Đang tải... (xem toàn văn)
qui hoạch thực nghiệm là tập hợp các tác động nhằm đưa ra chiến thuật làm thực nghiệm từ giai đoạn đầu đến giai đoạn kết thúc của quá trình nghiên cứu đối tượng (từ nhận thông tin mô phỏng đến việc tạo ra mô hình toán, xác định các điều kiện tối ưu), trong điều kiện đã hoặc chưa hiểu biết đầy đủ về cơ chế của đối tượng. Đối tượng của quy hoạch thực nghiệm trong các ngành công nghệ: Là một quá trình hoặc hiện tượng nào đó có những tính chất, đặc điểm chưa biết cần nghiên cứu. Người nghiên cứu có thể chưa hiểu biết đầy đủ về đối tượng, nhưng đã có một số thông tin tiên nghiệm dù chỉ là sự liệt kê sơ lược những thông tin biến đổi, ảnh hưởng đến tính chất đối tượng. Có thể hình dung chúng như một “hộp đen” trong hệ thống điều khiển gồm các tín hiệu đầu vào và đầu ra.
LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HÀM HỒI QUY MỐI QUAN HỆ GIỮA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Khi khảo sát hai biến ngẫu nhiên X Y ta thấy chúng có số quan hệ sau: • X Y độc lập với nhau, tức việc nhận giá trị biến ngẫu nhiên không ảnh hưởng đến việc nhận giá biến ngẫu nhiên • X Y có mối phụ thuộc hàm số Y = ϕ( X ) • X Y có phụ thuộc tương quan phụ thuộc khơng tương quan (được biểu thông qua nhiều quan sát) Ví dụ lấy ngẫu nhiên 100 người xếp theo thứ tự từ thấp đến cao nói chung chiều cao cao trọng lượng lớn Nhưng với trường hợp riêng lẻ chưa (có thể người thấp trọng lượng lại cao) Rõ ràng với chiều cao biết trước khơng thể khẳng định người nặng bao nhiêu, nhiên sử dụng quan hệ tương quan trọng lượng bình thường với chiều cao HỆ SỐ TƯƠNG QUAN 2.1 Hiệp phương sai (covariance) Hiệp phương sai biến ngẫu nhiên X Y xác định bởi: cov( X , Y ) = E{[ X − E ( X )][Y − E (Y )]} Cơng thức tính : cov( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X ).E (Y ) Nhận xét: • Nếu cov( X , Y ) = ta nói biến ngẫu nhiên X Y khơng tương quan • Nếu X Y độc lập X Y khơng tương quan • cov( X , X ) = V ( X ) 2.2 Hệ số tương quan Hệ số tương quan bnn X Y, ký hiệu rXY , xác định công thức: rXY = cov( X , Y ) σ X σY Hệ số tương quan đo mức độ phụ thuộc tuyến tính X Y 2.3 Ước lượng hệ số tương quan Lập mẫu ngẫu nhiên ( X , Y1 ),( X , Y2 ), ,( X n , Yn ) Để ước lượng hệ số tương quan ta dùng thống kê R = n X = ∑ Xi n i =1 Với , n Y = ∑ Yi n i =1 , XY − X Y S X SY n XY = ∑ X iYi n i =1 n n 2 S = ∑ ( X i − X ) , SY = ∑ (Yi − Y ) n i =1 n i =1 X Với mẫu số liệu cụ thể ta tính rXY = đó: x= n ∑ xi n i =1 y= n ∑ yi n i =1 xy − x y sx s y xy = n n 2 s = ∑ ( xi − x) = ∑ xi − ( x) n i =1 n i =1 X n ∑ xi yi n i =1 , n n 2 s = ∑ ( yi − y ) = ∑ yi − ( y ) n i =1 n i =1 Y Tính chất: • |r| ≤ • Nếu |r| = X Y có quan hệ tuyến tính • Nếu |r| lớn phụ thuộc tương quan tuyến tính X Y chặt chẽ • Nếu r = X Y khơng tương quan • Nếu r > X Y có tương quan thuận (X tăng Y tăng), r < X Y có tương quan nghịch (X tăng Y giảm) HỒI QUY 3.1 Kỳ vọng có điều kiện ♦ Biến ngẫu nhiên rời rạc Kỳ vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên Y với điều kiện X = x là: m E (Y | x) = ∑ y j P ( X = x, Y = y j ) j =1 Tương tự kỳ vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên X với điều kiện Y = y là: m E ( X | y ) = ∑ xi P ( X = xi , Y = y ) i =1 ♦ Biến ngẫu nhiên liên tục E (Y | x) = +∞ ∫ y f ( y | x)dy −∞ E ( X | y) = +∞ ∫ x f ( x | y)dx −∞ Trong hai hàm mật độ có điều kiện tính sau: f ( x | y) = f ( x, y ) fY ( y ) f ( y | x) = f ( x, y ) f X ( x) 3.2 Hàm hồi quy Trong thực tế ta thường gặp bnn X, Y có mối liên hệ với nhau, việc khảo sát X dễ cịn khảo sát Y khó chí khơng thể khảo sát Ta muốn tìm mối liên hệ ϕ( X ) X Y, biết X ta dự đoán Y Giả sử biết X, dự đoán ϕ( X ) trung bình bình phương sai số phạm phải E[Y − ϕ( X )]2 Vấn đề đặt tìm ϕ( X ) để E[Y − ϕ( X )]2 nhỏ (phương pháp bình phương sai số cực tiểu hay phương pháp bình phương sai số nhỏ nhất) Kết thu được: ϕ( X ) = E (Y | X ) E[Y − ϕ( X )]2 nhỏ ϕ( X ) = E (Y | X ) gọi phương trình hồi quy hay phương trình tương quan 3.3 Xác định hàm hồi quy Giả sử X Y có quan hệ tuyến tính E (Y | X ) = AX + B Dựa vào n cặp số liệu ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ), ,( xn , yn ) ( X , Y ) ta tìm hàm y = ax + b để ước lượng cho hàm Y = AX + B Sai số xấp xỉ: εi = yi − axi − b n Phương pháp bình phương cực tiểu: tìm a b cho F (a, b) = ∑ ( yi − axi − b) i =1 n n n ∂F n = − x ( y − ax − b ) = a x + b x = xi yi ∑ ∑ ∑ i i i i ∂a ∑ i i =1 i =1 i =1 i =1 ⇒ n Suy ra: n n ∂ F = −2∑ ( yi − axi − b) = a xi + nb = ∑ yi ∂b ∑ i =1 i =1 i =1 Giải phương trình ta nghiệm: n n n n x y − ∑ i i ∑ xi ÷ ∑ yi ÷ i = i =1 i =1 a = n n xi − ∑ xi ÷ ∑ i =1 i =1 n n n n xi ∑ yi − ∑ xi ÷ ∑ xi yi ÷ ∑ i =1 i =1 i =1 i =1 b = n n n x − x ∑ ∑ i i ÷ i =1 i =1 n n x = ∑ xi y = ∑ yi n i =1 n i =1 hay b = y − a.x CHƯƠNG VI QUY HOẠCH THỰC NGHIỆM §1 ĐỊNH NGHĨA QHTN 1.1 Định nghĩa: qui hoạch thực nghiệm tập hợp tác động nhằm đưa chiến thuật làm thực nghiệm từ giai đoạn đầu đến giai đoạn kết thúc trình nghiên cứu đối tượng (từ nhận thông tin mô đến việc tạo mơ hình tốn, xác định điều kiện tối ưu), điều kiện chưa hiểu biết đầy đủ chế đối tượng Đối tượng quy hoạch thực nghiệm ngành công nghệ: Là q trình tượng có tính chất, đặc điểm chưa biết cần nghiên cứu Người nghiên cứu chưa hiểu biết đầy đủ đối tượng, có số thơng tin tiên nghiệm dù liệt kê sơ lược thơng tin biến đổi, ảnh hưởng đến tính chất đối tượng Có thể hình dung chúng “hộp đen” hệ thống điều khiển gồm tín hiệu đầu vào đầu - Các tín hiệu đầu vào chia thành ba nhóm: 1) Các biến kiểm tra điều khiển được, mà người nghiên cứu điều chỉnh theo dự định, biểu diễn vectơ: Z = [ z1 , z2 , , zk ] 2) Các biến kiểm tra không điều khiển được, biểu diễn vectơ: T = (t1 , t2 , , tm ) 3) Các biến không kiểm tra không điều khiển được, biểu diễn vectơ: ξ = [ξ1 , ξ , , ξ p ] 1.2 Các nguyên tắc qui hoạch thực nghiệm 1.2.1 Ngun tắc khơng lấy tồn trạng thái đầu vào Để có thơng tin tồn diện tính chất hàm mục tiêu nguyên tắc cần tiến hành vô số thực nghiệm miền qui hoạch Ví dụ, trường hợp có hai yếu tố, cho yếu tố biến đổi liên tục từ -1 đến +1 miền thực nghiệm hình vuông chứa vô số điểm M ( z1 , z2 ) đặc trưng cho trạng thái đầu vào Về lý thuyết không tiến hành tất thực nghiệm bỏ sót đặc điểm hàm mục tiêu, nhiên thực tế thực điều Do người nghiên cứu lấy giá trị rời rạc (thường chọn theo mắt lưới), chọn mức biến đổi cho yếu tố Sự lựa chọn cần có sở khoa học, gắn liền với lựa chọn dạng hàm, tức dạng mô bề mặt đáp ứng Dạng hàm thông thường bậc bậc hai 1.2.2 Nguyên tắc phức tạp dần mô hình tốn học Khi chưa có thơng tin ban đầu tính chất hàm mục tiêu, khơng nên xây dựng mơ hình phức tạp đối tượng để tránh chi phí vơ ích thời gian, phương tiện vật chất khơng dùng đến mơ hình Vì lý thuyết qui hoạch thực nghiệm hướng dẫn nên mơ hình đơn giản nhất, ứng với thơng tin ban đầu có đối tượng Logic tiến hành thực nghiệm nên làm thí nghiệm để có mơ hình đơn giản (ví dụ mơ hình tuyến tính), kiểm tra tính phù hợp mơ hình: - Nếu mơ hình phù hợp, đạt yêu cầu dừng lại, cải tiến; - Nếu mơ hình khơng phù hợp tiến hành giai đoạn thực nghiệm: làm thí nghiệm mới, bổ sung để nhận mơ hình phức tạp (ví dụ mơ hình phi tuyến), kiểm tra mơ hình đạt mơ hình hữu dụng 1.2.3 Nguyên tắc đối chứng với nhiễu Độ xác mơ hình phải tương xứng với cường độ nhiễu ngẫu nhiên mà chúng tác động lên kết đo hàm mục tiêu Trong điều kiện nhau, độ nhiễu nhỏ mơ hình phải xác, phải phức tạp Bằng cơng cụ tính tốn thống kê, người ta xây dựng hồn chỉnh qui trình chuẩn theo tiêu chuẩn thống kê để giải nhiệm vụ xác định tính phù hợp mơ hình tìm được, hiệu chỉnh dạng mơ hình, kiểm tra tính đắn giả thiết, tiên đề mà dựa vào tìm mơ hình 1.2.4 Ngun tắc ngẫu nhiên hóa Ta phải chủ động tạo tình ngẫu nhiên thực nghiệm Ví dụ ngẫu nhiên hóa trình tự thí nghiệm tiến hành 1.2.5 Nguyên tắc tối ưu Đây nguyên tắc trung tâm lý thuyết QHTN Theo kế hoạch thực nghiệm cần phải có tính chất tối ưu cụ thể theo quan điểm hay nhóm tiêu chuẩn tối ưu xác định trước Các tiêu chuẩn thường xây dựng khác thơng qua ngơn ngữ tốn học Nói chung xu hướng là: Ít thí nghiệm – nhiều thông tin – chất lượng kết cao 1.3 Kế hoạch thực nghiệm 1.3.1 Xác định miền giới hạn Mục tiêu xác định tham số đầu vào Z để tiến hành thí nghiệm, muốn phải xác max định miền mà biến z j nhận giá trị: z j ≤ z j ≤ z j Sau dựa vào miền giới hạn để tạo kế hoạch thực nghiệm bao gồm điểm (phương án) thí nghiệm Một điểm (phương án) thí nghiệm giá trị cụ thể giá trị đầu vào Z Tại điểm thứ i kế hoạch ta có số liệu đầu vào Z: ( zi1 , zi , , zik ) với k số yếu tố đầu vào i = 1, 2, , N điểm thí nghiệm thứ i kế hoạch N số điểm thí nghiệm kế hoạch 1.3.2 Các mức yếu tố Các giá trị cụ thể thành phần Z ấn định điểm kế hoạch gọi mức yếu tố Một số mức thường gặp: mức trên, mức dưới, mức sở, … Mức sở Z = ( z10 , z20 , , zk0 ) điểm thí nghiệm quan tâm đặc biệt, thơng thường gọi tâm kế hoạch vùng quanh phân bố tồn điểm kế hoạch Cơng thức xác định mức sở sau: z = j z max + z j j 1.3.3 Giá trị mã hóa Do thu thập số liệu biến đầu vào xảy tình có thứ nguyên khác nhau, điều dẫn đến khó khăn xử lý Để khắc phục người ta quy đổi số liệu giá trị mã hóa (là giá trị khơng có thứ ngun) Cơng thức biến đổi: xj = z j − z 0j ∆z j với ∆z j = z max − z j j Như theo tỷ lệ quy chuẩn, mức sở mã hóa yếu tố đầu vào x j = Cịn với điểm thí nghiệm khác ta có: −1 ≤ x j ≤ Mức ( x j = ) ký hiệu “+” Mức sở ( x j = ) ký hiệu Mức ( x j = −1 ) ký hiệu “–” 1.3.4 Ma trận thực nghiệm Ma trận thực nghiệm dạng mô tả chuẩn điều kiện tiến hành thí nghiệm (các điểm thí nghiệm) theo bảng chữ nhật, hàng thí nghiệm, cột ứng với yếu tố đầu vào Có ma trận thực nghiệm: theo giá trị thực tế Z theo giá trị mã hóa X §2 PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU 2.1 Đặt toán Bài toán đưa cần nghiên cứu biến y hệ thống, y phụ thuộc vào yếu tố độc lập x1 , x2 , , xk điều khiển biến ξ không điều khiển (người ta thường gọi nhiễu) Mối quan hệ: y = f ( x1 , x2 , , xk , θ1 , θ2 , , θm ) + ξ với dạng hàm f biết chưa biết tham số θ1 , θ2 , , θ m E (ξ) = Để tìm mối quan hệ y x1 , x2 , , xk ta làm N thí nghiệm ta bảng số liệu: x2 N0 x1 … xk x11 x12 … x1k x21 x22 … x2k … … … … … xN xN N … xNk Một điểm thí nghiệm số liệu ( xi1 , xi , , xik ) y y1 y2 … yN Đối với toán cụ thể, điểm thí nghiệm chạy miền xác định H ⊂ ¡ k gọi miền quy hoạch Bài toán đặt ra: Trên sở số liệu thu được, ta tìm hàm số $ y = µf ( x1 , x2 , , xk ) (6.1) y = f ( x1 , x2 , , xk , θ1 , θ2 , , θ m ) biểu diễn gần tốt hàm % Phương trình (6.1) gọi phương trình hồi quy thực nghiệm Để giải toán người ta sử dụng phương pháp bình phương cực tiểu Mục đích xác định tham số θ1 , θ2 , , θ m cho cực tiểu bình phương sai số N ∑ ( y − °y ) i =1 i i → yi (i = 1, , N ) kết thí nghiệm °y = f ( x , x , , x , θ , θ , , θ ) (i = 1, , N ) giá trị lý thuyết i i1 i2 ik m Vì tham số θ1 , θ2 , , θ m chưa biết nên tổng bình phương sai số hàm N tham số đó: S (θ1 , θ2 , , θm ) = ∑ ( yi − °yi ) → i =1 Từ suy ∂S = (i = 1, , m) Ta cố gắng xác định hệ số dựa vào phương ∂θi trình 2.2 Trường hợp hàm tuyến tính Xét toán với quan hệ y = θ0 + θ1 x1 + θ2 x2 + + θk xk + ξ y = θ0 + θ1 x1 + θ2 x2 + + θk xk với E (ξ) = % Bảng số liệu thí nghiệm N0 … N x0 x1 x11 x21 x2 x12 x22 … … … … … … xN xN … Suy ra: °yi = θ0 xi + θ1 xi1 + θ2 xi + + θk xik với quy ước xi xk x1k x2k y y1 y2 … … xNk yN =1 Bài toán đặt ra: Xác định hệ số θ j = b j cho: N N k i =1 i =1 i =0 S (θ1 , θ2 , , θm ) = ∑ ( yi − °yi ) = ∑ ( yi − ∑ θ j xij ) → Dựa vào điều kiện cực trị ta có: ∂S = (i = 0, , k ) ∂θi N k ∂S = 2∑ − xij ( yi − ∑ θ j xij ) = ⇒ ∂θ j i =1 i =0 θ0 ÷ θ1 Đặt Θ = ÷ ÷ ÷ θk x11 1 x 21 X = xN x12 x22 xN k x ( y − ∑ ij i ∑ θ j xij ) = i =1 i=0 N x1k x2 k ÷ ÷ ÷ ÷ xNk (i = 0, , k ) (6.2) y1 ÷ y Y = ÷ ÷ ÷ yN Khi hệ (6.2) trở thành X T (Y − X Θ) = Suy X T X Θ = X T Y , tồn ma trận nghịch đảo ( X T X ) −1 ta thu kết quả: Θ = ( X T X ) −1 ( X T Y ) Ma trận thực nghiệm kèm theo việc ta thực chuyển từ giá trị Z j sang giá trị x j công thức x j = N0 Z j − Z 0j ∆Z j x0 x1 x2 x3 Z1 Z2 Z3 + + + + + + + + – + – + – + – + – – + + – – + + – – – – + + + + 0,008 0,1 0,008 0,1 0,008 0,1 0,008 0,1 0,03 0,03 0,3 0,3 0,03 0,03 0,3 0,3 19 19 19 19 84 84 84 84 Ta lập bảng thí nghiệm đầy đủ với k = ; n0 = , tức ta làm thêm thí nghiệm tâm thí nghiệm điểm với N = 2k + 2k + n0 = 23 + 2.3 + = 18 a= λ= N 2k − − 2k −1 = 18.21 − 22 = k (2 + 2a ) = (2 + 2.2) = N 18 Suy x 'j = x 2j − λ = x 2j − N0 10 11 12 13 14 15 16 17 18 x0 x1 x2 x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3 + + + + + + + + + + + + + + + + + + – + – + – + – + 0 0 a –a 0 0 – – + + – – + + 0 0 0 a –a 0 – – – – + + + + 0 0 0 0 a –a + – – + + – – + 0 0 0 0 0 + – + – – + – + 0 0 0 0 0 + + – – – – + + 0 0 0 0 0 x1' x2' 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 –2/3 –2/3 –2/3 –2/3 4/3 4/3 –2/3 –2/3 –2/3 –2/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 –2/3 –2/3 –2/3 –2/3 –2/3 –2/3 4/3 4/3 –2/3 –2/3 x3' 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 –2/3 –2/3 –2/3 –2/3 –2/3 –2/3 –2/3 –2/3 4/3 4/3 ♦ Tính hệ số phương trình hồi quy: Dựa vào cơng thức mục 3.3.4 ta tính hệ số: b0 = 11,067 b1 = 1,75 b2 = −4,386 b12 = −0,388 b13 = −0,013 b23 = 1,737 b11 = 0,763 b22 = 0,838 b33 = −0,862 b3 = 2, 274 Suy phương trình hồi quy có dạng: y = 11,067 + 1,75 x1 − 4,386 x2 + 2, 274 x3 − 0,388 x1 x2 − 0,013 x1x3 + 1,737 x2 x3 + 0,763x1' + 0,838 x2' − 0,862 x3' ♦ Kiểm định hệ số: Dựa vào thí nghiệm tâm ta tính phương sai tái sinh n0 y0t 10,1 11,2 9,9 12,3 y0 10,875 ( y0t − y0 ) 0,601 0,106 0,951 2,031 y 13,9 18,5 16 18,5 12 10,2 11,2 9,9 12,3 15 7,5 15,8 11,5 Phương sai tái sinh: sts = n0 i ( y0 − y0 )2 = 1, 229 ∑ n0 − i =1 Tính hệ số sts2 1, 229 = = 0,0668 ⇒ sb0 = 0, 261 N 18 s2 1, 229 sb2j = N ts = = 0,1024 ⇒ sb j = 0,32 12 ∑ xuj sb20 = u =1 sb2ij = sts2 N ∑ (x u =1 sb2jj = = x )2 ui uj sts2 N ∑ (x u =1 1, 229 = 0,153 ⇒ sbij = 0,392 = ' uj ) 1, 229 = 0,153 ⇒ sb jj = 0,392 Các thống kê tính được: tb0 = 42,349 tb1 = 5, 468 tb2 = −13,706 tb12 = −0,989 tb13 = −0,032 tb23 = 4, 431 tb11 = 1,946 tb22 = 2,137 tb33 = −2, tb3 = 7,106 Chọn mức ý nghĩa α = 0,05 , bậc tự n0 − = , tra bảng student ta có tα = 3,18 Các hệ số sau 0: b12 , b13 , b11 , b22 , b33 Phương trình hồi quy thực nghiệm trở thành: y = 11,067 + 1,75 x1 − 4,386 x2 + 2, 274 x3 + 1, 737 x2 x3 (*) ♦ Kiểm định phương trình hồi quy Số hệ số có nghĩa L = Tính phương sai dư: sdu = N 42, 252 ( yi − µyi ) = = 3, 25 ∑ N − L i =1 13 µy tính thơng qua điểm thí nghiệm thứ i thay vào (*) i sdu 3, 25 µ = 2,644 Xét tỷ số F = = sts 1, 229 Chọn α = 0,05 , tra bảng Fisher với bậc tử 13, bậc mẫu ta được: Fα = F0,05 (13;3) = 8,727 µ < F nên ta có kết luận mơ hình phù hợp Do F α 3.4 Quy hoạch thực nghiệm riêng phần Quy hoạch phải thực 2k thí nghiệm phương pháp làm gọi quy hoạch thực nghiệm toàn phần Nhược điểm cách số điểm thí nghiệm tăng nhanh k tăng, dẫn đến quy hoạch cồng kềnh, chi phí lớn hiệu Vì người ta đưa dạng quy hoạch thực nghiệm rút gọn gọi quy hoạch thực nghiệm riêng phần Sơ thí nghiệm giảm xuống 2k − p với p bậc rút gọn 3.4.1 Đặt toán Về thực chất, để xây dựng quy hoạch thực nghiệm riêng phần ta tìm cách loại bỏ p biến k biến ban đầu cách thay biến tích số biến cịn giữ lại Như thực tế tốn đưa xét dạng quy hoạch thực nghiệm (k − p) biến, có bổ sung tương tác biến giữ lại Tư tưởng thực nghiệm rút gọn xuất sớm, từ đầu lý thuyết QHTN áp dụng không cho QHTN tuyến tính Cho đến ngày nhu cầu phát triển, QHTN phi tuyến đa dạng hóa theo hướng giảm bớt số lương thí nghiệm đảm bảo chất lượng tối ưu cần thiết Các dạng thực nghiệm khơng tồn phần, chuyên gia lập sẵn cho trường hợp rút gọn với hỗ trợ máy vi tính Vì việc tìm hiểu sở QHTN rút gọn chủ yếu phục vụ cho QHTN tuyến tính 3.4.2 Quy hoạch thực nghiệm riêng phần Quá trình lập QHTN riêng phần N = 2k − p : ♦ Bước Trong tồn k thơng số đầu vào chọn lấy d thơng số chính, có ảnh hưởng lớn đến hàm mục tiêu ( d = k − p ) Lập quy hoạch thực nghiệm tồn phần cho d thơng số ta 2d = 2k − p thí nghiệm Bậc rút gọn p bị giới hạn bởi: N = 2k − p ≥ k * , với k * số tham số mơ hình cần xây dựng Chú ý: Yêu cầu đặt phải tính hệ số hồi quy phương trình hồi quy Chính u cầu nên QHTN thơng thường hay chọn mức rút gọn sau: Khi k < p = Khi ≤ k ≤ lấy p = Khi k ≥ lấy p = ♦ Bước Đối với p thông số bị loại bỏ, phải thay tích thơng số giữ lại (có thể mang dấu dương âm) Sự lựa chọn thay tương đối tự do, tùy theo lựa chọn người nghiên cứu ♦ Bước Kiểm tra tính hữu dụng QHTN riêng phần Nếu ma trận thực nghiệm khơng có cột giống đối dấu hoàn toàn (nghĩa khơng vi phạm tính trực giao), QHTN riêng phần hữu dụng Nếu ngược lại ma trận thực nghiệm khơng có tính trực giao, ta phải thay thơng số loại bỏ tích khác thông số giữ lại Nếu không phải chọn lại thơng số Ví dụ: Xét mơ hình hồi quy y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + β3 x3 + β4 x4 với k = 4, p = Nếu coi biến đầu x1 , x2 , x3 biến chính, ta thay x4 tích biến cịn lại Có số tích thay cho x4 : x1 x2 , − x1 x2 , x1 x3 , − x1 x3 , x2 x3 , − x2 x3 , x1 x2 x3 , − x1 x2 x3 3.4.3 Ví dụ Nghiên cứu q trình biến tính nhôm Molipden (Mo) Tham số y – số hạt nhôm 1cm Các tham số vào: Z1 - Khối lượng Mo đưa vào (%) Z - nhiệt độ nung ( C ) Z - thời gian nung (phút) Z - tốc độ nguội có tính chất định tính nhận giá trị: Nguội nhanh grafit Nguội chậm lò samốt Giá trị gốc, cận trên, cân cho bảng: Z1 Z2 Z3 Z4 Yếu tố Giá trị tâm 0,4 840 60 Cận 0,55 940 120 grafit Cận 0,25 740 samốt Nếu xét mô hình tuyến tính y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + β3 x3 + β4 x4 ta phải thực 24 = 16 thí nghiệm Tuy nhiên biến thứ có tính chất định tính nên ta làm thí nghiêm riêng phần với p = cần làm 24−1 = thí nghiệm Để xây dựng ma trận thực nghiệm riêng phần ta thay x4 = x1 x2 x3 Làm n0 = thí nghiệm tâm Bảng thực nghiệm x0 N0 x1 + – + + + – + + + – + + + – + + + 10 + 11 + Tính hệ số phương trình hồi quy: x2 x3 x4 – – + + – – + + 0 – – – – + + + + 0 – + + – + – – + 0 y 64 90 69 130 36 95 81 100 80 82 78 b0 = yi = (64 + 90 + 69 + 130 + 36 + 95 + 81 + 100) = 83,125 ∑ i =1 bj = ∑ xij yi i =1 b1 = 20,625 j = 1, b2 = 11,875 b3 = −5,125 b4 = −9,375 Phương trình hồi quy có dạng: $y = 83,125 + 20,625 x1 + 11,875 x2 − 5,125 x3 − 9,375 x4 Kiểm định có nghĩa hệ số hồi quy 3 Xét thí nghiệm lặp tâm, ta có y0 = ( y10 + y02 + y03 ) = (80 + 82 + 78) = 80 Phương sai tái sinh: sts = sb2j = t ( y0 − y0 ) = (80 − 80) + (82 − 80) + (78 − 80) = ∑ n0 − t =1 bj sts2 j = 0, = = 0,5 suy tb j = sb j N Thay số ta tính được: tb0 = 117,574 tb1 = 29,127 tb2 = 16,796 tb3 = −7, 248 tb4 = −17, 260 Chọn α = 0,05 , tra bảng student với bậc tự n0 − = ta tα = t (2;0,975) = 4,3 Do | tb j | > tα j = 0, suy hệ số có nghĩa Kiểm tra phù hợp mơ hình Tính phương sai dư: sdu = N 16,375 µy ) = ( y − ( yi − µyi ) = = 5, 458 ∑ ∑ i i N − L i =1 − i =1 µF = sdu = 5, 458 = 1,365 Xét tỷ số sts2 Chọn α = 0,05 , tra bảng Fisher với bậc tử 3, bậc mẫu ta được: Fα = 19, µ < F nên ta có kết luận mơ hình phù hợp Do F α Kết luận $y = 83,125 + 20,625 x1 + 11,875x2 − 5,125 x3 − 9,375x1 x2 x3 BÀI TẬP Bài Cho thí nghiệm thực bảng dưới: N0 10 11 Bài 2.Ảnh hưởng nhiệt độ nồng sợi xenlulo Dùng quy hoạch trực giao cấp để khảo sát mơ hình: a Xác định hệ số phương trình hồi quy b Kiểm định có nghĩa hệ số hồi quy c Kiểm định có nghĩa mơ hình x0 x1 x2 x3 y + – – – 2,49 + + – – 5,02 + – + – 1,89 + + + – 3,2 + – – + 0,74 + + – + 4,09 + – + + 3,28 + + + + 5,28 + 0 3,126 + 0 3,357 + 0 3,690 độ kiềm đến trình tách tạp chất khỏi xơ Ma trận quy hoạch thực nghiệm Các yếu tố theo tỷ lệ thực Các yếu tố theo tỷ lệ mã hóa Z1 (C%) Z (phút) x0 x1 x2 15 + + + 10 + – – 10 + + – 15 + – + 12,5 + 0 12,5 + 0 12,5 + 0 Dùng quy hoạch trực giao cấp để khảo sát mơ hình: a Xác định hệ số phương trình hồi quy b Kiểm định có nghĩa hệ số hồi quy c Kiểm định có nghĩa mơ hình Bài Tối ưu hóa thực nghiệm q trình chiết hợp chất từ gỗ vang N y 15,598 14,1 14,67 15,4 14,82 14,8 14,75 Ma trận quy hoạch thực nghiệm: N Các yếu tố theo tỷ lệ thực Z1 Z2 Z3 Các yếu tố theo tỷ lệ mã hóa x0 x1 10 150 10 + + 50 10 + – 10 50 10 + + 150 10 + – 10 150 + + 50 + – 10 50 + + 150 + – 7,5 100 10 7,5 100 11 7,5 100 Dùng quy hoạch trực giao cấp để khảo sát mơ hình: x2 x3 y + – – + + – – + + + + + – – – – 0,1083 0,1009 0,1085 0,0855 0,1078 0,1092 0,1105 0,1047 0,1060 0,1072 0,1085 a Xác định hệ số phương trình hồi quy b Kiểm định có nghĩa hệ số hồi quy c Kiểm định có nghĩa mơ hình Bài Dùng phương pháp quy hoạch thực nghiệm riêng phần xây dựng mơ hình biểu diễn mối quan hệ y X1, X2 , X3, X4 biết % y = θ + θ1 x1 + θ x2 + θ3 x3 + θ x4 0 ≤ X ≤ 1,5 ≤ X ≤ 2,5 X i − X i0 , ∀i = 1,4 xi = ≤ X ≤ ∆ X i 4,5 ≤ X ≤ Với việc coi x4 = x1 x2 x3 a) Hoàn thiện bảng thực nghiệm sau N x0 x1 x2 x x4 X1 X2 X3 X4 + + + + − + + + − + + + − − + + − + + + − − + + − − + + − − − + + 0 0 10 + 0 0 11 + 0 0 y 3,1 2,2 2,4 3,4 2,9 5,1 4,5 2.4 3,1 3,2 3,05 b) Xây dựng mơ hình, kiểm tra phụ thuộc y vào biến phù hợp mơ hình với mức ý nghĩa 0,05 Bài Dùng phương pháp quy hoạch thực nghiệm riêng phần xây dựng mơ hình biểu diễn mối quan hệ y X1, X2 , X3, X4, X5 biết % y = θ + θ1 x1 + θ x2 + θ3 x3 + θ x4 + θ5 x5 1 ≤ X ≤ 16,5 ≤ X ≤ 22,5 X i − X i0 , ∀i = 1,5 xi = 30 ≤ X ≤ 90 ∆ X i 60 ≤ X ≤ 90 1 ≤ X ≤ Với việc coi x4 = x1 x2 , x5 = x2 x3 a) Hoàn thiện bảng thực nghiệm sau N x0 x1 x2 x x4 x5 X1 X2 X3 X4 X5 y + + + + 2,49 − + + + 5,02 − + + + 1,89 − − + + 3,20 10 11 + + + + + + + − − − − 0 + + − − 0 + − + − 0 0 0 0,74 4,09 3,20 5,28 4,5 4,2 4,4 0 b) Xây dựng mơ hình, kiểm tra phụ thuộc y vào biến phù hợp mơ hình Bài Nghiên cứu ảnh hưởng nhân tố tới hiệu suất sản phẩm y: 1/ Z1 nhiệt độ khoảng 100 – 2000C 2/ Z2 áp suất khoảng – atm (20 – 60 KgC/cm3) 3/ Z3 thời gian khoảng 10 – 30 phút TN Z1 Z2 Z3 Hiệu suất 100 20 10 2 200 20 10 100 60 10 200 60 10 100 20 30 10 200 20 30 18 100 60 30 8 200 60 30 12 150 40 20 10 150 40 20 11 150 40 20 8,8 Xây dựng mơ hình trực giao cấp mở rộng (xác định hệ số, kiểm định có nghĩa hệ số kiểm định phù hợp mô hình hồi quy) Đáp án: y = 8,5+ 2,5x1 + 3,5x3 − 1,5x2x3 Lời giải Chú ý xi mang dấu dương (hoặc âm) tức X i nhận giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) Còn nhận giá trị trung điểm Thứ hai ta thay x4 = x1 x2 x3 N0 x0 + + + x1 + + + x2 + + − x3 + − + x4 ( x1 x2 x3 ) X1 + − − X2 X3 X4 y 2,5 3,1 2,5 4,5 2,2 1,5 4,5 2,4 + + + + + + + − − − − − + + − − − + − + − + − + + − 0 0 0,5 1,5 2,5 2,5 1,5 1,5 6 4,5 10 + 0 0 0,5 4,5 11 + 0 0 0,5 4,5 4,5 5 4,5 4,7 4,7 4,7 3,4 2,9 5,1 4,5 2.4 3,1 3,2 3,05 b Ta xây dưng mơ hình: ♦ Tìm hệ số phương trình hồi quy % y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + β3 x3 + β4 x4 với k=3, N = x2 x3 x4 ( x1 x2 x3 ) y + + + + + + − + + − + + − + + − + + − − + − − + Tổng Trung bình (tổng/N) + − + − + − + − + − − + − + + − 3,1 2,2 2,4 3,4 2,9 5,1 4,5 2.4 N0 x0 x1 Dùng công thức b j = b0 b1 3.25 b2 -0.475 0.075 x0 y x1 y x2 y x3 y x4 y 3.1 3.1 3.1 3.1 3.1 2.2 2.2 2.2 -2.2 -2.2 2.4 2.4 -2.4 2.4 -2.4 3.4 3.4 -3.4 -3.4 3.4 2.9 -2.9 2.9 2.9 -2.9 5.1 -5.1 5.1 -5.1 5.1 4.5 -4.5 -4.5 4.5 4.5 2.4 -2.4 -2.4 -2.4 -2.4 26 -3.8 0.6 -0.2 6.2 -0.475 0.075 -0.025 0.775 3.25 N ∑ xij yi theo bảng ta có N i =1 b3 -0.025 b4 0.775 Ta có phương trình: $y = 3, 25 − 0, 475 x1 + 0,075 x2 − 0,025 x3 + 0,775 x4 ♦ Kiểm định có nghĩa hệ số hồi quy Ta tính phương sai tái sinh thơng qua n0 = thí nghiệm lặp tâm (thí nghiệm 9, 10, 11) y10 = 3,1 y02 = 3, Phương sai tái sinh y03 = 3,05 suy y0 = ( y10 + y02 + y03 ) = 3,117 sts2 = n0 i ( y0 − y0 ) = (3,1 − 3,117) + (3, − 3,117) + (3,05 − 3,117) = 0,00583 ∑ n0 − i =1 sts = 0,076 Ta có sbj = sts = 0,027 N Giá trị thực nghiệm tbj = bj sbj thay số ta có t0 t1 t2 t3 t4 120.4 -17.59 2.78 -0.93 28.7 α Dựa vào bảng Student ta tính tα = t (n0 − 1,1 − ) = t (2;0,975) = 4,3 Ta thấy có t2 , t3 thỏa mãn điều kiện | t j |< tα nên hai hệ số b2 , b3 khơng có nghĩa Vậy phương trình trở thành: $y = 3, 25 − 0, 475 x1 + 0,775 x4 (1) ♦ Kiểm định phù hợp mơ hình Số hệ số có nghĩa L = 3, số thí nghiệm N = Tính $y thơng qua phương trình (1) N0 x0 + + + + + + + + x1 + + + + − − − − x2 x3 + + − − + + − − Phương sai dư sdu = + − + − + − + − x1 x2 x3 y + − − + − + + − 3,1 2,2 2,4 3,4 2,9 5,1 4,5 2.4 $ y y−$ y (y − $ y )2 3.55 -0.45 0.2025 0.2 0.04 0.4 0.16 3.55 -0.15 0.0225 2.95 -0.05 0.0025 4.5 0.6 0.36 4.5 0 2.95 -0.55 Tổng 0.3025 1.09 N µ 1,09 ( yi − yi ) = = 0, 218 ∑ N − L i =1 8−3 sdu 0, 218 µ = 37,39 Giá trị thực nghiệm F = = sts 0,00583 Tra bảng phân vị phân phối Fisher với α = 0,05 , bậc tử số N − L = , bậc mẫu số n0 − = ta có: Fα = F0,05 (5;2) = 19,3 µ > F nên ta có kết luận mơ hình không phù hợp Do F α