Đang tải... (xem toàn văn)
Tóm tắt lý thuyết chương 2 TÓM TẮT LÝ THUYẾT CHƯƠNG 2 2 1 Khái niệm biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên là một hàm số gán giá trị thực cho mỗi kết cục của một phép thử ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên r.
TÓM TẮT LÝ THUYẾT CHƯƠNG 2.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên - Biến ngẫu nhiên hàm số gán giá trị thực cho kết cục phép thử ngẫu nhiên - Biến ngẫu nhiên rời rạc BNN nhận hữu hạn vô hạn đếm giá trị - Biến ngẫu nhiên liên tục BNN nhận vô hạn không đếm giá trị khoảng liên tục 2.2 Phân bố xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc - Bảng phân bố xác suất BNN rời rạc X X x1 x2 x3 … P(X = xi) p1 p2 p3 … - X nhận giá trị x1, x2, x3, - Xác suất pi = P(X = xi ) thuộc [0, 1] - Tổng ∑ pi = ∑ P(X = xi ) = i i 2.3 Phân bố xác suất biến liên tục - Hàm mật độ xác suất BNN liên tục hàm fX (x) thoả mãn điều kiện: • fX (x) ≥ 0, với x ∈ R +∞ fX (x)d x = (diện tích giới hạn Ox y = fX (x) 1) • ∫ −∞ • P(X = a) = 0, ∀a ∈ R b P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) = f (x)d x (diện tích giới • ∫ X a hạn Ox y = fX (x), x = a, x = b) 2.3 Hàm phân bố xác suất BNN - Hàm phân bố xác suất biến ngẫu nhiên X hàm: FX (x) = P(X < x) - Tính chất hàm phân bố xác suất: • ≤ FX (x) ≤ 1, ∀x ∈ R lim FX (x) = FX (+∞) = lim FX (x) = • FX (−∞) = x→−∞ x→+∞ • FX (x) hàm không giảm R • P(a ≤ X < b) = FX (b) − FX (a) • Với X BNN rời rạc thì: FX (x) = ∑ xi hàm mật độ xác suất X là: fX (x) = λe −λx x ≥ {0 x < - Tính chất phân bố mũ: Nếu X ∼ ℰ(λ) • E(X) = λ • V(X ) = λ if x ≤ • Hàm phân bố xác suất X là: FX (x) = {1 − e −λx if x > 2.4.4 Normal distribution - Biến X có phân bố chuẩn với tham số kỳ vọng μ phương sai σ hàm mật độ xác suất X là: fX (x) = σ 2π e − (x − μ) 2σ - Nếu μ = 0,σ = X có phân bố chuẩn tắc, ký hiệu Z Hàm mật độ xác suất Z l : fZ (z) = φ(z) = FZ (z) = Φ(z) = z2 2π z e− v h m p h â n b ố x c s u ấ t c ủ a Z l : 2π ∫−∞ e − t2 dt = 0.5 + ϕ(z) với ϕ(z) = z 2π ∫0 t2 e − dt Chú ý: Φ(−x) = − Φ(x) and ϕ(−x) = − ϕ(x) - Tính chất phân bố chuẩn: Nếu X ∼ 𝒩(μ, σ) thì: • E(X) = μ • V(X ) = σ σ (X ) = σ • Hàm mật độ xác suất X là: fX (x) = σ e − (x − μ) 2σ = x−μ φ( ) σ σ 2π x−μ x−μ Hàm phân bố xác suất X là: F (x) = Φ( ) = 0.5 + ϕ( ) X • σ σ a−μ a−μ • P(X < a) = FX (a) = Φ( σ ) = 0.5 + ϕ( σ ) a−μ a−μ P(X > a) = − F (a) = − Φ( ) = 0.5 − ϕ( ) X • σ σ b−μ a−μ b−μ a−μ P(a < X < b) = F (b) − F (a) = Φ( ) − Φ( ) = ϕ( ) − ϕ( ) X X • σ σ σ σ 2.4.5 Xấp xỉ phân bố nhị thức Cho X có phân bố nhị thức B(n, p) - Nếu n lớn p nhỏ X ∼ B(n, p) ≈ Y ∼ P(λ) with λ = np (np)k k! - Nếu n lớn p gần 0.5 X ∼ B(n, p) ≈ Y ∼ N(μ, σ 2) with μ = np; σ = npq Khi k + 0.5 − np k + 0.5 − np P(X ≤ k) ≈ P(Y < k + 0.5) = Φ( ) = 0.5 + ϕ( ) • npq npq Khi đó: P(X = k) ≈ e −np • P(k1 ≤ X ≤ b) ≈ P(k1 − 0.5 < Y < k + 0.5) = Φ( = ϕ( k + 0.5 − np npq ) − ϕ( k1 − 0.5 − np npq ) k + 0.5 − np npq ) − Φ( k1 − 0.5 − np npq ) ... lớn - Tính chất: E(X + Y) = E(X) + E(Y); E(aX + b) = aE(X) + b; E(XY) = E(X)E(Y) X, Y độc lập (chương 3) - Xét Y = g(X) thì: • E(Y ) = ∑ • E(Y ) = ∫ g(xi )P(X = xi ) X BNN rời rạc i +∞ −∞ g(x)fX... BNN liên tục V(X ) = ∫ −∞ • V(aX + b) = a 2V(X); V(X + Y) = V(X - Y) = V(X) + V(Y) X, Y độc lập (chương 3) - Độ lêch chuẩn BNN X σ (X ) = V(X ) 2.4.3 Số đặc trưng đo vị trí tương đối - P h â n