Tóm tắt lý thuyết và bài tập Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Microsoft Word S8 C3 CD3 PT CHè ¨N Þ MªU doc PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Bước 1 Tìm điều kiện xác định của phương trình, (tức là tìm giá trị của ẩn làm tất cả các mẫu thức của[.]

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ Bước 1: Tìm điều kiện xác định phương trình, (tức tìm giá trị ẩn làm tất mẫu thức phương trình khác 0) Viết tắt: ĐKXĐ Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế phương trình khử mẫu Bước 3: Giải phương trình vừa nhận Bước 4: (Kết luận) Trong giá trị tìm bước 3, giá trị thỏa mãn điều kiện xác định nghiệm phương trình cho  Chú ý Nếu A x   x  x1 x  x2 A x  x  x1 x  x2 II.BÀI TẬP MINH HỌA A.DẠNG BÀI CƠ BẢN Phương Pháp Vận dụng phương pháp giải phưng trình chứa ẩn mẫu, đưa phương trình bậc biết Ví dụ Giải phương trình sau: a 3x  6x   ; x 7 2x  b x 1 x 1   x 1 x  x 1 Ví dụ Giải phương trình sau: a 18   1; x  x  x  58  x  b ;   x  x  x  1x  2 c x2 x x2 7x  3x   x 3 x 3 x2 Ví dụ Giải phương trình sau: a b   ; 2x  x 2x  3 x  x  1x  2 x  1x  3 x  2x  3 Ví dụ Giải phương trình sau: a  2      2 x  ;  x x   2     x     x       x  x   b Ví dụ Giải phương trình sau: 3x 2x   ; x 1 x 1 x2  x 1 a 13 b x  32x  7   2x  x  3x  3 Ví dụ Với giá trị x biểu thức sau có giá trị a A 3x  x   ; 3x  x  b B 10 3x  7x    4x  12 6x  18 LỜI GIẢI DẠNG BÀI CƠ BẢN Ví dụ Giải phương trình sau: c 3x  6x   ; x 7 2x  d x 1 x 1   x 1 x 1 x2 1 Lời giải a 3x  6x   x 7 2x  (1) ĐKXĐ phương trình (1) x  x   Mẫu số chung (MSC) phương trình x  2x  3 Khi đó: 1  3x  22x  3 6x  1x  7  x  72x  3 x  72x  3  6x  9x  4x   6x  42x  x   56x  1  x   56 So với ĐKXĐ ta thấy x   b 1 thỏa mãn, x   nghiệm phương trình cho 56 56 x 1 x 1   x 1 x  x2 1 (2) ĐKXĐ phương trình (2) x  1 Mẫu số chung phương trình x  1x  1 Khi đó: x  1  x  1  2  x  1x  1 x  1x  1  x  2x   x  2x    4x   x  So với ĐKXĐ ta thấy giá trị x  không thỏa mãn nên bị loại Vậy phương trình cho vơ nghiệm Ví dụ Giải phương trình sau: a 18   1; x  x  x  58  x  b   ; x  x  x  1x  2 c x2  x x2 7x  3x   x  x 3 x2 Lời giải a ĐKXD phương trình x  5, x  Mẫu số chung hai vế phương trình x  5x  8 Với điều kiện phương trình trở thành x  8  x  5  18  x  5x  8  Phương trình tương đướng với x x  5  Phương trình cuối có hai nghiệm x  x  So với điều kiện giá trị x  bị loại Vậy phương trình cho có nghiệm x  b ĐKXĐ phương trình x  1, x  Mẫu số chung hai vế phương trình x  1x  2 Với điều kiện phương trình trở thành x  2  x   , hay 2x  16 Phương trình có ngiệm x  , giá trị thỏa mãn điều kiện nên nghiệm phương trình cho c ĐKXĐ phương trình x  3 Mẫu số chung hai vế phương trình x  3x  3  x  Với điều kiện phương trình trở thành x   x x  3  x x  3  7x  3x  Biến đổi phương trình trở thành  Phương trình nghiệm với giá trị x thỏa mãn điều kiện nên nghiệm phương trình cho x  3 Ví dụ Giải phương trình sau: a b   ; 2x  x 2x  3 x   x  1x  2 x  1x  3 x  2x  3 Lời giải a ĐKXĐ phương trình x  0, x  Mẫu số chung hai vế phương trình x 2x  3 Với điều kiện phương trình trở thành x   2x  3  , hay 9x  12 Phương trình có nghiệm x  , giá trị thỏa mãn điều kiện nên nghiệm phương x trình cho ĐKXĐ phương trình x  1, x  2, x  b Mẫu số chung hai vế phương trình x  1x  2x  3 Với điều kiện có phương trình trở thành x  3  x  2  x  , hay 0x  Phương trình cuối vơ nghiệm Vậy phương trình cho vơ nghiệm Ví dụ Giải phương trình sau: a       2 x  ;  x x   2   1 1 b x     x    x   x   Lời giải ĐKXD phương trình x  a 1  Với điều kiện phương trình trở thành x   2  , hay x 1  2x    x Phương trình có nghiệm x  x   Chỉ có giá trị x   thỏa mãn điều kiện nên nghiệm phương trình cho ĐKXD phương trình x  b 2  1  1 Với điều kiện phương trình trở thành x     x     x   x    2 Biến đổi phương trình trở thành 2x 2    , hay x   x   Phương trình có nghiệm x  1 , giá trị thỏa mãn điều kiện nên nghiệm phương trình cho Ví dụ Giải phương trình sau: a b 3x 2x   ; x 1 x 1 x  x 1 13 x  32x  7   2x  x  3x  3 Lời giải 3x 2x   x 1 x 1 x2  x  a  1 Ta có x   x  1 x  x  , x  x   x     nên ĐKXD phương trình   2 x    Với điều kiện đó, MSC x   x  1x  x  1 Quy đồng mẫu số, ta có 3x 2x   x 1 x 1 x2  x 1  x  x   3x x  1x 2x x  1   x  1x x 1  x 1  4x  3x    4x  1x  1   x  1; x   4 So với ĐKXĐ giá trị x  bị loại, phương trình cho có nghiệm x   13 b x  32x  7   2x  x  3x  3 ĐKXĐ phương trình x  3; x   Với điều kiện này, ta có 13   2x  x  3x  3 x  32x  7 13 x  3  x  3x  3 2x     x  32x  7x  3 x  32x  7x  3  13x  39  x   12x  42  x  x  12   x  3x  4   x  3; x  4 So với ĐKXĐ giá trị x  bị loại, phương trình cho có nghiệm x  4 Ví dụ Với giá trị x biểu thức sau có giá trị a A  3x  x   ; 3x  x  b B  10 3x  7x    4x  12 6x  18 Lời giải a Ta thấy ĐKXĐ biểu thức A x  3, x   Với điều kiện đó, ta biến đổi biểu thức A trở thành: A   3x  1x  3  x  33x  1 3x  1x  3 3x    8x   3x  8x  3x  1x  3 6x  3x  1x  3  Để biểu thức có giá trị 2, ta có: 6x  3x  1x  3  , hay 6x   3x  1x  3 Tức 6x   6x  20x  , hay 20x  12 , nghĩa x   Giá trị c thỏa mãn điều kiện đặt Vậy với x   biểu thức A có giá trị Ta thấy ĐKXĐ biểu thức B x  3 b Với điều kiện đó, ta biến đổi biểu thức B trở thành: B  40 x  3  3x  1  7x  2 12 x  3 40x  1120  9x   14x  12 x  3  17 x   12 x  3 Để biểu thức có giá trị 2, ta có: 17 x   12 x  3  , hay 7x  47 , tức x  47 Giá trị x thỏa mãn điều kiện đặt Vậy với x  47 biểu thức B có giá trị B.DẠNG NÂNG CAO Ví dụ1 Cho A x  a)  x  x  6 x  5  x  x  6 x  4  B x   x3  x  x x  x  x  2 Tìm x để giá trị hai biểu thức A(x) B(x) nhau; b) Tìm x để A x 5 B  x Ví dụ Cho phương trình ẩn x: x  2m x 5 1   (với m số) x 5 2m  x a) Giải phương trình với m = 5; b) Tìm m để phương trình có nghiệm x  10 ; c) Giải phương trình với tham số m Ví dụ Giải phương trình:  3x    3x   a) 2 x  x  4  x 1   x 11x  20  x  1 b) x 2x  x7    2 x  5x  x  x  x  5x  x  x   1  5a a  x x Ví dụ Cho phương trình x  với a số     x  a x  a   x  a  x  a Tìm a để phương trình có nghiệm nghiệm phương trình a) 29   ; x  x  25  x Giải phương trình với a = b) Ví dụ Giải phương trình a x3  b x3   x 1 3x 2  x 1 1 1     x  x  x  x 12 x  x  20 x 11x  30 HƯỚNG DẪN DẠNG BÀI NÂNG CAO Ví dụ1 Cho c) d)  x  x  6 x  5  x  x  6 x  4 B  x  A  x  x3  x  x x  x  x  2 Tìm x để giá trị hai biểu thức A(x) B(x) nhau; A x 5 B  x Tìm x để Lời giải  x  x  6 x  5  x  x  6 x  4 a) Để A(x) = B(x)  x  x  x  2 3x  x  x  2 ĐKXĐ: x  x  x  2  x  x  x  hay x  x  x  2  Do x  x    x  1   0, x nên ĐKXĐ x  Từ phương trình suy ra: 3 x  x  6 x  5   x  x  6 x  4   x  x  63 x 15   x  x  6 x  4    x  x  63 x 15  x  4  x 3  x      x  3 x  2 x 11    x     x  2    x 11   x  5,5   Cả ba giá trị thỏa mãn ĐKXĐ Vậy với x  2; x  3; x  5,5 A(x) = B(x)  x  x  6 x  5  x  x  6 x  4 A x b)  nghĩa : 5 B  x x3  x  x x  x  x  2 Hay  x  x  6 x  5 3x  x  x  2  * x  x  x  2  x  x  6 x  4 Do x  x    x  1   0, x , nên ta có *  x  x  x  6 x  5 x  x  x  6 x  4 5 x  x  2 x  3 x  5 x  x  2 x  3 x  4 5 ĐKXĐ: x  0; x  2; x  3; x  Từ ĐKXĐ phương trình suy 3 x  5   x  4   x 15  x  20   x   x  2, thỏa mãn ĐKXĐ  Nhận xét: Từ x  x  2 x  3 x  5  suy 3 x  5   x  4  x  x  2 x  3 x  4 Ta hiểu sau: Do x  0; x  2; x  ; nên x  x  2 x  3  Do chia tử mẫu cho số khác ta có 3 x  5  x  4  với x  ta phương trình tương đương 3 x  5  5 x  4  Hoặc hiểu sau: Từ x  x  2 x  3 x  5 x  x  2 x  3 x  4  với x  0; x  2; x  3; x  ta có: x  x  2 x  3 x  5  x  x  2 x  3 x  4  x  x  2 x  3 3 x  5   x  4   3 x  5  5 x  4  x  x  2 x  3  Ví dụ Cho phương trình ẩn x: x  2m x5 1   (với m số) x 5 2m  x d) Giải phương trình với m = 5; e) Tìm m để phương trình có nghiệm x  10 ; f) Giải phương trình với tham số m Lời giải x  2m x 5 x  2m x 5 1  1   2 x 5 2m  x x 5 x  2m a) Khi m = ta có: x  10 x   2 x  x 10 1 Với ĐKXĐ x  x  10 từ 1  x 100  x  25  x  30 x 100  30 x  225  x  7,5 (thỏa mãn ĐKXĐ) Nếu x  10 ta có ( b) 10  2m 15  2 10  2m 2 Với ĐKXĐ m  2  100  4m  75  100  20m  4m  20m  75   2m 15   m  7,5  2m 152m  5      2m    m  2,5 Điều kiện nghiệm có x  x  2m c) Biến đổi phương trình x  2m x5   thành x 5 x  2m  x  2m x  2m   x  5 x  5   x  5 x  2m  x  4m  x  25  x  mx 10 x  20m  4mx  10 x  4m  20m  25  x 2m  5  2m  5 Nếu m  2, x  * 2m  Giá trị nghiệm phương trình 2m   2m  2m   4m  m  2,5 2m    2m   10  m  2,  Nếu m  2, (*) có dạng x  Phương trình nghiệm x  5 Kết luận: Nếu m  2,5 phương trình có nghiệm x  Nếu m  2,5 phương trình vơ nghiệm; Nếu m  2, phương trình nghiệm x  5 2m  Nhận xét: Câu b) có cách giải khác sau: 10  2m 15    100  4m  75  100  20m 10  m  100  4m  20m  25  m   10  2m  15  m  7,  102  2m  5      2m   10  2m  5  m  2, Ví dụ Giải phương trình:  3x    3x   c) 2 x  x  4  x 1   x 11x  20  x  1 d) x 2x  x7    2 x  5x  x  x  x  5x  x  x  Lời giải Hai vế có nhân tử chung Ta chuyển vế đưa dạng A x .B  x  a)  x   ĐKXĐ: x  Biến đổi phương trình thành  x  x  24  1   x    x  4  Với x  x  24    x  4 x  6     x   Với 3x     3x    x   x  8 9x Cả ba giá trị x thỏa mãn ĐKXĐ nên tập nghiệm phương trình S  4;1;6 b) Các mẫu số phức tạp nên khơng dễ tìm ĐKXĐ Nếu ta chuyển vế cộng, trừ phân thúc mẫu ta thấy xuất nhân tử chung  x  5 Từ có cách giải sau: Biến đổi phương trình dạng: x 5 x 5  0 x  5x  x  x    x  54  x 1      x  5  0  x  x  x  x   2 x  5x  32 x  x  7 Xét tử số  x  54  x   x  x   Với x  x  x    phương trình khơng xác định  Với x  2 x  x  32 x  x  7  28.12  Vậy nghiệm phương trình x   1  5a a  x x Ví dụ Cho phương trình x  với a số     x  a x  a   x  a  x  a Tìm a để phương trình có nghiệm nghiệm phương trình c) 29   ; x  x  25  x Giải phương trình với a = d) Lời giải a.ĐKXĐ: x  a Với ĐKXĐ ta biến đổi phương trình thành: x 2x 5a  15ax   Quy đồng khử mẫu phương trình x  a x  a 4 x2  a2  x  x  a   x  x  a  5a 15ax  12 x 11ax  5a   12 x  4ax 15ax  5a   3x  a 4 x  5a   Giải phương trình 29   với x  5 ta có nghiệm x  x  x  25  x  a  1, Với x  ta có: 12  a 16  5a      a  3,  x  2 b.Khi a  3 x  64 x  30    thỏa mãn ĐKXĐ  x  7,5 Ví dụ Giải phương trình a x3  b x3  x 1  3x2 2  x 1 1 1     x  x  x  x 12 x  x  20 x 11x  30 Lời giải 3 a.Từ a  b  a  b3  3ab a  b  a  b3   a  b  3ab a  b Áp dụng để giải phương trình Ta có ĐKXĐ: x   x  x  x  x   2  PT   x  x x     x 1 x 1  x 1 x 1  x   x   x  x2   3  +3  11  Đặt y    ta có  x 1  x 1 x 1  x 1 y  y  y 11    y 1   y  Hay x2   x2  x   x2  x   x 1 Phương trình cho vơ nghiệm x  x    x 1 1  x b.ĐKXĐ: x  2;3; 4;5; 6 PT      x  2 x  3  x  3 x  4  x  4 x  5  x  5 x  6  1 1 1 1         x 3 x  x  x 3 x 5 x  x 6 x 5  1    x  x  20    x  2 x 10  x6 x2   x  2 x  10 Tập nghiệm S  2;10 Ví dụ Giải phương trình x  x  56 a b 4 7x  21x  22 4 x3    2 x x   x  12 Lời giải a.ĐKXĐ: x  x  x  56 4 7x   x3  2 x  x  56 21x  22 21x  22     1 0 47x x 2 x 2 x3  56 x  20  35 x x   21x  22  0 47x x3   1    x  21x  20    x x3    Xét x3  21x  20    x  1 x  5 x  4  ta tìm được: x  4; x  1; x  thỏa mãn ĐKXĐ  Xét 1   biến đổi thành x3  x   47x x    x 1 x  2 x  3  ta tìm x  3; x  1; x  thỏa mãn ĐKXĐ Vậy tập nghiệm phương trình S  4; 3; 1;1; 2;5 b ĐKXĐ: x  x  1 3     1  1  2 x x   x  1 x x   x  12 1 x 1  x  x3  x2  x 1 x    0 2 x2 x  x  1  x 1 1 x  Với x  x  1 1 x 1  x   x3     3   1  x   x   Với x 1   x  thỏa mãn ĐKXĐ  Với 1  x3   x   1  x   x3   x  x  x       Tập nghiệm S   ;1       C.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN Giải phương trình sau: a  6x   ;  4x 4x  16x  b   5x   5x 1  5x 5x  3 Giải phương trình sau: a x 2 3    1; x 1 x 2 x x 2 b x 1 5x    4x  8x 2x x  2 8x  16 Giải phương trình sau: a x 6 x 5 2x  23x  61   ; x 5 x 6 x  x  30 b x2  x x2 7x  3x   x  x 3 x2 Giải phương trình sau: a x 2 3    1; x 1 x  x2  x 2 thỏa mãn ĐKXĐ b x  x  2x  23x  61   x 5 x 6 x  x  30 Giải phương trình sau: a 12  ; x   x3  3x    3x   2x  3  7x  1  x  5  7x  1     b 1 Giải phương trình sau với a tham số: a 1a  1a ; 1x b x 2a  x 8a   2a  x 2a  x x  4a HƯỚNG DẪN LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN a xét phương trình:  6x    4x 4x  16x  1 Điều kiện: x   Với điều kiện phương trình tương đương với: 4x  1  1  4x   8  6x  , hay 14x  , tức x  Ta thấy giá trị x  thỏa mãn điều kiện x   nên nghiệm phương trình cho b.Xét phương trình:   5x   5x 1  5x 5x  3 Điều kiện: x  , x  Với điều kiện phương trình tương đương với: 3  5x   5x  1  , hay 5x  , tức x  5 Ta thấy giá trị x  không thỏa mãn điều kiện x  Vậy phương trình cho vơ nghiệm nên bị loại x 2 3    x 1 x 2 x x 2 Điều kiện: x  2, x  1 a xét phương trình: Với điều kiện phương trình tương đương với: 3 x 2   1 x  x  x  2x  1 Tức phương trình x  2x  2  x  1   x  2x  1 , hay 4x  , nghĩa x  Ta thấy giá trị x  cho thỏa mãn điều kiện x  2, x  1 nên nghiệm phương trình b.Xét phương trình: 5x x 1    8 16  x 4x  8x 2x x  2 Điều kiện: x  2, x  Với điều kiện phương trình tương đương với: 5x 4x x  2  x 1   , tức phương trình 2x x  2 x  2   5  x   7x x  2  x  1  x , hay x  3x   , nghĩa x  1, x  So với điều kiện, ta thấy giá trị x  không thỏa mãn nên bị loại Vậy phương trình cho có nghiệm x  x  x  2x  23x  61   x 5 x 6 x  x  30 Điều kiện: x  5, x  6 a xét phương trình: Với điều kiện phương trình tương đương với: 2 x  x  2x  23x  61 , tức phương trình x  6  x  5  2x  23x  61 , hay   x 5 x 6 x  5x  6 21x  , nghĩa x  Ta thấy giá trị x  thỏa mãn điều kiện x  5, x  6 nên nghiệm phương trình cho b.xét phương trình: x2  x x2 7x  3x   x 3 x 3  x2 Điều kiện: x  3 Với điều kiện phương trình tương đương với: 7x  3x x2 x x2   x 3 3x 3  x x  3 Hay x  x  3  x   x x  3  7x  3x , nghĩa  Ta thấy giá trị x thỏa mãn điều kiện x  3 thỏa mãn phương trình cho Vậy x  3 nghiệm phương trình a ta có x  x   x  1x  2 , nên ĐKXĐ phương trình x  1, x  Với điều kiện đó, phương trình tương đương với: x   x  1  x2  x  x2  x 2 x2  x 2 Hay 4x  , tức x  So với điều kiện ta thấy x  thỏa mãn nên nghiệm phương trình cho Vậy phương trình có nghiệm x  b.ta thấy x  x  30  x  6x  5 , nên ĐKXĐ phương trình x  6, x   Với điều kiện đó, phương trình tương đương với: x  6  x  5 2x  23x  61 , hay 21x  , tức x  x  x  30 So cới điều kiện ta thấy x  thỏa mãn nên nghiệm phương trình cho Vậy phương trình có nghiệm x  x  x  30  a Ta có  x  x  2 x  2x  4 , nên ĐKXĐ phương trình x  2 Với điều kiện đó, phương trình tương đương với:  x  x  2x   12  x  x  2x     x x  x    x x  1x  2  Phương trình cuối có nghiệm x  0, x  1, x  2 Chỉ có giá trị x  0, x  thỏa mãn điều kiện đặt nên nghiệm phương trình cho b Ta có ĐKXĐ phương trình x  Với điều kiện đó, phương trình tương đương với: 2x  310  4x   x  510  4x   5  2x x  8  Phương trình cuối có nghiệm x  , x  8 , giá trị thỏa mãn điều kiện đặt nên nghiệm phương trình cho Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  , x  8 a Ta có ĐKXĐ phương trình x  Với điều kiện đó, phương trình tương đương với:  a  1  a 1  x  , hay x a  1  2a Nếu a  phương trình có dạng 0x  , trường hợp phương trình vơ nghiệm Nếu a  phương trình cho có nghiệm x  2a a 1 b.ta có ĐKXĐ phương trình x  2a Với điều kiện đó, phương trình tương đương với: 2a  x 8a x   x  2a x  2a x  2a x  2a   x x  2a   2a  x   8a  6ax  12a Nếu a  phương trình có dạng 0x  , trường hợp phương trình nghiệm với giá trị x  Vậy a  phương trình cho có nghiệm x  Nếu a  phương trình có nghiệm x  2 , giá trị thỏa mãn điều kiện x  2a với a  1 Vậy phương trình cho có nghiệm x  2 với a  1 ========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========