H ×H → R ÷ñc gåi l d¤ng song tuy¸n t½nh tr¶n H n¸u vîi u ∈ H v
v ∈ H b§t ký c¡c m¢ sau l tuy¸n t½nh
a(u,·) : v ∈ H 7−→a(u, v) ∈ R
a(·, v) : u ∈ H 7−→a(u, v) ∈ R
A song tuy¸n t½nh a tr¶n H ÷ñc cho l
(1) èi xùng n¸u a(u, v) =a(v, u),∀u, v ∈ H,
(2) d÷ìng n¸u a(u, u) ≥ 0,∀u ∈ H,
(3) bà r ng buëc n¸u câ C > 0 sao cho u, v ∈ H
|a(u, v)| ≤ C∥u∥H∥v∥H, (2.25) (4) H -elliptic (ho°c c÷ïng ch¸ tr¶n H) vîi h¬ng sè α0 n¸u tçn t¤i
a0 > 0 sao cho
a(u, u) ≥ α0∥u∥2H,∀u ∈ H
H biºu thà mët khæng gian Hilbert thüc. Theo ti¶u chu©n H ×H.do ∥(u, v)∥H×H =
q
∥u∥2
H +∥v∥2
H,∀u, v ∈ H (2.26) D¤ng song tuy¸n t½nh tr¶n khæng gian Hilbert câ thuëc t½nh r¬ng giîi h¤n tr¶n H t÷ìng ÷ìng vîi sü li¶n töc tr¶n H ×H.
· xu§t" Cho a : H ×H → R l mët d¤ng song tuy¸n t½nh. Sau â
a bà r ng buëc tr¶n H n¸u v ch¿ khi a li¶n töc tr¶n H ×H.
Chùng minh. Gi£ sûa÷ñc giîi h¤n tr¶nH. Sau â, èi vîi(u, v),(u0, z0) ∈
H ×H, ta câ song tuy¸n t½nh v giîi h¤n a
sao cho |a(u, v)−a(u0, v0)| → 0 as (u, v) →(u0, v0). Nh÷ vªy a li¶n töc t¤i méi iºm (u0,v0) ∈ H ×H
Cö thº, a li¶n töc ð mùc (0,0). èi vîi ε > 0, tçn t¤i δ > 0 sao cho ∥(w, z)∥H×H < δ, th¼
|a(w, z)|< ε (2.27)
w = δ 2 u ∥u∥H , z = δ 2 v ∥v∥H (2.28) Theo c§u tróc, w∥H =∥z∥H = δ 2 < δ, ngö þ ∥(w, z)∥H×H = √δ 2 < δ.
Do â, theo tuy¸n t½nh v sû döng b§t ¯ng thùc tr¶n, ta câ |a(u, v)| ∥u∥H [v∥H = a u ∥u∥H , v ∥v∥H = 4 δ2|a(w, z)| ≤ δ42ε. (2.29) i·u n y chùng tä r¬ng a ÷ñc giîi h¤n v¼ nâ thäa m¢n vîi C = 4
δ2ε. 2.3.3 ành lþ Lax-Milgram.
Vi»c t¼m nghi»m cõa mët ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng vîi mët sè i·u ki»n bi¶n câ thº ÷ñc b¬ng c¡ch sû döng cæng thùc bi¸n ph¥n. X²t b i to¡n
T¼m u ∈ H sao cho
a(u, v) = ⟨F, v⟩H′,H, ∀v ∈ H, (2.30) trong â H l khæng gian Hilbert, a l d¤ng song tuy¸n t½nh tr¶n H, v
F ∈ H′. ¥y ÷ñc gåi l cæng thùc bi¸n êi cõa PTHR ban ¦u v c¡c h m v ∈ H th÷íng ÷ñc gåi l c¡c h m thû. D÷îi c¡c gi£ thi¸t phò hñp cõa a, b i to¡n bi¸n ph¥n s³ câ nghi»m duy nh§t. ¥y l b£n ch§t cõa Lax-Milgram Thenrem (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
ành lþ 2.3.1 (ành lþ iºm b§t ëng Banach). Cho X l mët khæng gian Banach v f : X →X thäa m¢n
∥f(u)−f(v)∥X ≤c∥u−v∥X,∀u, v ∈ X (2.31) vîi mët sè c ∈ (0,1). Khi â, tçn t¤i mët iºm duy nh§t x ∈ X sao cho
ành lþ 2.3.2 (ành lþ Lax-Milgram). Let a be a continuous bilin. ear form on a Hilbert H v F ∈ H′. N¸u a l H -elliptic vîi h¬ng sè αo, th¼ ph÷ìng tr¼nh bi¸n ph¥n cho bði (9.10) câ nghi»m duy nh§t u ∈ H
Morcover, ÷ñc t½nh nh÷ sau:
∥u∥H ≤ 1
α0∥F∥H′ (2.32)
B¬ng chùng. Cho u ∈ H v Au : H 7→R ÷ñc cho bði
Au(v) =a(u, v) (2.33)
N¸uAu ∈ H′ th¼Aul mët h m tuy¸n t½nh. V¼ al mët d¤ng billinear li¶n töc, bà giîi h¤n. Do â, tçn t¤i mët sè C > 0 sao cho cù u v v ∈ H
|⟨Au, v⟩| = |a(u, v)| ≤ C | u∥H∥v∥H
Khi â Au bà giîi h¤n v do â, Au ∈ H′ vîi
∥Aw∥H′ ≤ C∥u∥H (2.34) trong â C ëc lªp vîi u.
p döng ành lþ Riesz cho Au v F ∈ H′. Tçn t¤i τ (Au) v τ(F) ∈
H, sao cho t§t c£ v ∈ H, ⟨Au, v⟩H′,H = (τ (Au), v)′H ⟨F, v⟩H′,H = (τ(F), v)H (2.35) Do â u ∈ H thäa m¢n a(u, v) =⟨F, v⟩H′,H, ∀v ∈ H n¸u v ch¿ n¸u (τ (Au)−τ(F), v)H = 0, ∀v ∈ H T÷ìng ÷ìng nh÷ sau T¼m u ∈ H nh÷ sau τ (Au) =τ(F) (2.36) B¥y gií x¡c ành ¡nh x¤ Φ : H 7−→ H nh÷ Φ(v) =v −ρ(τ (Av)−τ(F)), ∀v ∈ H
trong â ρ l mët h¬ng sè. èi vîi mët ρ phò hñp, ¡nh x¤ Φ l mët sü thu hµp, ngh¾a l tçn t¤i mët h¬ng sè 0 < c < 1 sao cho
∥Φ (w1)−Φ (w2)∥H ≤ c∥w1 −w2∥H , ∀u1, w2 ∈ H. (2.37) Thüc t¸ l ρ l mët ¯ng thùc giúa H, H′ v H-ellipticity of a, cho
∥v −ρτ (Av)∥2H = (v−ρτ (Av), v−ρτ (Av))H
= ∥v∥2H −2ρ(τ (Av), v)H +ρ2∥τ (Av)∥2H = ∥v∥2H −2ρa(v, v) +ρ2∥Av∥2H′
≤ 1−2ρα0 +ρ2C2∥v∥2H,
vîi méi v ∈ H n¸u ρ ∈
0,2a0 C2 th¼ 1−2ρα0 +ρ2C2 < 1, do â ∥v −ρτ (Av)∥H ≤ c∥v∥H′ ∀v ∈ H
èi vîi mët sè c < 1. Do â, stnce
τ (Aw1)−τ Awj= τ (Aw1−v2)
èi vîi t§t c£ w1, w2 ∈ H, suy ra
[Φ (w1)−Φ (w2)∥ = ∥w1 −w2 −ρτ (Aw1−w2)∥ ≤ c∥w1 −w2∥.
Theo ành lþ iºm cè ành Banach, tçn t¤i mët u ∈ H duy nh§t sao cho
Φ(u) = u, tùc l ,
u−ρ(τ (Au)−τ(F)) =u
Vªy u l nghi»m duy nh§t. Sû döng H-ellipticity of a vîi α0 khæng êi º l§y
α0∥u∥2H ≤ a(u, u) = |⟨F, u⟩H′,H| ≤ ∥F∥H′∥u∥H (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
,
Nhªn x²t: N¸u a l èi xùng, ành lþ l h» qu£ trüc ti¸p cõa ành lþ Biºu di¹n Riesz, v¼ d¤ng song tuy¸n x¡c ành mët t½ch væ h÷îng ·u tr¶n H .Thu ÷ñc, nghi»m l iºm nhä nh§t cõa mët h m tuy¸n t½nh cho trong ành lþ d÷îi ¥y.
ành lþ 2.3.3. Cho a l mët d¤ng song tuy¸n li¶n töc tr¶n khæng gian Hilbert H sao cho a l d÷ìng v èi xùng. N¸u F ∈ H′ v J l h m tr¶n
H ÷ñc x¡c ành bði
J(v) = 1
th¼ u l mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh bi¸n thi¶n khi v ch¿ khi u l mët nghi»m sau.
T¼m u ∈ Hnh÷ vªy
J(u) = lnfv∈H J(v) (2.39)
Chùng minh. Gåi u l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (4.10). Khi â J(u) ≤
J(v) vîi måi v ∈ H. Vîi måi v ∈ H, v câ thº ÷ñc vi¸t l u+w cho mët sè w ∈ H. Ta câ
J(u+w)−J(u) = [a(u, w)−F(w)] + 1
2a(w, w) = 1
2a(w, w) ≥0
v¼ a l mët d¤ng t l» d÷ìng, èi xùng v F l tuy¸n t½nh. Do â u thäa m¢n. Ng÷ñc l¤i, gi£ sû u l nghi»m cõa (4.19). èi vîi v ∈ H v t∈ R, tr¶n a v F ta câ
0 ≤J(u+tv)−J(u) = t{a(u, v)−F(v)}+ t
2
2a(v, v)
B¶n ph£i, vîi u v v cè ành, l mët èi cüc câ d¤ng At2+Bt vîi A≥ 0. V¼ a thùc n y l khæng ¥m vîi måi t, n¶n B = 0 tùc l a(u, v)−F(v) = 0, n¶n u thäa m¢n.
ành lþ 2.3.4. N¸u a l mët d¤ng èi xùng thäa m¢n c¡c gi£ thuy¸t cõa ành lþ v J ÷ñc x¡c ành bði (4.19), th¼ ành lþ 9.9 cho ta b i to¡n (4.19) thøa nhªn mët nghi»m duy nh§t u ∈ H.