tåa ë cüc câ d¤ng
x1 = rcosθ, x2 = rsinθ.
trong â 0 ≤ r < 1 v 0≤ θ < 2π. Ta t¼m mët h m i·u háa u sao cho
u = g tr¶n ∂D, trong â g l mët h m ¢ cho, tu¦n ho n cõa chu ký 2π
v cõa lîp C2. Trong h» tåa ë cüc, i·u n y câ ngh¾a l u = u(r, θ) v thäa m¢n b i to¡n:
∆u = 1 r ∂ ∂r r∂u ∂r + 1 r2 ∂2u ∂θ2 = 0 vîi 0≤ r < 1, 0≤ θ < 2π u(1, θ) = g(θ) vîi 0≤ θ < 2π
Ta s³ x¥y düng nghi»m n y thæng qua c¡c h m i·u háa
rncos(nθ), rnsin(nθ), n= 0,1,2, . . .
m chóng ta ¢ thu ÷ñc b¬ng ph÷ìng ph¡p t¡ch bi¸n. Ta t¼m u d÷îi d¤ng u(r, θ) = A0 2 + ∞ X x=1 rn(Ancos(nθ) +Bnsin(nθ)) trong â c¡c h» sè An, Bn c¦n x¡c ành. º cho g(θ) = α0 2 + ∞ X n=1 (αncos(nθ) +βnsin(nθ))
l chuéi Fourier cõa g. H» sè Fourier cõa g ÷ñc cho bði αn = 1 π Z 2π 0 g(ϕ) cos(nϕ)dϕ, n= 0,1, . . . βn = 1 π Z 2π 0 g(ϕ) sin(nϕ)dϕ, n = 1,2, . . . V¼ u(1, θ) = g(θ) ta suy ra A0 2 = α0 2 = 1 2π Z 2π 0 g(ϕ)dϕ, An = αn, Bn = βn, n = 1,2, . . . Vªy u(r, θ) = 1 π ∞ X n=1 rn Z 2π 0
g(ϕ)[cos(nθ) cos(nϕ) + sin(nθ) sin(nϕ)]dϕ + 1 2π Z 2π 0 g(ϕ)dϕ (2.17) ¥y ch½nh l nghi»m c¦n t¼m, vîi i·u ki»n l chuéi tr¶n hëi tö v u
thuëc lo¤i C2. i·u n y óng n¸u h m g ∈ C2(0,2π) v ¤o h m bªc ba cõa nâ l li¶n töc tøng khóc.
Ta câ thº ÷a ra mët d¤ng kh¡c cõa nghi»m u. Thªt vªy, ta câ thº vi¸t l¤i (2.17) d÷îi d¤ng
u(r, θ) = 1 2π Z 2π 0 g(ϕ)dϕ+ 1 π ∞ X n=1 rn Z 2π 0 g(ϕ) cos(n(θ −ϕ))dϕ = Z 2π 0 g(ϕ)P(r, ϕ)dϕ (2.18)
trong â èi vîi b§t ký θ cè àn, h m P ÷ñc cho bði P(r, ϕ) = 1 2π 1 + 2 ∞ X n=1 rncos(n(θ−ϕ)) !
H m P ÷ñc gåi l nh¥n Poisson v l i·u háa èi vîi ϕ. D¹ d ng nhªn th§y r¬ng
P(r, ϕ) = 1 2π
1−r2
v¼ vªy u ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng u(r, θ) = 1 2π Z 2π 0 1−r2 1 +r2 −2rcos(θ −ϕ)dϕ. Cæng thùc tr¶n ÷ñc gåi l t½ch ph¥n Poisson.
2.2 Ph÷ìng tr¼nh elliptic têng qu¡t
B¥y gií h¢y xem x²t tr÷íng hñp têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh elliptic, ngh¾a l Lu = − n X i,j=1 aij ∂ 2u ∂xi∂xj + n X i=1 bi ∂u ∂xi +cu = f (2.19) trong â t§t c£ i, j ∈ {1,2, . . . , n}, c¡c h m aij, bi v c n¬m trong C0(D)
ma trªn (aij)1≤i,j≤n. X²t b i to¡n Dirichlet têng qu¡t sau:
(
Lu = f ∈ Ω
u = g tr¶n ∂Ω. (2.20)
V½ dö sau cho th§y èi vîi b i to¡n Dirichlet thu¦n nh§t cho ph÷ìng tr¼nh Laplace, y¶u c¦u f thuëc khæng gian C0( ¯Ω) khæng õ º £m b£o sü tçn t¤i cõa nghi»m.
V½ dö 2.2.1. Gåi B(0,1/2) h¼nh trán trong R2 câ t¥m t¤i gèc b¡n k½nh
1/2, x²t b i to¡n: ( −∆u = f ∈ B(0,1/2) u = 0 tr¶n ∂B(0,1/2) ð ¥y f(x) = x21 −x22 2|x|2 4 (−ln|x|)1/2 + 1 2(−ln|x|)3/2 vîi x ∈ B(0,1/2)\{0}, 0 vîi x = 0
Ta d¹ d ng kiºm tra ÷ñc nghi»m cõa b i to¡n Dirichlet câ d¤ng
u(x) =
x21 −x22(−ln|x|)1/2 vîi x ∈ B(0,1/2)\{0}
Ta th§y f thuëc C0( ¯B(0,1/2)). Tuy nhi¶n, nghi»m u khæng thuëc v·
C2( ¯B(0,1/2)). Thüc vªy, ¤o h m ∂2u
∂x1∂x2 khæng bà giîi h¤n trong b§t ký vòng l¥n cªn n o cõa iºm gèc.
Ta s³ ph¡t biºu ành lþ v· sü tçn t¤i v t½nh duy nh§t cho b i to¡n trong mët khæng gian th½ch hñp, c¡c h» sè, F v G, tr¶n tªp mð D v giîi h¤n cõa nâ.
ành ngh¾a 2.2.1. °t α ∈ (0,1] v O l mët tªp mð trong RN. Mët h m f ÷ñc cho l li¶n töc Holder vîi sè mô α tr¶n O n¸u câ mët h¬ng sè c sao cho |f(x)−f(y)| ≤ c|x−y|α, t§t c£ x, y ∈ O tùc l , n¸u Hα,σ(f¯ ) = sup O,x̸=y |f(x)−f(y)| |x−y|α < +∞ V½ dö 2.2.2. Vîi α ∈ (0,1], h m f(x) =|x|a l mët h m li¶n töc Holder tr¶n R.
º chùng minh i·u n y, ta ch¿ c¦n ch¿ ra r¬ng
||x|α− |y|α| ≤ |x−y|α, t§t c£ x, y ̸= 0
Cho y ̸= 0 cè ành v x²t h m sè
f(t) = (t+|y|)α−tα − |y|α, t§t c£ t ∈ R+0
V¼ α ∈ (0,1], d¹ th§y r¬ng f′(t) ≤ 0 tr¶n R+ cho n¶n f l h m gi£m tr¶n
R+. V¼ f(0) = 0 v f li¶n töc tîi t = 0, ta suy ra f(t) ≤ 0 tr¶n R+0. Do â vîi t = |x−y| > 0, ta câ
|x|α ≤(|x−y|+|y|)α ≤ |x−y|α+ |y|α.
Tø â ta suy ra i·u ph£i chùng minh v¼ ta câ thº êi x v y trong t½nh to¡n.
ành ngh¾a 2.2.2. To¡n tû L ÷ñc gåi l elliptic ·u trong D¯ n¸u tçn t¤i mët h¬ng sè a > 0 sao cho
N X
i,j=1
aij(x)ξiξj ≥ a|ξ|2 vîi x ∈ D,¯ t§t c£ ξ ∈ RN
Vîi L l mët elliptic ·u ta câ c¡c ành l½ sau:
ành lþ 2.2.1 ([8]). Gi£ sû D l mët tªp mð bà ch°n trong Rn vîi ∂D
thuëc lîp C1. Gi£ sû r¬ng to¡n tû L l elliptic ·u èi vîi mët sè a >0
v c¡c h» sè cõa L ·u n¬m trong C0,α( ¯D) cho α ∈ (0,1] v c ≥ 0. N¸u f
trong C0,α( ¯D) v g n¬m trong C0(∂D), th¼ b i to¡n (2.20) câ mët nghi»m duy nh§t u sao cho
u ∈ C2,α(D)∩C0( ¯D)
C¡c nghi»m ÷ñc cho bði ành lþ n y câ phö thuëc t½nh li¶n töc v o
f v g.Ta câ ành lþ sau ¥y:
ành lþ 2.2.2 ([8]). °t D l mët tªp hñp mð bà ch°n trong Rn vîi ∂D
cõa lîp C2,α vîi α ∈ (0,1], v gi£ sû r¬ng to¡n tû L v c¡c h» sè cõa nâ thäa m¢n c¡c gi£ thuy¸t cõa ành lþ 2.2.1. N¸u f thuëc C0,α( ¯D) v
g thuëc C2,α(∂D), th¼ nghi»m duy nh§t u cõa (2.20) thuëc khæng gian C2,α( ¯D). Hìn núa, tçn t¤i mët h¬ng sè d÷ìng C, ëc lªp vîi dú li»u f v
g sao cho
∥u∥c2,α( ¯D) ≤ C∥f∥C0,α( ¯D)+ ∥g∥C2,α(∂D)
.
2.3 Nghi»m y¸u v b i to¡n bi¸n ph¥n cõa ph÷ìng tr¼nh elliptic
Trong ph¦n n y chóng ta nghi¶n cùu nghi»m y¸u cõa mët sè ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh elliptic bªc hai
− n X i,j=1 ∂ ∂xi aij(x) ∂u ∂xj = f, f ∈ D (2.21)
2.3.1 °t b i to¡n °t A = (aij)1
≤i,j≤n l ma tr¥n vuæng trong â aij l c¡c h m sè x¡c ành tr¶n mët tªp mð bà ch°n D cõa Rn.
To¡n tû vi ph¥n trong (2.21) th÷íng ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng −div(A(x)∇u) = − n X i,j=1 ∂ ∂xi aij(x) ∂u ∂xj .
Khi â, ph÷ìng tr¼nh (2.21) câ d¤ng
− div (A(x)∇u) = f ∈ D (2.22)
°c bi»t, n¸u A l ma trªn ìn và trong Rn, th¼ ph÷ìng tr¼nh n y trð th nh ph÷ìng tr¼nh Laplace −∆u = − n X i=1 ∂2u ∂x2i = f
ành ngh¾a 2.3.1. °tα, β ∈ R, sao cho 0< α < β, kþ hi»uM(α, β, D)
l tªp hñp n×n tr÷íng ma trªn A = (aij)1<i,j<n ∈ (L∞(D))n2 sao cho b§t ký λ ∈ Rn n o
i) A(x)λλ≥ α|λ|2,
ii ) |A(x)λ| ≤ β|λ|,
h¦u khp nìi tr¶n D, trong â A(x)λλ= (A(x)λ, λ)Rn. Gi£ sû
A∈ M(α, β, D) (2.23)
vîi α v β sao cho 0 < α < β. Nhªn x²t 2.3.1.
N¸u A thäa m¢n (i), to¡n tû -div(A(x)∇) l elliptic ·u vîi h¬ng sè
α.
i·u ki»n (ii) suy ra ||A||(L∞(D))n2 ≤β. èi vîi n≥ 2 v x ∈ ∂D, ta x²t ¤i l÷ñng
A(x)∇u(x)ν(x) = n X i,j=1 aij(x)∂u ∂xj(x)νi(x) (2.24) trong â ν = (ν1, . . . , νn) l vector ph¡p tuy¸n ìn và ngo i èi vîi D.
2.3.2 C¡c d¤ng song tuy¸n t½nh tr¶n khæng gian Hilbertành ngh¾a 2.3.2. Cho H l mët khæng gian Hilbert thüc. A map a : ành ngh¾a 2.3.2. Cho H l mët khæng gian Hilbert thüc. A map a : H ×H → R ÷ñc gåi l d¤ng song tuy¸n t½nh tr¶n H n¸u vîi u ∈ H v
v ∈ H b§t ký c¡c m¢ sau l tuy¸n t½nh
a(u,·) : v ∈ H 7−→a(u, v) ∈ R
a(·, v) : u ∈ H 7−→a(u, v) ∈ R
A song tuy¸n t½nh a tr¶n H ÷ñc cho l
(1) èi xùng n¸u a(u, v) =a(v, u),∀u, v ∈ H,
(2) d÷ìng n¸u a(u, u) ≥ 0,∀u ∈ H,
(3) bà r ng buëc n¸u câ C > 0 sao cho u, v ∈ H
|a(u, v)| ≤ C∥u∥H∥v∥H, (2.25) (4) H -elliptic (ho°c c÷ïng ch¸ tr¶n H) vîi h¬ng sè α0 n¸u tçn t¤i
a0 > 0 sao cho
a(u, u) ≥ α0∥u∥2H,∀u ∈ H
H biºu thà mët khæng gian Hilbert thüc. Theo ti¶u chu©n H ×H.do ∥(u, v)∥H×H =
q
∥u∥2
H +∥v∥2
H,∀u, v ∈ H (2.26) D¤ng song tuy¸n t½nh tr¶n khæng gian Hilbert câ thuëc t½nh r¬ng giîi h¤n tr¶n H t÷ìng ÷ìng vîi sü li¶n töc tr¶n H ×H.
· xu§t" Cho a : H ×H → R l mët d¤ng song tuy¸n t½nh. Sau â
a bà r ng buëc tr¶n H n¸u v ch¿ khi a li¶n töc tr¶n H ×H.
Chùng minh. Gi£ sûa÷ñc giîi h¤n tr¶nH. Sau â, èi vîi(u, v),(u0, z0) ∈
H ×H, ta câ song tuy¸n t½nh v giîi h¤n a
sao cho |a(u, v)−a(u0, v0)| → 0 as (u, v) →(u0, v0). Nh÷ vªy a li¶n töc t¤i méi iºm (u0,v0) ∈ H ×H
Cö thº, a li¶n töc ð mùc (0,0). èi vîi ε > 0, tçn t¤i δ > 0 sao cho ∥(w, z)∥H×H < δ, th¼
|a(w, z)|< ε (2.27)
w = δ 2 u ∥u∥H , z = δ 2 v ∥v∥H (2.28) Theo c§u tróc, w∥H =∥z∥H = δ 2 < δ, ngö þ ∥(w, z)∥H×H = √δ 2 < δ.
Do â, theo tuy¸n t½nh v sû döng b§t ¯ng thùc tr¶n, ta câ |a(u, v)| ∥u∥H [v∥H = a u ∥u∥H , v ∥v∥H = 4 δ2|a(w, z)| ≤ δ42ε. (2.29) i·u n y chùng tä r¬ng a ÷ñc giîi h¤n v¼ nâ thäa m¢n vîi C = 4
δ2ε. 2.3.3 ành lþ Lax-Milgram.
Vi»c t¼m nghi»m cõa mët ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng vîi mët sè i·u ki»n bi¶n câ thº ÷ñc b¬ng c¡ch sû döng cæng thùc bi¸n ph¥n. X²t b i to¡n
T¼m u ∈ H sao cho
a(u, v) = ⟨F, v⟩H′,H, ∀v ∈ H, (2.30) trong â H l khæng gian Hilbert, a l d¤ng song tuy¸n t½nh tr¶n H, v
F ∈ H′. ¥y ÷ñc gåi l cæng thùc bi¸n êi cõa PTHR ban ¦u v c¡c h m v ∈ H th÷íng ÷ñc gåi l c¡c h m thû. D÷îi c¡c gi£ thi¸t phò hñp cõa a, b i to¡n bi¸n ph¥n s³ câ nghi»m duy nh§t. ¥y l b£n ch§t cõa Lax-Milgram Thenrem
ành lþ 2.3.1 (ành lþ iºm b§t ëng Banach). Cho X l mët khæng gian Banach v f : X →X thäa m¢n
∥f(u)−f(v)∥X ≤c∥u−v∥X,∀u, v ∈ X (2.31) vîi mët sè c ∈ (0,1). Khi â, tçn t¤i mët iºm duy nh§t x ∈ X sao cho
ành lþ 2.3.2 (ành lþ Lax-Milgram). Let a be a continuous bilin. ear form on a Hilbert H v F ∈ H′. N¸u a l H -elliptic vîi h¬ng sè αo, th¼ ph÷ìng tr¼nh bi¸n ph¥n cho bði (9.10) câ nghi»m duy nh§t u ∈ H
Morcover, ÷ñc t½nh nh÷ sau:
∥u∥H ≤ 1
α0∥F∥H′ (2.32)
B¬ng chùng. Cho u ∈ H v Au : H 7→R ÷ñc cho bði
Au(v) =a(u, v) (2.33)
N¸uAu ∈ H′ th¼Aul mët h m tuy¸n t½nh. V¼ al mët d¤ng billinear li¶n töc, bà giîi h¤n. Do â, tçn t¤i mët sè C > 0 sao cho cù u v v ∈ H
|⟨Au, v⟩| = |a(u, v)| ≤ C | u∥H∥v∥H
Khi â Au bà giîi h¤n v do â, Au ∈ H′ vîi
∥Aw∥H′ ≤ C∥u∥H (2.34) trong â C ëc lªp vîi u.
p döng ành lþ Riesz cho Au v F ∈ H′. Tçn t¤i τ (Au) v τ(F) ∈
H, sao cho t§t c£ v ∈ H, ⟨Au, v⟩H′,H = (τ (Au), v)′H ⟨F, v⟩H′,H = (τ(F), v)H (2.35) Do â u ∈ H thäa m¢n a(u, v) =⟨F, v⟩H′,H, ∀v ∈ H n¸u v ch¿ n¸u (τ (Au)−τ(F), v)H = 0, ∀v ∈ H T÷ìng ÷ìng nh÷ sau T¼m u ∈ H nh÷ sau τ (Au) =τ(F) (2.36) B¥y gií x¡c ành ¡nh x¤ Φ : H 7−→ H nh÷ Φ(v) =v −ρ(τ (Av)−τ(F)), ∀v ∈ H
trong â ρ l mët h¬ng sè. èi vîi mët ρ phò hñp, ¡nh x¤ Φ l mët sü thu hµp, ngh¾a l tçn t¤i mët h¬ng sè 0 < c < 1 sao cho
∥Φ (w1)−Φ (w2)∥H ≤ c∥w1 −w2∥H , ∀u1, w2 ∈ H. (2.37) Thüc t¸ l ρ l mët ¯ng thùc giúa H, H′ v H-ellipticity of a, cho
∥v −ρτ (Av)∥2H = (v−ρτ (Av), v−ρτ (Av))H
= ∥v∥2H −2ρ(τ (Av), v)H +ρ2∥τ (Av)∥2H = ∥v∥2H −2ρa(v, v) +ρ2∥Av∥2H′
≤ 1−2ρα0 +ρ2C2∥v∥2H,
vîi méi v ∈ H n¸u ρ ∈
0,2a0 C2 th¼ 1−2ρα0 +ρ2C2 < 1, do â ∥v −ρτ (Av)∥H ≤ c∥v∥H′ ∀v ∈ H
èi vîi mët sè c < 1. Do â, stnce
τ (Aw1)−τ Awj= τ (Aw1−v2)
èi vîi t§t c£ w1, w2 ∈ H, suy ra
[Φ (w1)−Φ (w2)∥ = ∥w1 −w2 −ρτ (Aw1−w2)∥ ≤ c∥w1 −w2∥.
Theo ành lþ iºm cè ành Banach, tçn t¤i mët u ∈ H duy nh§t sao cho
Φ(u) = u, tùc l ,
u−ρ(τ (Au)−τ(F)) =u
Vªy u l nghi»m duy nh§t. Sû döng H-ellipticity of a vîi α0 khæng êi º l§y
α0∥u∥2H ≤ a(u, u) = |⟨F, u⟩H′,H| ≤ ∥F∥H′∥u∥H
,
Nhªn x²t: N¸u a l èi xùng, ành lþ l h» qu£ trüc ti¸p cõa ành lþ Biºu di¹n Riesz, v¼ d¤ng song tuy¸n x¡c ành mët t½ch væ h÷îng ·u tr¶n H .Thu ÷ñc, nghi»m l iºm nhä nh§t cõa mët h m tuy¸n t½nh cho trong ành lþ d÷îi ¥y.
ành lþ 2.3.3. Cho a l mët d¤ng song tuy¸n li¶n töc tr¶n khæng gian Hilbert H sao cho a l d÷ìng v èi xùng. N¸u F ∈ H′ v J l h m tr¶n
H ÷ñc x¡c ành bði
J(v) = 1
th¼ u l mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh bi¸n thi¶n khi v ch¿ khi u l mët nghi»m sau.
T¼m u ∈ Hnh÷ vªy
J(u) = lnfv∈H J(v) (2.39)
Chùng minh. Gåi u l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (4.10). Khi â J(u) ≤
J(v) vîi måi v ∈ H. Vîi måi v ∈ H, v câ thº ÷ñc vi¸t l u+w cho mët sè w ∈ H. Ta câ
J(u+w)−J(u) = [a(u, w)−F(w)] + 1
2a(w, w) = 1
2a(w, w) ≥0
v¼ a l mët d¤ng t l» d÷ìng, èi xùng v F l tuy¸n t½nh. Do â u thäa m¢n. Ng÷ñc l¤i, gi£ sû u l nghi»m cõa (4.19). èi vîi v ∈ H v t∈ R, tr¶n a v F ta câ
0 ≤J(u+tv)−J(u) = t{a(u, v)−F(v)}+ t
2
2a(v, v)
B¶n ph£i, vîi u v v cè ành, l mët èi cüc câ d¤ng At2+Bt vîi A≥ 0. V¼ a thùc n y l khæng ¥m vîi måi t, n¶n B = 0 tùc l a(u, v)−F(v) = 0, n¶n u thäa m¢n.
ành lþ 2.3.4. N¸u a l mët d¤ng èi xùng thäa m¢n c¡c gi£ thuy¸t cõa ành lþ v J ÷ñc x¡c ành bði (4.19), th¼ ành lþ 9.9 cho ta b i to¡n (4.19) thøa nhªn mët nghi»m duy nh§t u ∈ H.
2.3.4 B i to¡n bi¶n Dirichlet
C¡c tr÷íng hñp i·u ki»n Dirichlet çng nh§t v khæng çng nh§t c¦n ÷ñc xû lþ ri¶ng bi»t.
X²t b i to¡n
−div(A∇u) =f f ∈ D
u = 0 tr¶n ∂D (2.40)
trong â A ∈ M(α, β, D)v f ∈ H−1(D). Cæng thùc bi¸n ph¥n nh÷ sau:
T¼m u ∈ H01(D)sao cho
R
DA∇u∇vdx = ⟨f, v⟩H−1(D),H1
trong â Z D A∇u∇vdx = n X i,j=1 Z D aij(x)∂u ∂xi ∂v ∂xjdx.
Cæng thùc tr¶n câ ÷ñc b¬ng c¡ch nh¥n ph÷ìng tr¼nh ¦u ti¶n trong (2.40) vîi mët h m trìn tri»t ti¶u tr¶n bi¶n v sau â t½ch ph¥n theo tøng ph¦n. Sü tçn t¤i v t½nh duy nh§t cõa nghi»m ÷ñc chùng minh b¬ng c¡ch ¡p döng ành lþ Lax-Milgram.
ành ngh¾a 2.3.3 (Nghi»m y¸u). Mët nghi»m cõa (2.41) ÷ñc gåi l nghi»m y¸u cõa (2.40)
Mët nghi»m y¸u l mët gi£i ph¡p cê iºn khi t§t c£ c¡c dú li»u câ õ trìn. Thªt vªy, ta câ m»nh · sau:
M»nh · 2.3.5. Cho∂D thuëc lîpC1. N¸uA ∈ C1( ¯D)n2, f ∈ C0( ¯D),
v u ∈ C2( ¯D), th¼ u l mët nghi»m cê iºn cõa
−div(A(x)∇u(x)) = f(x) t§t c£ x ∈ D
u(x) = 0 t§t c£ x ∈ ∂D (2.42)
khi v ch¿ khi u l nghi»m cõa (2.41) .
Chùng minh. N¸uul nghi»m cõa (2.42) th¼uthuëcH01(D). Gåiv l mët h m tòy þ trong H01(D). Theo ành ngh¾a, tçn t¤i mët d¢y{vn} ⊂ D(D)
hëi tö th nh v trong H01(D). Nh¥n ph÷ìng tr¼nh trong (2.42) vîi vn v l§y t½ch ph¥n theo tøng ph¦n ta ÷ñc Z D A∇u∇vndx = Z D f vndx.
Cho n → ∞ ta ÷ñc u l mët nghi»m cõa (2.41) . Ng÷ñc l¤i, n¸u u ∈
C2( ¯D) l nghi»m cõa (2.41) th¼ Z D A∇u∇vdx = Z D f vdx,∀v ∈ D(D) T½ch ph¥n tøng ph¦n, ta ÷ñc: Z D [−div(A∇u)−f]vdx = 0,∀v ∈ D(D)
Khi â u l mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.42) h.k.n trong D. V¼ c£ hai v¸ cõa ph÷ìng tr¼nh ·u li¶n töc n¶n i·u n y óng vîi måi x ∈ D. Theo ành lþ v¸t, u thäa m¢n i·u ki»n bi¶n Dirichlet.
Ta s³ chùng minh sü tçn t¤i v duy nh§t nghi»m b¬ng c¡ch ¡p döng ành lþ Lax-Milgram.
ành lþ 2.3.6. Gåi A l mët tr÷íng ma trªn trong M(α, β, D). èi vîi b§t ký f ∈ H−1(D), tçn t¤i mët nghi»m duy nh§t u ∈ H01(D) cõa b i to¡n (2.41). Hìn núa, u thäa m¢n
∥u∥H1 0(D) ≤ 1 α∥f∥H−1(D). (2.43) N¸u f ∈ L2(Ω), th¼ ∥u∥H1 0(Ω) ≤ CαΩ∥f∥L2(Ω), (2.44) trong â CΩ l h¬ng sè Poincar². Chùng minh.
Gåi a l d¤ng song tuy¸n t½nh tr¶n H01(D)×H01(D) cho bði
a(u, v) = Z
D
A∇u∇vdx,∀u, v ∈ H01(D) (2.45) p döng ành lþ Lax-Milgram choa, vîi F = f v H = H01(D). Rã r ng,
a(u, v) l mët d¤ng song tuy¸n t½nh. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-