GV- TRẦN VĂN TÌNH – 0988 339 256 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI TOÁN - CLC CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN BẬC HAI I/ DẠNG 1: f(x) e với e ≥ số 1/ Trường hợp: f(x) = ax + b f(x) = ax b thì: cx d Bước 1: Giải điều kiện f(x) ≥ để tìm điều kiện x Bước 2: Bình phương vế phương trình (để làm căn) Bước 3: Giải phương trình để tìm nghiệm x thỏa mãn điều kiện Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a) 2x b) x 1 6 2x 2x 2 x 1 c) d) 2x 2 x 1 2/ Trường hợp: f(x) = ax2 + bx + c kiểm tra biểu thức f(x) * Nếu f(x) = ax2 + bx + c = (Ax ± B)2 tức có dạng đẳng thức thì: KHAI CĂN Ax B e => Tìm x Ax B e Phương trình Ax B e Ví dụ 2: Giải phương trình sau: x 4x Hướng dẫn Vì x2 – 4x + = (x – 2)2, ta có x x x 3 x 1 PT x x * Nếu f(x) = ax2 + bx + c khơng có dạng đẳng thức thì: BÌNH PHƯƠNG VẾ Bước 1: Viết điều kiện f(x) ≥ Bước 2: Bình phương vế phương trình (để làm căn) Bước 3: Giải phương trình bậc hai có cách: Phân tích thành nhân tử, đưa phương trình tích Ví dụ 3: Giải phương trình sau: x 4x 15 Hướng dẫn Nhận xét: x2 – 4x – khơng có dạng (Ax ± B)2 nên ta khơng đưa phương trình trị tuyệt đối Ví dụ Điều kiện: x2 – 4x – ≥ GV- TRẦN VĂN TÌNH – 0988 339 256 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI TOÁN - CLC Bình phương hai vế phương trình ta được: x2 – 4x – = 15 x2 – 4x – 21 = (x – 7) (x + 3) = x = x = - Thay x tìm vào điều kiện ta thấy x = x = - thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x = ; x = - Ví dụ 4: Giải phương trình sau: (x 2)(x 3) Hướng dẫn Nhận xét: Nhìn Ví dụ khác với dạng Ví dụ thực dạng Vì f(x) = (x – 2)(x + 3) = x2 + x - Do cách giải tương tự Ví dụ 3: x x x x x 3 Điều kiện: (x – 2)(x + 3) ≥ x x x 3 x x 3 Bình phương hai vế phương trình ta được: (x – 2)(x + 3) = 25 x2 + x - = 25 x2 + x – 31 = (x2 + x + 1 ) - – 31 = 4 1 125 =0 x ) 2 15 x 125 2 x (t / m) x x 8 (t / m) 2 x 15 2 Vậy phương trình có nghiệm x = ; x = - II/ DẠNG 2: f(x) g(x) 1/ Phương pháp f(x) g(x) Bước 1: Viết điều kiện phương trình: Nếu f(x) có dạng (Ax ± B)2 cần điều kiện g(x) Bước 2: Nhận dạng loại dạng tương ứng với phương pháp giải sau: * LOẠI 1: Nếu f(x) có dạng đẳng thức (Ax ± B)2 KHAI CĂN đưa phương trình trị tuyệt đối để giải GV- TRẦN VĂN TÌNH – 0988 339 256 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI TOÁN - CLC * LOẠI 2: Nếu f(x) = Ax ± B g(x) = Ex ± D dùng phương pháp BÌNH PHƯƠNG HAI VẾ * LOẠI 3: Nếu f(x) = Ax2 + Bx + C (khơng có dạng đẳng thức (Ax ± B)2 ) g(x) = Ex ± D dùng phương pháp BÌNH PHƯƠNG HAI VẾ * LOẠI 4: Nếu f(x) = Ax2 + Bx + C g(x) = Ex2 + Dx + F thử phân tích f(x) g(x) thành nhân tử, chúng có nhân tử chung đặt nhân tử chung đưa phương trình tích Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm xem có thỏa mãn điều kiện khơng, rối kết luận nghiệm 2/ Các ví dụ Ví dụ 5: Giải phương trình: 2x 3 x Hướng dẫn Điều kiện: x x x 2x x PT 2x x x 2x (x 5) Kết hợp điều kiện => Phương trình vơ nghiệm Ví dụ 6: Giải phương trình: x2 6x x Hướng dẫn Nhận xét: x2 – 6x + = (x – 3)2 dạng bình phương hiệu Điều kiện: x x 7 x x x x (x 5) x 1 PT x x Kết hợp điều kiện => Phương trình có nghiệm x = - Ví dụ 7: Giải phương trình: 2x x Hướng dẫn 2x x Điều kiện: x x x Bình phương hai vế ta có: 2x x 2x x 4x x x Theo điều kiện => Phương trình có nghiệm x = GV- TRẦN VĂN TÌNH – 0988 339 256 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI TỐN - CLC Ví dụ 8: Giải phương trình: x 5x x Hướng dẫn Nhận xét: f(x) = x2 - 5x – khơng có dạng đẳng thức (Ax ± B)2 nên để phá ta dùng phương pháp BÌNH PHƯƠNG HAI VẾ x 5x Điều kiện: x PT x2 5x x 4x x 10 Thay x = - 10 vào điều kiện thấy không thỏa mãn Vậy phương trình vơ nghiệm 3/ Bài tập vận dụng: Giải phương trình sau: a) x 8x 16 x b) x 2x x c) 2x 27 x 2 III/ DẠNG 3: f(x) h(x) g(x) Bước 1: Nếu thân f(x) g(x) có chứa bậc hai có điều kiện Bước 2: Đưa phương trình dạng phương trình trị tuyệt đối f(x) h(x) g(x) Bước 3: Xét dấu trị tuyệt đối giải phương trình Ví dụ 9: Giải phương trình x x x x Hướng dẫn Điều kiện: x ≥ Với phương trình ta dễ dàng nhận thấy: x44 x PT x 2 x 96 x x 2 x 3 1 x 2 TH1: Nếu x x ta có x 0 x = => Pt có vơ số nghiệm x ≥ x 3 GV- TRẦN VĂN TÌNH – 0988 339 256 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI TOÁN - CLC x x ta có x x TH2: Nếu x x x x (Loại) x 2 0 x TH3: Nếu x x x x 2 0 TH4: Nếu x x ta có x x 3 x x => Pt có vơ nghiệm Kết luận: Vậy phương trình có vơ số nghiệm x ≥ Ví dụ 10: (HS tự giải) Giải phương trình: x x x x IV/ PHƯƠNG PHÁP ĐẶC BIỆT TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN Trong mục THẦY lấy ví dụ cụ thể để em làm quen, từ vận dụng cho việc giải phương trình tương tự 1/ PHƯƠNG PHÁP đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc hai phương trình đơn giản Ví dụ 11: Giải phương trình x - x + = Hướng dẫn Điều kiện: x ≥ Đặt x = t ≥ => x = t2, ta có phương trình: t2 – 5t + = (Cách giải phương trình bậc học chương sau) Với phương trình hồn tồn phân tích vế trái thành nhân tử để đưa phương trình tích Ví dụ 12: Giải phương trình: x x Hướng dẫn x x 1 x Điều kiện: Đặt x t => x + = t2, ta có phương trình t t2 t2 t (*) GV- TRẦN VĂN TÌNH – 0988 339 256 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI TỐN - CLC Phương trình (*) thuộc phương trình LOẠI – DẠNG 2: Điều kiện (*) là: – t ≥ t ≤ 5, BÌNH PHƯƠNG VẾ (*) ta có t2 + = 25 – 10t + t2 t = (thỏa mãn điều kiện ≤ t ≤ 5) x 1 x 1 x Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 13: Giải phương trình x 2x x 2x Hướng dẫn Điều kiện: x2 – 2x – ≥ PT x 2x x 2x 10 Đặt t x2 2x t x2 2x ta có: t t2 + 3t – 10 = (t – 2)(t + 5) = t 5 Với t = - (loại) Với t = => x2 2x x2 – 2x – = (x2 – 2x + 1) – = x 2 x 2 x 2 x 2 (x - 1)2 = (thỏa mãn điều kiện) Ví dụ 14: (HS tự giải) Giải phương trình: x 6x x 6x 2/ PHƯƠNG PHÁP đánh giá biểu thức dấu lớn nhỏ số Áp dụng với phương trình: c f(x) c h(x) d g(x) e với d c d e 2 Thường chưa nhìn thấy dạng phương trình này, mà đơi tách hệ số có [f(x)]2 ; [h(x)]2 [g(x)]2 Ví dụ 15: Giải phương trình 3x 6x 12 5x 10x 30 Hướng dẫn Nhận xét: 3x2 + 6x + 12 = 3(x2 + 2x + 1) + = 3(x + 1)2 + ≥ => 3x 6x 12 ≥ 5x4 - 10x2 + 30 = 5(x2 - 2x + 1) + 25 = 5(x - 1)2 + 25 ≥ 25 => 5x 10x 30 ≥ Do đó: 3x 6x 12 5x 10x 30 GV- TRẦN VĂN TÌNH – 0988 339 256 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI TOÁN - CLC 3x 6x 12 x 3 x 1 = Phương trình thỏa mãn x 1 2 x -1 5x 10x 30 5 x -1 25= 25 Vậy phương trình có nghiệm x = - Ví dụ 16: Giải phương trình: 3x 6x 5x 10x 14 2x x Hướng dẫn Nhận xét: 3x2 + 6x + = 3(x2 + 2x + 1) + = 3(x + 1)2 + ≥ => 3x 6x ≥ 5x2 + 10x + 14 = 5(x2 - 2x + 1) + = 5(x + 1)2 + ≥ => 5x 10x 14 ≥ – 2x – x2 = – (x2 + 2x + 1) = – (x + 1)2 ≤ 3x 6x 5x 10x 14 Khi đó: 4 2x x 3x 6x Phương trình thỏa mãn 5x 10x 14 x x 1 4 2x x Vậy phương trình có nghiệm x = - ... giải phương trình tương tự 1/ PHƯƠNG PHÁP đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc hai phương trình đơn giản Ví dụ 11: Giải phương trình x - x + = Hướng dẫn Điều kiện: x ≥ Đặt x = t ≥ => x = t2, ta có phương. .. nghiệm Kết luận: Vậy phương trình có vơ số nghiệm x ≥ Ví dụ 10: (HS tự giải) Giải phương trình: x x x x IV/ PHƯƠNG PHÁP ĐẶC BIỆT TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN Trong mục THẦY... ta có phương trình: t2 – 5t + = (Cách giải phương trình bậc học chương sau) Với phương trình hồn tồn phân tích vế trái thành nhân tử để đưa phương trình tích Ví dụ 12: Giải phương trình: x