Đề tài Phương pháp Newton nửa trơn cho bài toán ngược phi tuyến với nghiệm thưa không âm nghiên cứu bài toán ngược, bài toán đặt không chỉnh; nghiên cứu phương pháp chỉnh hóa thưa; bghiên cứu phương pháp chỉnh hóa thưa không âm; nghiên cứu Phương pháp Newton nửa trơn trong chỉnh hóa thưa; nghiên cứu Phương pháp Newton nửa trơn trong chỉnh hóa thưa không âm.
Trang 1DAI HOC DA NANG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
HÀ THỊ NA
PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN HO BÀI TOÁN NGƯỢC PHI TUYẾN VỚI
NGHIỆM THƯA KHễNG ÂM
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Da Nẵng - Năm 2020
Trang 2DAI HOC DA NANG
TRUONG DAI HOC SU PHAM
HA THI NA
PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN
CHO BÀI TOÁN NGƯỢC PHI TUYấN VỚI
NGHIỆM THƯA KHễNG ÂM
Trang 3
LOI CAM DOAN
‘Toi xin cam doan cộc kột qua trinh bay trong luận văn này
là cụng trỡnh nghiờn cứu tổng quan của riờng tụi và được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Phạm Quý Mười Những khỏi niệm và số liệu trong luận văn được tổng hợp từ cỏc tài
liệu khoa học đỏng tin cậy, và được chỉ rừ nguồn gốc trớch dẫn
Đúng gúp của tụi là tổng hợp tài liệu và trỡnh bày thờm một số
kết quả, vớ dụ minh họa Tửi xin chịu trỏch nhiệm với những
lời cam đoan của mỡnh
"Tỏc giả
Trang 4LOI CAM ON
Trước hết tụi xin gửi lời cảm ơn đến Thầy giỏo TS Phạm Quý Mười, cảm ơn những lời động viờn, nhắc nhở của Thầy trong suốt quỏ trỡnh
hướng dẫn khoa học cho tụi Thầy đó giỳp tụi vượt qua những khú khăn
để hoàn thành nhiệm vụ học tập và nghiờn cứu của mỡnh
Toi xin được bày tỏ lũng biết ơn đến quý Thầy - Cụ giỏo đó giảng dạy
lớp cao học Toỏn khúa 36 của trường ĐHSP Dà Nẵng cũng như toàn thể cỏc thầy cụ trong khoa Toỏn trường DHSP Đà Nẵng vỡ sự giảng dạy tận
tỡnh và sự quan tõm, động viờn, khớch lệ tụi trong suốt quỏ trỡnh học
tập và thực hiện luận văn
Tụi cũng xin gửi lời cảm ơn đến BGH trường DHSP Đà Nẵng, Phong Sau Dại học trường DHSP Dà Nẵng đó tạo điều kiện để tụi hoàn thành cụng việc học tập, nghiờn cứu của mỡnh
Mặc dự đó cú nhiều cố gắng nhưng luận văn khú trỏnh khỏi những
thiếu sút Tỏc giả mong nhận được những ý kiến đúng gúp của quý thầy, cụ và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn
Xin trõn trọng cảm ơn!
Trang 5
TRANG THONG TIN LUAN VAN THAC SI
‘Ten dộ tà: PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN CHO BÀI TOÁN NGƯỢC PHI TUYẾN VỚI NGHIỆM THƯA KHễNG
ÂM
Ngành: Toỏn Giải tớch
Họ và tờn học viờn: Hà “Thị Na
Người hướng dẫn khoa học: 'PĐ Phạm Quý: Mười
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Da Nẵng
Túm tắt: Hiện nay, trong khoa học kỹ thuật, việc nghiờn cứu cỏc mụ hỡnh toỏn dẫn đến việc giải Kr=y,
lIy=|<ð
xy Cu thể là đi tỡm nghiệm xắp xĩ z của nghiệm chớnh xỏc œ khớ biết toỏn tủ W và dữ w
Khi bài toỏn trờu là đặt khụng chỉnh ta sit dung aot pling phỏp chiul: hộa để giải và dẫu
đến bài toỏn cực tiểu dạng mig ƒ(z:v) + A0(z) GẦn đõy, người ta quan tary nhiộu đến phương
phỏp chỉnh húa thưa và phương phỏp chỉnh húa thưa khụng õu
"Trong luận văn này, tối đề xuất bai hàm phạt đạc biệt Dối với phương phỏp chỉnh húa thưa,
chọn (x) := Š ^ứ¿|(z.eĂ)|, dối với phương phỏp chỉnh húa thưa khụng õm chọn đ(z) :—
bài toỏn ngược „ trong đồ #í ; X =x Y là toỏn tử trơn y là dữ liệu xắp xỉ của
nhiền
ia
Da a FOV EA,
ia + trong dw 2 wy > 0.Ơi € A và {6(]seA là một cứ sở hoặc một khung, +oc, ngược lại
của khụng gian Hilbert X, A là một tập chỉ số nào đú và = ẩ ”zĂe Sau đú, tụi nghiờn cứu
tex
phương phỏp Newton nửa trơn cho bài toỏn cực tiểu với nghiệm thưa khụng õm Sự hội tụ siờu
tuyển tớnh địa phương cũn phương phỏp Newton nữa trơn cũng đó được clit minds, Luận văn ết thỳc với hai vớ du sở
Từ khúa: Nghiện thưa khụng óna, chỉnh húa thưa khụng õm phương php Newtow uita trou, Đài toỏn ngược phi tuyến
Xỏc nhận của giỏo viờn hướng dẫn Người thự: hiện dộ tai
“a Yo
TS Phạm Quý Mười Hà Thị Na
Trang 6
INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS
Name of thesis: SEMISMOOTH NEWTON METHOD FOR NONLIN- EAR INVERSE PROBLEMS WITH NONNEGATIVE AND SPARSE, SOLUTIONS
Major: Mathematical Analysis
Full name of Master student: Ha ‘Thi Na Supervisor: PhD Pham Quy Muoi
‘Training institution: The University of Education - University of Da Nang Kemy,
lu-wl|<ð
ẹ : X — Y issmooth operator, yỂ is noisy data of the exact data y Specifically, the core problem
is to find an approximation of the solution given the operator K and a noisy data y*
The ill-poseduess of this problem enforces us to use ọ regularization method and leads to the
minimization problems of the form min f(x: 1Ẻ) + Ađ(z) Receuitly people pay much attention to
sparse regularization aud nonnegative spase regularization methods
Tủ this thesis, I propose two special penalty function, For the sparse regularization iethod,
choose (2) := 7 us| (z,Â%) |, for the nonnegative sparse regularization method, choose đ(2) = ia {E* a DOVE A, Abstract: Many mathematical models lead to solve the inverse problem { where
tax + where w; 2 wy > OVE E A, {e/}ven being a basis or frame of the +oc, ngược lại
Hilbert space X, A is an index set and # = ệ ee), Then, L study a semismopth Newton method tex {for minimization problems in regularizing inverse problems with nonnegative and sparse solutions,
‘The local superlinear convergence of the semisinooth Newton method is proven The thesis cou cludes with some nmnerical examples,
Key words: Nounegative aud sparse solutions nounegative sparse regularization, semisiwooth Newtou method, nonlinear inverse problems
Supervisor’s confirmation Student
A45 _ ——
PhD Pham Quy Muoi Ha Thi Na
ii
Trang 7MUC LUC Trang phụ bỡa i Lời cam doan ii Lời cảm on iii Mục lục 1 Mở đầu 3 1 Kiến thức cơ sở 7
1.1 Khụng gian Banach và khụng gian Hilbert 7
1.11 Khụng gian Banah - 7
1.1.2 Khong gian Hilbert 8
1.2 Cơ sở trực chuẩn Bee Ẳa)}
13 Hàm số và đạo hàm Erếchet - 16 1⁄4 Đạo hàm Newton và tớnh chất } ơ es eeeeee 18
15 Phương phỏp Newton nửa trơn 21
15.1 Baitoin 2.2 22 eee 21
15.2 Phương phỏp Newton nửa trơn .- 21
1.5.3 Dịnh lý hội tụ scene ơ 2
1⁄6 Bài toỏn ngược đặt khụng chỉnh 23
16.1 Bài toỏn ngược 23
1.6.2 Bài toỏn đặt khụng chỉnh 23
2_ Phương phỏp Newton nửa trơn trong chỉnh húa thưa 26 2.1 Phỏt biểu bài toỏn ngược phi tuyến -.- 26
2.2 Phương phỏp chỉnh húa thưa “r1 Bees se ee ease 37
Trang 824 Phương phỏp Newton nửa trơn .- 37
3 Phuong phỏp Newton nửa trơn trong chỉnh húa thưa khụng õm 42
3.1 Phỏt biểu bài toỏn ngược phi tuyến - 42
3.2 Phương phỏp chỉnh húa thưa khụng õm .- 43
3.3 Diều kiện tom ee 46
3.4 Phương phỏp Newton nửa trơn .- mm 35 Cacvidus6 ai 51
Kết luận và kiến nghị 57
Trang 9MG DAU
1 Ly do chon dộ tai
Trong khoa học kỹ thuật, việc nghiờn cứu cỏc mụ hỡnh toỏn thường dẫn đến việc tỡm nghiệm của phương trỡnh
Kz=w (0.1)
trong đú K là toỏn tử trơn (tuyến tớnh hoặc phi tuyộn) tit khong gian Hilbert X
vào khụng gian Hilbert Y, dữ liệu chớnh xỏc khụng biết mà chỉ biết xắp xỉ yŸ với
ly- wl <8 (0.2)
Š của nghiệm chớnh xỏc z khi biết
‘Vi thộ bai toỏn cụ thể là đi tỡm nghiệm xấp xỉ z'
toỏn tử # và dữ liệu nhiễu yŸ
Với giả thiết Bài toỏn (0.1) là bài toỏn đặt khụng chỉnh, chỳng ta cần một phương phỏp chỉnh húa để giải bài toỏn một cỏch ổn định Hiện nay, cú nhiều phương phỏp chỉnh húa kiểu Tikhonov như chỉnh húa Tikhonov, chỉnh húa thưa, chỉnh húa biến
phõn toàn phần [6|.[ù] thường được sử dụng và dẫn đến bài toỏn cực tiểu dạng
minzex ƒ(:yŠ) + A(z) (0.3)
Trong đú ƒ(z:yŸ) là hàm đo khoang cộch giita K(x) va dit liộu bi nhiộu y’, vớ dụ ƒ(:yẺ) = zIKŒ) — wẺ|? và đ: X > R là hàm phạt, thường được chọn dựa trờn
những thụng tin biết trước về nghiệm chớnh xỏc Chẳng hạn khi bài toỏn cú nghiệm thưa ta sử dụng phương phỏp chỉnh húa thưa, tức là nghiờn cứu Bài toỏn (0.3) với # cho bởi
(2) = Yai (z,6i) | (0.4)
ien
trong đú w; > wp > 0,Vi € A va {e;}ica là một cơ sở hoặc một khung (frame) của
khụng gian Hilbert X, A là một tập chỉ số nào đú
Một phương phỏp chỉnh húa khỏc hiệu quả hơn dựa trờn tớnh thưa và khụng õm
Trang 10
nghiệm chỉnh húa là nghiệm của bài toỏn cực tiểu khụng điều kiện sau đõy
minzex O(x) = f(x;y°) + A(x) (0.5)
trong d6 f(sy*) : X + R IA ham tron, do khodng cach gitta (z) và dữ liệu bị nhiễu yỂ, và #: X —› RU {se} được xỏc định bởi
You, 12 0,vie A,
(x) = Â ied (0.6)
+oe, ngược lại
à {eĂ]¿eA là cơ sở trực chuẩn hoặc một khung (frame) của X
ở đõy z= ằ
ten
Hiện nay đó cú cỏc giải thuật để giải bài toỏn tối tru trong phương phỏp chỉnh húa
thưa và chỉnh húa thưa khụng õm như phương phỏp loại Gradient, phương phỏp Newton nửa trơn (4), Trong số cỏc phương phỏp kể trờn, phương phỏp Newton
nửa trơn là một phương phỏp cú tốc độ hội tụ nhanh và rất hiệu quả đối với hai
phương phỏp chỉnh húa này Với những tỡm hiểu về phương phỏp Newton nửa
trơn, tụi chọn đề tài "PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỦA TRƠN CHO BÀI TOÁN
NGƯỢC PHI TUYẾN VỚI NGHIỆM THƯA KHễNG ÂM" để làm luận văn của minh
2 Mục đớch nghiờn cứu
- Nghiờn cứu bài toỏn ngược, bài toỏn đặt khụng chỉnh; ~ Nghiờn cứu phương phỏp chỉnh húa thưa;
~ Nghiờn cứu phương phỏp chỉnh húa thưa khụng õm;
- Nghiờn cứu Phương phỏp Newton nửa trơn trong chỉnh húa thưa;
~ Nghiờn cứu Phương phỏp Newton nửa trơn trong chỉnh húa thưa khụng õm 3 Đối tượng và phạm vi nghiờn cứu
- Bài toỏn ngược;
- Phương phỏp chỉnh húa thưa và chỉnh húa thưa khụng õm;
Trang 113.2 Phương phỏp chỉnh húa thưa khụng õm 3.3 Diều kiện tối ưu
Trang 12Chương 1
Kiến thức cơ sở
“Trong chương này, tỏc giả trỡnh bày một số định nghĩa, định lý và cỏc chứng minh của giải tớch hàm liờn quan đến nội dung luận văn Cỏc kiến thức chuẩn bị bao gồm khỏi niệm khụng gian Banach, khụng gian Hilbert, cơ sở trực chuẩn, hàm
86 va dao ham Frộchet, dao ham Newton, phương phỏp Newton nửa trơn và bài
toỏn ngược đặt khụng chỉnh Tài liệu tham khảo chủ yếu trong [1].[2].|3].|S|
1.1 Khụng gian Banach và khụng gian Hilbert
1.11 Khụng gian Banach
Cho Ê là một trường, thường ta lấy # là trường số thực R hoặc trường số phức
Cc
Định nghĩa 1.1.1 (Ánh xạ) Cho hai tập khỏc rỗng X và Y Một ỏnh xạ ƒ đi từ
tập X vào tập Y là một quy tắc cho tương ứng với mdi x € X, ứng với một và chỉ một € Y Định nghĩa 1 & Một chuẩn trờn X là ỏnh xạ | - ||: X — R thỏa món cỏc tớnh chất sau: (Khụng gian định chuẩn) Cho X là một khụng gian vectơ trờn 1 Vz€ X :||z|| > 0; |x|] = 0 khi và chỉ khi z = 0
2 llazll = lalllz|| với mọi œ € K,z € X
3 llz + || < llzll + llu|| với mọi z, y € X
Khi đú cặp (X:||- |l) được gọi là khụng gian định chuẩn và ỏnh xạ || || được gọi là
Trang 13Định nghĩa 1.1.3 (Sự hội tụ theo chuẩn) Cho (X, || - |) là một khụng gian định
chuẩn Dóy (z„)„ C X hội tụ đến z trong khụng gian X nếu lim |lz„ - z|| = 0
Định nghĩa 1.1.4 (Dóy Cauchy) Cho (rq), IA mot day trong khong gian định
chuẩn (X, ||:||) (ứ)ằ được gọi là dóy Cauchy nếu We > 0, 3N € ẹ sao cho Ym,n > ẹ,
ta Cú |[#m — #n|[ < €:
Định nghĩa 1
(Khụng gian Banach) Cho (X, ||: ||) là khụng gian định chuẩn
Nếu mờtric sinh từ chuẩn d(, y) = |jz — y|| trong X cựng với X tạo thành khụng,
gian mộtric day đủ thỡ X được gọi là khụng gian Banach
Núi cỏch khỏc, một khụng gian định chuẩn (X, |: |) được gọi là khụng gian Banach
nếu mọi dóy Cauchy trong X đều hội tụ về một điểm trong X
1.1.2 Khong gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.6 (Tớch vụ hướng) Cho # là một khụng gian vectơ trờn trường
số thực Tớch vụ hướng trờn # là một ỏnh xạ (.,:) : H x H —› ùR, xỏc định như sau:
(z.u) € H x H (z,u) 6ẹ
thỏa món cỏc điều kiện:
1 Với mọi z € H, ta cú (z,z) > 0 Hơn nữa, (z,z) = 0 ô z = 0 2 (.u) = (u.z).Vz,u € H 3 œ+w,z) = 2) +(w.z).Vr,
4 (az,y) = a (2,0) Vz,u € H,Va €R
Số thực (z.g) được gọi là tớch vụ hướng của hai vectơ z và Cặp (H (- )) được
gọi là khụng gian tiền Hilbert
Dinh lớ 1.1.7 (Bất đẳng thức Sehuarz) Với mọi z, trong khụng gian tiền Hilbert H ta luụn cú đẳng thức sau đõu
Trang 14nhiờn đỳng Giả sử # 0, khi đú Ya € R ta cú (+ aw,z + ay) >0 hay (x, x) + 2a (x,y) + 0? (y,y) > 0 Chon a = - â) ta duge “wy Lứ:w) ấ (2.2) - “Ta >0 (2.2) - (yyy) — | (ey)? 20 Do đú bất đẳng thức (1.1) đỳng a Dinh Ii 1.1.8 Cho H là khụng gian tiền Hilbert Ánh zạ ||-||: H — R được định nghĩa nll = Vea), ten (12) là một chuẩn trờn H Chứng mỡnh Từ cụng thức (12) ta cú lizl= VŒ.z) >0.Vz € H
Ngoài ra |lz||= 0 â (z,z) =0 œz =0 Hơn nữa
Trang 15Vay ||- || là một chuan trộn H a
Định nghĩa 1.1.9 (Khụng gian Hibert) Một khụng gian tiộn Hilbert và đầy đủ
đối với chuẩn cảm sinh từ tớch vụ hướng được gọi là khụng gian Hilbert
1.2 Cơ sở trực chuẩn
Định nghĩa 1.2.1 Cho # là một khụng gian tiền Hilbert, A/ và ộ là cỏc tập con của H Ta cú cỏc định nghĩa sau đõy:
1 Hai phần tit x va „ thuộc / được gọi là trực giao với nhau, nếu (z,/) = 0 Ký
hiệu là z 1
'Vectơ z trực giao với tap N nộu x L y vội mọi € N
N+ la tap gdm tắt cả cỏc phan tit x true giao vội N
Mot hộ M c H duoc gọi là hệ trực giao nếu hai phần tử phõn biệt bất kỳ của
M thỡ trực giao với nhau, tức là Vz, € Af và z # y ta cú z L ự
Trang 16Định lớ 1.3.8 Cho 21,22 la mot hộ trực giao đếm được trong khụng gian Hilbert
%4 Diều kiện cần nà đủ để chuỗi Nà, hội tụ là chuỗi > llzullấ hoi tu va hie đú n=l 2 =3 IzulP- + 2 n=l „= Chứng mỡnh Đặt Su =1 +12 + + 7n ứm = ll#Iấ + lzalấ + + lzn|ẫ Khi đú ta cú nie 3" hỏn nip = bel? = bony — lISằ+p — Sulấ = “Từ đẳng thức này ta thấy (S,)„ là dóy Cauchy trong # khi và chỉ khi (z„)„ là dóy Cauchy trong R
Vix va la nhing khụng gian đầy đủ nờn (S,)„ là dóy hội tụ trong 3ý khi và chỉ Khi (on)n 1a day hoi tu trong R Điều này cú nghĩa là chuỗi ệ ˆz„ hội tụ khi và chỉ khi chuỗi > llza|lP hội tụ Nếu một trong hai chuỗi trờn hội tụ thỡ ta cú w= x Sosa =|] al k - = fim 5 ”lzn|# = SO lew? = =
Dinh lý được chimg minh a
Hệ quả 1.2.4 Cho (e,n = 1,2, } là một hệ trực chuẩn trong khụng gian Hilbert
Trang 173 2làu|? hội tụ wa
=
lal? = 0 aa? =
Chứng mỡnh Ta ỏp dụng Định lý (1.33) cho hệ trực giao {run = 1.2 } với
#m = Auem Khi đú ta cú chuỗi > nề„ hội tụ về z € ? khi và chỉ khi > Anen|l?
hội tụ Mặt khỏc {en,n = 1, là hệ trực chuẩn nờn ||ez|| = 1,n = 1,2 , nờn
[[Anenll = |An|- Do 46 chudi J Anen hoi tu vộ x € # khi và chỉ khi Š ^|A|? hội tụ n=l nal va `8 IAseal2 = 3ˆ lu „=1 n= n
Định nghĩa 1.2.5 (Chuỗi Fourier) Cho khụng gian Hilbert # và hệ trực chuẩn E = {en.n = 1,2, } Cho z là một vectơ trong # Ta lập chuỗi hỡnh thức sau đõy
Veeder (13)
i=
gọi là chuỗi Fourier của vectơ z đối với hệ trực chuẩn E, cỏc số (x, €n) goi IA hộ s6 Fourier thit n của z đối với hệ E
Trang 18Do r= m+ > zie: nộn IIzlấ = lym? + II 2 z:elấ = yl? + > bail? = > Vola? = Sole.) ? = a Vỡ bất đẳng thức này đỳng với mọi n, nộn khi cho n — ov, ta được Dl eei)? < lirlf Ê a
Định lớ 1.2.7 (Định lý hỡnh chiếu trực giao) Giỏ sử M là một khụng gian con
đúng của khụng gian Hilbert H Khi đú mỗi phần tử z € ?( đều tụn tại duy nhất
cặp (u.z) trong đú ụ € \M tà z € MT sao cho
~=u+z
trong đú ụ là vecta thỏa món điều kiện |z ~ vè|= |z||= inf {lle — ull} = d(z,M) Chứng mảnh Đặt d= d(x, M) = inf {||z ~ ull} Khi đú theo tớnh chất cia infimum
sộ ton tai day (yn)n trong M sao cho
lim! = yall = d
AM là khụng gian con đúng của khụng gian Hilbert ? nờn A cũng là khụng gian Hilbert Do đú để chứng minh (y„)„ là dóy hội tụ trong A7 ta chỉ cần kiểm tra (y,)„ là day Cauchy trong A/ Ấp dụng đẳng thức hỡnh bỡnh hành cho hai vectơ y„ — z và ụ — z với m.n € ẹ ta cú
|lm + tụ — 2| + [lm — Yall? = 2 (lan — z| + llua — z|) - (14)
Trang 19Cho mụn — so ta cú 2(||wm — z|2 + |èpu — z||2) — 4d + 0 nờn |èw„ — yall > 0 Vay (n)„ là dóy Cauchy Lai c6 M là khụng gian đầy đủ nờn tồn tại € A/ sao cho lim ya = y Từ đú ta cú = lim |r
Yall = liz — yll
Bõy giờ ta đặt z = z — y hay z =w+z Ta chỉ cần chứng minh ring z € M+ Thật
vậy, giả sử u € A/ và u #0 Với mọi a € ta cú ý + au € A/ nờn
lel? = llz = wilấ < [lx — (w + œw)|ấ aul? = Œ— au,z— au) = lzll? — 2a (z.w) + a?|Iu| (2,2) Chon a= â 7) ta cú IIull 2 z_ |Œ:w) ấ z|ấ < IIzlấ —
IIzl < IIzll Tell?
Do dộ | (z,u)| <0 suy ra (z,u) =0 vi moi u € M, tic las € M+ Bõy giờ để chứng minh tớnh duy nhất ta giả sử cú y,y/ € M va 2,2" € M+ sao cho z=u+z=VW+z Khi đú y~ = Nhu vay y=y/ va z —2€ MOM? nộn (y = ,~ w) = —2)=0 a Dinh nghia 1
(Cơ sở trực chuẩn) Cho E = {en,n = 1,2, } là hệ trực chuẩn
hữu hạn hay đếm được của khụng gian Hilbert 2ớ Ta núi E là cơ sở trực chuẩn
trong ? nếu khụng gian con A/ sinh bởi E trự mat trong H
Dinh Ii 1.2.9 Gid siz E = {en,n = 1,2, } la mot hộ true chudn trong H Khi d6
Trang 20(4) Với mọi x €H ta cú |z|? = 3 | (.ei) ? Chứng minh (1) + (2) Theo Dinh ly 1.2.6 ta cú chuỗi Fourier của z luụn hội tụ trong # Ta đặt SY (cei) eĂ và sẽ chứng mỡnh = 0 Với mỗi m € ẹ ta cú (M;€m) = (.Êm) 32 Œ.e) (ei.en) =
= (Em) — (Em) (Em; em) = 0
Gọi AV là khụng gian con sinh bởi E Với mọi z € A/ ta cú z = 3` S0.) =0 2g 1z g1 M = y€ ATE, Do Aƒ là khụng gian con đúng (y,2) và E là cơ sở của # nờn y € M+ = MI" = H+ Titd6 tach y Ly > (y.y) =0 > y =0 (2) = (3) Do Ê là hệ trực chuẩn nờn (x,y) = Him OY ed) (wea) (C0063) i=l j=l = jim, > (x, ei) (u.ei) a =Šứ.e) 0e) =
(3) = (4) Trong đẳng thức ở (3), thay bởi z ta cú ngay đẳng thức ở (4)
Trang 21zLu,Yu € M Dac biột zLen nộn (z,en) ,Vn Tit ding thức (4) ta cú lel? = S71 (ze) |? =0 ơ Vậy ?4 = M nờn E là cơ sở trực chuẩn của 2ý ủ 1.3 Hàm số và đạo hàm Frộchet
Định nghĩa 1.3.1 (Ham coercive) Ham ƒ : E" — E được gọi là coercive nếu với mọi dóy (za)„ C R”, ta cú ƒ(z„) + +00 khi |x|] + +00
Định nghĩa 1.3.2 Cho X,Y là hai khụng gian định chuẩn Toỏn tử ƒ : X -› Y' được gọi là liờn tục tại zo € X nếu với mọi e > 0, tồn tại ở > 0 sao cho với mọi
+€ X mà ||z = ze|| < ở ta đều cú ||ƒ(z) = ƒ(zo)ll < e
Nhận xột 1.3.3 Ta cú thể định nghĩa toỏn tử ƒ liờn tục tại zo theo một cỏch khỏc
“Toỏn tử ƒ được gọi là liờn tục tại z nếu mọi dóy (zn)„ mà z„ => zo thỡ ƒ(za) => ƒ(Zo)
Định nghĩa 1.3.4 Toỏn tử ƒ được gọi là liờn tục trờn X nếu ƒ liờn tục tại mọi
zu€X
Định nghĩa 1.3.5 Cho X,Y là cỏc khụng gian định chuẩn trờn trường #, ta núi
ƒ: X — Y là toỏn tử bị chặn nếu tồn tại số Af sao cho |i/(z)|| < Allz|| với mọi
rex
Định nghĩa 1.3.6 Cho X,Y là cỏc khụng gian định chuẩn trờn trường #, ta núi
ỏnh xạ ƒ: X + Y la ỏnh xạ tuyến tớnh (toỏn tử tuyến tớnh) trờn khụng gian định chuẩn V nếu với mọi z, € X, với mọi a € K ta cú
1 ƒ(z + w) = ƒ(z) + ƒ(9) 3 f(az) = œƒ(z)
Định lớ 1.3.7 Cho X,Y là hai khụng gian định chuẩn tà ƒ : X — Y là toỏn tử
tuyến tớnh Khi đú cỏc mệnh đề sau là tương đương:
(1) ƒ liờn tục trờn X
(9) ƒ liờn tục tại một điểm xo
Trang 22(3) f liộn tuc tai 0 (4) f bi chan
Chứng minh
(1) + @) Điều này hiển nhiờn theo định nghĩa toỏn tử liờn tục trờn X (2) = (3) Giả sử cú di
liờn tục tại zọ ta cú ƒ(z„ + zo) => /(zo) Do ƒ tuyến tớnh nờn
(#„)„ mà z„ = 0 Khi đú z„ + zo => zo nờn theo giả thiết f
F(an +20) = f(tn) + f(x0) => ƒ(zo)-
Suy ra /(z„) => 0 Từ đú ƒ liờn tục tại 0
(3) = (4) Theo định nghĩa, do ƒ liờn tục tại 0 nờn với e = 1 tồn tại 6 > 0 sao cho nếu z€ X và tel <ộthi Weel < <1L | = ads Do f tuyến tớnh nờn ta cú ||ƒ(z)|è < oe Mặt khỏc đẳng thức này hiển nhiờn đỳng _ khi z =0 Vậy ta cú ƒ là toỏn tử bị chặn (8 = (1) Giả sử (z„)„ là dóy bất kỳ mà z„ — z € X Do (4) ta cú |/(zu) = ƒ(#)ll = ||/(ứ = z)|| < Millzs — z|| => 0
Khi n — se Do đú ƒ(z„) + f(z), nghĩa là ƒ liờn tục trờn X a
Định nghĩa 1.3.8 Cho X,Y là hai khụng gian định chuẩn và toỏn tử ƒ : X -› Y'
được gọi là Lipschitz nếu cú một hằng số dương 7 sao cho
f(z) = f@)lly < Elle ~ w|lx với mọi x,y € X
Định nghĩa 1.3.9 (Dạo hàm theo hướng) Cho ham f : X + B va zo € X sao cho ƒ(zo) €R Với mỗi veetơ đ € X, ta định nghĩa đạo hàm của ƒ theo hướng đ là giới
hạn sau, nếu nú tồn tại, hữu hạn hoặc vụ hạn:
Food = iy Le0+Ơ0 = flea), abe
Trang 23Định nghĩa 1.3.10 Cho V va W la hai khụng gian Banach, U C V là một tập
con mở của V Một hàm ƒ: U => W được gọi là kha vi Frộchet tai x € U nộu ton tại một toỏn tử tuyến tớnh bị chặn A : V => W sao cho: lạ ỨŒ +) = ƒŒ) = ACoA _ ho Wall Định nghĩa 1.3.11 (Hàm nửa liờn tục dudi) Mot ham f : X + R duge goi là mia 0
liờn tục dưới tại zọ nếu
lim inf ƒ(z) > ƒ(zo)
Núi cỏch khỏc, với mọi a < ƒ(zo) tồn tại lõn cận gốc U sao cho
f(z) >a, Vr € 29 +U
Hàm ƒ được gọi là nửa liờn tục dưới yếu nếu nú nửa liờn tục dưới tại mọi z € X
1.4 Đạo hàm Newton và tớnh chất
Định nghĩa 1.4.1 Cho X,Y là cỏc khụng gian Banach và ứ C X là một tập con
mở Một ỏnh xạ ƒ : U => Y được gọi là kha vi Newton tại x € nếu tồn tại một
ỏnh xạ Ê':U + Ê(X,Y) sao cho ay Ul +h) mh Tals trong d6 Ê(X,Y) Ia tap cae ham tuyộn tinh lien tue tir X vao Y Khi d6 F duge F(x + hyhlly — gọi là một đạo hàm Newton của ƒ tại x Lưu ý 1.4.2 (1) F được gọi là đạo hàm Newton của ƒ trờn X nếu F là đạo hàm Newton của ƒ tại mọi z € X
(2) Hàm ƒ cú đạo hàm Newton tại mọi điểm được gọi là hàm Newton nửa trơn (3) Nếu hàm số ƒ cú đạo hàm cổ điển /' liờn tục trờn tập mở U thỡ ƒ là hàm nửa
trơn trờn U va dao ham Newton của f la f’
Thật vậy, với mọi w € U, ta cú
os Messe) e+ nnd i — ƒG) — Ƒ"
"` `“ CỐ
Trang 24khi A > 0 Vay f 1a ham nifa trơn trộn U và cú một đạo ham Newton la F = f"
(4) Dao ham Newton là trường hợp tổng quỏt của đạo hàm Frộchet, cú nghĩa là một hàm cú đạo hàm Frộchet thỡ đú cũng là đạo hàm Newton Hơn nữa, đạo hàm Newton cú những tớnh chất cơ bản tương tự như đạo hàm Frộchet như tổng của hai hàm khả
Ă Newton là hàm khả vi Newton, tớch của hàm khả vi Newton và
ham kha vi Frộchet 1a ham kha vi Newton
Bo dộ 1.4.3 Lay U CH la mot tap md va gid sit ring J: U CH H la ham kha
vi Frộchet va dao ham ciia nộ liộn tuc Lipschitz trong một lan edn ctia ue U Giộ sity: HH kha vi Newton tai J(u) vdi dao ham Newton la x Hon nita, ||x(w)||
bị chặn đều Khi đú, hàm hợp T :1\ — 14 được cho bởi cụng thức
T(u) = ý(J(u))
khộ vi Newton tai u vdi dao ham Newton la
H(u) = x(J(u))J"(u)
Chứng mỡnh Hàm J c6 dao ham Frộchet liộn tuc Lipschitz tai u nộn
Trang 25và rỳt gọn ta cú T(w + h) — Tu) = Hứu + B)ủ| =llg(J(w) + k(R)) — BIC) = X(I(u) + ACH) I (ut AA <llO(T(u) + H(A) = (209) = x(J(w) + k(B))‡()|| +ẽIx(2(w) + (H))(I"(u + AY — (A) Mặt khỏc IIx(2(w) + k(M))(J'(u + h)h — k(h))|| =llx(J(w) + k(h))(J'(w + h)h = J'(w)h — r())|| Sllx(7(ứ) + k(ủ))||(|7'(w + h) = J(u) INA + Ur (ADI) llx(7(w) + k(ủ))|\ (ô + 3 Wal? Do đú ta cú |ÍT(u + h) — T(u) — H{u + h)h|| II <|lw(J6) + k(M)) = ớ(700)) = x(J() + k(h))k(B)|| JIk(h)l| ~ Ix0)|l [all *llx(7(w) + k(8))|| (ô + 5) all
Cho |[hl| +0 thi () — 0 Lỳc này do ý khả vi Newton tại /(u) nờn tim WU) + (A) - #(709) — x(J(0) + k(B))k(B)||
Ho TROT "
Mặt khỏc ||k(")|| < lI2/(a)|llh|| + llr(đ)|| nờn
WAC Sy 1
Tay ŠI!/@)lI* gIMl-
Tức là aa bị chặn khi |[Al] + 0 Hon nita theo giả thiết ta cú ||x(u)]) bi chan
đều nờn ||x(J(u) + &(h))]| bi chan Do d6
tim [Du A) = T(u) = Hu bh _ 0
IhJơ0 Wall
Trang 261.5 Phương phỏp Newton nửa trơn
1.5.1 Bài toỏn
Gia sit H : R" + R" la Lipschitz địa phương nhưng khụng nhất thiết khả vi liờn tục Việc giải phương trỡnh H(x) =0 (16) trở thành một trong những hướng nghiờn cứu tớch cực nhất trong lập trỡnh toỏn học Với giả thiết H là Lipschitz địa phương, # khả vi hầu khắp nơi Dặt Dy = {x | H khả vi tại z} Jacobian cia H tai x được định nghĩa bởi H(z) = convdgH(z), trong đú OpH(z)={ pr eDu lỡm H'(x!)},
và conv() là bao lồi của tập ệ
1.5.2 Phương phỏp Newton nửa trơn
Phương phỏp Newton tổng quỏt để giải (1.6) cú thể được định nghĩa như sau: Cho vectơ zẩ, vectơ zF+! được xỏc định bởi cụng thức
1H(zẩ), (17)
trong đú V¿ € 0H(z*)
Phương phỏp Newton tổng quỏt (1.7) trở thành phương phỏp Newton cổ điển cho một hệ phương trỡnh nếu #7 khả vi liờn tục Phương phỏp Newton cổ điển cú một
đặc điểm thuận lợi là chuỗi (z`) cho bởi (1.7) là hội tụ siờu tuyến tớnh địa phương đến nghiệm z* nếu #/f(z*) là khụng suy biến (và #” là liờn tục Lipschitz) Tuy nhiờn, phương phỏp lặp (1.7) khụng hội tụ cho phương trỡnh khụng trơn (1.6)
Để thiết lập sự hội tụ siờu tuyến tớnh của phương phỏp Newton tổng quỏt, ta giới
Trang 27thiệu khỏi niệm về tớnh nửa trơn Gia sit H 1A kha vi theo huộng tai x H duge goi là nửa trơn tại z nếu Vả~ Hf(z;d) = ứ(||dll) 4 — 0 và H được gọi là nửa trơn mạnh tại z nếu Vả~ H“(z;d) = O(|d|2) d — 0 trong đú V € ễH(z + d) 15.3 Định lý hội tụ
Định lớ 1.5.1 ((8, Dinh ly 2.1]) Gid si H(x*) = 0 oà mọi V € ỉH(z*) là khụng suụ biến Thỡ phương phỏp Neuton tổng quỏt (1.1) là Q-hội tụ siờu tuyến tớnh trong một lõn cận của +" nếu H là nửa trơn tại z*, uà hội tụ bậc hai nếu H nửa trơn
mạnh tại x*
Kummer đó nghiờn cứu điều kiện cần và đủ cho sự hội tụ của phương phỏp Newton dựa trờn đạo hàm tổng quỏt Một trong những điều kiện đảm bảo sự hội tụ là với bất kỳ V € ỉH(z + đ), d => 0, Hfz+4)~ Hữ) Vd= (|): (18) Do H liộn tuc Lipschitz dia phuong, nộu H’(x,d) tộn tai thi Nụ HŒ +4) = Hữ) = H:g) — a0 Tall Vi vay, nếu Hf(z:đ) tồn tại thỡ (1.8) cú nghĩa là 0 Vd~= H(z;đ) = ứ(|dll) với bất kỳ V € ễH(z + d), d — 0 Do đú (1.8) hàm ý về tớnh nửa trơn của # tại z nếu f(z:đ) tồn tại Lin
ý rằng tớnh khụng suy biến của ỉ//(z*) trong định lý trờn cú phần hạn chế
trong một số trường hợp Một phiờn bản sửa đổi của (L7) được đưa ra như sau
1 M(zấ), (19)
trong đú V¿ € ỉgH(zẩ) Sự khỏc biệt giữa phiờn bản này với (1.7) là Vớ được chon từ ỉgH(zẩ) thay vỡ bao lồi của ụgH(z*)
Trang 28Định lớ 1.5.2 ((S, Dịnh lý 2.9) Giỏ sử H(z*) =0 oà mọi V € 0gH(z`) là khụng
suy biến Thỡ phương phỏp Neuton tổng quỏt (1.9) là Q-hội tụ siờu tuyến tớnh trong một lõn cận của z* nếu H là nửa trơn tại z*, tà hội tụ bậc hai tại z` nếu H nửa
trơn mạnh tại z"
Định lớ 1.5.3 ((S, Dịnh lý 2.3)) Giả sử HH là nửa trơn tại z` và tất cả cỏc phần
tử trong OpH(x*) dộu khụng suy biộn Dat (x*), C D la day bat ky hoi tu vộ x* vdi +t #z* vdi moi k Thi (x*), h0i tu Q-siờu tuyến tớnh ề z` tà H(z`) = 0 khi uà chỉ khi We") — Via lim Mae — viet — le*l\ (110)
trong đú Vị € ễgH(z#) uà dỀ = zF*\ ~ xk,
Cỏc Định lý 1.5.1, 1.5.2 và 1.5.3 đó khỏi quỏt cỏc kết quả hội tụ của phương phỏp
Newton cổ điển cho cỏc phương trỡnh trơn mà khụng giả định tớnh khả vi của H
1.6 Bài toỏn ngược đặt khụng chỉnh
1.6.1 Bài toỏn ngược
“Ta cú thể phỏt biểu bài toỏn thuận như là việc tớnh giỏ trị của một toỏn tử K tại
phần tử đó biết z trong khụng gian X và bài toỏn ngược như là việc tỡm nghiệm
của phương trỡnh Kz = ự:
Bài toỏn thuận: Cho trước z và K, tinh K(x)
Bài toỏn ngược: Cho trước và K, giải phương trỡnh K(z) = y
Để phỏt biểu một bài toỏn ngược, định nghĩa của toỏn tử, bao gồm cả miền xỏc
định và tập giỏ trị đều phải được xỏc định Việc phỏt biểu một bài toỏn ngược như
một phương trỡnh toỏn tử cho phộp chỳng ta phõn biệt cỏc bài toỏn ngược là phi
tuyến, tuyến tớnh, hữu hạn hay vụ hạn chiều
1.6.2 Bài toỏn đặt khụng chỉnh
Định nghĩa 1.6.1 (Tinh dat chỉnh) Cho X và Y là cỏc khụng gian di
K: X — Y là một toỏn tử (tuyến tớnh hoặc phi tuyến) Phương trỡnh Kz = „ được
chuẩn,
Trang 29
gọi là đặt chỉnh nếu cỏc mệnh đề sau đõy đỳng:
1 Sự tồn tại: Với mỗi y € Y c6 ớt nhất một phần tử z € X để Kz =
2 Tớnh duy nhất: Với mỗi y € Y cú nhiều nhất một phần tử z € X dộ Kr = y
3 Tĩnh ồn định: Nghiệm z phụ thuộc liờn tục vào y, tức là với mỗi dóy (z„) C X,
nếu Kz„ => Kz thi rq > z khi n > 00
Định nghĩa 1.6.2 (Bài toỏn đặt khụng chỉnh) Cỏc phương trỡnh khụng thỏa
món một trong ba tớnh chất trờn được gọi là đặt khụng chỉnh
Định lý sau đõy cho ta kết quả rằng cỏc phương trỡnh toỏn tử đạng Kz = ự với
K là toỏn tử compaet trong khụng gian vụ hạn chiều luụn luụn là đặt khụng chỉnh
Định Ii 1.6.3 Cho X.Y là cỏc khụng gian định chuẩn tà K : X — Y là toỏn tử
{€X: Kz =0} Giả sử số chiều
của khụng gian thương X/Ker(K) là uụ hạn Khi đú, tồn tai day (x,) CX sao cho
tuyến tớnh compact tới khụng gian Ker(K)
Kz„ — 0, nhưng z„ khụng hội tụ đến 0 Thậm chi, ta cú thể chọn day (x,) để cho Ilznl| + 00
Đặc biệt, nếu K đơn ỏnh, thỡ toỏn tử ngược K~è:Y 5 Im(K) => X khụng bị chặn
Trong đú, Im(K) = {Kz € Y :z€ X} là miền giỏ trị của K
Chứng mảnh Khụng gian thương X/Ker(K) là khụng gian định chuẩn với chuẩn llzll:= infllz + :i
sinh K”: X/Ker(K) — Y, định nghĩa bởi Kf([z]) = Kz {zè € X/Ker(K) hoàn toàn
€ Ker(K)} bởi vỡ khụng gian Ker(K) là đúng Toỏn tử cảm
xỏc định, compact và đơn ỏnh
“Toỏn tử ngược K’! : YD Im(K) => X/Ker(K) khụng bị chặn vỡ nếu ngược lại
thỡ toỏn tử đơn vị J = K’"!K’ : X/Ker(K) > X/Ker(K) la compaet vỡ là hợp của một toỏn tử bị chặn và một toỏn tử compact Diộu nay mau thudn với giả thiết
X/Ker(K) là khụng gian vụ hạn chiều
Trang 30tớnh hoặc phi tuyến):
Ra: Y = X, a>0, sao cho:
lim R„Kz=z, a0 Yz€ X
được gọi là một phương phỏp chỉnh húa cho bài toỏn (0.1)
Theo định nghĩa 16.4, ta cú #ay hội tụ đến z sao cho y = Kz Bay giờ, với
Ray?
t xấp xỉ của nghiệm chớnh xỏc z của phương trỡnh (0.1) Khi đú, sai số giữa
€ Im(K) và yŠ Y là dữ liệu được đo với |ly— || < ở, chỳng ta xem zđŠ
như n
nghiệm chớnh xỏc và nghiệm xấp xỉ như sau
lz>5 = z|| < ||RayŠ — Ray|| + ||Raw — zèè
< [IRallllyđ — vi| + |IRa#z = z||
<ðl|Ral| + l|EuKz = z||
“Trong biểu thức trờn, ||t„z
(8) để giữ cho sai số trờn càng nhỏ càng tốt Tức là cần tỡm cue tiểu của hàm
z|| => 0 khi œ + 0, do đú ta cần chọn tham số
ð||Rall + |LR.Kz - z||
Trang 31Chuong 2
Phương phỏp Newton nửa trơn trong chỉnh húa thưa
Trong chương này, luận văn nghiờn cứu phương phỏp Newton nửa trơn cho bài toỏn ngược phi tuyến với nghiệm chỉnh húa thưa Nội dung trong chương này được tham khảo chủ yếu ở [1]|2].3].[5]-
2.1 Phỏt biểu bài toỏn ngược phi tuyến
“Trong thực tế khoa học kỹ thuật, người ta thường giải cỏc bài toỏn ngược Một
Trang 32Để tỡm nghiệm xấp xỉ của nghiệm phương trinh toan ttt (2.1) — (2.2) bằng phương
phỏp chỉnh húa thưa, ta tỡm nghiệm cực tiểu của bài toỏn 9(z) = ƒ(z) +Ađ(z), (23) trong đú A > 0 là tham số chỉnh húa, ỉ(z) = |lz|li := D> |xil ƒ(z) A) =y[P in Khi đú bài toỏn tối ưu trong chỉnh húa thưa được viết lại argmin,ez,/(z) + Alzll (24)
2.2 Phương phỏp chỉnh húa thưa
Định nghĩa 2.2.1 (Hàm phạt cú tớnh chất thưa) Cho # là khụng gian Hilbert với chuẩn ||- |, {enJnea I cơ sở trực chuẩn của ?ớ Khi đú, hàm phạt cú tớnh chất
thưa đ: 2= RU (se} được định nghĩa bởi 8z) = Yo lal (2.5) ĂCA trong đồ zĂ := (2,6) B6 dộ 2.2.2 Hàm phạt cú tớnh chất thưa đ định nghĩa bởi (3.5) cú cỏc tớnh chất như sau:
(1) đ khụng õm, lồi uà mửa liờn tục dudi yộu
(2) Tộn tại một hằng số Ơ sao cho Vx EH
(2) > Cè| |:
Từ đú suy ra đ là coercive yộu, (x) —ằ se khi ||z| ~ se
Trang 33Vậy #(z) > CŸ||z| (3) Giả sử đ(z") — đ(z) “Ta cú limsup đ(z" — z) =limsup[2(đ(z") + đ(z)) = 2(đ(z") + đ(z)) + đ(z" = z)| =48(z) ~ liminf S éB| (si, #") | +2) (€:,2) | = | (e:,2" — 2) |] ica Lại cú = lim inf 7121 (Â:,2") | +21 (ei) |= |(ei,2" ~ 2) I] wea > — Dim int(2| (e,,2") | + 2| (es, 2) | — | (eo #P = z) |] ia
Mặt khỏc, (z")„ew hội tụ yếu đến z € ? nờn (e;.z") => (eĂ,z),Vi € A Do đú
— } Iiminf2| (e¿.z”) |+ 2| (ei, #) [— |(ei.e? — z)lỊ= =43 2| (e.z) | ion ica = limsup đ(2" — z) < 48(z) — 4) | (ci,2) | = 4(2) — 46(z) = 0, ica Vay lim sup 0(2" — x 2.3 Điều kiện tối ưu
Trang 342 Nếu ~A < z <A thỡ |z|— A < 0 Khi đú, Ha(z) = sgn(z).0 = 0
3 Nếu z > A >0 thỡ |zèl= A=z—=A >0 Khi đú, Hạ(z) = z - A
“Túm lại
TRÀ, TA,
Th(z) =0, -À<z<À,
T+À, r<-d
Do d6 Hy 1a ham khụng trơn Vậy Đ; cũng là hàm khụng trơn theo định nghĩa Bõy giờ để tỡm nghiệm Bài toỏn (2.4), trước hết ta xột hàm phụ 6,(z,u) và bài toỏn
tối ưu trong bố đề sau:
Bổ đề 2.3.3 Cho f : H + R khd vi Frộchet va s là hằng số dương Xột hàm 05: Hx HR dude dink nghia:
6,8) = F(a) + (S'(e).u~2) + Sua + All
Đặt ut := argmingey{9,(x,u)} Khi dộ vdi mội x â thi w=8(c-4/'@)
Chứng mỡnh Ta cú
6/60) = /Œ) +3 (2 (5/6) = z) + lu —zIấ) + All
=f6)+Š (|Ê=>+ š/@)|ẽ~ 2I7@If) + all:
= so) = Se + (Ie Lye + 2n)
Do đú với mỗi z € 2ớ ta đều cú
* b 1 2 2A
u* = argmin,cay{6,(z,u)} = argmin,c {| -z+ t/e| + 2n}
=argmin,cy {Sees} ich
trong d6 (ri, us) = (ô = ( - 100) + “Mi,
Dat m; := 2; — —ƒf(z)Ă, ta xột cỏc trường hợp sau: 5
Trang 362 Nếu mị < ~À < 0< À thỡ g(z,.u) nhỏ nhất khi s<0<Đ
tị = mạ + 2 = Ha(mi)
3 Nếu = <m< a thỡ y(z;.u;) nhỏ nhất khi u; = 0 = Hà(m;) s 3 :
Vay w =8; (2-4) a
Trang 37Mặt khỏc, ƒ' là ham sộ Lipschitz va a > 0 nờn Ife") = f()|l < #Ilc= z'll = Lila(x* + h) + (L— a)z* — z*|| =allhll Theo bất đẳng thức Sehwarz và do a < 1 ta cú LỢ/Œ*) = ƒ(e).h) ấ < |lf'œ*) = #'()lẫ - lIhl? < a?/ˆ|Ih||* <!ln|l* Do đú ta cú (/f(z`) — ƒƑ'(c).h) > —L||h|? Điều này cho ta khẳng định sau tt -8 (0 s._— 2 8,(2* 2° +8) ~ O,(a" 2°) > (Š ~ 2) lhlấ > 0 Vay 6,(x",2" +h) > 8,(z",z*), Vh € #M hay núi cỏch khỏc 6,(z*,u) > 6/(+`,z*), Vụ € 1 Điều này cho ta z" = argmin,ca,{6,(zˆ,u)}- Theo Bộ dộ 2.3.3 ta cú z" =Sạ (â - 1/09): o Đặt F(z) :=z—Đ; (ô - : 76)) việc giải Bài toỏn (2.4) được đưa về tỡm nghiệm của phương trỡnh F(x) =0 (2.6) ta xột tớnh khả vi Newton của F va tim dao hàm Newton của nú thụng qua bổ đề sau:
Bồ đề 2.3.5 S; khả vi Newton va dao ham Newton ciia Sy tai x là G; :M —
được cho bởi
ve, || >
(Gz(0))¿ =
0, jax) <A
Trang 38Chứng mảnh Với mỗi x € H ta c6
IGe()ll = S2I(Gs())Ă2 < Y foil? = loll, ve € HL ica
Do đú G; bị chặn Hơn nữa, Yo, (Gz(0 + am))k ĂCA „ €?{ và Va € R ta cú (p+am)y, |zg| >À ˆ 0, lzk|<A tự + ae, [rg] >A 7 0, eal SA (Gz(0))¿ + a(Gz(0))¿ Yk € A
Suy ra G,(v + aw) = G,(v) + aG,(w), Wo,w € H, Va ER
Vậy với mỗi x € H, Ge là phiộm hàm tuyến tớnh bị chặn Ta cú
S\ứ +h) - S\Œ) ~ Gesn(h) — 22;ca [Ai + hà) — Hà(i) — G;‡n(R)ijc all Xột cỏc trường hợp sau: 1) Nếu zĂ > A thỡ với mọi hi 40 Wall đủ bộ sao cho zĂ + hị > À ta cú:
TRŒi + hị) — HA(i) = Guyn(h)i = (21 + hi — 9) — (xớ — À) — hị =0
9) Nếu zĂ < A thỡ với mọi h; Z 0 đủ bộ sao cho 2; + hj < A ta cú:
Hy (xj + hy) — Hy(aj) — Gesn(h); = (ti + hi + A) — (a +A) — hy = 0 3) Nếu =A < zĂ < A thỡ với mọi h¿ # 0 đủ bộ sao cho =A < zĂ + hị < À ta cú:
Hy(zi + hi) — Hà(xĂ) — Gz‡Ă(h)Ă = 0 =0 — 0 =0
4) Nếu zĂ = A thỡ với moi h; 40 a Nếu =A < zĂ+h¿ < À thỡ
đủ bộ cú hai khả năng xảy ra:
Hy(xi + hi) — Hy(2i) — G;+Ă(h)Ă =0=0—=0=0
b Nếu zĂ + hị > À thỡ
Trang 395) Nếu xj = —A thỡ với mọi ủ; # 0 đủ bộ cú hai khả năng xảy
a Nếu =A < zĂ + hị < À thỡ
Th(i + bị) — Ha(ứi) — Gesn(h)i = 0-0-0=0
b Nếu zĂ + hị < =A thỡ
Hy (xi + hi) — Hạ(i) — Gey n(h)i = #Ă + hị + À — 0— hị = zị + À =0
Tom lai Hy(xi + hi) — Ha(ai) — Ge+n(h)i = 0, Vi € A va bị đủ bộ Như vậy khi cho |/hl] + 0 thi hy + 0 va lie này ta cú
Tim (Sale +h) = Sa(z) ~ Grn(h)lh
A] 0 Wall
Vay G, la dao ham Newton ciia Sy tai z g
Toỏn tử đạo hàm Newton G„ của Ê tại z được biểu diễn dưới dạng một ma trận với cỏc phần tử trờn đường chộo chớnh bằng 0 hoặc 1 và cỏc phần tử khỏc đều bằng, 0 Bằng cỏch đổi cơ sở, ta cú thể biểu diễn Œ„ dưới dang ma tran G= 1A 0 00
voi A= {k â A: |xy| > A} và 1¿ là ma trận đơn vị cú cấp là số phần tử của A
Định nghĩa 2.3.6 Với z € #, A và s là những hằng số cho trước, tập hiệu lực
A(z) và tập khụng hiệu lye I(x) được định nghĩa như sau:
A(z) = {re A:|(==‡/@),,| ` ay
I(x) = {: eA: |(- z/0)/| < 3}
Bo dộ 2.3.7 Vộix EH ta dit A= A(r) val = I(x) Giả sử ƒ : D(ƒ) C 1 — R
khả vi Frộchet dộn ciip 2 à bằng cỏch đổi co sộ ta 6 thộ viột f"(x) dưới dạng
M, AM,
7%)= ( “ 3 -
Trang 40Khi đú hàm F(x) =2-Ss ( " #2) khộ vi Newton va c6 dao ham Newton la vựng 4 1 r= (eee iM 0 ty Chứng minh Theo Bồ đề 3.3.5 và Bồ đề 1.4.3 ta cú In 0 # F')= (: 1 z/œ)} lạ 0 ~ Ge-apray 0h _ (12 0 In 0 on 00 _ 00 + In 0 Man Mar on) *\o of \ Ma Ma 1 1 — (gAtA gMai 0 1 Nhận xột 2.3.8 Với z € # ta cú z — : Ƒ'(z) € đớ nờn chuỗi ằ (r-‡/@)),ô m hội tụ và chuỗi ŠIe-tằ)j n=l
cũng hội tụ theo Hệ quả 1.2.4 Do đú, ta cú \(ô - #6) | +0 khi k + 00 Vay, k theo Định nghĩa 33.6 với mỗi s và A cho trước ta cú A(z) là tập hữu hạn với mọi
+1
Bổ đề sau chỉ ra tớnh chất cho một hàm ƒ' liờn tục Lipschitz thỡ tồn tại một lõn
cận của z* €? để A(z) bị chặn đều trờn lõn cận đú