Xác suất thống kê và QHTN

Giải bài tập Xác suất thống kê và Quy hoạch thực nghiệm. Giúp các bạn tham khảo một số bài toán, các dạng bài tập sẽ gặp phải trong môn học, giúp các bạn có nền tảng kiến thức để thi giữa kỳ, cuối kỳ. Giúp các bạn củng cố các công thức để vận dụng một cách dễ dàng hơn. Cuối cùng là mong muốn lớn nhất là giúp các bạn nhìn nhận một cách dễ hiểu nhất về môn học và đạt được kết quả cao như các bạn mong muốn.

Nguyễn Minh Hiếu Đại học Bách Khoa Hà Nội Xác suất thống kê Quy hoạch thực nghiệm 1.3 Xác suất điều kiện Công thức cộng, công thức nhân XS Cơng thức bernoulli Tóm tắt lý thuyết ̅ ) = P(𝑩 ̅ 𝑨) + P(𝑩 ̅𝑨 ̅ ) ngược lại A + P(𝑩 ̅ ) ngược lại B + P(A) = P(AB) + P(A𝑩 + Công thức cộng xs : P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) A B xung khắc P(A+B) = P(A) + P(B) (Note: ĐN xung khắc) + Xác suất có điều kiện: P(A/B) = P(AB) / P(B) ngược lại + Công thức nhân xs: P(AB) = P(A) P(B/A) ngược lại A B độc lập P(AB) = P(A) P(B) (Note: ĐN độc lập) Công thức Bernoulli: B(k,n,p) = 𝐶𝑛𝑘 pk.(1-p)n-k Bài tập P(𝐴̅ + 𝐵̅) = P(𝐴̅) + P(𝐵̅) – P(𝐴̅𝐵̅) = – P(𝐴̅𝐵̅) = 0,625 P(𝐴̅𝐵̅) +P(𝐵̅𝐴) = P(𝐵̅) => P(𝐴̅𝐵̅) = 0,375 P(𝐴̅𝐵) = P(𝐴̅) – P(𝐴̅𝐵̅) = 0,125 P(A+𝐵̅ ) = P(A)+P(𝐵̅) – P(A𝐵̅) = – 0,125 = 0,875 Nguyễn Minh Hiếu Đại học Bách Khoa Hà Nội Bài làm: A: Hệ thống I bị hỏng ;B: Hệ thống II bị hỏng ; P(AB): “ Cả hai hệ thống bị hỏng” 1, Vì A B độc lập, P(AB) = P(A).P(B) P(A) = – P(𝐴̅) = – 0,94 ; P(B) = 0,13 => P(AB) ̅̅̅) = 0,34212 2, P(𝐴̅𝐵+𝐴𝐵̅ ) = P(𝐴̅).P(B) + P(A).P(𝐵 A: “số khách cần hỏi nhân viên bán hàng” => P(A) = 0,3 B: “số khách mua sách” => P(B) = 0,2 AB: “số khách thực hai điều trên” => P(AB) = 0,15 1, Xác suất khách hàng ko thực điều : P(𝐴̅𝐵̅) = – P(A+B) = – (0,3+0,2 – 0,15) = 0,65 2, Khách ko mua sách biết người hỏi nhân viên bán hàng P(𝐵̅ ∕ 𝐴) = P(𝐵̅𝐴) / P(A) = (P(𝐵̅) – P(𝐵̅𝐴̅ ))/ P(A) = (0,8 – 0,65)/0,3 = 0,5 Nguyễn Minh Hiếu Đại học Bách Khoa Hà Nội Số người thích xe đạp là: 1000 0,8 + 1000.0,6 – 1000 = 400 ( người) Số người thích xe đạp mà ko thích là: 600 – 400 = 200 (người) Xác suất người thích xe đạp mà ko thích bộ: P = 200/600 = 1/3 Bài làm “Ai thi sinh chọn vòng i ” P(A1) = 0,8 ; P(A2/A1) = 0,7 ; P(A3/A1A2) = 0,45 1, Xác suất để thí sinh vào đội tuyển là: P(A1A2A3) = P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1A2) = 0,252 2, Xác suất để thí sinh bị loại vòng là: ̅ ) = P(A1).P(A2/A1).P(A ̅ /A1A2) = 0,308 P(A1A2A 3, Xác suất để thí sinh bị loại vòng thứ ̅ ) = P(A ̅ /A1).P(A1) = 0,8.(1-0,7) = 0,24 P(A1A ̅1 )+P(A1A ̅ )+P(A1A2A ̅3) Xác suất để thí sinh bị loại: P(L) = P(A P(L) = – 0,8 + 0,24 + 0.308 = 0,748 ̅ )/P(L) = 0,32 Xác suất cần tìm P(I) = P(A1A Nguyễn Minh Hiếu Đại học Bách Khoa Hà Nội A1 trai thứ I ; A2 trai thứ II P(A1A2) = 0,27 P(𝐴1̅ 𝐴̅2 ) = 0,23 P(A1𝐴̅2 ) = P(𝐴1̅ 𝐴2 ) = 0,5/2 = 0,25 P(A2/𝐴1̅ ) = P(A2𝐴1̅ ) / P(𝐴1̅ ) = 0,25/0,48 = 0,52 P(𝐴1̅ ) = P(𝐴1̅ A2) + P(𝐴1̅ 𝐴̅2 ) = 0,25+0,23 = 0,48 Bài làm: Chọn sv từ 15 sv cho nhóm 1: C3/15 Chọn sv từ 12 sv cho nhóm 2: C3/12 Chọn sv từ sv cho nhóm 3: C3/9 Chọn sv từ 6t sv cho nhóm 4: C3/6 Ω = (C3/15 C3/12 C3/9 C3/6 C3/3) / 5! Gọi A biến cố nhóm có sv giỏi tốn Chia 10 sv thành nhóm, nhóm có sinh viên Tương tự: (C2/10 C2/8 C2/6 C2/4 C2/2)/5! Xếp sinh viên giỏi tốn vào nhóm có 5! Cách A = C2/10.C2/8.C2/6.C2/4.C2/2 𝐴 Vậy xác suất để nhóm có sv giỏi toán P = = 0,08 Ω Nguyễn Minh Hiếu Đại học Bách Khoa Hà Nội Bài làm Xác suất để A thắng ván P(A) = 0,7 Xác suất để B thắng ván P(B) = 0,3 1, +Xác suất để A thắng sau ván: P1= 0.73 Phân tích trường hợp: AAA +Xác suất để A thắng sau ván: P2 = 3.0,3.0,73 Phân tích trường hợp: BAAA ; ABAA; AABA + Xác suất để A thắng sau ván: P3 = 6.0.32.0,73 Phân tích trường hợp: BBAAA;BABAA;BAABA;ABBAA; ABABA;AABBA + Xác suất để P thắng sau x ván là: P = P1+P2+P3 2, xác suất để trận đấu kết thúc sau ván: P = 6.(0,32.0,73+0,33.0,72) 1, Tìm số câu sai câu đúng: x+y = 12 4x -y = 13 => x= y = Xác suất để học sinh đc 13 điểm P =C5/12 (1/5)5.(4/5)7 2, tìm số câu sai để âm điểm 4x -y sai 10 câu Nguyễn Minh Hiếu Đại học Bách Khoa Hà Nội Th1: sai 10 câu câu: P1 = C2/12.(1/5)2.(4/5)10 Th2: sai 11 câu câu: P2 = C1/12 (1/5)1.(4/5)11 Th3: sai 12 câu: P3 = (4/5)12 Xác suất để học sinh bị điểm âm P = P1+P2+P3 1, P = C2/10 0,22.0,88 2, P = – 0,810 P = – 0,6n ≥ 0,95 => n ≥ 5,8 cần bắn lần 1, Th1 ném trượt P1= 0,42 0,32 Th2 ném trúng lần : P2 = 0,6.0,7.0,3.0,4 (C1/2)2 Th3 ném trúng lần: P3 = 0,62.0,72 Xác suất để số lần ném trúng rổ hai ng P=P1+P2+P3 2, th1 người ném đc 1, ng ném đc => P1= C1/2 0,61.0,4 0,32 Nguyễn Minh Hiếu Đại học Bách Khoa Hà Nội Th2 người ném đc người ném => P2 = 0,62.0,32 Th3 người ném đc người ném đc => P3= 0,62.C1/2.0,7.0,3 Xác suất để … P = P1 + P2 + P3 dung hàm phân phối chuẩn 1.4 Công thức xác suất đầy đủ, cơng thức Bay – et Tóm tắt lý thuyết Nhóm đầy đủ thỏa mãn đk: 1) Ai.Aj #0 2) A1+A2+…+An = Ω Tính chất: P(A1) + P(A2) + P(A3)+…+ P(An) = 𝐻 Công thức xác đầy đủ: P(H) = ∑𝑛𝑖=1 𝑃(𝐴𝑖) 𝑃( ) 𝐴𝑖 Công thức Bayes: Nguyễn Minh Hiếu Đại học Bách Khoa Hà Nội Bài tập Mi máy I sản xuất sản phẩm P(M1) = 0,25 ; P(M2) = 0,3 ; P(M3) = 0,45 T phế phẩm P(T/M1) = 0,001 ; P(T/M2) = 0,002 ; P(T/M3) = 0,003 1, xác suất để chọn ngẫu nhiên sản phẩm phân xưởng phế phẩm P(T) = P(T/M1).P(M1) + P(T/M2).P(M2) + P(T/M3).P(M3) P(T) = 0,25.0,001 + 0,3.0,002 + 0,45.0,003 = 0,0022 2, Xác suất để sản phẩm máy I sản xuất P(M1/T) = P(M1T)/P(T) = P(T/M1).P(M1)/P(T) = 0,25.0,001/0,0022 = 0,1136 A bc lấy bi đỏ từ hộp bi trắng từ hộp B bc lấy bi đỏ từ hộp bi đỏ từ hộp C bc lấy bi trắng từ hộp bi đỏ từ hộp D bc lấy bi trắng từ hộp bi trắng từ hộp H bc lấy bi đỏ từ hộp Nguyễn Minh Hiếu Đại học Bách Khoa Hà Nội P(A) = 3/5.2/4 = 3/10 = P(B) ; P(C) = 2/5.2/4 = 1/5 = P(D) P(H/A) = 1/2 ; P(H/B) = 1; P(H/C) = ½ ; P(H/D) = 1, xác suất để viên bi màu đỏ P(H) = P(H/A).P(A) + P(H/B).P(B) + P(H/C)/P(C) + P(H/D).P(D) P(H) = 11/20 2, xác suất để viên bi lấy từ hộp bi đỏ bỏ vào hộp P(K) = P(A/H)+P(B/H) = P(H/A).P(A)/P(H) + P(H/B).P(B)/P(H) = 9/11 1, Th1 I => II bi xanh , II => I bi xanh => P(A1) = 2/6.4/7 Th2 I => II bi xanh , II => I bi đỏ => P(A2) = 2/6.3/7 Th3 I => II bi đỏ , II => I bi xanh => P(A3) = 4/6.3/7 Th4 I => II bi đỏ, II => I bi đỏ => P(A4) = 4/6.4/7 H bc viên bi sau màu đỏ P(H/A1) = 4/6 ; P(H/A2) = 5/6 ; P(H/A3) = 3/6 ; P(H/A4) = 4/6 P(H) = P(A1).P(H/A1) + P(A2).P(H/A2) + P(A3) P(H/A3) + P(A4).P(H/A4) P(H) = 9/14 2, Nếu … xác suất để lúc ban đầu rút viên bi đỏ từ hộ I cho vào hộp P(K) = (P(A3).P(H/A3)+P(A4).P(H/A4))/P(H) = 50/81 = 0,62 Nguyễn Minh Hiếu Đại học Bách Khoa Hà Nội A bc chai rượu lấy loại A B bc chai rượu lấy loại B C bc ng kl rượu loại A, người kl rượu loại B P(A)=P(B)=1/2 Tìm P(A/C) = ? P(C/A) = C3/5 0,83.0,22 = 0,2048 P(C/B) = C2/5 0,82.0,23 = 0,0512 P(C) = P(C/A).P(A)+P(C/B).P(B) = 0,128 P(A/C).P(C) = P(C/A).P(A) => P(A/C) = (0,0512.1/2)/0,128 = 0,8 Ai bc sp lấy từ lơ có i sp từ lơ P(A0) = (C0/2).(C2/8)/(C2/10) P(A1) = (C1/2).(C1/8)/(C2/10) P(A2) = (C2/2).(C0/8)/(C2/10) H bc sản phẩm lấy phẩm P(H/A0) = (C2/6)/(C2/8); P(H/A1) = (7/10).(6/8) ; P(H/A2) = (C2/7)/(C2/10) P(A) = P(A0).P(H/A0)+P(A1).P(H/A1)+P(A2).P(H/A2) = K xác suất để cp lấy sau lô I P(K)= P(A2).P(H/A2)/P(A) = A bc lấy cp Nguyễn Minh Hiếu Đại học Bách Khoa Hà Nội 6, Phân phối Poisson X ~ P(𝝀) Sử dụng với toán đếm số lần xảy khoảng thời gian hay bt có đầu vào phục thuộc 7, Phân phối rời rạc X ~ U(n) 8, Phân phối liên tục X ~ U([a;b]) Nguyễn Minh Hiếu Đại học Bách Khoa Hà Nội 9, Phân phối chuẩn X ~ N(µ; 𝝈2) 9.1, Phân phối chuẩn tắc X ~ N(0;1) 9.2, Phân phối chuẩn tổng quát: X ~ N(µ; 𝝈2) Nguyễn Minh Hiếu Đại học Bách Khoa Hà Nội 10, Xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối chuẩn 11, Phân phối mũ X ~ 𝜺(𝝀) P(X>x) = => P(X ≤ x) = - Nguyễn Minh Hiếu Đại học Bách Khoa Hà Nội 12, Phân phối student: X ~ T(n) Một số tập ví dụ 1, Biến ngẫy nhiên rời rạc Gọi X số đạn cần bắn X 2 P(X=x) 0,4 2.0,4 0,6 3.0,42.0,62 E(X) = 3,9632 ; E(X2) = 17,0128 V(X) = E(X2) – (EX)2 = 1,3 4.0.6 0,4 + 5.0,4.0,64 + 0,65 Nguyễn Minh Hiếu Đại học Bách Khoa Hà Nội P(x1) = 0,2 ; P(x2) = 0,8 x1.0,2+x2.0,8 = 2,6 x12.0,2+x22.0,8 – 2,62 = 0,82  X1 = ; X2 = X số tiền an thưởng bốc thăm tuần P(X = ) = (1 – 0,15)4 P (X=100) = C1/4 0,15 (1- 0,15)3 P(X = 200) = C2/4 (0,15)2 (1 - 0,15)2 P(X = 300) = C3/4 (0,15)3.(1 – 0,15) P(X = 400) = C4/4 (0,15)4 EX = 4.10-2 ; E(X2) = 0,4 ; V(X) X số lần xuất mặt chấm X ~ B(n,p) với n = p = 1/36 a, P(X ≥ 2) = – P(x = 0) – P(x = 1) b, EX = np ; VX = npq với q = – p 2, Biến ngẫu nhiên liên tục Nguyễn Minh Hiếu Đại học Bách Khoa Hà Nội 1, Điều kiện để f(x) hàm mật độ f(x) ≥ hay k.sin3x ≥ => k ≥ +∞ ∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝜋 = hay ∫0 𝑘 𝑠𝑖𝑛3𝑥 𝑑𝑥 = => k = 3/2 𝑥 Hàm phân phối xác suất: F(x) = ∫−∞ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 X ≤ = ∫−∞ 𝑑 𝑡 = 𝑥 < x < π/3 => F(x) = ∫0 𝑘 𝑠𝑖𝑛3𝑡 𝑑𝑡 = ½ ( – cos 3x) X ≥ π/3 => F(x) = ∫−∝ 𝜋 𝑥 𝑑𝑡 + ∫0 𝑘 𝑠𝑖𝑛3𝑡 𝑑𝑡 + ∫𝜋 𝑑𝑡 = Vậy F(X) = … 2, P(π/6 ≤ x < π/3) = F(π/3) – F(π/6) = ½ Một số luật phân phối xác suất thông dụng Gọi số sv chậm X X ~ B(n,p) với n = 855 p = 0,02 (n+1)p – ≤ mod(X) ≤ (n+1)p => mod(X) = 17 Nguyễn Minh Hiếu Đại học Bách Khoa Hà Nội Y số xe thuê X người thuê xe X ~ P(2) X Y -lamda P e e-lamda 𝜆/1! 1, P(Y = 4) = P( X ≥ 4) = 0,1429 2 e-lamda 𝜆/2! 3 e-lamda 𝜆/3! ≥4 – Th 2,P(X > 4) = P(X ≥ 4) – P(X = 4) = 0,1429 – e-2.24/4! = 0,0527 3, EY = 1,92 Y P Với y = k X lãi suất đầu tư vào dự án X ~ N(µ,𝜎 ) 20− µ P( X > 20) = 0,5 – 𝜙( P(X > 25) = 0,5 - 𝜙(  µ = 15, 𝜎 = P( X > ) = 0,9986 𝜎 25− µ 𝜎 ) = 0,1587 ) = 0,0228 Nguyễn Minh Hiếu Đại học Bách Khoa Hà Nội Chương Thống kê Ước lượng tham số * Ước lượng khoảng Nguyễn Minh Hiếu Đại học Bách Khoa Hà Nội 1.Kiểm định giả thuyết mẫu 1.1 Kiếm định kỳ vọng Nguyễn Minh Hiếu Đại học Bách Khoa Hà Nội Trường hợp 3: N>30 Nguyễn Minh Hiếu Đại học Bách Khoa Hà Nội 1.2 Kiểm định cho tỷ lệ Nguyễn Minh Hiếu Đại học Bách Khoa Hà Nội 1.3 Kiểm định cho phương sai Nguyễn Minh Hiếu Đại học Bách Khoa Hà Nội Kiểm định mẫu 2.1 Kiểm định cho kỳ vọng 𝝁𝟏 < 𝝁𝟐 Miền bác bỏ (-∞; -t(n1+n2-2;1-α)) Nguyễn Minh Hiếu Đại học Bách Khoa Hà Nội 2.2 Kiểm định tỷ lệ Nguyễn Minh Hiếu Đại học Bách Khoa Hà Nội 2.3 Kiểm định cho phương sai ... bên trái điểm x Tính chất: ≤ F(x) ≤ ; lim