơ nghiệm x - x + = ( x - 1) +1 > " x 18.13 Giải phương trình - x2 + 4x - = x - 4x +5 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Quốc học Huế, năm học 2002 - 2003) Hướng dẫn giải – đáp số ĐKXĐ: x Ỵ  x - x + = ( x - 2) +1 ¹ 0; " x Đặt x - x + = y y ³ - x + x - =- y + Phương trình thành - y + = Û - y + y = Û ( y - 5) ( y +1) = Û y  éy = ê êy =- 1( loaïi) ê ë x - x + = Û x ( x - 4) = Û x = x = Tập nghiệm S = { 0; 4} 18.14 Giải phương trình 1 1 + + + = x - x + x - x +12 x - x + 20 x - 11x + 30 (Khảo sát chất lượng học sinh giỏi Tốn huyện Thường Tín - Hà Nội, năm học2012 - 2013) Hướng dẫn giải – đáp số ĐKXĐ: x Ỵ { 2;3; 4;5;6} PT Û Û ( x - 2) ( x - 3) + ( x - 3) ( x - 4) + ( x - 4) ( x - 5) + ( x - 5) ( x - 6) 1 1 1 1 + + + = x- x- x- x- x- x- x- x- = Û 1 = Þ x - x - 20 = Û ( x + ) ( x - ) = x- x- Û x =- x = 10 Tập nghiệm S = { - 2;10} 18.15 Giải phương trình x ( x - 56) 4- 7x - 21x + 22 =4 x3 + (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, năm học 2014 - 2015) Hướng dẫn giải – đáp số ĐKXĐ: x ¹ x ( x - 56) 4- 7x Û x ¹ - x ( x - 56) 21x + 22 21x + 22 =4 Û - +1=0 x +2 4- 7x x3 + x3 - 56 x - 20 + 35 x x3 + - 21x - 22 + =0 4- 7x x3 + ỉ 1 ÷ Û ( x - 21x - 20) ỗ + ữ ỗ ữ ỗ ố4 - x x + ø  Xét x - 21x - 20 = Û ( x +1) ( x - 5) ( x + 4) = ta tìm được: x =- 4; x =- 1; x = thỏa mãn ĐKXĐ  Xét 1 + = biến đổi thành x - x + = 4- 7x x +2 Û ( x - 1) ( x - 2) ( x + 3) = ta tìm x =- 3; x = 1; x = thỏa mãn ĐKXĐ Vậy tập nghiệm phương trình S = { - 4; - 3; - 1;1; 2;5} x2 x2 2x = 18.16 Giải phương trình x - x +1 x - (Đề thi chọn đội tuyển Tốn huyện Thường Tín - Hà Nội, năm học 2014 - 2015) Hướng dẫn giải – đáp số ĐKXĐ: x ¹ ±1 x2 x2 2x = Þ x ( x +1) - x ( x - 1) = x Û x - x = x - x +1 x - Û x ( x - 1) = Û x = x = Loại x = Tập nghiệm S = { 0} =2 18.17 Giải phương trình x + x +1 ( x +1) (Đề thi chọn đội tuyển Toán quận Gò vấp TP Hồ Chỉ Minh, năm học 2014 - 2015) Hướng dẫn giải – đáp số ĐKXĐ: x ¹ x ¹ - 3 + = Û - = 1+ 2 x x +1 ( x +1) x x +1 ( x +1) ( 1- x ) é (ë1 + x) + x3 ù ê ú 1- x x2 - x û= Û = Û 2 2 x x ( x +1) ( x +1) é 1- x = ê + x) + x3 ù = Û (ê Với x ¹ x ¹ - ( 1- x) é ú ê( + x ) + x = ë û ê ë  Với x - = Û x = thỏa mãn ĐKXĐ 3  Với ( + x ) + x = Û ( + x ) =- x Û 1+ x =- x Û x =3 thỏa mãn ĐKXĐ ïì ïü Tập nghiệm S = í - ;1ý ùợù ùùỵ 18.18 Gii phng trỡnh x - x +1 x - x + + = x2 - 2x + x2 - 2x +3 (Khảo sát chất lượng học sinh giỏi Tốn huyện Thường Tín - Hà Nội, năm học 2014 - 2015) Hướng dẫn giải – đáp số ĐKXĐ: " x Ỵ  Đặt: x - x + = t > Phương trình trở thành t- t + = t t +1 Þ 5t - 7t - = Û ( t - 2) ( 5t + 3) = Û t = ( t > 0) 2 Hay x - x + = Û x - x = Û x ( x - 2) = Û x = x = Tập nghiệm S = { 0; 2}