Mục tiêu của đề tài Bài toán giá trị đầu trong lý thuyết phương trình vi phân và ứng dụng là nghiên cứu bài toán giá trị đầu của phương trình vi phân; trình bày phần lý thuyết về phương trình vi phân, phân loại phương trình vi phân và cách tìm nghiệm.
Trang 1
DAI HOC DA NANG
Trang 2
DAI HOC DA NANG
Trang 4
Lời đầu tiên của luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Lê Hải Trung đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình thực hiện để tác giả có thể hoàn thành được luận văn này
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy cô
giáo đã tận tình dạy bảo tác giả trong suốt thời gian học tập của khóa học Đồng thời, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị em trong
Trang 5
"Ngành: Toán Giải tích
Họ và tên học viên: HOÀNG THỊ PHƯƠNG
Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Hải Trung,
'Cơ sở đào tạo: Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng
‘Tom tắt:
* Những kết quả chính của luận văn: Sau một thời gian nghiên cứu, luận văn đã dạt được một số kết
qui sau:
~ Hệ thống lại các kiến thức cơ sở trong lí thuyết phương trình vi phân như: Phương trình Newton, Phân loại phương trình vi phân, Phương trình Ơ-tơ-nơm cấp một, nghiệm tường minh của phương trình vi phân, Phương trình định tính ~ Mô phỏng một số hiện tượng vật lí kĩ thuật dưới dạng phương trình vì phân hoặc hệ phương trình vì phân ~ Nghiên cứu về bài toán với trị đầu và ứng dụng
~ Chứng mỉnh chỉ tiết một số định lí cơ bản của lí thuyết phương trình vi phân như: Định lí về sự tồn tại
và duy nhất nghiệm, Định lí Pieard - Lindelðf, Mở rộng định lí Picard - Lindel6f, bat đẳng thức Gronwall
~ Nghiên cứu về bài toán nhiễu loạn chính quy, nghiên cứu về phương pháp Euler và định lí Peano trong
việc tìm nghiệm gần đúng của phương trình vi phân
* Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài: Đề tải có giá trị về mặt lý thuyết và ứng dụng Có thể sử
dụng luận văn làm tài liệu tham khảo đành cho sinh viên ngành Toán và những người khơng chun tốn
cần các kết quả của toán để ứng dụng cho các bài toán thực tiễn của minh,
* Hướng nghiên cứu tiếp theo của đề tài: Nghiên cứu về phương trình và hệ phương trình vi phân * Từ khóa: Phương trình vi phân, điều kiện đầu, hàm nhiều biến, khơng gian veetơ, hệ Ơ-tơ-nơm
Xác nhận của giáo viên hướng dẫn Người thực hiện đề tài
Mee4 ee poe —
Trang 6Name of thesis: Differential equations with boundary and it’s applications
Major: Mathematical Analysis
Full name of Master student: HOANG THI PHUONG Supervisors: TS, LE HAI TRUNG
‘Training institution: Faculty of Math, The University of Danang, University of Science and Education,
Abstract:
* The main results of the thesis: After a period of research, the thesis has achieved the following results: ~ Re-systemize the basic knowledge in the theory of differential equations such as: Newton Equations, Classification of differential equations, Firstorder Autonomous equations, explicit solutions of differential equations, Equations qualitative,
- Simulate some technical physical phenomenon in the form of differential equations or system of differential equations
= Research on problems with initial values and applications
~ Detailed proof of some basic theorems of the theory of differential equations such as: Theorem of existence and uniqueness of solutions, Picard-Lindel6f Theorems, Picard-Lindeléf Theorems extension, Griinwall’s inequality
- Research on regular perturbation problem, research on Euler method and Peano theorem in finding approximate solution of differential equations
* The scientific and practical significance of the topic: The topic is valuable in terms of theory and application The thesis can be used as a reference for math students and non-math professionals who need the results of math to apply to their practical problems,
* The next research direction of the topic: Research on equations and system of differential equations,
* Keywords: differential equ:
Autonomous system, 's, first conditions, multivariable functions, vector space,
Trang 7
CHƯƠNG 1 Kiến thức cơ sở
1.1 Phương trình Newton ¬———
1.2 Phân loại phương trình vi phân
1.3 Phương trình Ơ-tơ-nơm cấp một
1.4 Nghiệm tường mỉnh của phương trình vi phân
1.5 Phân tích định tính phương trình vi phân cấp một
1.6 Phân tích định tính các phương trình tuần hoàn cấp một
CHƯƠNG 2 Bài toán giá trị dau
2.1 Định lí điểm bất động
3.2 Sự tồn tại duy nhất nghiệm
2.3 Mở rộng định lí Picard - Lindel f
3.4 Sự phụ thuộc của nghiệm vào điều kiện ban đầu 3.5 Lí thuyết nhiễu loạn chính quy
Trang 8Ngày nay, Giải tích toán học đã có sự biến đổi mạnh mẽ và một nhánh quan trọng trong đó là Lý thuyết phương trình vỉ phân Ta có thể
nhận thấy Lý thuyết phương trình vi phân không ngừng được phát triển
và có mặt hầu hết trong các lĩnh vực như: kĩ thuật, vật lý, kinh tế, ta
có thể xét một vài ví dụ như mô hình tăng trưởng dân số trong điều kiện
lý tưởng,
V( =k.w(Ð — y(to) = C > 0,t € [to, +00],
ở đây y(t) duge xem nhu ham tang trưởng dân số, & là tỉ lệ tăng trưởng
dân số, hoặc một mô hình dao động cưỡng bức của lò xo khi một đầu được
đóng vào giá có định và đầu còn lại có treo một vật với khối lượng rn trong
Vật lý
) = —k-w() w(o)=h >0.t€ [ta.TỊ,
ở đây (1) được xem là hàm biểu diễn sự thay đổi của độ dài lò xo, k là độ
cứng của lò xo Thực tế cho thấy rằng, phương trình vi phân mà chúng ta
đã nghiên cứu có rất nhiều loại, mỗi loại có những cách giải và ứng dụng khác nhau Trong một số bài tốn, ngồi việc cho ở các dạng phương trình
vi phân thông thường, nó còn kèm theo một số điều kiện gọi là điều kiện
đầu, bài toán như vậy gọi là bài toán giá trị đầu của phương trình vi phân, và cả hai ví dụ nêu trên cũng đều là bài toán với giá trị đầu
Đa số các bài toán giá trị đầu của phương trình vi phân mô tả các hệ
thống được xét phụ thuộc thời gian và lờ toán phụ thuộc vào
điều kiện tại thời điểm ban đầu Ứng dụng bài toán giá trị đầu của phương
trình vi phân tương đối đa dạng và rộng rãi
Trang 9thuyết phương trình vi phân và ứng dụng”
2 Mục đích nghiên cứu
Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu bài toán giá trị đầu của phương trình
vi phân, Để đạt được mục tiêu trên đề tài sẽ nghiên cứu những nội dung
sau:
e Trình bày phần lý thuyết về phương trình vi phân, phân loại phương trình vi phân và cách tìm nghiệm
œ Bài toán giá trị đầu
© Nội dung của đề tài được dự định chia thành 2 chương:
Chương 1: Kiến thức cơ sở
Chương 2: Bài toán giá trị đầu
3 Đối tượng nghiên cứu
Bài toán giá trị đầu của phương trình vi phân
4 Phạm vi nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu trong phạm vi bài toán giá trị đầu trong các phương trình vi phân thường,
5 Phương pháp nghiên cứu
Thu thập các tài liệu sưu tầm được, các sách vở có liên quan đến đề
tài luận văn, tìm hiểu chúng và trình bày các kết quả về đề tài theo hiểu biết của mình ngắn gọn, theo hệ thống khoa học Trong luận văn có
sử dụng các kiến thức liên quan đến các lĩnh vực: Giải tích hàm một biến,
Giải tích hàm nhiều biến, Đại số tuyến tính, Giải tích phức, Lý thuyết
phương trình vi phân
Trang 106 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết và ứng dụng Có thể sử dụng luận văn làm tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành Toán và những người khơng chun tốn cần các kết quả của toán để ứng dụng cho các bài toán
thực tiễn của mình
7ï Cầu trúc luận văn
Trong luận văn này, chúng tôi đưa ra kiến thức cơ sở, từ đó nghiên cứu về bài toán giá trị đầu Nội dung luận văn được trình bày trong hai chương Ngoài ra, luận văn có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần
Mở đầu, phần Kết luận và Kiến nghị, Tài liệu tham khảo
Chương 1, trình bày về kiến thức cơ sở, bao gồm 6 mục: Mục L1, ; Mục 13, Mục 1⁄4, Nghiệm tường mỉnh của phương trình vi phân; Mục L5, Phân tích định tính các phương trình vi phân cấp một; Mục 1.6, Phân tích định tính phương trình tuần hoàn cấp một Phương trình Newton; Mục 1.2, Phân loại phương trình vi phâi Phương trình Ơ - tơ - nơm cấp mị
Trang 11KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1 Phương trình Newton
Trong lí thuyết cơ học cổ điển, một chất điểm được mô tả bởi một điểm trong không gian có vị trí được cho bởi hầm: z:R— R3, (1.1) Đạo hàm của hàm này theo biến thời gian là vận tốc của chất điểm và được xác định bởi v= RoR’ (1.2)
Đạo hàm của vận tốc, theo ý nghĩa cơ học, theo biến thời gian chính là
gia tốc của chất điểm và được xác định bởi:
a=u':R—R?, (1.3)
Xét chất điểm chuyển động trong một trường ngoại lực
F: RR, (14)
trong đó Ƒ(z) là lực tác dụng lên chất đi
m tại vị trí #, Theo định luật
II Newton, tại mỗi điểm x trong không gian, lực tác dụng lên chất điểm bằng tích của khối lượng và gia tốc, nghĩa là
mex" (t) = F(2(t)), Vt R† (1.5)
Như vậy, mối quan hệ giữa hàm z(f) và các đạo hàm của nó trong trường hợp này được gọi là Phương trình vi phân
Phương trình (1.5) là phương trình vi phân cấp hai Chính xác hơn, ta
có được một hệ phương trình vi phân vì cứ mỗi hướng tọa độ, ta có một phương trình tương ứng Trong trường hợp này, z là biến phụ thuộc, còn
Trang 1220 = o(0),0(0 = 2 Fat), (16)
đối với lực F đã cho, người ta muốn tìm nghiệm đó là các hàm x(t) thỏa
mãn (1.5), (1.6)
Để cụ thể hơn, ta xét chuyển động của một hòn đá rơi tự do Trong
vùng lân cận của bề mặt trái đất, lực hấp dẫn tác dụng lên hòn đá coi như không đổi và được cho bởi: 0 F(x) = —mg (:) (17) 0 me"(t) = —mg (0), 1 ở đây ø là hằng số dương (g © 9, 8m/s?)
Từ phương trình cuối ta có được hệ phương trình vỉ phân:
Tiến hành lấy tích phân hai lần theo ? phương trình đầu tiên trong (1.8), ta được: (18) x(t) = Cy + Cot trong đó C¡, C¿ là các hằng số
Tại £ = 0,C¡ = #¡(0),C¿ = 04(0), tương tự với hai phương trình còn
lại, ta thu được:
0
x(t) = 2(0) + ø(0)£ — g (0) Ẻ (19)
Do đó, toàn bộ trạng thái (trước và sau) của chất điểm được xác định duy nhất bằng cách xác định vị trí ban đầu z(0) và vận tốc ban đầu ø(0)
Trang 13khi đó ta thu được một hệ phương trình vi phân: me! = ———„ 2A 1= “nen mh = — eat, au) amr, (Œi2+z¿2+z¿2)3/2+ mat =
1.2 Phân loại phương trình vi phân
Cho U C R™,V CR" vak € N C*(U,V) 1a tap hợp các hàm U > V c6 dao ham lién tuc dén cAp È Ta kí hiệu: €(U,V) = CU, V) Œ*®(U,V) = { Œ!(U.V) ken Một phương trình vi phân thường có dạng: F(t,2,2, ,.2) =0 (1.12) trong dé x € C*(J), J CR va: dic(t) 0() - C2 2%(t) = GEN (1.13)
Fe C(U), U 1a mot tập hợp mở, U C R*†*, f là biến độc lập, z là biến phụ thuộc Đạo hàm cao nhất của z xuất hiện trong Ƒ được gọi là cấp
của phương trình vi phân
Với I C J là một khoảng, nghiệm của (1.12) là hàm ó € C*(1) sao cho:
F(t, 9(t), 6 (t), 6 (t)) = 0, vt € 1 (114)
Đa số các phương trình có dạng (1.12) là rất khó giải quyết (hoặc không, giải được) Do đó, giả sử Ƒ là có thể giải được đối với đạo hàm cấp cao nhất của z, khi đó phương trình (1.12) trở thành phương trình vi phân có
dang:
2) = f(t,a,a, ,a0), (115)
Trang 14của diém (t,y) € U néu dao ham riéng cp cao nhat 18 F(t, y) # 0 Day
là dạng phương trình vi phân mà ta sẽ xét từ bây giờ trở về sau Cho +:1R — R" Khi đó, hệ phương trình vi phân thông thường có dạng, 2 = fi(t,r,2, , 26), (1.16) "` = fa(t,+,z0), rÉ—Đ), Hệ phương trình vi phân tuyến tính có dạng i8 = gi) + 32 fj(93) (1.17)
Hệ (1.17) được gọi là hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
nếu g¡(£) = 0 Hơn nữa bắt kì hệ nào cũng có thể đưa về hệ cấp một bằng
cách thay đổi tập hợp biến phụ thuộc Nếu đặt = (z,#(), z(®=Ð) thì
Trang 15liên Tew"
Dat Ƒ(z) = J,, 7ấy, nghiệm của (1.20) phai thoa man F(x(t)) = 0 Do
đó, ta thu được nghiệm d 90) = F~'(),ð(0) = F—!(0) = zụ (122) trong dé F~4(t) 18 nh xa nghich dio cia F(t) nhất:
Bây giờ ta xem xét khoảng thời gian tối đa trong đó ở được xác định như ở (1.22), Nếu ƒ(zạ) > 0 ( tượng tự với ƒ(o) < 0) thì ƒ dương trong khoảng (z¡, z2) xung quanh zọ bởi tính liên tục Ta định nghĩa:
T, = lim F(z) € (0,S], sie = Jim F(x) € [-00,0) an (123) Khi 46 9 € C1(T_,T,) va
lim o(t)=22, Hmó()=zi (1.24)
Trong trường hợp đặc biệt, ở được xác định với mọi t > 0 khi va chi khi: ® dụ T *` J„ 70) có nghĩa là, nếu 75 không tích " gần z¿ Tương tự, ó được xác định = +00, (1.25)
với mọi < 0 khi và chỉ khi y không tich hgp gan 2)
Nếu 7; < % thì có hai trường hợp: Hoặc #¿ = % hoặc #a < % Trong
trường hợp thứ nhất, nghiệm ở phân kì đến +oe và không có cách nào
để mở rộng nó ra ngoài 7, một cách liên tục Trong trường hợp thứ hai,
nghiệm ó đạt đến điểm z; tại thời điểm 7, và chúng ta có thể mở rộng như sau: Nếu ƒ(z›) > 0 thì zs không được chọn tối đa và chúng ta có thể tăng nó cung cấp phần mở rộng cần thiết Trái lại, nếu ƒ(z;) = 0, chúng,
với f > 7, Tuy nhiên,
trong trường hợp sau, đây có thể không phải là phần mở rộng duy nhất
ta có thể mở rộng ó bằng cách thiết lập A(t
Trang 16
Ví du 1.3.1 Néu f(x) = 2,9 > 0, ta có (21,22) = (0,00) va
F(x) = log(~) 0 (1.26) Tit d6 Ty = too va
o(t) = sục" (1.27)
Do đó, nghiệm này được xác dinh véi moi t € R Chi ¥ ring day 1a mot nghiệm với mọi zụ € R Ví dụ 1.3.2 Cho f(x) = 22,29 > 0 Ta có (#i,#;) = (0,00) và (1.28) (1.29) Figure L1:
Đặc biệt, nghiệm này không còn xác định với moi t € R Hon nita, do
limz/z„Ó(f) = %, nên không có cách nào để mở rộng nghiệm này với
t>T,
Bây giờ ta xem xét sự đặc biệt các nghiệm của ƒ(z)? Rõ ràng, nếu
f(xo) = 0, ta có nghiệm tầm t hường
9(t) = x0, (1.30)
với điều kiện ban đầu z(0) = zụ Nếu ta có
Trang 17thì ta có được nghiệm khác của phương trình đã cho là £l)=#ˆ\0, F@)= [ 4/0), (1.32) với ¿(0) = zọ khác với ó(?) ° Ví du 1.3.3 Xét f(x) = Vf], 20 > 0, (21,2) = (0, 00), F(x) = (Vz — Va) (1.33) #() = (V#6+ g)” ~2V#o<t< œ (1.34) Vì vậy, với zø = 0 có một số nghiệm có thể thu được bằng cách kết hợp
nghiệm tầm thường với các nghiệm ở trên như sau: - ee? t < to, A(t) = { 0,t9 <t<h, (1.35) SƯ n<t Nghiém 6 véi to = 0 va t) = 1 được mô tả dưới đây: a) Figure 1.2:
Từ các ví dụ nêu trên ta có kết luận:
© Cac nghiệm có thể tồn tại địa phương trong miền xác định đối với
biến f, ngay cả khi ƒ là một hàm số đẹp
© Cac nghiệm có thể không duy nhất
Chú ý: Có một cách khác để giải phương trình vi phân ban đầu bằng phương pháp tách biến:
Trang 18
1.4 Nghiệm tường minh của phương trình vi phan
Chúng ta đã thấy trong phần trước, một số phương trình vi phân có thể được giải quyết một cách rõ ràng Thật không may, không có công thức
chung để giải phương trình vi phân Hơn nữa, việc tìm nghiệm tường minh gần như là không thể, trừ trường hợp phương trình đang xét có dạng cụ
thể nào đấy Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét một số lớp của phương,
trình cấp một có thể giải được rõ ràng
Ý tưởng chung là tìm một sự thay đối phù hợp của các biến để biến đổi
phương trình đã cho thành một dạng có thể giải được Trong nhiều trường
hợp phương trình có thể giải được sẽ là:
A Phương trình tuyến tính
Nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất
a =a(t)r (1.37)
được cho bởi:
O(t) = 2A(t,to), A(,s)= exp [alsa (138)
và nghiệm của phương trình không thuần nhất tưởng ứng;
+ =a(Ð+# +g(), (1.39)
được cho bởi
ó(1) = #oA(t,fa) + “Alt, tạ).A“(t, s)g(s)ds (140)
to
Tiếp theo chúng ta chuyển sang bài toán biến đổi phương trình vi phân
Trang 19bảo toàn biến đổi s=o(t), y=n(t,2), (1.43) (t = const, s = const) Biéu thị biến đổi nghịch đảo bởi t=r(s), 2 =€(s,y), (144) một ứng dụng đơn giản của quy tắc chuỗi cho thấy ó(£) thỏa mãn: a’ = f(t,x) (1.45) khi và chỉ khi U(s) = n(r(s),6(r(s))) thda man v=, 8) + 0n (z,9ƒ6)), (146)
trong đó 7 = 7(s) và € = €(s,y) Tương tự như vậy, chúng ta có thể tìm
ra công thức cho các phương trình có cấp cao hơn Tuy nhiên, những công
thức này thường giúp ích rất ít cho tính toán thực tế và tốt hơn hết là sử
dụng kí hiệu đơn giản hơn:
dụ — du(((s).z((3)) _ Øydt , Ayde dt ds ds Otds Ox dt ds Bây giờ chúng ta hãy nhìn xem biến đổi như thế nào để (147) phương trình vi phân Phương trình thuần nhất Một phương trình vi phân (phi tuyến) được gọi là thuần nhất nếu nó có dang: (148)
Đặt = ƒ, († # 0), từ (1.47) biến phương trình của chúng ta thành
Trang 20Tổng quát hơn, xét phương trình vi phân =), (1.50) Co hai triténg hgp xay ra, Néu a3 —ab = 0, phwong trinh vi phan 6 dang ax! = f(ax + bt), (1.51) dat y = ax + bt thi (1.51) bién déi thành: y' =afly) +b (1.52)
Néu a8 — ab 4 0, ching ta 06 thé sit dung y = x — a va s = t — to bién
đổi (1.50) thành phương trình thuần nhất
„_— ¿yaW + bs
y = Sys Bs) (1.53)
trong 46 (9, to) 1A nghiém duy nhat cia hé ax+by+e = 0, ax+y+7 = 0
C Phuong trinh Bernoulli
Phương trình vi phân Bernoulli là phương trình có dang: a = ƒ(£+g(+", n#0,1 (154) Dặt y=a", (1.55) từ phương trình (1.54) đưa về phương trình tuyến tính: =(1—n)ƒ()y+ (L— n)g(0) (1.56)
(Chú ý: Nếu n — 0 hoặc n = 1 thi phuong trinh hién nhien 1A tuyén tinh
Trang 21từ phương trình (1.57) đưa về phương trình tuyến tính
= ~(f(Đ + 2z;()ø(Ð — g(0))- (159) Đây chỉ là một vài trong số các phương trình quan trọng nhất có thể được giải quyết một cách khéo léo bằng cách sử dụng một số biến đổi
thơng mỉnh
Ngồi ra chúng ta có thể sử dụng một phần mềm toán học, ví dụ như là Mathematica để giải phương trình vi phân.Tiến hành xem xét phương trình sau đây a’ = sin(t)z (1.60) Khi đó trong phần mềm Mathematica ta sử dụng các lệnh sau: Tn[1] := DSoloe|z'[t) t)9inft] z1), t] Out[1] = z[f| > e "CL
GO day hằng số C{1] được giới thiệu bởi Mat hematica có thể được chọn tùy
ý (ví dụ: để đáp ứng điều kiện ban đầu) Chúng ta cũng có thể giải bài toán giá trị ban đầu bằng cách sử dụng,
In] := DSolvelx’{t] == x{t]Sin{t), x[0] == 1, 2{¢),
Out{2) = a[t] + eles!)
và vẽ đồ thị của nó bằng cách sử dụng:
1n[3) := plot|z{t/.%, t, 0, 2z] Out[3] =
Trang 221.5 Phân tích định tính phương trình vi phân cấp mot
Như đã lưu ý trong phần trước, chỉ có rất ít phương trình vi phân
thường được giải quyết một cách tường mỉnh (có phương pháp cụ thể
giải quyết) May mắn thay, trong một vài tình huống, một giải pháp là không cần thiết và chỉ một số khía cạnh định tính của giải pháp được quan
tâm Ví dụ, nó có ở trong một khu vực nhất định không, nó trông như thế
nào, nó sẽ trông như thế nào với t lớn hơn, vv
Hơn nữa, ngay cả khi trong tình huống có thể có được một giải pháp
rõ ràng, một phân tích định tính có thể cung cấp một cái nhìn tổng quan hơn là công thức của một giải pháp Để cụ thể hơn, chúng ta hãy nhìn vào
bài toán giá trị đầu Ơ-tơ-nơm cấp một:
#=ƒ(œ), +(U)=zo (1.61)
trong đó, f € C(R) sao cho nghiém là duy nhất (ví dụ f € C'(R))
Phuong phap gi
cho một hàm ƒ tùy ý nào đó, chúng ta hoàn toàn thất bại khi tính tích
phan F(x) = ƒ„, gếy hoặc khi giải F(z(1)) = † Mặt khác, để có một hiểu Fw
biết định tính về một giải pháp có công thức rõ ràng là không cần thiết
i bài toán này đã được đề cập trong mục 1.3 Tuy nhiên,
Ví dụ 1.5.1 Xét mô hình tăng trưởng Logistic
z() = (L— z()#() — h, (1.62)
Phương trình (1.62) có thể giải được bằng cách tách biến Để có một
cách nhìn tổng quan, đặt tương ứng về phải của (1.62) ƒ(z) = (1—z)z—h Vì dấu của /(z) cho chúng ta biết nghiệm sẽ di chuyển theo hướng nào, việc chúng ta là thảo luận về dấu của ƒ(z)
Xét các trường hợp của ƒ(z) :
Với 0< h < ‡ có hai nghiệm xy 2 = $(1+ V1 — 4h) Néu ching ta bat
đầu với những nghiệm này thì gi
pháp thỏa mãn với mọi / Nếu chúng
Trang 23
đầu trên zs thì giải pháp sẽ giảm và lai hội tụ đến x2
Với h = } thì hai nghiệm trùng nhau z¡ = #¿ nhưng các phân tích trên vẫn được áp dụng,
Với h > } thi khong có nghiệm nào và tất cả các giải pháp giảm và hội
tụ đến —œ
Vì vậy chúng ta có một bức tranh hoàn chỉnh chỉ bằng cách xét dấu của ƒ(z)! Hơn nữa, chúng ta có kết quả sau
Bồ đề 1.5.2 Xét bài toán giá trị đầu Ơ-!ơ-nơm cấp một (1.61), trong đó
ƒ €C(R) sao cho phương trình có nghiệm du nhất 1) Néu f(x) =0, thi x(t) = ao vdi moi t
2) Néu f(a) £0, thi x(t) hoi tu dén nghiém thit nhét bên trái (ƒ(œu) <
0) twang wing ben phai (f (xo) > 0) ctia xo Néu khong 06 nghiệm thì
nghiệm hội tụ đến —oe lương ứng ©
Nếu phương trình vi phân của chúng ta không phải là Ơ-tơ-nơm, như
một ví dụ mẫu, xét phương trình vi phân:
var (1.63)
Đây là phương trình dang Riccati và theo như phần trước thì nó không thể được giải quyết cho đến khi một nghiệm cụ thể được tìm ra
Vì vậy chúng ta hãy cố gắng phân tích phương trình này mà không
biết giải pháp Trước hết phải đảm bảo rằng các giải pháp tồn tại Vì
chúng ta sẽ tìm hiểu một cách tổng quát hơn trong chương tiếp theo, nếu f(t.) e C!(R?,R), thì với mỗi (fạ, zụ) € RỀ, tồn tại duy nhất một nghiệm của bài toán giá trị đầu
+ = f(t,x),x(to) = 0, (1.64)
được định nghĩa trong một vùng lân cận của fọ (Định lí 3.3) Như chúng
ta đã biết, các nghiệm không tồn tại với mọi mặc dù phương trình vi
phân được định nghĩa vị
Trang 24Một hàm vi phân x,(t) thoa man #+2(Ð > f(t,#+(Ð), — †€ |[ho,T), (165) được gọi là nghiệm trên của phương trình Tương tự, một hàm vi phân #- (F) thỏa mãn: t)<f(t,v_(t)), t€ [to,T), (1.66) được gọi là nghiệm dưới
Ví dụ 1.5.3 z;(£) = † là một nghiệm trên và z_ (£) = —t là một nghiệm
dưới của phương trình (1.63) với mọi £ > 0
Bồ đề 1.5.4 Cho z,(f),z—(E) lần lượt là nghiệm trên, nghiệm dưới của
phương trình ơi phân œ' = ƒ(t.#) trên [to.T) Khi đó với mỗi nghiêm #(Ê) trên [lạ,T) ta có
+)<z+(Ð, t€(fo,T), — z(lo) < r+ (to), (1.67)
tương tự
+.()<z(Ð — t+€(føT), — z(e)>z-(hì (168) Chitng minh Xét A(t) = x(t) — a(t) Khi đó ta có:
Alto) = r+(to) — x(t) 2 0, A(t) > 0 Tóm lại, chúng ta đã chỉ ra được những điều sau:
® Có duy nhất một nghiệm zg(£) hội tụ đến đường thẳng z = f
e Tắt cả các nghiệm trên zg(f) cuối cùng sẽ hội tụ đến +oc trong thời gian hữu hạn
e Tất cả các nghiệm dưới zo() hội tụ đến đường thẳng # — —f
Rõ ràng là những cân nhắc tương tự có thể áp dụng cho bất kì phương
trình cấp một #' = ƒ(f,) và người ta có thể thu được một bức tranh
khá hoàn chỉnh về các giải pháp Tuy nhiên, lí do quan trọng mà chúng ta
Trang 25nhiều chiều hơn Trong R?, mot dudng cong chia khong gian của chúng ta
thành 2 phần: một bên trên và một bên dưới đường cong Cách duy nhất để đi từ vùng này qua vùng khác là vượt qua đường cong Trong không gian nhiều hơn hai chiều thì điều này không còn đúng nữa và điều này cho
phép các giải pháp phức tạp hơn Trong thực tế, các phương trình trong
không gian ba chiều (hoặc nhiều hơn) sẽ thường không thể nào mô tả các giải pháp một cách đơn giản Hàm ƒ được gọi là Lipschitz liên tục địa phương trong đối số thứ hai, đều với đối số thứ nhất, nếu: t= mp đÉ:#2)~f69)| (tz)#(tu)€V' lr—ø| (1.69) là hữu hạn với mọi tập V compact chifa trong miền của ƒ Bây giờ chú ý rằng nó sẽ cố định nếu ƒ có đạo hàm riêng liên tục tại z bởi định lí giá trị trung bình
Định lí 1.5.5 Giả sử ƒ là Lipschitz lién tục địa phương uới biến z thống nhất trong t Cho x(t) va y(t) là hai hàm vì phân sao cho
+(o) < 0(to),z'(1) = f(t.z(Ð) < y'(t) — f(t,y(t)),t € [fa.T) (170)
Khi đó ta có x(t) < y(t) với mỗi t € |to,T) Hơn nữa, nếu x(t) < y(t) với một vài † thì điều này tẫn đúng
Chứng mình Chứng mình bằng phản chứng Giả sử điều ngược lại Sau đó chúng ta tìm một vai gid tri t; sao cho x(t) = y(t) va a(t) > y(t) voi
moi t € (t1,t; + ¢) Dat A(t) = #(1) — w() và chú ý:
A0) =z(9 =0) < ft.z0)) — F(t, y(t) < LA), t € [ati +2), trong đó bất đẳng thức thứ nhất theo sau giả định và bất đẳng thức thứ
hai là từ (1.69) Nhưng điều này có nghĩa là hàm Ã(£) = A(f)e” thỏa
man A(t) < 0 và do đó A(t) < A(t:) = 0, 06 nghia 1a, a(t) < y(t) voi
t € [to, 7) mau thudn véi gia định
Vi vay, phan dau tien la ding, Dé chi ra phan thit hai, tap A(t) = y(t) —2(t) không âm bởi phần thứ nhất Sau đó, như ở trường hợp trước,
Ã() > 0 trong đó Ã() = A(t)e"t
Trang 26Trước hết, nếu z() và y(£) là hai nghi@m vi x(to) < y(to), thi a(t) <
y(t) vdi mọi t > to Đặc biệt, trong trường hợp x(t) = y(to) thi didu này
cho thấy tính duy nhất của giải pháp: x(t) = y(t)
Thứ hai, chúng ta có thể mở rộng khái niệm của nghiệm trên bằng cách chỉyêu cầu #+(f) > ƒ(,#+(f)) Sau đó, #+(fo) > #(fa), ngụ ý #+(£) > #(f) với mọi > fạ và nếu nếu bất đẳng thức nghiêm ngặt trở nên đúng tại
một vài thời điểm thì nó vẫn đúng tại tất cả thời điểm sau đó
1.6 Phân tích định tính các phương trình tuần hoàn cấp một
Xét mô hình tăng trưởng Logistic theo biến thời gian:
#'() = (L— #())#(f) — h(1 — sin(2at)), (171)
trong d6, h > 0 là một hằng số dương Trong thực tế, chúng ta có thể
thay thế 1 — sin(27t) bởi bất kì hàm tuần hồn khơng âm g(t) và phân
tích dưới đây vẫn sẽ không thay đổi
Dường như mọi nghiệm bắt đầu ở trên giá trị z¡ đều hội tụ đến giải pháp tuần hoàn bắt đầu từ một vài giá trị khác z; > z¡, trong khi các giải pháp bắt đầu dưới z¡ phân kì tới =%
Ý tưởng chính là xem xét số phận của giá trị ban đầu x bat ki sau một chu kì Chính xác hơn, đặt giải pháp bắt đầu từ điểm z tại t = 018 ó(, #) Sau đó ta có thể giới thiệu ánh xạ Poincaré thông qua:
P(2) = (1,2) (1.72)
Bằng cách xây dựng, một điều kiện ban đầu zọ sẽ tương ứng với một giải
pháp tuần hoàn khi và chỉ khi zọ là điểm bất động của ánh xạ Poincaré,
P(xo) — zo Trong thực tế, điều này xuất phát từ tính duy nhất nghiệm
của bài toán giá trị đầu, vì ó(f + 1,z) lại thỏa mãn #“ = ƒ(f,z) nếu
f(t+1,x) = f(t,2) Vì vậy, ô(f+1,zo) = ó(t, #u) khi và chỉ khi đẳng thức
không đổi tại thời gian ban đầu ý = 0, nghĩa là, (1, zụ) = 4(0, 20) = 20
Chúng ta bắt đầu bằng cách tính đạo hàm của P(z) như sau Tập
Trang 27va vi phan: o'(t,2) = (1 — ð(t,#))ó(t,#) — h(1 — sin(21)), (174) đối với z (chứng mỉnh trong định lí 2.10) Sau đó ta thu được: (t,x) = (1 — 20(t, x))O(t, x), (1.75)
va gid sit (t,x) đã được biết đến, chúng ta có thể sử dụng (1.38) để viết ra nghiệm của phương trình (175)
0(t,z) = sua — 24(s,2))ds) (1.76) Thay t=1 vao (1.76) ta thu duge: 1
P'(2) = (1,2) = exe( [ (1 = 26(s,2))ds) 0 (1.77)
Mặc dù có vẻ công thức này giúp ích rất ít vì chúng ta không biết được
ó(f,#), nhưng ít nhất nó cho chúng ta biét ring P’(x) > 0, có nghĩa là,
P(x) 1a tang ngat
Hon nữa, vi phan biểu thức (1.77) một lần nữa, ta thu được:
P(x) = -2( f'0(s.2)45)P"@) <0, (178)
do A(t,2) > 0 bởi (176) Do d6 Plo) là lõm và có nhiều nhất hai giao điểm với đường z Nói cách khác là có hai nghiệm tuần hoàn Dễ thấy các
trường hợp có thể xảy ra, ta sẽ xét sự phụ thuộc đối với tham số h Nó
Trang 28Hơn nữa, với h = Ú ta có:
Pa(x) = 1+(e-1)2’ ex
va c6 hai diém bat dong x; = 0 va x2 = 1 Khi h tang thi nhiing diém nay (1.83)
tiếp xúc nhau và va chạm tại giá tri gidi han h, Trên những giá trị này thì không có nghiệm tuần hoàn và tắt cả quỹ đạo đều hội tụ đến —oo do P(z) < 0 với mọi z € R Để hoàn thành lập luận của chúng ta, giả sử h < h, và zạ < #; là hai điểm bắt động của P(z) Xác định các lần lặp của P(z) bởi P°(z) = # và P"(x) = P(P"~\(z)) Ta thủ được 12,0 > 2, lim P"(ø) = 2,252, (1.84) noe —Ằ®,#7 < Tị
Vi du, cho x € (21,22) Sau d6, vi P(x) la taing nghiém ngặt ta có
P(x) < P(x) < P(x) = 22 Hon nita, vi P(x) lõm nên ta có z < P(#),
từ đó cho thấy P"(z) là một dãy tăng nghiêm ngặt Cho xp € (x, 9] 1A giới hạn của đãy, thì P(zạ) = P(lim„ „„ P"(2)) = lim„ ¿+ P"*(z) = zụ
Trang 29CHUGNG 2
BAI TOAN GIA TRI DAU
2.1 Định lí điểm bat động
Cho X là một không gian vector thực Một chuẩn trên X là một ánh xạ ||.||: X —> [0,5e) thỏa mãn các mệnh đề sau
@ ll0|| = 0.|lz|| > 0 với z € X \ {0}
(i) llezll= lalllz|| với a € R và z € X
(ii) | + ø|l < lz|| + llu|| với z, € X (bất đẳng thức tam giác), Từ bất đẳng thức tam giác ta cũng có bất đẳng thức tam giác đảo
III/II ~ llølll < ILF = gll- (21) Cặp (X, ||.||) được gọi là một không gian tuyến tính định chuẩn Cho
một không gian vector chuẩn X, ta nói một dãy vector ƒ„ hội tụ đến vector
ƒ khi và chỉkhi lim ||/, = ƒ|| = 0 Kí hiệu , => ƒ hoặc lim f, = ƒ Hơn
nita, cho X,Y là hài không gian tuyến tính định chuẩn, ánh xaF:X9Y được gọi là liên tục nếu ƒ„ —> ƒ thì F(ƒ„) —> F(ƒ) Phép cộng các vector, phếp nhân vô hướng vector với một số là liên tục
Ngoài khái niệm hội tụ, ta còn có khái niệm về một dãy Cauchy và do
đó ta có khái niệm về tính chất đầy đủ: Một không gian định chuẩn được gọi là đầy đủ (hoặc đơn giản gọi là đầy) nếu mỗi dãy Cauchy đều có giới
hạn Một không gian định chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach
Ví dụ 2.1.1 Rõ ràng JR" (hoặc C") là một không gian Banach với chuẩn Euclide thong thường;
Trang 30Goi / 18 mot khoding compact va xét cdc ham lién tue C(I) tren khoding đó Chúng tạo thành một không gian vector nếu các phép toán cộng và phép toán nhân được xác định Hơn nữa, C(1) trở thành một không gian định chuẩn nếu ta định nghĩa
llz|l = sup|z()| tel (23) Một dãy z„(0) hội tụ đến z(/) khi và chỉ khi
Jim |len — 2] = lim sup |z„(#) — z(9| = 0 (2.4)
Có nghĩa là trong ngôn ngữ của giải tích thực, z„ hội tụ đều đến z Bây giờ xét trường hợp z„ chỉ là một dãy Cauchy, thì z„(£) rõ ràng là một dãy Cauchy của số thực bất kì t € I Dặc biệt, do IR có tính đầy đủ, za(1) có
giới hạn đến z(f) với mọi f Vì vậy, ta có hàm giới hạn z(1) Hơn nữa, cho im —> oo trong: |an(t) — am(t)| < ¢,Vn,m > N.,t € 1, (2.5) ta thay a(t) — #(Đ| < £,Yn > N2, € 1, (2.6)
có nghĩa là, z„(£) hội tụ đều đến z(/) Tuy nhiên, ta không biết được là nó có nằm trong không gian vector C(I) hay khong? Cho t € I va
e >0 Để chỉ ra z liên tục thì ta cần tìm ra một ổ sao cho |t — s| <6 thi
|x(t) — #(s)| < e Chọn n sao cho ||z„ — z|| < ¢/3 vad sao cho |t—s| <6
thì |#„(f) — x,(s)| < e/3 Khi đó, |f — s| < ổ suy ra:
Iz()~z(s)| < |rf)~z,0)|+lza(f)—zs(s)Erlza(s)~z(3)| < š+3+5
Do d6, x(t) € C(I) và do đó mỗi dãy Cauchy trong C(T) hội tụ Hoặc nói
Trang 31C là một tập con khác rỗng đóng trong X và cho K : Ở > C là co được, khi đó K có duy nhất một điểm bắt động # € Œ sao cho: IIK"œ) —#||< TgllK&) —z|| vec (28) Chứng mình Chứng mình duy nhất: Giả sử K(#) = # và K(ẽ) = #, khi đó ta có ll - #||= |I£Œ@) K@)|| < Ø||z - #|| suy ra # là điểm cố định duy nhất Chứng minh đẳng thức Cho ap € C va xét day x, = K"(zụ) Ta có |lru+i — nl] = ]"*"(x0) — K(x0)|| = || K(K"(x0)) — KK" (20))I|
= ||K (an) — K(an-1)|| < 4]lan — tn-a]]-
Tương tự như vậy ta có:
|lzs+: — #a|| < 6|lzs — za—3|| < - € # li — ze||,
và áp dụng bất đẳng thức tam giác (với n > m) i nem
Ulan —amll $ SO [ley — yall <0" $2 #lln — all — „x1 — 00<m = gm = "lla — oll $ = Do dé 2p 1a day Cauchy va hdi tụ tới # Hơn nữa ler —aoll- (2.9) ||K(@) — 2|| = im ||z„+i — nl] = 0 chỉ ra rằng # là một điểm bất động và biểu thức (2.8) được suy ra từ (2.9) khi cho ø —> %
2.2 Sự tồn tại duy nhất nghiệm
Bây giờ sử dụng kết quả của phần trước để chỉ ra sự tồn tại và duy nhất của nghiệm cho bài toán giá trị đầu ([VP) sau đây
+ = ƒ(t,*), #(fo) =zo (2.10)
Gia sit f € C(U,R"), trong 6 U là một tập con mở của R"*! và
Trang 32Trước hết, lấy tích phân cả hai về đối với f, ta thấy rằng phương trình
(2.10) tương đương với phương trình tích phân sau:
t
a(t) = n+ f(s,2(s))ds to (11)
Dé ¥ ring xo(t) = xo 1a mot nghiém gan ding tai it nhat gia tri t nao
đó Thay 2o(t) vao phương trình tích phân, ta thu được một nghiệm gần đúng khác t x(t) = 29 +f ƒ(s, zo(s))ds (2.12) to Lap lai quá trình này ta thu được một chuỗi các nghiệm xấp xỉ: I(t) = K"(w)(1) K(2)(t) = 29+ J "`" Ấp dụng nguyên tắc co từ bài trước vào phương trình điểm cố định a K(z) chính xác là phương trình vi phân (2.11)
Dat to = 0 dé don giản hóa công thức và chỉ xét trường hợp fo > 0
Đầu tiên, chúng ta cần một không gian Banach Chọn X = C([0,7], R")
với một số 7> (0 phù hợp Hơn nữa, ta cần một tập con đóng ŒC X
sao cho K : Œ —> C Chúng ta sẽ thử một quả cầu đóng bán kính ở xung quanh hàm hằng zụ Vì Ứ là tập mở và (0,zg) € U ta có thể chọn V = [0,7] x B,(ạ) 2 U, trong đó Bg(ao) = {a € R"||x — zo| < ở}, và viết tắt: AM = max |/(:3)|, (3.14) trong đó maximum tồn tại do tính liên tục của ƒ và tính compaet của V Khi đó
|K(a)(t) — ao] < fisatonias <tM, (2.15)
Trang 33
Trong trường hợp dac biet M = 0 thi ÿ = 00 sao cho Ty = min{T, oo} =
T Hon nita, cha ¥ ring vi [0,7] C [0,7], hing s6 M cing sé rang bude
|f| tren Vo = [0.7] x Bs(eo) C V
Vì vậy, nếu ta chọn X = C([0, fo], R") 1 khong gian Banach, véi chuẩn llzll= may |z(0)|, và Ở = {z € X| llz = zu|| < ổ} là một tập con đóng, thì K : Ở —> Ở là co được
Để chỉ ra điều này, chúng ta cần ước lượng
|K(z)() = K(w)()| < JUe.se) ~ ƒ(s:w(s))|ds (2.17) Rõ ràng, vi f liên tục, ta biết rằng |ƒ(s, z(s)) — ƒ(s,(s))| là nhỏ nếu
|z(s) — g(s)| nhỏ Tuy nhiên, điều này là chưa đủ để ước lượng tích phân
ở phía trên Chúng ta cần một điều kiện mạnh hơn: Gia sit f 1a Lipschitz
liên tục địa phương trong đối số t hứ hai, đều với đối số thứ nhất, có nghĩa
1a véi mdi tap compact Vo C U thi J/Œ.z) - fứ:9)| re caste eal (2.18) là hữu hạn Khi đó JUe.ze) — ƒ(s.w(s))|ds < L , |x(s) — y(s)|ds < Lt sup |2(s) — (s)|, 0<x<t (2.19) với điều kiện là đồ thị của cả z(f) và (2) nằm trong Vo Nói cách khác |I(z) = K(w)|| < ⁄ñ||r — v|| z.ueC (220)
Hơn nữa, chon Ty < L~! ta thay là co được và tồn tại một nghiệm duy nhất theo nguyên tắc co như sau:
Định lí 2.2.1 (Picard - Lindelj) Giả sử ƒ € C(U,R"), trong đó U là
một lập con mở của ]R"*}, va (fg,#u) € U Nếu ƒ là Lipsehils liên tục địa
phương trong đối số thứ hai, đều sới đối số thứ nhất, thì lồn tại duy nhất một nghiệm địa phương x(t) € C(I) của IVP (2.10), trong đó I là một lân cận tạ
Cụ thể hơn, nếu V = [tạ.tạ+T] x Bs(xo) C U và M là giá trị lớn nhất
Trang 34trong Bs(xo), trong d6 Ty = min{T, Äÿ} Két quả giữ tương tự cho khoảng
[to — T, to]
Bỗ đề 2.2.2 Giá sử ƒ € CF(U,R"),k > 1, trong đó U là tập con mở của R1, nà (tạ, zụ) € U Khi đó nghiệm địa phương # của IVP (2.10) là
CMD),
2.38 Mở rộng định li Picard - Lindel f
Trong phân này, la mở rộng thêm định li Picard - Lindelof Dé chudn
bị, ta cần một sự khái quát hóa của nguyên tắc co Trong thực tế, nhìn vao
chứng mình của nó, quan sát rằng chúng ta có thể thay 6" bdi bat kì chuỗi đụ
Dinh li 2.3.1 (Weissinger) Cho X la mét khong gian Banach, C la mot tập con đóng khác rỗng trong X Giả sử K : Ở —> Ở thỏa mãn:
|IK*(+) — K*(w)|| < ®a||z— 9||, ty eC, (2.21) vdi 3) 8, < seo Khi đó K có duy nhất một điểm bắt động # sao cho:
nat °°
IIK"(e) = #l| < $29/)|IK(z) —
j=n | rec (2.22)
Mục tiêu đầu liên của chúng ta là đưa ra một số giá trị cụ thể cho sự
tồn lại thời gian Tụ Sử dụng định lí IWeissinger thay tì nguyên lí co ánh
xa, ta có thể loại trừ trường hợp Tụ < L~}:
Định lí 2.3.2 (hoàn thiện, cải tiến Picard - Lindelƒ) Giả sử ƒ € C(U,R"), trong đó U là một lập con mở trong R"*!, oà nếu ƒ là Lipsehils liên lục địa phương trong đối số thứ hai Chọn (fo,zg) € U va 6,T > 0 sao cho
Trang 35Giả sử in Ln) = [ L(t)dt < s (2.26) Khi đó nghiệm địa phương duy nhất #(t) của phương trình IVP (2.10) được cho bi: #= lim K”(zg) € Ca, tạ + Tà], Ba(0ạ)), (2.27)
trong a6 K™(z) dude dinh nghia ở (213), va théa man :
` < AED” tar JA ,
Chứng mình Chọn tạ — 0 để đơn giản hóa công thức Mục tiêu của chúng ta là xác mình các giả định của Định lí 24 chọn X = C(|0,7i},R") với
ẩn ||z|| = và ={x a ro|| < 5}
chuẩn |Jz|| = max |2(0)| va C = {x € X| lle ~ aol] < 9}
Đầu tiên, nếu z € Ở ta có:
|K(z)() — zo|< ƒ |/(s.z(s))|ds < MŒ) <ð +€[0.7¡],
có nghĩa la, K(x) € C Đặc biệt, điều này giải thích sự lựa chọn Tp
Trang 36Do đó Ấ thỏa mãn điều kiện của Dịnh lí 24 mà cuối cùng ta có được: ~ j gh sup Jz@)= K”(n)(0)|< S220) * J/( 0) 0<t<T, lọ Chú ý rằng nếu ta đặt: M= sụp — |/Œ#) (2.30) (tz)€|lo.T]x Ba(zo) ta có thé chon T = min(T, 3 (2.31)
Nếu ƒ(f,z) được xác định với mọi z € R" và ta có thể tìm một hằng số Lipschits, thì ta có thể nói nhiều hơn về tích phân trong đó tồn tại nghiệm: Hệ quả 2.3.3 Giả sử [fạ,T] x R" C U và ;
t,x) — f(t,
[ L()dt <00, L(t) = sup LẤŒ#)=/6:9)]
to Ayer" le —yl
thì # được zúc định tới mọi † € [to, TÌ
Đặc biệt, nếu U = RP*! và [ „T L(Đ)dt < ee tới mọi T > 0, thì # được
zác định uới mọi t €TR
: (2.32)
Chứng mình Trong trường hợp này chúng ta có t hễ chọn tập Ở đóng trong không gian Banach X = C([0,T],R") và tiền hành chứng minh như định lí trước với Tụ = :
Chú ý rằng hệ quả này áp dụng cho ví dụ nếu phương trình vi phân là tuyến tính, có nghĩa là ƒ(f,z) = A(t)x + W(t), trong d6 A(t) là một ma tran va b(t) là một vector Thay vì cho một ví dụ Xét:
x! = sgn(t)x,x(0) = 1 (2.33)
Khi 46 x(t) — exp(|f|) được coi là một nghiệm mặc dù nó không có vỉ
phân tại £ = 0
2.4 Sự phụ thuộc của nghiệm vào điều kiện ban đầu Bồ đề 2.4.1 (Bát đẳng thúc Gronuall) Giả sử W(t) théa man:
Trang 37vdi a(t) € R va B(t) > 0 Khi đó
u(t) <a()+ ['a(9)4(9) se [(20)4)&, te|0.T| ñ ñ (335)
Hơn nữa, nếu œ(s) < a(t) sói s < t, thì
u(t) < a(t) ep(Í 2()4) te 0.1] ñ (2.36)
Chứng mình Đặt ð(E) = exp(—fy'3(s)ds) Khi 46 tit cong thite (2.34), ta
oa $00) [ a(sw(o)as = saw = [ A(s)¥(9)ds) < a()80)0) b h Tích phân hai về bất đẳng thức theo £ và chia cho (£) ta thu được ols) |,26)0(9)4 < [ a(5)4(9) n4: Them a(£) ở cả hai về và lại sử dụng (2.34) ta thu được điều phải chứng mình thứ nhất Nếu 00) <a+ [ (8005) +3)4 te (0,71, ‘ (2.37)
với các hằng số da cho a € R, 8 > 0, vay ER, thi khi do:
u(t) < aexp(đ1) + 2(exp() -1), te(0,7) (2.38)
Trong trudng hgp 8 = 0 thi vế bên phải được thay bởi giới hạn của nó
u(t) < œ++^t
Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra rằng IVP là well -posed
Định lí 2.42 Giá sử f,g € c(U,R") va cho f la ham Lipschits lién tuc địa phương trong đối số thứ hai, đều rới đối số thứ nhất Nếu z(t) va y(t)
Trang 38vdi V CU la cde tap chita dé thj cia x(t) va y(t)
Chứng mình Đề đơn giản đặt tạ — 0 Ta có
|zứ) — (0| < Jao — | + [sex — 9(s,y(s))|ds Sự xác định hàm lấy tích phân chỉ ra:
|/(s.z(s)) — ø(s w(s))| < [(s.z(s)) = f(s,w(s))| + |ƒ(s (s)) = ø(s.#0)| < Hz(s — 9(s))| + M
Từ (2.38) suy ra điều phải chứng mỉnh
Đặc biệt, kí hiệu nghiệm của IVP (2.10) bởi
ó(, to, 0) (342)
để nhấn mạnh sự phụ thuộc của nghiệm vào điều kiện ban đầu Khi đó
định lí của chúng ta, trong trường hợp đặc biệt ƒ = ø
|ó(f.fo.za) — Ø(f, fa.g)| < |zo — vole”, (2.43)
chỉ ra rằng ó phụ thuộc vào giá trị ban đầu Tắt nhiên điều này bị ràng
buộc theo cấp số nhân khi # tăng, nhưng phương trình tuyến tính #' = # trong một chiều cho thấy rằng chúng ta không thể làm tốt hơn
Định lí 2.4.3 Giá sử ƒ € C(U,R") la Lipschits liên tục địa phương trong đối số thứ hai, đều uới đối số thứ nhất Xung quanh mỗi điểm (fạ,#g) € U
ta có thể tìm một lập compact I x BCU sao cho ó(t,s,#) € C(I x Ï x
B,R") Hơn nữa, Ó(t,fo,zo) là Lipschis liên tục,
|6(t,fo,#o) — Ó(s, so, e)| < |zo — yole”*'el + (|t— s| + |to — sole”) M,
(2.44) trong dé
t,x) — f(t,
L= sắp (tz)Z(tLy)€V' E9 —fŒƯỈ M— mạy |ƒ0,2), - (345) lz—%| (tz)€V
vdi V C U là các lập compaet chứa Ï x ó(I x 1 x B)
Chứng mình Sử dụng kí hiệu tương tự như trong phần chứng mỉnh của
Dinh lí 2.2 ta có thể tìm ra một tap compact V = [to — e,fạ + €] x Bs(ao)
Trang 39Dat Vi = [th — €/2,t1 + €/2] x Bs(x1) Khi đó tồn tai (t,t, 1) sao cho |t — ty| < ¢/2 véi moi |t — fạ| < ¢/2 va lar — ao] < 6/2 Do dé, ching ta c6 thé chon I = [tp — ¢/2, to + €/2 va B = By2(ao) Ta có:
ló(f to, zo) — A(t $0, Yo)| < O(t, to, #e) — Ó(t, fo, 9e) +{0(t, to, yo) — O(t, 80; e)|
+19(t, 80, yo) — 4(s, 50, yo)|
S$ |20 — yolet*!
+ Ji, f(r (7, to, wo) dr — fF (0 6(r, $0.40) dr]
+|ƒ; ƒ(r, ð( so e))dr|
trong đó số hạng thứ nhất ta sử dụng (1.43) Hơn nữa, số hạng thứ ba rõ ràng có thể ước tính bằng A/|¿ — s| Để tính số hạng thứ hai, ta đặt
A(t) = O(t, to, yo) — F(t, 80, yo) va sit dung (to < so < t)
A) < |f„"f( ó(, to, 9e))dr|+ ƒ |f(r ó(r, to, Yo) —F (7, (7, S05 Mo) lar
S |to — so|M + Lf,,'A(r)dr
Do đó ứng dụng của bất đẳng thức Gronwall hoàn thành việc chứng minh
Chú ý rằng trong trường hợp hệ Ơ-tơư-nõm ta có ó(f, fạ,#ọ) = ó(f —
fo,0,#o) và nó đủ để xem xét ó(f,#o) = ó(f,0,zo) trong tình huống như
vậy
Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, kết quả trước đó không đủ tốt và ta cần có khái niệm vi phân đối với điều kiện ban đầu Do đó ta sẽ giả
thiết ƒ € C*(U,R*") với k > 1
Đầu tiên ta giả sử ó(f,fạ.z) là khả vi đối với z Khi đó điều tương tự cũng đúng đối với đ'(1,fạ,#) do (2.10) kết hợp với quy tắc đầu và vi phan
(2.10) thu được
Tả to,2) = Le, alt, 10,2) 2(,t0,2) (2.46)
Trang 40vé trai, (2.47) ta thay rang Đó 2y (10:2) (2.48) thỏa mãn phương trình biến số phân ly: 9,
w=A(tz)w, A(tz)= Heo to,2)) (2.49)
Chú ý rằng phương trình này là tuyết tính và phương trình tích phân
tương ứng là:
t
y(t) =1+4 | A(s,x)y(s)ds, (2.50)
to
trong đó ta sử dụng @(to, to,2) = x va do d6 42(to, to, x) = I Ap dung cc
kĩ thuật điểm bất động tương tự như trước đây, người ta có thể chỉ ra rằng
phương trình biến số phân ly có một nghiệm là đạo hàm của ó(£, fọ,z) đối với #
Định lí 2.4.4 Giả sử ƒ € C(U,R"),k > 1 Xung quanh mỗi điểm (tụ, #u)
ta có thể lìm một tập mở Ï x B C U sao cho O(t,s,x) € C'(Ix 1x B,R")
Hon nita, 20(t, s,x) € CR(I x I x B,R") oà nếu Dự là một đạo hàm riêng
cấp k, thì Dyộ thỏa mãn phương trình tỉ phân cấp cao hơn thu được từ:
9 9
HEME 8,2) = Dizi Olt, 8,2) = Def(t, O(t,s,2)) (251) Đặc biệt, phương trình này tuyến tính trong Dự tà nó cũng theo sau tính
toán đạo hàm cấp cao hơn tưởng ứng
Chứng mình Bằng cách thêm † vào các biến phụ thuộc, không có giới
hạn để giả thiết rằng phương trình của chúng ta là Ô - tô - nôm và xót A(t, x) = G(t,0,x) Sy ton tại của một tập Ï x € U sao cho ó(f,zo) là