Đs9 cđ2 chuyên đề hệ phương trình 1

GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 CHUYÊN ĐỀ: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ Khái niệm hệ phương trình bậc hai ẩn c ax − by = ( I ) , a c' a ' x + b ' y = Hệ phương trình bậc hai ẩn hệ phương trình có dạng  b a’ b’ không đồng thời hay nói cách khác a + b ≠ 0; a '2 + b '2 ≠ ; x, y : ẩn số Các khái niệm có liên quan - Nếu cặp số ( x0 ; y0 ) thỏa mãn nghiệm hệ gọi nghiệm hệ phương trình Nếu không tồn cặp số thỏa mãn đồng thời phương trình hệ ta nói hệ phương trình vơ nghiệm - Giải hệ phương trình tìm tất nghiệm - Hai hệ phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm Liên hệ vị trí tương đối hai đường thẳng với số nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn c ax − by = , biểu diễn tập hợp điểm chung c' a ' x + b ' y = Tập nghiệm hệ phương trình  hai đường thẳng d : ax + by = c d ' : a ' x + b ' y = c' - Trường hợp 1: d d’ cắt I ( x0 ; y0 ) ⇔ hệ phương trình có nghiệm ( x0 ; y0 ) - Trường hợp 2: d d’ song song với ⇔ hệ phương trình vơ nghiệm - Trường hợp 3: d d’ trùng ⇔ hệ phương trình có vơ số nghiệm Biện luận số nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn c ax − by = , với a '.b '.c ' ≠ c' a ' x + b ' y = Xét hệ phương trình  - Hệ phương trình có nghiệm ⇔ - Hệ phương trình vơ nghiệm ⇔ a b ≠ a' b' a b c = ≠ a' b' c' GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 a b c - Hệ phương trình có vơ số nghiệm ⇔ = = a' b' c' Các phương pháp giải a Giải hệ phương trình phương pháp thế: - Từ phương trình hệ, biểu thị ẩn theo ẩn (chẳng hạn x theo y) - Thế biểu thức x vào phương trình cịn lại thu gọn, ta tìm giá trị y - Thế giá trị y vào biểu thức x ta tìm giá trị x Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số - Nhân vế hai phương trình với hệ số thích hợp (nếu cần) cho hệ số ẩn đối - Sử dụng quy tắc cộng đại số để phương trình mới, có phương trình ẩn - Giải hệ phương trình vừa thu *) Lưu ý: Khi hệ có chứa biểu thức giống nhau, ta kết hợp phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệ hệ đơn giản Sau sử dụng phương pháp cộng để tìm nghiệm hệ phương trình Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ - Đặt điều kiện để hệ có nghĩa (nếu cần) - Đặt ẩn phụ điều kiện ẩn phụ (nếu có) - Giải hệ theo ẩn phụ đặt - Trở lại ẩn cho để tìm nghiệm hệ số (lưu ý với điều kiện lúc đặt ẩn phụ) II HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ Tuyển sinh Tỉnh Năm học Hà Nội 2017 - 2108; 2018 - 2019; 2020 – 2021; 2021-2022 Cà Mau 2021-2022 Bắc Ninh 2017 - 2018; 2018 - 2019 Bắc Giang 2019 – 2020; 2020 - 2021 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Bình Dương 2021-2022 Zalo: 0382254027 Đà Nẵng 2019 - 2020 Hà Nam 2018 - 2019; 2019 – 2020; 2020 - 2021 Hải Dương 2019 – 2020; 2020 - 2021 Hậu Giang 2021-2022 Hải Phòng 2018 – 2019; 2019 – 2020; 2021-2022 Hưng Yên 2018 – 2019 Hải Phịng 2020 – 2021 Hịa Bình 2021-2022 Vĩnh Phúc 2018 – 2019 Thái Bình 2019 – 2020; 2020 – 2021; 2021-2022 Tây Ninh 2021-2022 Phú Thọ 2021-2022 Nam Định 2019 – 2020; 2020 – 2021; 2021-2022 Nghệ An 2021-2022 Hịa Bình (Chun Tin) 2020 – 2021 Chun An Giang 2013 – 2014 Chuyên Hà Nam 2020 – 2021 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 III CÁC DẠNG TỐN A HỆ KHƠNG CHỨA THAM SỐ Dạng 1: Hệ đa thức bậc x y c ax − by = c' a ' x + b ' y = Cách giải: Rút gọn hệ phương trình bậc hai ẩn dạng:  Bài 1: ( x + 1)( y − 1) = xy + ( x + 2)( y − 2) = xy + Giải hệ phương trình sau:  Lời giải ( x + 1)( y − 1) = xy +  xy − x + y − = xy + − x + y = − x + y = ⇔ ⇔ ⇔ ( x + 2)( y − 2) = xy +  xy − x + y − = xy + −2 x + y = 10 − x + y = Hệ phương trình  − x + y =3 Vậy hệ phương trình vô nghiệm ⇔ − x + y =5 Bài 2: ( x − 2)(6 y + 1) = (2 x − 3)(3 y + 1) (2 x + 1)(12 y − 9) = (4 x − 1)(6 y − 5) Giải hệ phương trình sau:  Lời giải ( x − 2)(6 y + 1)= (2 x − 3)(3 y + 1) 6 xy + x − 12 y − 2= xy + x − y − ⇔ (2 x + 1)(12 y − 9)= (4 x − 1)(6 y − 5) 24 xy − 18 x + 12 y − 9= 24 xy − 20 x − y + Hệ phương trình  − x − y =−1 − x − y =−1 6 y =6  x =−2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = y 14 9y 9y = 2 x + 18  x +=  x += y Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( −2;1) Bài 3: 15 2( x + 1) + 3( x + y ) = 4( x − 1) − ( x + y ) = Giải hệ phương trình sau:  Lời giải + y ) 15 2 x + + x= + y 15 5 x= + y 13 10 x= + y 26 2( x + 1) + 3( x= ⇔ ⇔ ⇔ y) − 2y − 2y − y 12 4( x − 1) − ( x += 4 x − − x= 3 x= 9 x= Hệ phương trình  GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 = = 19 x 38 x ⇔ ⇔ 2y = 3 x −= y Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 2;1) Bài 4: 3( x + 1) + 2( x + y ) = 4( x + 1) − ( x + y ) = Giải hệ phương trình sau:  Lời giải Cách 1: Giải trực tiếp y) 4y 4y = 3( x + 1) + 2( x += 3 x + + x += 5 x += x ⇔ ⇔ ⇔ 4( x + 1) − ( x + y ) =9 4 x + − x − y =9 6 x − y =10  y =−1 Hệ phương trình  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y=) (1; −1) Cách 2: Giải cách đặt ẩn phụ Đặt a =x + 1; b =x + y , hệ cho trở thành: 2b 2b 11a 22 = +1 = 3a += 3a += = a  x= x ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ ⇔  18 3a + 2b =4 4a − b =9 8a − 2b = b =−1  x + y =−1  y =−1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y=) (1; −1) Bài 5: Tuyển sinh vào 10 Bắc Giang, năm học 2019 - 2020 x − y = 11 3 x + y = Giải hệ phương trình sau:  Lời giải  x= + y x − y = 5 y = x = ⇔ ⇔ ⇔ 11 11 3 ( + y ) + y = 3 x + y =  x= + y  y =1 Ta có  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (3;1) Bài 6: Tuyển sinh vào 10 Đà Nẵng, năm học 2019 - 2020 x + y = 4 x + y = Giải hệ phương trình sau:  Lời giải GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH + 2y + y 12 = =  x= 4 x= 3 y y ⇔ ⇔ ⇔ 4 x + y =6 4 x + y =6  x =3 − y  x =3 − 2.2 = Zalo: 0382254027 Ta có  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (1; ) Bài 7: Tuyển sinh vào 10 Hà Nam, năm học 2019 - 2020 3 x − y = 2 x + y = Giải hệ phương trình sau:  Lời giải x− y = = 3= 5 x 10 = x x ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ ( x; y ) = ( 2;3) +y +y +y = 2 x= 2 x= 4= y Ta có  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 2;3) Bài 8: Tuyển sinh vào 10 Hải Dương, năm học 2019 - 2020 3 x − y = 2 y − x = Giải hệ phương trình sau:  Lời giải −y −y = 3 x= 6 y= y = x ⇔ ⇔ ⇔ −x = = 2 y= x y x y = y Ta có  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (2;1) Bài 9: Tuyển sinh vào 10 Nam Định, năm học 2019 - 2020  x − xy + y − (1) Giải hệ phương trình sau:  2  x + xy − y = ( x − 1)( ) Lời giải Ta có: ( ) ⇔ x + xy − y − x + =0 ⇔ ( x − ) + y ( x − ) =0 ⇔ ( x − )( x − + y ) =0 = x − = x ⇔ ⇔ x − + y = x = − y + Thay x = vào phương trình (1) ta được: − y =y − =0 ⇔ y =−3 + Thay x= − y vào phương trình (1) ta được: ( − y ) − ( − y ) y = y − = ⇔ y − y − = có ∆ = (−5) − 4.2.(−3) = 49 > 0, Phương trình y − y − = ∆= GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 5+7 − −1 Ta có:= y1 = 3;= y2 = 4 + y1 =3 ⇒ x =2 − =−1 + y2 = −1 ⇒ x =2+ = 2   Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) ∈ (−1; 3), (2; − 3),  ; −   2    Bài 10: Tuyển sinh vào 10 Thái Bình, năm học 2019 - 2020 4 x + y = (không sử dụng máy tính bỏ túi) 2 x − y = Giải hệ phương trình sau  Lời giải  x =  4 x + y = 6 x = Ta có  ⇔ ⇔ x − y = x − y =   y =  Vậy nghiệm hệ  ;  3   Bài 11: Tuyển sinh vào 10 Bắc Ninh, năm học 2018 - 2019 x + y = 3 x − y = Giải hệ phương trình sau  Lời giải 2y 2y 7x = x + = x + = = x ⇔ ⇔ ⇔ −y 2y 2y = 3 x= 6 x −=  x += y Ta có  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (1; ) Bài 12: Tuyển sinh vào 10 Hà Nam, năm học 2018 - 2019 25 x + y = 2 x − = y + Giải hệ phương trình sau  Lời giải = x − 25 =  x + y 25  x += 3 x 30 =  x 10 ⇔ ⇔ ⇔ 2 x − 1= y +  y = x −  y = 2x −  y = 15 Ta có  GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (10;15 ) Zalo: 0382254027 Bài 13: Tuyển sinh vào 10 Bắc Ninh, năm học 2017 - 2018 2 x = x + y = Giải hệ phương trình sau  Lời giải = 2 x 4= x ⇔ +y =  x= y Ta có  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 2;3) Bài 14: Tuyển sinh vào 10 Thái Bình, năm học 2017 - 2018 −2 ( x + y ) + ( x + y ) = Giải hệ phương trình sau  3 ( x + y ) + ( x − y ) = Lời giải  −2 2 + y = −2 ( x + y ) + ( x + y ) = −2 −2 −2 2 x + y = 2 x + y = 2 x + y = Ta có  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ −3 −5 4 x + y = −12 x − y = −10 x = 3 ( x + y ) + ( x − y ) = x =   x = 1  y )  ; −1 ⇔ Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x;= 2   y = −1 Bài 15: Tuyển sinh vào 10 Bắc Giang, năm học 2020 - 2021 10 x − 3y = −1 2 x + y = Giải hệ phương trình sau  Lời giải 7 y = −21 − y 10 − y 20 =  x= 2 x= x  Ta có  ⇔ ⇔ −1 − y ⇔  −1 2 x + y = −1 −3 2 x + y = y =  x = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y=) (1; −3) GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Bài 16: Tuyển sinh vào 10 Hà Nam, năm học 2020 - 2021 3 ( x + y + ) = x + y Giải hệ phương trình sau  −3  x + y = Lời giải 3 ( x + y + ) = x + y −15 −12 x + 8y = 6 y = x = Ta có  ⇔ ⇔ ⇔ −3  x + y =  x + y =−3  x =−3 − y  y =−2 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y=) (1; −2 ) Bài 17: Tuyển sinh vào 10 Hải Phòng, năm học 2020 - 2021 10 3 ( x − 1) + ( x − y ) = Giải hệ phương trình sau  4 ( x − ) − ( x − y ) = Lời giải x = 10 3 ( x − 1) + ( x − y ) = − y 10 − y 13 3 x − + x= 5 x=  Ta có  ⇔ ⇔ ⇔ x + 2y x + y 10 4 x − − = 3=  y = 4 ( x − ) − ( x − y ) = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) =  3;   2 Bài 18: Tuyển sinh vào 10 Hậu Giang, năm học 2021 - 2022  y + 12 x y= ( x + 1) + xy Giải hệ phương trình sau  ( x, y ∈  )  xy + y − x − x + 10 = Lời giải  y + 12 x y= ( x + 1) + xy (1) Ta có  (2)  xy + y − x − x + 10 = ⇒ y + 12 x y = ( x + 1) + xy ⇔ x − 12 x y + xy − y = −8 ⇔ ( x ) − ( x ) y + 3.2 x y − y =−8 ⇔ ( x − y ) =−8 3 ⇔ x − y =−2 ⇔ y =2 x + Thay vào phương trình (2) ta có x ( x + ) + ( x + ) − x − x + 10 = ⇔ x + x + x + − x − x + 10 = ⇔ x + x + 14 = (*) GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 ∆ = −31 < Do pt(*) vơ nghiệm Vậy hpt cho vô nghiệm Bài 19: Tuyển sinh vào 10 Tây Ninh, năm học 2021 - 2022 b ax − y = Tìm a b biết hệ phương trình có nghiệm ( 2; −1) −2a 2 x − by = Cho hệ phương trình  Lời giải Vì (2; −1) nghiệm hệ phương trình Ta thay x = 2, y = -1 vào hệ phương trình b a ⋅ 2= − ⋅ (−1) b = ax − y =  2a + b ⇒ ⇔  −2a 2.2 − b ⋅ (−1) =−2a 2 x − by = 4 + b =−2a  a= −   2a − b =−2 4a =−6  a = − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ a + b = − a + b = −     2  −  + b =−4 b = −1    Vậy a = − b = −1 thỏa mãn tốn 10 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Dạng 2: Hệ chứa phân thức *) Phân thức không chứa ẩn mẫu: Ta thường dùng cách quy đồng thức khử mẫu Bài 1:  2x − 3y x + y −1 = 2x − y −1  − Giải hệ phương trình sau  x + y − 2x − y − x − y −1  4= −  Lời giải  2x − y x + y −1  2x − y x + y −1 = 2x − y −1  − = 2x − y −1  −  5 Ta có   2x − y − x − y −1  4x + y − 2x − y − x − y −1  4x + y − = − =− 6     x = 5(2 x − y ) − 4( x + y − 1)= 20(2 x − y − 1) ⇔ ⇔ = 2(2 x − y − 3) − 4( x − y − 1) 3(4 x + y − 2)  y = −4  −4   3  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) =  ; *) Phân thức không chứa ẩn mẫu: Ta thường dùng cách quy đồng thức khử mẫu Cách giải: Ta thực theo hai bước sau Bước 1: Đặt điều kiện xác định hệ (nếu có) Bước 2: Giải cách đặt hai ẩn phụ cho gọn giải trực tiếp Bài 2:   x −1 + Giải hệ phương trình sau   −  x − 1 = y+2 = y+2 11 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Lời giải Zalo: 0382254027 Điều kiện: x ≠ 1; y ≠ −2 Cách 1: Giải cách đặt ẩn phụ 1 Đặt = a = ;b , hệ cho trở thành x −1 y+2  2a + b a + 3b = = 6= 14a a = ⇔ ⇔ ⇔  3b 8a − 3b = = +b 8a − 2a= b = 1   x − = x −1 = = x (thỏa mãn điều kiện) Suy  ⇔ ⇔  y =−1 y + =  =1  y + Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y=) ( 3; −1) Cách 2: Giải trực tiếp   x −1 + Ta có   −  x − 1   14 = + = =7  x − =2   y+2 x =  x −1 y +  x −1  (thỏa mãn) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 3 = y = −     y + − = = − = y+2  x − y +  x − y + Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y=) ( 3; −1) Bài 3:   x + y + 3( y + 1) =  Giải hệ phương trình sau   − 5( y + 1) = −1  x + y Lời giải Điều kiện: x + y ≠ Cách 1: Giải cách đặt ẩn phụ Đặt a= ; b= y + 1, hệ cho trở thành x +1 a + 3b a + 6b 10 = = = 2= 11b 11 a ⇔ ⇔ ⇔  −1 2a − 5b = −1 2a − 5b = −1 b = 2a − 5b =  y +1 =   x = Suy  ⇔ (thỏa mãn điều kiện) = x+ y  y =  12 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH 2 Zalo: 0382254027 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) =  ;0   Cách 2: Giải trực tiếp   + 3( y + 1) + 6( y + 1) 10 11 11( y + 1) =  y +1 =  x+ y = x+ y = x =     ⇔ ⇔ ⇔ Ta có  ⇔ =2 − 5( y + 1) = −1   − 5( y + 1) =    −1 − 5( y + 1) = −1  x + y y = x+ y  x + y  x + y (thỏa mãn điều kiện) 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) =  ;0   Bài 4:   x +1 − Giải hệ phương trình sau   3x +  x + = −3 y+2 4y = y+2 Lời giải Điều kiện x ≠ −1; y ≠ −2 Trước hết ta khử x, y tử phương trình thứ hai hệ:  −   x +1 Có   3x +  x + 2    = −3  − = −3 − = −3 −   y+2  x +1 y +  x +1 y +  x +1 ⇔ ⇔ ⇔ 4y 3x + − y + − 8    + 3− = + = +4− =  x +  x +  x + y+2 y+2 y+2 Cách 1: Giải cách đặt ẩn phụ x +1 Đặt = a = ;b a − b =−3 4a − 4b =−12 ⇔ , hệ cho trở thành  = 4b 3a + = 4b y+2 3a +  = −1 −7 −1  x + −2 7 a = a = x = (thỏa mãn điều kiện) ⇔ ⇔ ⇒ ⇔ y = − 3a + 4b = b =   =1  y + Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) =( −2; −1) Cách 2: Giải trực tiếp 13 = −3 y+2 = y+2 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH   x +1 − Ta có   3x +  x +  = −3  − y+2  x +1 ⇔ 4y  + =  x + y+2  = −3  − y+2  x +1 ⇔  + =  x + y+2 Zalo: 0382254027  = −12  x + = −7 y+2  x = −2 ⇔ ⇔  y = −1  + = =  x + y + y+2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) =( −2; −1) Bài 5: 1 x + y = Giải hệ phương trình sau  1 + =  x y 15 Lời giải Điều kiện x ≠ 0; y ≠ 1 1 = = x + y x + y   Ta có  ⇔  1= = + +  x y 15  x y 1 =  x =  x 12 (thỏa mãn) ⇔ ⇔ 3 y = 1 + =  x y Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 2; ) Bài 6: xy 6 x + y =  Giải hệ phương trình sau  x − y =  Lời giải Điều kiện x, y ≠ 6 8 + = 5= xy 6 x + y =   − x =  y x x y (chia.xy ) ⇔  Ta có  (thỏa mãn) ⇔ ⇔ 6 y=2  x − y =   = − = +   x y  y x Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 2; ) Bài 7: Tuyển sinh vào 10 Hải Phòng, năm học 2019 - 2020 14 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  − 3 x − y + = ⋅ Giải hệ phương trình sau  2 x + =  y +1 Lời giải  3 x − y + = Điều kiện y ≠ −1 hệ phương trình có dạng  4 x + =  y +1  = 7 x ⇔ 2 x +  9 9      = x = = x x = x =      x 14 14 14     14 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  =  =  = = y = 2 − 2x − = y +1   y +1 14  y +  y +  y + 14 (tm)  x =  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: ⇔  14 y =  Bài 8: Tuyển sinh vào 10 Nam Định, năm học 2017 - 2018 2 x + y = xy + Giải hệ phương trình sau  1  x + y +1 =  Lời giải Điều kiện: x ≠ 0; y ≠ −1 2 x + y = xy + 2 x + y =xy + 2 x + y =6  x =3 − y  ⇔ ⇔ ⇔  1  y + 1= xy  y + 1= xy  y + 1= y (3 − y )  x + y +1 =  3− y 3− y 3− y x = x = x = x = (thỏa mãn điều kiện) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2 − 1) y +1  y + 1= y (3 − y )  y= y −= ( y= Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 2;1) Bài 9: Tuyển sinh vào 10 Hà Nội, năm học 2020 - 2021 15 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH  2 x + Giải hệ phương trình sau  4 x −  Zalo: 0382254027 = y −1 = y −1 Lời giải Điều kiện: y ≠ 7u = + 3u 4 x = + 6u 10 = 2 x = x 1  Đặt = u ( u ≠ ) , ta có hệ phương trình  ⇔ ⇔ u +3 ⇔  4x − u 4x − u y −1 = = u  x = = Với u =1 ⇒ =1 ⇔ u =2 (thỏa mãn) y −1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (1; ) Bài 10: Tuyển sinh vào 10 Cà Mau, năm học 2021 - 2022 x  a − y = b Cho hệ phương trình  −1 x − y =  b a Tìm a b biết hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( 3; ) Lời giải Điều kiện: a ≠ 0; b ≠ Hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( 3; ) nên ta có hệ phương trình: 3 3 2 = −  a − b = a b ⇔  3 − = 1 − = − −3  a b a  b a Đặt= u = ;v Hệ phương trình trở thành: b 16 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH   = u =  u 2 u v u = − =    ⇔ ⇔ ⇔  u +3 −3 u − 2v = −3  u − 2v = v v = =   Vậy= a = ;b Zalo: 0382254027 1  = a = (tm)   a  ⇒ ⇔ 11  11 b = (tm) =  11  b 4 11 Bài 11: Tuyển sinh vào 10 Hà Nội, năm học 2021 - 2022  −1  x + − y = Giải hệ phương trình   + 3y = 11  x + Lời giải ĐKXĐ: x ≠ −1  −1  19  x +1 − y =  x + = 19  = x +1 = x ⇔ ⇔ ⇔  + y = 11  10 + y 22 = 10 = y  x + + 6y = 22    x +1  Đối chiếu điều kiện kết luận nghiệm hệ phương trình ( x; y ) = (0; 2) Bài 12: Tuyển sinh vào 10 Nam Định, năm học 2021 - 2022 y x  y + 2⋅ x = Giải hệ phương trình  2 x − y = −1  Lời giải * Điều kiện: x; y ≠  t+ = x * Đặt = t hệ trở thành  t y 2 x − y = −1  (1) ( 2) 17 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 t = t = Giải (1) ta được: t − 3t + = ⇔ ( t − 1)( t − ) = ⇔  * Với t =1 ⇒ x =1 ⇔ x = y vào ( ) ta được: y x = (thỏa mãn điều kiện) x − x + = ⇔ ( x − 1)( x − 1) = ⇔  x =  2 Vậy suy = y 1;= y * Với t = ⇒  1  Do hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (1;1) ;  ;    2   x = ⇔ x = y vào ( ) ta được: y ( y ) − 3y +1 = ⇔ y2 − 3y +1 = Do ∆ = −23 < nên phương trình vơ nghiệm 1   KL: Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (1;1) ;  ;   2  18   GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Dạng 3: Hệ chứa thức Cách giải: Ta thực theo hai bước sau - Đặt điều kiện xác định hệ - Giải cách đặt hai ẩn phụ giải trực tiếp Bài 1: 2 x + + y − = Giải hệ phương trình sau  3 x + − y − =−1 Lời giải Điều kiện: x ≥ −1; y ≥ Cách 1: Giải cách đặt ẩn phụ Đặt a = x + 1; b = y − , điều kiện a ≥ 0; b ≥ , hệ cho trở thành + 3b + 6b 16 = 2a= 4a= 13a 13 = a (thỏa mãn điều kiện) ⇔ ⇔ ⇔  −1 9a − 6b = −3 2a + 3b = b = 3a − 2b = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 0;6 ) Cách 2: Giải trực tiếp 2 x + += y−2 y − 16 13 4 x + += 13 x + = Ta có  ⇔ ⇔ 3 x + − y − =−1 9 x + − y − =−3 19 9 x + − y − =−3 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  x + = x = (thỏa mãn điều kiện) ⇔ ⇔ y =  y − = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 0;6 ) Bài 2:   x − + y + = Giải hệ phương trình sau   + y +1 =  x − Lời giải Điều kiện: x ≠ ; y ≥ −1 Cách 1: Giải cách đặt ẩn phụ Đặt = a = ;b 3x − y + , điều kiện b ≥ , hệ cho trở thành + 3b + 9b = a= 3a= 4b (thỏa mãn điều kiện) ⇔ ⇔ ⇔a= b=  + 5b + 5b + 5b 3a = 3a = 3a =  x =  y + =2  Suy  ⇔ −3 (thỏa mãn điều kiện) 1 y =   =  x − Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) =  2;  −3    Cách 2: Giải trực tiếp    4 y + = + y +1 + y +1 y +1 = x =  3x − =  3x − =     Ta có  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ −3 1 y= y + + =  =     = + y +1 = + y +1 4   3x −  x −  x −  x − (thỏa mãn điều kiện) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) =  2;  Bài 3: 20 −3    GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 21   2x − y − x + y = Giải hệ phương trình sau  7−x− y  − = x+ y  x − y Lời giải Điều kiện x − y > 0; x + y ≠ Trước hết khử x, y tử phương trình sau hệ: 21 21   = − = −  2x − y x + y  2x − y x + y   ↔   7−x− y  += − =  x+ y  x − y  x − y x + y Cách 1: Đặt ẩn phụ Đặt= a = ;b (a > 0; b ≠ 0), hệ trở thành x+ y 2x − y 1 13    − 3b − 3b = 4a= 4a= 13a 2⇔ 2⇔  3=   a+b + 3b + 3b 9a= 9a=  a = (thỏa mãn điều kiện) ⇔ b =  1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) =  ;  2   Cách 2: Giải trực tiếp 21 21 13    13  − = − = =  x − y=    x+ y  2x − y x + y  2x − y  2x − y Ta có  ⇔ ⇔ ⇔ 21 21  =  =  =  =1 + + + 6  x − y x + y  x − y x + y  x − y x + y  x + y −y = 2 x= x (thỏa mãn điều kiện) ⇔ ⇔ x + y 14 = = y Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 6;8 ) Bài 4: Tuyển sinh vào 10 Hải Phòng, năm học 2018 - 2019 21 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH 3x + y + = 11 Giải hệ phương trình sau:  5 x − y + = Zalo: 0382254027 Lời giải 3x + y= = +6 =  x 13 11 8 x 24 x = Ta có  ⇔ ⇔ ⇔  y = −2  y + = x − 13  y + = 5 x − y + = Vậy phương trình có nghiệm ( x; y=) ( 3; −2 ) Bài 5: Tuyển sinh vào 10 Hà Nội, năm học 2017 - 2018  x + y −1 = Giải hệ phương trình sau  4 x − y − = Lời giải Điều kiện x ≥ y ≥  x + 2=  x + 2= y −1 y −1  x = Ta có  ⇔ ⇔ y −1 4 x −= y −1 8 x − = x = (thỏa mãn) ⇔ = y + − = x y   Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (1;5 ) Bài 6: Tuyển sinh vào 10 Hào Bình (Chuyên Tin), năm học 2020 - 2021  x + − y − =−4 Giải hệ phương trình sau  16 3 x + + y = Lời giải Điều kiện x ≥ −2; y ≥ Đặt t = x + 2, u = y − ⇒ y = u + 1( t , u ≥ ) Phương trình trở thành −4 t − 2u = (1)  16 ( ) 3t + u + = u = ( tm ) Thay (*) vào ( ) ⇒ ( 2u − ) + u + = 16 ⇔ u + 6u − 27 = ⇔  u = −9 ( ktm ) Với u = ⇒ y − = ⇒ y = 10 ⇒ x + + 10 = 16 ⇔ x = Vậy ( x; y ) = ( 2;10 ) 22 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Bài 7: Tuyển sinh vào 10 Nam Định, năm học 2020 - 2021  2 ( x − ) + y + =  Giải hệ phương trình sau  ( x − )2 − = −1  y+5 Lời giải Điều kiện y > −5 u =( x − )2 ≥  Đặt  ⇒ hệ phương trình trở thành = > v  y+5  u+v = 2= u (thỏa mãn) ⇔  −1 v = u − 2v = ( x − )2 = =   x −= x    ⇒ ⇔   x − =−1 ⇔   x = =  y +5 =  y =−4    y+5 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) ={( 3; −4 ) ; (1; −4 )} Bài 8: Tuyển sinh vào 10 Hải Phòng, năm học 2020 - 2021  2 x + y =  Giải hệ phương trình sau  x − =  y Lời giải Điều kiện y > Đặt = t (t > 0) y 2 x += t 3= x = x Khi ta có hệ phương trình:  ⇔ ⇔ x −t = t 1(tm) x t = = ⇒ =1 ⇔ y y =1 ⇔ y =1(tm) Vậy nghiệm hệ phương trình (1;1) Bài 9: Tuyển sinh vào 10 Hịa Bình, năm học 2020 - 2021 23 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 3 x − + y + = 27 Giải hệ phương trình sau   x − + y + = Lời giải x − ≥ x ≥ ⇔ y +5 ≥  y ≥ −5 ĐKXĐ:  = a Đặt  b = x−6 y+5 ( a; b ≥ ) , hệ phương trình trở thành 27 3a + 7b =  a + 2b = + 7b 27 + 7b 27 = 3a = 3a = a ⇔ ⇔ ⇔ ( t /m ) + 6b 24 = = 3a = b b  x − = x−6 = =  x 10 ⇒ ⇔ ⇔ ( t /m ) y+5 = = y  y + = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (10; ) Bài 10: Tuyển sinh vào 10 Nghệ An, năm học 2020 - 2021  x3 + y + xy = + x − x Giải hệ phương trình sau  y y + + ( y − x3 + 3x − ) 4 = ( ) Lời giải  x − y + xy= 4( x − y ) (1)   (2) ( x + 1) y + xy − x + x = ( ) Đk x ≥ 0; y ≥ (1) ⇔ x + xy − xy − 3= y 4( x − y ) ⇔ x ( x + y ) − y ( x + y ) = 4( x − y ) (*) x = y ⇔ ( x − y )( x + y − 4) = 0⇔ (**)  x + y − = Thay (*) vào (2) , ta có: ( x + 1) ( 3x − x ) = ⇔ x3 − x − 3x + = ⇔ ( x − 1) ( x − x − ) = 24 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027   x = 1( tm )    + 17 + 17   + 17 ⇔  x = ; ( tm ) ⇒ ( x; y ) ∈ (1;1);    2        x = − 17 ktm ( )  Xét (**) có: x + y =− y Xét: ( x + 1) ( y + xy − x + x ) = ( x + 1) ( −2( y − y + 1) − x + x + ) = ( x + 1) ( −2( y − 1)2 − x + x + ) Xét x ≤ , áp dụng BĐT Cô si cho ba số không âm x + 1; 2(2 − x); x + ta có:  x + + x + + 2(2 − x)  2( x + 1)(2 − x)( x + 1) ≤     3  x + + x + + 2(2 − x)  ⇔ ( x + 1)(2 − x)( x + 1) ≤ ⋅   =   x = y =1 Dấu "=" xảy ⇔  Xét x > ta có ( x + 1)(2 − x)( x + 1) < ⇒ ( x + 1) ( y + xy − x + x ) < ⇔ < (vơ lí)   + 17 + 17   ;     Vậy HPT có nghiệm ( x; y ) ∈ (1;1);   25