Đang tải... (xem toàn văn)
Tóm tắt lý thuyết chương 1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT CHƯƠNG 1 1 1 Các khái niệm cơ bản 1 1 1 Phép thử, sự kiện Khi thực hiện một tập hợp điều kiện xác định, nói tắt là bộ điều kiện, gọi là một phép th.
TÓM TẮT LÝ THUYẾT CHƯƠNG 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Phép thử, kiện - Khi thực tập hợp điều kiện xác định, nói tắt điều kiện, gọi phép thử, có nhiều kết cục khác - Tập hợp kết cục có phép thử ngẫu nhiên gọi không gian mẫu, ký hiệu S - Mỗi kết cục có phép thử ngẫu nhiên gọi kiện sơ cấp - Một kiện tập hợp không gian mẫu, tức tập số kết cục phép thử 1.1.2 Quan hệ phép toán kiện - Hợp (tổng) kiện A B, kí hiệu A∪B (hoặc A+B) kiện xảy kiện A B xảy - Giao (tích) kiện A B, kí hiệu A ∩ B (hoặc AB), kiện xảy A B đồng thời xảy - Hai kiện A B gọi xung khắc A B đồng thời xảy nghĩa A ∩ B = AB = ∅ - Đối lập kiện A, kí hiệu A c A¯ , kiện xảy A không xảy - Sự kiện A trừ kiện B, kí hiệu A\B, kiện xảy A xảy B không xảy - Sự kiện A kéo theo kiện B, kí hiệu A ⊂ B A ⇒ B kiện A xảy kiện B xảy - Hai kiện A B gọi tương đương (bằng nhau), kí hiệu A = B, A ⊂ B B⊂A 1.1.3 Giải tích kết hợp - Quy tắc nhân: Để hồn thành công việc, ta cần thực liên tiếp k hành động, hành động có n1 cách thực hiện, hành động có n2 cách thực hiện, …, hành động k có nk cách thực Khi có tổng số n1n2…nk cách thực cơng việc - Chỉnh hợp chập k từ n phần tử nhóm có thứ tự gồm k phần tử lấy từ n phần tử cho Số chỉnh hợp chập k từ n phần tử là: Ank = n(n − 1) (n − k + 1) = n! (n − k)! !!! Chỉnh hợp chập k từ n phần tử: có thứ tự, khơng lặp lại - Chỉnh hợp chập n từ n phần tử gọi hoán vị n phần tử (hoán vị n nhóm gồm n phần tử xếp theo thứ tự) Số hoán vị n phần tử là: Pn = Ann = n(n − 1) 2.1 = n! - Tổ hợp chập k từ n phần tử nhóm (khơng phân biệt thứ tự) gồm k phần tử khác lấy từ n phần tử cho Số tổ hợp chập k n là: n! Cnk = k!(n − k)! !!! Tổ hợp chập k từ n phần tử: Không lặp lại, không thứ tự - Chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử nhóm có thứ tự gồm k phần tử giống lấy từ n cho Số chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử A¯ kn = n k 1.2 Các định nghĩa xác suất 1.2.1 Định nghĩa cổ điển xác suất - Định nghĩa cổ điển xác suất áp dụng cho phép thử có hữu hạn kết cục đồng khả (tức kết cục có khả xảy nhau) - Xét phép thử đồng khả với không gian mẫu Ω (hoặc S) có n phần tử (kết cục): xác suất xảy kết cục 1/n Khi xác suất kiện A là: m P(A) = , với m số kết cục thuận lợi cho A (số kết cục nằm A) n 1.2.2 Định nghĩa hình học xác suất - Định nghĩa hình học xác suất áp dụng cho phép thử có vơ hạn kết cục đồng khả nằm miền hình học G (đoạn thẳng, miền phẳng, khối khơng gian,…): tức khơng gian mẫu Ω = G Khi xác suất kiện A ⊂ G là: P(A) = độ đo của A độ đo của G , (độ đo độ dài, diện tích, thể tích) 1.2.3 Định nghĩa xác suất theo tần suất (định nghĩa thống kê) - Để tính xác suất kiện A phép thử, ta xấp xỉ tần suất xuất A sau: Ta thực n lần phép thử, gọi nA số lần kiện A xảy (gọi tần số xuất A) Tần suất xuất A là: fn(A) = nA n Theo luật số lớn thì: lim fn(A) = P(A) n→+∞ Khi n đủ lớn P(A) ≈ fn(A) = 1.2.4 Định nghĩa xác suất theo tiên đề nA n Xét phép thử với không gian mẫu Ω Gọi 𝒜 tập kiện Ω (tức tập tập Ω) Một hàm P : 𝒜 → [0; 1] thoả mãn tiên đề sau: i) P(A) ≥ 0, ∀A ∈ 𝒜 ii) P(Ω) = iii) Nếu A, B xung khắc P(A ∪ B) = P(A) + P(B) P gọi xác suất (định nghĩa theo tiên đề) 1.2.5 Tính chất xác suất i) ≤ P(A) ≤ 1, ∀A ∈ 𝒜 ii) P(Ω) = 1; P(∅) = iii) Nếu A, B xung khắc P(A ∪ B) = P(A) + P(B) ¯ = − P(A) iv) P(A) v) Nếu A ⊂ B P(A) ≤ P(B) 1.3 Các cơng thức tính xác suất ¯ = − P(A) 1.3.1 Công thức phần bù: P(A) 1.3.2 Công thức cộng xác suất: • P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) • Nếu A B xung khắc (i.e, A ∩ B = ∅) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) • P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C ) − P(A ∩ B) − P(B ∩ C ) − P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C ) • Tổng quát, P(∪ni=1 Ai ) = n ∑ i=1 P(Ai ) − ∑ i< j P(Ai Aj ) + ∑ i< j với i kiện A, cơng thức xác suất tồn phần để tính xác suất A P(A) = P(A A1) + P(A A2 ) + … + P(A An ) = P(A1)P(A | A1) + P(A2 )P(A | A2 ) + … + P(An )P(A | An ) 1.4.2 Công thức Bayes • Cho kiện A B, xác suất hậu nghiệm P(A|B) là: P(A | B) = P(A)P(B | A) P(A)P(B | A) = ¯ ¯ P(B) | A) P(A)P(B | A) + P(A)P(B • Cho không gian kiện {A1, A2, …, Am} với P[Ai ] > với i kiện A, xác suất hậu nghiệm P(Ai | A) là: P(Ai | A) = P(Ai )P(A | Ai ) P(Ai )P(A | Ai ) = P(A) P(A1)P(A | A1) + P(A2 )P(A | A2 ) + … + P(An )P(A | An ) 1.5 Công thức Bernoulli - Một dãy phép thử Bernoulli dãy phép thử độc lập, phép thử có kết “thành cơng” “thất bại”, xác suất thành công phép thử p - Khi xác suất để dãy gồm n phép thử Bernoulli có k lần thành công là: Pn(k) = Cnk p k (1 − p)n−k - Khi n lớn p nhỏ ta xấp xỉ Poa-xơng: Pn(k) = Cnk p k (1 − p)n−k ≈ e −np (np)k k! - Khi n lớn p không bé q lớn ta xấp xỉ chuẩn: Pn(k) = Cnk p k (1 − p)n−k ≈ 1) φ(xk ) npq , với xk = k − np φ(x) = npq 2π - Khi n lớn p khơng q bé q lớn ta xấp xỉ chuẩn: e− x2 hàm Gao-xơ (bảng Pn(k1, k ) = k2 ∑ k=k1 Cnk p k (1 − p)n−k ≈ ϕ(x2 ) − ϕ(x1), với xj = hàm Láp-la-xơ (bảng 2) kj − np npq ϕ(x) = x 2π ∫0 t2 e − dt