Đs9 cđ2 chuyên đề hệ phương trình 2

GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Dạng 4: Hệ chứa giá trị tuyệt đối Cách giải: Ta thực theo bước sau Bước 1: Đặt điều kiện xác định hệ Bước 2: Giải cách đặt hai ẩn phụ giải trực tiếp Bài 1:  x + + y −1 = Giải hệ phương trình sau  3 x + − y − = Lời giải Điều kiện: y ≥ Cách 1: Đặt ẩn phụ a = x + 4b 4b 4b = a += a += a += a Đặt  ⇔ ⇔ ⇔ (a, b ≥ 0) , hệ cho trở thành  b = 2b 3a −= y −1 4b 6a −= = 7 a (thỏa mãn điều kiện)  x+2 =  x + =±1  x =−1  x =−3 Suy  (thỏa mãn điều kiện) ⇔ ⇔ ;  y − = −1  y= = y = y Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: ( x; y ) = ( −1; ) ; ( −3; ) Cách 2: Giải trực tiếp  x + + 4=  x + + = 7 x + = y −1 y −1 Ta có  ⇔ ⇔ y −1 3 x + − = y −1 6 x + − =  x + = ⇔  y − = 3 x + − y − =  x + =±1  x =−1  x =−3 (thỏa mãn điều kiện) ⇔ ⇔ ; −1 =  y= y = y Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: ( x; y ) = ( −1; ) ; ( −3; ) Bài 2:   x − + y −1 =  Giải hệ phương trình sau   + =  x − y − 1 = b GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Lời giải Điều kiện x ≥ 0; x ≠ 9; y ≠  +  x − y −1 =  Do − y = y − ⇒   + =  x − y − Cách 1: Đặt ẩn phụ  a = x − Đặt  (a ≠ 0; b > 0) , hệ trở thành b =  y −1 +b = 2a= a (thỏa mãn điều kiện) ⇔  a+b = = b 1   x −3 = = =  x 25  x 25  x − =  x = Suy  (thỏa mãn điều kiện) ; ⇔ ⇔ ⇔ 2 y − =±1 =  y 1= y  =1  y − =  y − Vậy hệ phương trình có hai ngiệm ( x; y ) = ( 25;1) ; ( 25;0 ) Cách 2: Giải trực tiếp  1  =  x − + y −1 = =  x 25  x 25  x −3 = Ta có  (thỏa mãn điều kiện) ⇔ ⇔ ;  y 1= y  +  =1 =  y −  x − y − = Vậy hệ phương trình có hai ngiệm ( x; y ) = ( 25;1) ; ( 25;0 ) Bài 3:  x−2 +2 y+3 = Giải hệ phương trình sau   x + y + =−1 Lời giải Điều kiện y ≥ −3 Cách 1: Đặt ẩn phụ GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  x − + y=  x − + y= +3 +3 Ta có  ⇔  x + y + =−1  x − + y + =−3 a= x −  a + 2b=  a + 2b= Đặt  ⇔ ⇒ a − 2a = 15 (b ≥ 0), , hệ trở thành  b = y+3 a + b =−3 2a + 2b =−6 - Trường hợp 1: Xét a ≥ ⇒ a − 2a =15 ⇔ a − 2a =15 ⇔ a = −15 (loại) - Trường hợp 2: Xét a < ⇒ a − 2a =15 ⇔ −a − 2a =15 ⇔ a = −5 (thỏa mãn) ⇒ x − = −5 ⇔ x = −3 ⇒ −3 + y + = −1 ⇔ y = (thỏa mãn) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( −3;1) Cách 2: Giải trực tiếp  x − + y=  x − + y= +3 +3 Ta có  ⇔ ⇒ x − − 2x = 11 (thỏa mãn điều kiện)  x + y + =−1 2 x + y + =−2 - Trường hợp 1: Xét x − ≥ ⇔ x ≥ ⇒ x − − x =11 ⇔ x − − x =11 ⇔ x =−13 (loại) - Trường hợp 2: Xét x − < ⇔ x < ⇒ x − − x =11 ⇔ − x + − x =11 ⇔ x =−3 (thỏa mãn) Thay x = −3 vào x + y + =−1 , ta được: −3 + y + =−1 ⇔ y =1 (thỏa mãn) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( −3;1) Bài 4: Tuyển sinh vào 10 Hà Nội, năm học 2018 - 2019 4 x − y + = Giải hệ phương trình sau   x + y + = Lời giải 4 x − = 8 x − = y+2 y += 9 x 9= x Ta có:  ⇔ ⇔  ⇔  +  x + y = +2  x + y + =3 2 y + =3 − =2  x + y =   x 1=  x =   y =−1  x = y + =  ⇔ ⇔ ⇔   2=  x 1= x  y +=     y + = −1   y =−3 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) (1; -1) (1; -3) GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Bài 5: Tuyển sinh vào 10 Chuyên Hà Nam (Toán chung), năm học 2020 - 2021 3 x − y = Giải hệ phương trình sau   x + y = Lời giải  x =  3 x − = y y y 11  y =  y = 3 x − = 11 = ⇔ ⇔ Ta có  ⇔ y ≥ 0) ⇔  (  x = y = − + = + = x y x y x 12 3 x =         y = −1 Vậy ( x; y ) ∈ {(1;1) ; (1; −1)} GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ Dạng 1: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn điều kiện cho trước Bài tốn: Tìm điều kiện m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn điều kiện ( K ) sau đây: ax + by= c; ax + by > c; ax + by < c; xy < 0; xy > 0; Bước 1: Giải hệ phương trình để tìm nghiệm ( x; y ) theo tham số m Bước 2: Thay nghiệm ( x; y ) vừa tìm vào biểu thức điều kiện K Bước 3: Giải điều kiện ( K ) tìm ( K ) Bước 4: Kết luận Bài 0: Tuyển sinh vào 10 Hải Dương, năm học 2020 - 2021 ( m + 1) x − y = Cho hệ phương trình với m tham số  m mx + y = ( x0 ; y0 ) thỏa mãn Tìm m để hệ có nghiệm x0 + y0 > Lời giải ( m + 1) x − y =3 ( m + 1) x − m + mx =3 ( 2m + 1) x =m + 3* Ta có  ⇔ ⇔ mx + y = m  y = m − mx  y = m − mx Hệ phương trình có nghiệm ⇔ (*) có nghiệm ⇔ 2m + ≠ ⇔ m ≠ Khi ta có (*) ⇔ x = m ( m + 3) −1  m+3  2m + m − m − 3m ≠ ⇒ = m mx m y − = − ⇔ = m y   2m +   2m + 2m + m − 2m ⇔ y= 2m + ⇒ với m ≠ −1  m + m − 2m  −1 hệ phương trình có nghiệm ( x0 ; y0 ) =  ;  + m 2m +   GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 m + m − 2m m2 − m + Theo ta có x0 + y0 > ⇔ + >0⇔ > (1) 2m + 2m + 2m + 11 −1 (thỏa mãn) Vì m − m + 3=  m −  + > ( ∀m ) ⇒ (1) ⇔ 2m + > ⇔ m >  Vậy m > 2 −1 Bài 1:  x + y = 2m + (I ) 2 x − y = m − Cho hệ phương trình  a) Giải hệ phương trình với m = b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn = x 3y +1 Lời giải a) Giải hệ phương trình với m = Cách 1: x + y 11 x + y 11 = = = x ⇔ ⇔ x− y = 2= 3 x 15 = y Với m = ta có hệ:  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 5;6 )  x + y = 2m +  x + y = 2m +  y = m + ⇔ ⇔ ( ∀m ) 2 x − y = m − 3 x = 3m x = m Cách 2:  x = y = Thay m = vào hệ phương trình ta được:  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 5;6 ) b) Hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) thoả mãn x =3 y + ⇔ m =3 ( m + 1) + ⇔ m =−2 Vậy với m = −2 hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn = x 3y +1 Bài 2: 2(1)  x + my = Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn 1(2) mx − y = Cho hệ phương trình  x > 0; y < GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Lời giải Từ phương trình (1) ⇒ x = − my (*) , thay vào phương trình (2) ta được: m ( − my ) − y =⇔ 2m − m y − y =⇔ ( m + ) y =2m − 1( 3) 2m − 2m − m + , thay vào (*) ta có: x = − m = m + m2 + m +2 Do m +2 > 0, ∀m nên từ (3) ⇒ y = m+4   x = m + , với m Vậy phương trình cho có nghiệm   y = 2m − m2 +   m+4 m > −4  m + >  m + >  Để x > 0; y < ⇒  ⇒ ⇔ ⇔ −4 < m < (vì m + > ) m<  2m − <  2m − <    m + 2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) mà x > 0; y < −4 < m < Bài 3: (1) mx + y = (m tham số) (2)  x + my = Cho hệ phương trình  a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn x = y Lời giải 23  ;   3 a) Thay m = vào hệ phương trình giải tìm nghiệm ( x; y ) =  b) Cách 1: Thay x = y vào hệ phương trình giải hệ với ẩn m y Cách 2: Từ (2) ⇒ x = − my, thay vào (1) ta được: m ( − my ) + y =9 ⇔ 8m − m y + y =9 ⇔ 8m − m y + y =9 ⇔ ( − m ) y =9 − 8m (*) Để hệ phương trình có nghiệm phương trình (*) phải có nghiệm ⇔ − m ≠ ⇔ m ≠ ±2 Với m ≠ ±2 từ (*) suy ra: y = − 8m 32 − 9m , thay vào phương trình x= − my ta x = 4−m 4− m2 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Để x = y Vậy m = − Zalo: 0382254027 32 − 9m − 8m −1 =3 ⇒ 32 − 9m =3 ( − 8m ) ⇔ 15m =−5 ⇔ m = ( tm ) 2 4−m 4−m hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn x = y Bài 4: mx + y = (m tham số)  x + my = Cho hệ phương trình  Với giá trị m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn hệ thức 2x + y + 38 = m2 − Lời giải - Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm nhất: m ≠ ±2 - Giải hệ phương trình theo m 8m −  y=  9 (m − 4) y =8m − mx + y = mx + y =  m −4 Ta có:  ⇔ ⇔ ⇔ ( m ≠ ±2 ) − x + my = 32 m 8m   x + my = mx + m y = x =  m2 − - Thay x = 9m − 32 8m − ; y= vào hệ thức cho ta được: m −4 m −4 9m − 32 8m − 38 + + = ⇒ 18m − 64 − + 38 = 3m − 12 ⇔ 3m − 26m + 23 = m −4 m −4 m −4  m1 = 23 ⇔ (thỏa mãn điều kiện) Vậy m ∈ 1;  giá trị cần tìm  m2 = 23  3  Bài 5: 2 x + y = (m tham số) 4 x + my = 2m + 18 Cho hệ phương trình  1) Tìm m để hệ có nghiệm ( x; y ) tìm nghiệm 2) Với ( x; y ) nghiệm trên, tìm m để: a) x − y > b) Cả x y số nguyên GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 c) Biểu thức S= x + y đạt giá trị nhỏ d) Biểu thức T = xy đạt giá trị lớn Lời giải 1) Từ x + y =8 ⇒ y =8 − x, thay vào x + my = 2m + 18 ta được: x + m ( − x ) = 2m + 18 ⇔ ( − 2m ) x = 18 − 6m (*) Hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) phương trình (*) có nghiệm ⇔ − 2m ≠ ⇔ m ≠ 18 − 6m 3m − 3m − 2m + = ⇒ y =8 − x =8 − = − 2m m−2 m−2 m−2 Khi x = 3m − 2m +  ;   m−2 m−2  Vậy với m ≠ hệ chốc nghiệm ( x; y ) =  2) a) Ta có x − y > ⇔ 6m − 18 6m + −24 − >0⇔ > ⇔ m − < ⇔ m < (thỏa mãn) m−2 m−2 m−2 Vậy với m < x − y > 3m − 3m − − 3  = 3−  x= m − = m−2 m−2 b) Ta có   y= 2m + 2= 2m − + 6= +  m−2 m−2 m−2 3 m − ⇔ m − ∈ UC ( 3;6 ) ={±1; ±3} ⇔ m ∈ {−1;1;3;5} 6  m − Do x, y ∈ Z ⇔     c) S = x + y =  −  +2+  m−2  m−2  2 2 13   64 64 2   Đặt a = ≥ , S = ( − a ) + ( + 2a ) = 5a +2a + 13 =  a + a +  =  a +  + 5 5 5 m−2   Vậy minS = 64 −1 −1 a = ⇒ = ⇔m= −13 (thỏa mãn) 5 m−2    +  m −  m−2  d) Ta có T = xy = 3−  GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Đặt a = Zalo: 0382254027 , ta T =( − a )( + 2a ) =−2a + 4a + =−2 ( a − 1) + ≤ m−2 Vậy maxT =8 ⇔ a =1 ⇔ =1 ⇔ m =5 (thỏa mãn) m−2 Bài 6: Tuyển sinh vào 10 Thái Bình, năm học 2020 - 2021  x − y = 4m − ( m tham số) 3m 2 x + y = Cho hệ phương trình  a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn − = −1 x y Lời giải 2y =  x −= x ⇔ −1 2 x + y = y = a) Với m = ta có hệ phương trình  Vậy với m = ⇒ ( x; y ) = ( 5; −1)  x − y = 4m − (1) b) Ta có  ( 2) 3m 2 x + y = Từ phương trình (2) ta có = y 3m − x , vào phương trình (1) ta có: (1) ⇔ x − ( 3m − x )= 4m − ⇔ x= 2m − ⇒ y= −m + Vậy với m phương trình ln có nghiệm ( x; y=) ( 2m − 1; −m + ) Theo đề − = −1 x y  x ≠  2m − ≠ m ≠ Điều kiện  ⇔ ⇔ y ≠ −m + ≠ m ≠ ( *) ⇔  m = −1( tm ) 2 − = −1 ⇔ + +1 = 0⇔ 2m − − m + 2m − m +  m = ( tm ) Vậy m = −1; m =thỏa mãn điều kiện tốn Bài 7: Tuyển sinh vào 10 Bình Dương, năm học 2021 - 2022 10 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  x ≠ 2m − =0 m ≠ Điều kiện  ⇔ ⇔ y ≠ −m + ≠ m ≠ 2 − = −1 ⇔ + +1 = 2m − − m + 2m − m − ⇒ ( 2m − 1)( m − ) + ( m − ) + 2m − =0 ⇔ 2m − 5m + + 2m − + 2m − =0 ⇒ ( *) ⇔ ⇔ 2m − m − = ⇔ 2m + 2m − 3m − = ⇔ 2m ( m + 1) − ( m + 1) =  m = −1 m + = ⇔ ( m + 1)( 2m − 3) =0 ⇔  ⇔ m = m − =   ( tm ) ( tm ) Vậy m = −1 m = thỏa mãn tốn Dạng 2: Tìm giá trị tham số để hệ phương trình có nghiệm ngun *) Cách giải: + Giải hệ phương trình theo tham số + Viết x, y hệ dạng n + k với n, k nguyên f ( m) + Tìm m nguyên để f(m) ước k Bài 1: 1(1) x + y = Cho hệ phương trình  2m ( ) mx − y = a) Tìm giá trị m để hệ pt có nghiệm b) Trường hợp hệ phương trình có nghiệm nhất, tìm số nguyên m để x; y số nguyên Lời giải a) Từ (1) ⇒ y =1 − x , thay vào (2) ta có: mx − (1 − x ) = 2m ⇔ ( m + 1) x = 2m + 1( 3) Hệ phương trình có nghiệm (3) có nghiệm ⇔ m ≠ −1 13 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH b) Với m ≠ −1 , từ (3) ⇒ x = Zalo: 0382254027 2m + 1 1 =2− ⇒ y =1 − + =−1 + m +1 m +1 m +1 m +1 Để x, y số nguyên m + 1∈ U (1) Ta có bảng sau: m +1 -1 m -2 x y -2 Ta thấy m = −2 m = thỏa mãn m ≠ −1 Vậy m = −2 m = x, y nguyên Bài 2: mx + y =m + 2 x + my = 2m − Cho hệ phương trình  Tìm m ngun để hệ có nghiệm nghiệm nguyên Lời giải 2mx + y = 2m + (m − 4) y = 2m − 3m − mx + y =m + ⇔  2 2 x + my = 2m − 2mx + m y = 2m − m 2 x + my = 2m − Ta có:  (m − 4) y =(m − 2)(2m + 1) (*) ⇔ 2 x + my = 2m − Để hệ có nghiệm phương trình (*) phải có nghiệm ⇔ m − ≠ ⇔ m ≠ ±2 (m − 2)(2m + 1) 2m +  = = 2−  y= m −4 m+2 m+2 Vậy với m ≠ ±2 hệ phương trình có nghiệm  x = m −1 = 1− m+2 m+2  Để x, y số nguyên m + ∈ U ( 3) = {±1; ±3} ⇒ m ∈ {−5; −3; −1;1} Chú ý: Dạng tìm m số nguyên (hoặc số tập số nguyên số tự nhiên, số phương, số nguyên tố…) Tức m không nguyên, m hữu tỷ làm bị thiếu đáp số 14 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Dạng 3: Tìm giá trị tham số để biểu thức liên hệ x y nhận giá trị lớn nhất, nhỏ *) Cách giải * Để tìm GTNN A ta cần + chứng minh A ≥ k với k số + Chỉ dấu “ =” xảy với giá trị biến * Đế tìm GTLN A ta cần + Chứng minh A ≤ k với k số + Chỉ dấu “ =” xảy với giá trị biến Bài 1: m (1) mx − y = Cho hệ phương trình  2 x + my = m + 2m + 2(2) a) Chứng minh hệ phương trình ln có nghiệm với m b) Tìm m để biểu thức P = x + y + nhận giá trị nhỏ Lời giải 15 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 a) Từ (1) ⇒ y = mx − m (*) , vào (2) ta được: x + m ( mx − m ) = m + 2m + ⇔ x + m x − m3 = m + 2m + ⇔ x + m x = m3 + m + 2m + ⇔ ( m + ) x = ( m + 1) ( m2 + ) ( 3) Ta có m + > với m nên hệ phương trình có nghiệm với m b) Từ (3) ⇒ x = m + thay vào (*) ta được: = y m ( m + 1) − m= m Thay x =m + 1; y =m vào P = x + y + ta được: 5 −5 P = (m + 1) + 3m + ⇔ P = m + 5m + ⇔ P = (m + ) − ≥ 4 −5 −5 ⇔m= −5 Dấu “ = ” xảy ⇔ m = Khi Pmin = Bài 2: Chuyên An Giang, năm học 2013 - 2014 2 x + y = + m 3 x − y =−8 + m Cho hệ phương trình  a) Giải hệ phương trình b) Tìm m để hệ có nghiệm x, y thỏa mãn x + y nhỏ Lời giải  y = + m − x 2 x + y = + m x = m ⇔ ⇔ 3 x − ( + m − x ) = m − 3 x − y =−8 + m  y =2 − m a) Hệ phương trình  x = m ⇒ x+ y =  y= − m b) Hệ có nghiệm  ( x + y ) − xy  − x y = Do x + y = x y − 16 xy + 16 ( − xy ) − x y = ( x2 + y ) − 2x2 y =   2 = ( xy − ) − 16 Ta lại có xy = m ( − m ) = − (1 − m ) ≤ ⇒ xy − ≤ −3 ⇒ ( xy − ) ≥ 2 Do x + y ≥ 2.9 − 16 = Đẳng thức xảy m = Vậy m = giá trị cần tìm Bài 3: Chuyên Hưng Yên, năm học 2018 - 2019 16 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 3x − y = 2m + Cho hệ phương trình  (m tham số)  x + y = 3m + a) Giải hệ phương trình với m = b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn điều kiện x + y = Lời giải = 3 x − y = x  x + ( x − ) = ⇔ ⇔ = y 3x − = x + y = y 3x − y = 2m +  x + y =3m + 7 x =7 m +  x =m + b)  ⇔ ⇔ ⇔ 6 x − y = 4m +  y = x − 2m −  y = m  x + y = 3m + a) Khi m = hệ phương trình trở thành  m =  m = −2 Vì x + y = ⇒ ( m + 1) + m = ⇔ 2m + 2m + − = ⇔ m + m − = ⇒  Vậy m ∈ {1; −2} giá trị cần tìm Bài 4: Tuyển sinh Vĩnh Phúc, năm học 2018 - 2019  x − y =3 − m ( I ) , (m tham số) 2 x + y= 3(m + 2) Cho hệ phương trình  a) Giải hệ phương trình với m = b) Tìm tất giá trị m để hệ (I) có nghiệm c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= x + y , ( x; y ) nghiệm hệ (I ) Lời giải 2y 2y =  x −=  x −= 5 x 25 ⇔ ⇔ x + y 12 x + y 24 x + y 12 = 4= = a) Với m = , hệ phương trình trở thành  =  x 5= x ⇔ ⇔ ⋅ + y 12 = 2= y Vậy với m = hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 5; ) b) Ta thấy −2 ≠ ⇒ Hệ ( I ) ln có nghiệm với m  x − y =3 − m 2 x − y =6 − 2m  x − y =3 − m  x − 2m =3 − m  x =m + ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2 x + y = 3(m + 2) 2 x + y = 3m + 5 y = 5m y = m y = m c)  17 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 9 Do A = x + y = (m + 3) + m = 2m + 6m + =  m +  + ≥ ∀m 2 2  2 2 Dấu “=” xảy m = − Vậy A = ⇔ m = − Dạng 4: Tìm mối liên hệ x y khơng phụ thuộc vào tham số m Cách giải: Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm ( x; y ) theo tham số m Bước 2: Bằng cách áp dụng qui tắc cộng đại số qui tắc ta làm tham số m Bước 3: Trả lời yêu cầu toán Bài 1:  x + my = −m mx − y = Cho hệ phương trình  a) Chứng minh với giá trị m hệ phương trình cho ln có nghiêm b) Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) thoả mãn x < y < c) Tìm hệ thức liên hệ x y không phu thuộc vào giá trị m 18 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Lời giải  x + my =  x = − my ⇔ −m −m mx − y = m (1 − my ) − y = a) Ta có:  2m với m m + > m +1 ( ) ⇔ m − m2 y − y =−m ⇔ 2m =y ( m2 + 1) ⇔ y = 2m − m2 = m + m2 + Thế vào (1) ta được: x = − m  − m2 = x  Vậy với m hệ phương trình ln có nghiệm nhất:  m +  y = 2m m2 +  1 − m 2 b)  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2  y <  2m < 2m < m + m ≠ ( m − 1) >  m + Vậy với m ≠ m ≠ hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) thoả mãn x < y <  − m   2m  − 2m + m 4m m + 2m + c) x = + y   +  2= + = =  2  m +   m +  m + 2m + m + 2m + m + 2m + 2 Vậy hệ thức cần tìm x + y = Chú ý: Nếu biểu thức liên hệ x y có bậc tốn trở thành “Chứng minh hệ phương trình ln có nghiệm nằm đường thẳng cố định” BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: (a + 1) x − y = a + 1(1) ( a tham số ) 2(2)  x + (a − 1) y = Cho hệ phương trình  a Giải hệ phương trình a = b Giải biện luận hệ phương trình c Tìm số ngun a để hệ phương trình có nghiệm nguyên d Tìm a để nghiệm hệ phương trình thỏa mãn x + y đạt GTNN Lời giải 19 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 a Với a = hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) =  ;  4   b Từ (1) ta có: y = (a + 1) x − (a − 1)(3) ⇒ (2) ⇔ x + (a + 1) [ (a + 1) x − (a − 1) ] = ⇔ x + (a − 1) x − (a − 1) = ⇔ a x =a + 1(4) a2 + a2 + a +1 +) TH1: a ≠ ⇒ pt (4) : x = ⇒ (3) : y = (a + 1) − (a + 1) = a a a2  a2 + a +  ;  a   a Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) =  +) TH1: a= ⇒ phương trình (4) vơ nghiệm Vậy hệ phương trình vơ nghiệm  a2 + a +  ;  a   a Kết luận: a ≠ hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) =  - a = hệ phương trình vơ nghiệm  a2 +  ∈ Z x ∈ Z c Hệ phương trình có nghiệm ngun  ⇔ a (a ∈ Z ) y∈Z  a +1 ∈ Z  a a2 + 1 - Điều kiện cần x = =+ ∈ Z ↔ ∈ Z ↔ a =↔ a= ±1 a a a - Điều kiện đủ: a =−1 ⇒ y =0 ∈ Z (thoa.man) a =1 ⇒ y =2 ∈  (thỏa mãn) Vậy a = ±1 hệ phương trình cho có nghiệm nguyên d Ta có x + y= a2 + a + 2 7 −1 = + + = 2t + t + 1= 2(t + ) + ≥ ⇔ t= → a= −4 8 a a a Vậy a = −4 hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x + y đạt GTNN Bài 2: (m + 1) x + my = 2m − 1(1) Cho hệ phương trình:  mx − y = m − 2(2) ( a tham số) a Giải hệ phương trình m = 20 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y=) (2; −1) c Chứng minh hệ phương trình ln có nghiệm với m d Với ( x; y ) nghiệm hệ, tìm hệ thức lien hệ x y không phụ thuộc vào m e Gọi ( x; y ) nghiệm hệ phương trình Hãy tìm m để: x + =y x − y =4 − m x = y Biểu thức P = xy đạt giá trị lớn Đồng thời m biểu thức Q = x nhận giá trị nguyên y g Trong hệ trục tọa độ Oxy , xét điểm M ( x; y ) ( x; y ) nghiệm hệ phương trình, hãy: Chứng minh điểm M thuộc đường thẳng cố định Tìm m để M nằm đường trịn có tâm gốc tọa độ bán kính Tìm m để M thuộc góc phần tư thứ Tìm m để ba điểm M , A (1;3) ; B ( 0;1) thẳng hàng Tìm m để chu vi hình chữ nhật OHMK có giá trị nhỏ H , K hình chiếu M lên trục tọa độ Ox, Oy h Cho đường thẳng d1 : (m + 1) x + my= 2m − 1; d : mx − y= m − 2; d3 : 3x + y − 1= Tìm m để ba đường thẳng đồng quy Lời giải a Với m = ⇒ ( x; y ) = (0;1) b Thay x = 2; y = −1 vào hệ phương trình ta m = (m + 1) x + my = 2m − c  mx − y = m − ⇒ y = mx − m + (1) ⇒ (m + m + 1) x = m3 − (2) Vì m + m + 1=  m +  + ≠ ⇒ (2) ln có nghiệm x =  2 Thay x = m − ⇒ (1) : y = − m 21 m3 − ⇔ x = m −1 m2 + m + GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Vậy với m hệ phương trình ln có nghiệm (m − 1; − m) d Từ x = m − 1; y = − m ⇒ x + y = (đpcm) e Thay x = m − 1; y = − m ⇒ x + = y ⇔ 2m − = − m Sử dụng công thức B ≥  m = 1(tm) A= B⇔ ⇒  m = 5(loai ) A = B Thay x =m − 1; y =2 − m vào x − y = − m ⇒ 2m − = − m Cách 1: Sử dụng phương pháp chia khoảng, xét trường hợp sau: +) TH1: Nếu m ≥ ⇒ 2m − = − m ⇔ m = (thoa.man) +) TH2: Nếu m < ⇒ −2m + = − m ⇔ m = −1(thoa.man) Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương 4 − m ≥  m = −1 B ≥  Sử dụng công thức A = B⇔ ⇒   2m − = − m ⇔  m = A = ± B    2m − =−(4 − m)   m = 3 Chú ý x =2 y ⇔ x =±2 y ⇒  m =  1 Ta có P =−m + 3m − =−  m −  + ≤ ⇒ Pmax = ⇔ m = 2 4  Q =−1 + ⇒ Q ∈ Z ⇔ m ∈ {1;3} 2−m g Từ x = m − 1; y = − m ⇒ y =1 − x ⇒ M ( x; y ) ln nằm đường thẳng cố định có phương trình: y =− x + m = m = 2 Thay x = m − 1; y = − m; OM =1 ⇒ m − 3m + = ⇔  x > ⇒1< m < y > Điểm M thuộc góc phần tư thứ ⇔  Gọi phương trình đường thẳng AB có dạng = y ax + b Thay tọa độ A, B vào y = ax + b ⇒ a = 2; b =1 ⇒ AB : y = x + 22 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Để A, M , B thẳng hàng điểm M thuộc AB ⇒ m = Ta có H (m − 1;0); K (0; −m + 2) ⇒ OH =m − ; OK =−m + C ( m − + −m + ) Chu vi hình chữ nhật OHMK là= *) Chú ý: Sử dụng bất đẳng thức a + b ≥ a + b ⇔ ab ≥ ⇒ Cmin = ⇔ ≤ m ≤ (m + 1) x + my = 2m − h Gọi M = d1 ∩ d ⇒ tọa độ M nghiệm hệ phương trình  mx − y = m − Theo câu c hpt ln có nghiệm M (m − 1; −m + 2) Để d1 , d , d3 đồng quy M ∈ d3 ⇒ m = Thử lại ta thấy m = ba đường thẳng phân biệt đồng quy Bài 3: m +1 mx + 2my =  x + (m + 1) y = Cho hệ phương trình  ( a tham số ) a Giải hệ phương trình m = −3 b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y=) (1; −1) c Giải biện luận hệ phương trình theo m d Với ( x; y ) nghiệm hệ, tìm hệ thức lien hệ x y không phụ thuộc vào m e Gọi ( x; y ) nghiệm hệ phương trình Hãy tìm m để: x + y = y 2mx + = x − y = y ≤ x + Đồng thời m ( x; y ) nhận giá trị nguyên Biểu thức P= x + y đạt giá trị nhỏ g Trong hệ trục tọa độ Oxy , xét điểm M ( x; y ) ( x; y ) nghiệm hệ phương trình, hãy: Chứng minh điểm M thuộc đường thẳng cố định Tìm m để điểm M ( x; y ) thuộc góc phần tư thứ ba 23 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Tìm m để ba điểm M , A (1; ) , C ( −1; −4 ) thẳng hàng Tìm m để AB = A, B hình chiếu M ( x; y ) lên trục tọa độ Ox, Oy h Cho đường thẳng d1 : mx + 2my = m + 1; d : x + (m + 1) y = 2; d3 : x − y = Tìm m để ba đường thẳng đồng quy Lời giải m −1  ;   m m c Với m ≠ 0; m ≠ ⇒ ( x; y ) = - Với m = hệ phương trình vơ nghiệm - Với m = hệ phương trình vơ số nghiệm d đáp số: x + y = e Điều kiện: m ≠ 0; m ≠ 1 Tìm m ∈ {−1 + 3; −1 − 3} Đáp số: m = (loại) ⇒ m ∈∅ Giải phương trình: m −1  −3  − =5 ⇒ m ∈  ;  m m 2  m ≥ m ≥ Giải bất phương trình ta  Kết hợp với điều kiện ta  m < m < min.P = ⇔ m = Đáp số: m = -1 g M thuộc đường thẳng cố định (d ) : y = − x m ∉∅ m = Sử dụng định lý Pytago ta được: OA +OB =AB =1 ⇒ m =1 (loại) ⇒ m ∈∅ h m = Bài 4: 24 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 mx + y =m + (m : tham.so) m  x + my = Cho hệ phương trình:  a Giải hệ phương trình m = −3 b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (2;0) c Giải biện luận hệ phương trình theo m d Với ( x; y ) nghiệm hệ, tìm hệ thức liên hệ x y khơng phụ thuộc vào m e Gọi ( x; y ) nghiệm hệ phương trình Hãy tìm m để: x − y > 2m m−4 x + y = − x + y = x + y = Biểu thức P= x − y đạt giá trị lớn Nghiệm ( x; y ) nhận giá trị nguyên với giá trị nguyên m g Trong hệ trục tọa độ Oxy , xét điểm M ( x; y ) ( x; y ) nghiệm hệ phương trình, hãy: Chứng minh điểm M ln thuộc đường thẳng cố định Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng Tìm m để M thuộc góc phần tư thứ tư Tìm m để ba điểm M , A ( −1; ) , B ( 0; ) thẳng hàng Tìm m để diện tích hình chữ nhật OAMB 1, A, B hình chiếu M lên trục tọa độ Ox, Oy Tính diện tích S1 tam giác tạo bỏi đường thẳng câu với hai trục tọa độ Qua điểm N ( 0; ) tìm đường thẳng tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích 2S1 h Cho đường thẳng d1 : mx + y = m + 2; d : x + my = m; d3 : x − y − = Tìm m để ba đường thẳng đồng quy k Xét đường thẳng d : mx + y =m + 2(m > 0) Gọi C , D giao điểm d1 với Ox, Oy Tìm m để diện tích ∆OCD đạt giá trị nhỏ Lời giải 25 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  x= m − my mx + y =m + ⇔ 2 m  x + my = (m − 4) y = m − m − (*) c  m   x = m + - Với m ≠ ±2 ⇒ (*) có nghiệm   y = m +1 m+2  - Với m =−2 ⇒ (*) vơ nghiệm nên hệ phương trình vơ nghiệm  x= m − my y∈ R - Với m= ⇒ (*) có vơ số nghiệm ⇒ phương trình có vơ nghiệm  m m +1 ;y= ⇒ x − y =−1 m+2 m+2 d Từ x = m   x = m + e Với m ≠ ±2 ⇒ (*) có nghiệm   y = m +1 m+2  Ta có: x= −y Có x += y −1 > ⇔ m < −2 m+2 2m + 2m + 2m −4 (thỏa mãn) ⇒ = ⇔= m m+2 m+2 m−4 11 Biến đổi phương trình thành: m +1 −3 −7 + =3 ⇔ m = ; m = m+2 m+2 2 m2 (m + 1) −7 Phương trình ⇔ + =2 ⇒ m = 2 (m + 2) (m + 2) 2 Thế x= y − ⇒ P= y − − y = −2( y − ) − ≤ Ta có x = − −1 −1 ⇒ Pmax = ⇔ y= ⇔ m= 2 2 ; y = 1− ⇒ x, y ∈ Z ⇔ m + = ±1 ⇔ m ∈ {−1; −3} m+2 m+2 g Từ câu d ta có: x − y = −1 ⇔ y = x x + ⇒M∈y= + 2 2 Khi m thay đổi khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng h = x > ⇒ m ∈∅ y < Để điểm M thuộc góc phần tư thứ tư ⇔  26 5 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 y ax + b Gọi phương trình đường thẳng AB có dạng: = Thay tọa độ A, B vào y =ax + b ⇒ a =−2; b =2 ⇒ AB : y =−2 x + Để A, B, M thẳng hàng M ∈ AB ⇒ m = Ta có  m + m = m + 4m + m(m + 1) −4 m m +1 =1 →  → m = (tm) A( ;0); B (0; ) → SOAMB =OA.OB =1 → 2 m+2 m+2 (m + 2) −(m + 4m + 4) m + m = S1 = 1 = ; S1 Tam giác vng có cạnh nên cạnh dài 2 x + 2; y = −4 x + Từ tìm hai đường thẳng y = mx + y =m + m  x + my = h Gọi M = d1 ∩ d → tọa độ M nghiệm hệ phương trình  Ta có hệ phương trình có nghiệm M ( m m +1 ; ) m ≠ ±2 m+2 m+2 −7 Để ba đường thẳng đồng quy M ∈ d3 → m = (tm) Thử lại thấy m = −7 ba đường thẳng phân biệt đồng quy k Tọa độ C: y = → x = Tọa độ D: x = → y = m+2 m+2 m+2 → OC = = (m > 0) m m m m+2 m+2 m+2 → OD = = 4 (m + 2) 4 SOCD =OC.OD ↔ 8S = m + + ≥ → S = = −1 ↔ m = ↔ m = 2 m m m 27