X²t b i to¡n (2.48) d÷îi d¤ng:
( −∇ ·ax,x ε ∇uε(x) = f(x), trong D, uε(x) = 0, tr¶n ∂D. (2.74)
N¸uf ∈ L2(D), theo ành lþ Lax-Milgram ph÷ìng tr¼nh (2.74) câ nghi»m duy nh§t uε trong H01(D) thäa m¢n (2.51). Do â theo M»nh · ??, tçn t¤i hai h mu0(x) ∈ H01(D) v u1(x, y) ∈ L2(D;H#1(Y)/R), mët d¢y con cõa uε(x) hëi tö "two-scale" ¸n u0(x) v mët d¢y con cõa ∇uε hëi tö "two-scale" tîi ∇xu0(x) + ∇yu1(x, y). Quan s¡t nhúng giîi h¤n n y ta mong muèn h m uε câ d¤ng u0(x) +εu1x,x
ε
.
Nh¥n c£ hai v¸ cõa (2.74) vîi h m thû ϕ0(x) +εϕ1(x, y) trong â
ϕ0(x) ∈ C0∞(D) v ϕ1(x, y) ∈ C0∞(D;C#∞(Y)), ta câ Z D ax, x ε ∇uε(x)·∇ϕ0(x) +∇yϕ1x,x ε +ε∇xϕ1x,x ε dx = Z D f(x)ϕ0(x) +εϕ1x,x ε dx. Tø â Z D∇uε(x)·atx,x ε ∇ϕ0(x) + ∇yϕ1x,x ε +ε∇xϕ1x,x ε dx = Z D f(x)ϕ0(x) +εϕ1x, x ε dx. (2.75) Cho ε → 0, theo ành ngh¾a hëi tö "two-scale" ta câ
Z
D Z
Y
(∇u0(x) +∇yu1(x, y))·at(x, y) (∇ϕ0(x) + ∇yϕ1(x, y))dydx = Z D f(x) ϕ0(x) +εϕ1 x, x ε dx. (2.76) Tùc l Z D Z Y
a(x, y) (∇u0(x) +∇yu1(x, y)) ·(∇ϕ0(x) +∇yϕ1(x, y))dydx = Z D f(x)ϕ0(x) +εϕ1x, x ε dx. (2.77) Sû döng lªp luªn trò mªt, ta suy ra ph÷ìng tr¼nh (2.77) óng vîi måi
(ϕ0, ϕ1) ∈ H01(D) × H01(D) × L2(D;H#1(Y)/R). D¹ th§y r¬ng c¡c gi£ thi¸t cõa ành lþ Lax-Milgram ÷ñc thäa m¢n vîi d¤ng bi¸n ph¥n (2.77). Ta s³ ch¿ ra cö thº t½nh coercive cõa d¤ng song tuy¸n t½nh ð v¸ tr¡i cõa
(2.77). Thªt vªy t½nh coercive cõa A cho ta
Z
D Z
Y
a(x, y) (∇ϕ0(x) +∇yϕ1(x, y))·(∇ϕ0(x) +∇yϕ1(x, y))dydx
≥ α Z D Z Y |(∇ϕ0(x) +∇yϕ1(x, y))|2dydx = α Z D Z Y |(∇ϕ0(x))|2dydx+α Z D Z Y |(∇yϕ1(x, y))|2dydx.
Theo ành lþ Lax-Milgram, b i to¡n bi¸n ph¥n (2.77) tçn t¤i duy nh§t nghi»m (u0, u1) trong H01(D)×H01(D)×L2(D;H#1(Y)/R) n¶n d¢y
uε v ∇uε hëi tö "two-scale" tîi u0(x) v ∇u0(x) + ∇yu1(x, y).
L¦n l÷ñt chån ϕ0 = 0, ϕ1 = 0, ¡p döng cæng thùc cæng thùc t½ch ph¥n tøng ph¦n cho (2.77) ta thu ÷ñc b i to¡n thu¦n nh§t hâa sau:
−∇y ·(a(x, y) (∇u0(x) +∇yu1(x, y))) = 0, trong D ×Y, −∇x· R Y A(x, y) (∇u0(x) +∇yu1(x, y)) = f(x), trong D,
y →u1(x, y), tu¦n ho n chu ký Y,
u = 0, tr¶n ∂D.
Khû u1 v bi¸n y tø h» tr¶n b¬ng c¡ch sû döng cæng thùc (2.49) ta công thu ÷ñc ph÷ìng tr¼nh thu§t nh§t hâa (2.50) gièng nh÷ ph÷ìng ph¡p khai triºn ti»m cªn. Trong ph¦n cán l¤i, chóng ta s³ mð rëng c¡c k¸t qu£ cõa b i to¡n elliptic hai k½ch th÷îc l¶n cho b i to¡n elliptic a k½ch th÷îc.
2.5 B i to¡n elliptic a k½ch th÷îc
Gi£ sû D ⊂ Rd l mët mi·n bà ch°n v
A(x1, y1, .., yn) ∈ L∞ D, C Rndd×d
l mët h m ma trªn phö thuëc v o n + 1 bi¸n nhªn c¡c gi¡ trà trong khæng gian Rd×d
sym ; A tu¦n ho n èi vîi yi vîi chu ký Y = [0,1]d cho méi
i = 1, .., n. Gi£ sû A bà ch°n v x¡c ành d÷ìng, câ ngh¾a tçn t¤i h¬ng sè
γ > 0 sao cho vîi måi ξ ∈ Rd.
vîi måi x ∈ D v yi ∈ Y, i = 1, ..., n . èi vîi tham sè ε > 0 , ta x²t b i to¡n Dirichlet sau
−divAε
∇uε = f trong D, uε = 0 tr¶n ∂D (2.79) vîi f ∈ L2(D) . Ma trªnAε ÷ñc gi£ sû phö thuëc v o ε vîi nhi·u thang o theo ngh¾a sau: tçn t¤i n h m d÷ìng ε1, . . . , εn cõa ε hëi tö v· 0 khi
ε →0 v thäa m¢n
lim
ε→0εi+1/εi = 0 (2.80) vîi måi i = 1, ..., n−1 v vîi måi x ∈ D
Aε(x) = A x, ε x1, . . . , ε xn .
Khi n= 1 , chóng ta trð v· b i to¡n hai k½ch th÷îc ¢ x²t ð ph¦n tr÷îc −divAx, x
ε
∇uε= f. (2.81)
Trong ph¦n cán l¤i cõa khâa luªn, º khäi m§t cæng nhc l¤i, ta luæn gi£ thi¸t i·u ki»n (2.80) ÷ñc thäa m¢n.
2.5.1 Hëi tö a k½ch th÷îc
ành ngh¾a 2.5.1. Mët d¢y {uε}ε ⊂ L2(D) hëi tö (n+ 1)-scale ¸n
u0 (x, y1, ..., yn) ∈ L2(D ×Y1 × · · · ×Yn) n¸u lim ε→0 Z D uεϕ x, ε x1, . . . , ε xn dx = Z D Z Y1 ... Z Yn u0 (x, y1, ..., yn)ϕ(x, y1, ..., yn)dxdy1. . . dyn cho b§t ký h m ϕ ∈ L2(D, C#(Y1 × · · · ×Yn)).
ành lþ 2.5.1. Tø måi d¢y bà ch°n trong L2(D), chóng ta câ thº tr½ch xu§t mët d¢y con m hëi tö (n + 1), khi ε → 0 , tîi mët h m u0 ∈
L2(D ×Y1 × · · · ×Yn).
º thi¸t lªp cæng thùc bi¸n ph¥n, ta ành ngh¾a khæng gian V nh÷ sau:
vîi chu©n ba g¤ch |||(ϕ,{ϕi})||| = ||∇ϕ||L2(D)+ n X i=1 ||∇yiϕi||L2(D×Y1×···Yi) (2.82) vîi (ϕ, ϕ1, . . . , ϕi) ∈ V.
ành lþ 2.5.2. Nghi»m uε cõa b i to¡n (2.79) hëi tö y¸u ¸n mët h m
u trong H01(D) v gradient ∇uε(n + 1) hëi tö n+ 1-scale ¸n ∇u(x) +
n X
i=1
∇yiui(x, y1, ..., yi)
trong â (u, u1, ..., un) l nghi»m duy nh§t trong khæng gian V cõa b i to¡n bi¸n ph¥n B(u,{ui};ϕ, {ϕi}) = Z D Z Y1 · · · Z Yn A ∇xu+ n X i=1 ∇yiui ! ∇xϕ + n X i=1 ∇yiϕi ! dxdy1...dyn = Z D f ϕdx, ∀(ϕ,{ϕi} ∈ V (2.83) D¤ng song tuy¸n t½nh B l li¶n töc v bùc ("coercive") trong V: ngh¾a l tçn t¤i c1, c2 > 0 ëc lªp vîi ε sao cho
∀(ϕ, {ϕi}) ∈ V : B(ϕ, {ϕi};ϕ, {ϕi}) ≥c1|||(ϕ, {ϕi})|||2; (2.84) v ∀(u,{ui}), (v,{vi}) ∈ V
B(u,{ui};v,{vi}) ≤c2|||(u,{ui})|||.|||(v,{vi})|||. (2.85) Chùng minh. Xem [2].
Khi n= 1, b i to¡n (2.83) trð th nh
Z D Z Y A(x, y) (∇xu+∇yu1)·(∇xϕ +∇yϕ1) dxdy = Z D f ϕdx (2.86) vîi måi ϕ ∈ H01(D) v ϕ1 ∈ L2 D, H#1 (Y)/R .
ành lþ 2.5.3. Gi£ sû r¬ng nghi»m (u, u1, ..., un) cõa b i to¡n (2.83) õ trìn, tùc l u ∈ C1 D¯ v ui ∈ C1D, C¯ #1 (Y1 × · · · ×Yi) vîi måi
i = 1, . . . , n. Khi â, khi ε → 0 ta câ
uε(x)− u(x) + n P i=1 ε1iui x, x1 ε , . . . , xi εi → 0m¤nh trong H1(D). Chùng minh. Xem [2]. V½ dö 2.5.1. X²t ph÷ìng tr¼nh hai k½ch th÷îc − d dx 2 3(1 +x) 1 + cos22πx ε duε dx = −1, x ∈ D = (0,1), uε(0) = uε(1) = 0.
Ph÷ìng tr¼nh (2.86) câ nghi»m thu¦n nh§t
u(x) = 3 2√ 2 x− ln(1 +ln 2x) . V½ dö 2.5.2. X²t ph÷ìng tr¼nh ba k½ch th÷îc mët chi·u tr¶n (0,1) nh÷ sau: d dx 4 9(1 +x) 1 + cos2 2πx ε1 1 + cos 2 2πx ε2 duε dx = 1, x ∈ D uε(0) = uε(1) = 0.
Ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t hâa câ nghi»m thu¦n nh§t
u(x) = 9 8 x− ln(1 + x) ln 2 .
K¸t luªn
âng gâp ch½nh cõa luªn v«n bao gçm:
1. T¼m hiºu v tr¼nh b y l¤i nëi dung v· ph÷ìng tr¼nh elliptic v ph÷ìng ph¡p hëi tö a k½ch th÷îc º nghi¶n cùu ph÷ìng tr¼nh elliptic a k½ch th÷îc.
2. Chi ti¸t hâa, l m rã mët sè chùng minh trong b i b¡o [1, 2, 4]. Tuy nhi¶n do thíi gian thüc hi»n luªn v«n khæng nhi·u v ki¸n thùc cán h¤n ch¸ n¶n luªn v«n v¨n cán nhúng sai sât, em r§t mong nhªn ÷ñc sü gâp þ cõa quþ th¦y cæ v c¡c b¤n º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn.
T i li»u tham kh£o
[1] G. Allaire (1992), Homogenization and two-scale convergence, SIAM Journal on Mathematical Analysis, 23(6), 14821518.
[2] G. Allaire and M. Briane. (1996), Multiscale convergence and reiter- ated homogenisation, Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 126(2), 297-342.
[3] D. Cioranescu, A. Damlamian, and G. Griso (2008), The periodic unfolding method in homogenization, SIAM Journal on Mathematical Analysis, 40(4), 15851620.
[4] V. H. Hoang and C. Schwab (2005), High-dimensional finite ele- ments for elliptic problems with multiple scales, Multiscale Modeling & Simulation, 3(1), 168194.
[5] U. Hornung (1997), Homogenization and Porous Media, Interdisci- plinary Applied Mathematics, Springer, New York.
[6] V. Jikov, S. Kozlov, and O. Oleinik (1994), Homogenization of Dif- ferential Operators and Integral Functionals, Springer, Berlin.
[7] W. McLean (2000), Strongly Elliptic Systems and Boundary Integral Equations, Cambridge University Press.
[8] D. Cioranescu, D. and Donato, P. and Roque, M.P. (2017), Introduc- tion to Second Order Partial Differential Equations, An: Classical and Variational Solutions, World Scientific Publishing Company. [9] G. Nguetseng (1989), A general convergence result for a functional
related to the theory of homogenization, SIAM Journal on Mathe- matical Analysis, 20(3), 608623.
[10] J. Wloka (1987), Partial Differential Equations, Cambridge Univer- sity Press.
[11] Bensoussan, A. and Lions, J.L. and Papanicolau, G.(1978), Asymp- totic Analysis for Periodic Structures, North-Holland Publishing Co.. [12] Chipot, M.(2009), Elliptic Equations: An Introductory Course,
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAMĐộc lập - Tự do - Hạnh phúc
BẢN TƯỜNG TRÌNH BỔ SUNG, SỬA CHỮA LUẬN VĂN
Họ và tên học viên: NGÔ THANH VŨ
Ngành: Toán Giải tích Khóa: 37
Tên đề tài luận văn:PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC ĐA KÍCH THƯỚC
Người hướng dẫn khoa học: TS. CHỬ VĂN TIỆP Ngày bảo vệ luận văn: 28/11/2021
Sau khi tiếp thu ý kiến của Hội đồng bảo vệ luận văn họp ngày 28/11/2021, chúng tôi giải trình một số nội dung sau:
1. Những điểm đã bổ sung, sửa chữa:
Phần nội dung, luận văn được chia làm hai chương: Chương 1:
- Đã điều chỉnh điều kiện cho miền D (tính đóng, bị chặn, biên Lipschitz,….) trong các không gian hàm tương ứng, Thống nhất sử dụng kí hiệu Rd. Thuật ngữ điều kiện biên Drichlet, vectơ ma trận.
- Đã điều chỉnh lại định lí bất dẳng thức Young phù hợp hơn với nội dung luận văn
- Đã điều chỉnh các kí hiệu Định nghĩa 1.2.1 về Phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp k Chương 2:
- Ví dụ 2.2.2, trang 23, đã được trình bày lời giải.
Phần trích dẫn: Đã trích dẫn tài liệu tham khảo cho các kết quả (định lí, bổ đề,…) không có trong chứng minh luân văn.
2. Những điểm bảo lưu ý kiến, không sửa chữa, điều chỉnh (nếu có) bởi những lý do sau:
………
………
………
………..
BIÊN BẢN
HỌP HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ
1. Tên đề tài: Phương trình eliptic đa kích thước
2. Ngành: Toán giải tích Lớp K37.TGT
3. Theo Quyết định thành lập Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ số 2055 /QĐ-ĐHSP ngày 28 tháng 10 năm 2021
4. Ngày họp Hội đồng: ngày 28 tháng 11 năm 2021
5. Danh sách các thành viên Hội đồng:
STT HỌ VÀ TÊN CƯƠNG VỊ TRONG HỘI
ĐỒNG
1. TS. Lương Quốc Tuyển Chủ tịch
2. TS. Tôn Thất Tú Thư ký
3. TS. Phạm Quý Mười Phản biện 1 4. PGS.TS. Nguyễn Thành Chung Phản biện 2 5. PGS.TS. Nguyễn Văn Đức Ủy viên a. Thành viên có mặt: 05 b. Thành viên vắng mặt: 0
6. Thư ký Hội đồng báo cáo quá trình học tập, nghiên cứu của học viên cao học và đọc lý lịch khoa học (có văn bản kèm theo)
7. Học viên cao học trình bày luận văn
8. Các phản biện đọc nhận xét và nêu câu hỏi (có văn bản kèm theo) 9. Học viên cao học trả lời các câu hỏi của thành viên Hội đồng 10. Hội đồng họp riêng để đánh giá
11. Trưởng ban kiểm phiếu công bố kết quả 12. Kết luận của Hội đồng
a) Kết luận chung:
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
- Đề nghị Trường ĐHSP-ĐH Đà Nẵng công nhận kết quả bảo vệ và cấp bằng thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích cho học viên.
b) Yêu cầu chỉnh, sửa về nội dung:
- Chỉnh sửa theo góp ý của hội đồng. Đặc biệt theo ý kiến của hai phản biện. - Sau chỉnh sửa, học viên gửi email file PDF luận văn cho phản biện để xác nhận. c) Các ý kiến khác: Không có.
d) Điểm đánh giá: Bằng số: 8.3 Bằng chữ: Tám phẩy ba 13. Tác giả luận văn phát biểu ý kiến
14. Chủ tịch Hội đồng tuyên bố bế mạc THƯ KÝ HỘI ĐỒNG
TS. Tôn Thất Tú
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
=====&&&=====
BẢN NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ (Dùng cho phản biện)
Đề tài: Phương trình Elliptic đa kích thước
Chuyên ngành: Toán giải tích . Mã ngành: 8.46.01.02
Họ và tên học viên: Ngô Thanh Vũ Người nhận xét: Phạm Quý Mười
Đơn vị công tác: Trường ĐH Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng.
NỘI DUNG NHẬN XÉT I. Tính cấp thiết của đề tài
Nhiều bài toán quan trọng trong khoa học vật liệu là các bài toán đa kích thước. Việc tìm nghiệm số cho những bài toán này theo các phương pháp truyền thống như phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp thể tích hữu hạn,… thường dẫn đến các bài toán rời rạc với kích thước rất lớn và vì thế rất khó để giải. Một cách tiếp cận thay thể là nghiên cứu phương trình thuần nhất của chúng và mối quan hệ giữa nghiệm của bài toán đa kích thước và bài toán thuần nhất của nó. Từ đó, chúng ta giải số phương trình thuần nhất và nhận được nghiệm xấp xỉ của phương trình đa kích thước. Đây là phương pháp thường được nghiên cứu và sử dụng. Luận văn nghiên cứu phương trình đa kích thước và phương trình thuần nhất của chúng có ý nghĩa cả về lí thuyết và thực tiễn.
II. Cơ sở khoa học và thực tiễn
Các kết quả trong luận văn được chứng minh chặt chẽ hoặc được trích dẫn rõ ràng; các nội dung được trình bày phù hợp tên đề tài. Các tài liệu tham khảo đảm bào tính chính xác và có độ tin cậy cao. Vì thế, luận văn đảm bảo tính khoa học và thực tiễn.
III. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu phù hợp, dựa trên các nguồn tài liệu tham khảo, học viên tổng hợp, sắp xếp và chứng minh quan trọng, phù hợp với nội dung nghiên cứu.
IV. Kết quả nghiên cứu
Luận văn có độ dài gần 50 trang, bao gồm phần mở đầu, nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo. Phần nội dung, luận văn được chia làm hai chương:
Chương 1: Tác giả trình bày các không gian hàm cơ bản, các khái niệm hội tụ trong không gian hàm, Định lí Lax-Milgram và một số khái niệm, thuật ngữ trong phương trình đạo hàm riêng cấp hai, đặc biệt là phương trình đạo hàm riêng tuyến tính.
Chương 2 là nội dung chính của luận văn. Trong chương này, học viên tập trung trình bày phương pháp thuần nhất hóa phương trình elliptic đa kích thước. Trước hết, luận văn trình bày các kết quả cơ bản về phương trình elliptic và phương pháp chuỗi Fuourier để giải bài toán Dirichlet, Neuman cho phương trình này. Sau đó, học viên giới thiệu bài toán đa kích thước (bao gồm bài toán hai kích thước và sau đó là n+1 kích thước) và sự tồn tại, duy nhất nghiệm của bài toán này. Để nhận được phương trình thuần nhất, luận văn sử dụng phương pháp khai triển tiệm cận và phương pháp hội tụ đa kích thước (được giới thiệu bởi Nguyetseng và tổng quát hóa bởi Allair).
1. Cần xác định rõ điều kiện cho miền D (tính đóng, bị chặn, biên Lipschitz,….) để đảm bảo sự tồn tại các không gian hàm tương ứng.
2. Khái niệm “hội tụ yếu*” nên đổi thành “hội tụ *yếu” như được sử dụng ở một số giáo trình tiếng việt. Tương tự cho khái niệm “Holder liên tục” nên đổi thành “liên tục Holder”.
3. Định lí 1.1.5, trang 8, đặt sau điều kiện cho a và b.
4. Trang 9, định nghĩa Dk không chính xác, dẫn đến sai trong Định nghĩa 1.2.1 (sai kí hiệu Dk).
5. Trang 14, công thức (2.1) không chính xác. Cần thống nhất sử dụng một kí hiệu cho không gian Rn (hiện tại sử dụng Rn, RN, Rd dẫn đến sai các kí hiệu thành phần cho các phần tử). 6. Ví dụ 2.2.2, trang 23, chưa trình bày lời giải.
7. Trang 24, cần sử lại các thuật ngữ “ba loại điều kiện biên Dirichlet”, “trường vector ma trận”,...
8. Cần trích dẫn tài liệu tham khảo cho các kết quả (định lí, bổ đề,…) không có chứng minh trong luân văn.
V. Hình thức luận văn
Hình thức luận văn về đúng quy định, được trình bày mạch lạc, rõ ràng, nhưng vẫn còn một số lỗi cần chỉnh sửa.
VI. Đánh giá chung
Đồng ý cho học viên bảo vệ trước Hội đồng. Câu hỏi dành cho học viên:
1. Học viên hãy viết biểu thức tường minh cho D2 (xem định nghĩa ở trang 9)? 2. Học viên hãy phát biểu định nghĩa cho khái niệm “hội tụ 3 kích thước”?
Đà nẵng, ngày 27 tháng 11 năm 2021
Người nhận xét
cONG HoA xA HOr cuu Ncuia vrEr NArvr
Ddc lip - Trr do - Hanh phric
eAN NHAN xgT LUAN vAN TOT NGHIEP THAC Si
(Denh cho thinh vi6n hOi d6ng li ngrrdi phin biQn)
fr^ ll , r r ^
'1'€n d€ tai, LuA,n ud,n: Phtang trinh elliptic da kfch thudc
Chuy€n ngd.n^,h: To5,n gi6i tich AtI d, ng d,nh: 8.46.01.02
Ho ud, t€n hoc oi€n: NgO Thanh Vfl
Ngudi nhd,n zdf: Nguy6n Thdnh Chung (DH Qu6ng Binh) Hoc hd,m, hoc u,i: Ph6 gi5,o su, Ti€n si
xQr DUNG NHAN xET
I/ Tinh c6p thiot cria dd t),i:
Chirng ta biot rXng, vd,t liOu t6ng hgp d6ng vai trd r6t quan trong trong nhi6u
ngb,nh khoa hoc ki thu6,t nhu co hoc, va,t li, h6a hec, ... O do, nhfrng tinh ch6t vat
Ii kh6ng li€n tuc vb, c6 su dao dOng gifra c5,c thd,nh phAn khd,c nhau. Khi cd,c thhnh