C¡c tr÷íng hñp i·u ki»n Dirichlet çng nh§t v khæng çng nh§t c¦n ÷ñc xû lþ ri¶ng bi»t.
X²t b i to¡n
−div(A∇u) =f f ∈ D
u = 0 tr¶n ∂D (2.40)
trong â A ∈ M(α, β, D)v f ∈ H−1(D). Cæng thùc bi¸n ph¥n nh÷ sau:
T¼m u ∈ H01(D)sao cho
R
DA∇u∇vdx = ⟨f, v⟩H−1(D),H1
trong â Z D A∇u∇vdx = n X i,j=1 Z D aij(x)∂u ∂xi ∂v ∂xjdx.
Cæng thùc tr¶n câ ÷ñc b¬ng c¡ch nh¥n ph÷ìng tr¼nh ¦u ti¶n trong (2.40) vîi mët h m trìn tri»t ti¶u tr¶n bi¶n v sau â t½ch ph¥n theo tøng ph¦n. Sü tçn t¤i v t½nh duy nh§t cõa nghi»m ÷ñc chùng minh b¬ng c¡ch ¡p döng ành lþ Lax-Milgram.
ành ngh¾a 2.3.3 (Nghi»m y¸u). Mët nghi»m cõa (2.41) ÷ñc gåi l nghi»m y¸u cõa (2.40)
Mët nghi»m y¸u l mët gi£i ph¡p cê iºn khi t§t c£ c¡c dú li»u câ õ trìn. Thªt vªy, ta câ m»nh · sau:
M»nh · 2.3.5. Cho∂D thuëc lîpC1. N¸uA ∈ C1( ¯D)n2, f ∈ C0( ¯D),
v u ∈ C2( ¯D), th¼ u l mët nghi»m cê iºn cõa
−div(A(x)∇u(x)) = f(x) t§t c£ x ∈ D
u(x) = 0 t§t c£ x ∈ ∂D (2.42)
khi v ch¿ khi u l nghi»m cõa (2.41) .
Chùng minh. N¸uul nghi»m cõa (2.42) th¼uthuëcH01(D). Gåiv l mët h m tòy þ trong H01(D). Theo ành ngh¾a, tçn t¤i mët d¢y{vn} ⊂ D(D)
hëi tö th nh v trong H01(D). Nh¥n ph÷ìng tr¼nh trong (2.42) vîi vn v l§y t½ch ph¥n theo tøng ph¦n ta ÷ñc Z D A∇u∇vndx = Z D f vndx.
Cho n → ∞ ta ÷ñc u l mët nghi»m cõa (2.41) . Ng÷ñc l¤i, n¸u u ∈
C2( ¯D) l nghi»m cõa (2.41) th¼ Z D A∇u∇vdx = Z D f vdx,∀v ∈ D(D) T½ch ph¥n tøng ph¦n, ta ÷ñc: Z D [−div(A∇u)−f]vdx = 0,∀v ∈ D(D)
Khi â u l mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.42) h.k.n trong D. V¼ c£ hai v¸ cõa ph÷ìng tr¼nh ·u li¶n töc n¶n i·u n y óng vîi måi x ∈ D. Theo ành lþ v¸t, u thäa m¢n i·u ki»n bi¶n Dirichlet.
Ta s³ chùng minh sü tçn t¤i v duy nh§t nghi»m b¬ng c¡ch ¡p döng ành lþ Lax-Milgram.
ành lþ 2.3.6. Gåi A l mët tr÷íng ma trªn trong M(α, β, D). èi vîi b§t ký f ∈ H−1(D), tçn t¤i mët nghi»m duy nh§t u ∈ H01(D) cõa b i to¡n (2.41). Hìn núa, u thäa m¢n
∥u∥H1 0(D) ≤ 1 α∥f∥H−1(D). (2.43) N¸u f ∈ L2(Ω), th¼ ∥u∥H1 0(Ω) ≤ CαΩ∥f∥L2(Ω), (2.44) trong â CΩ l h¬ng sè Poincar². Chùng minh.
Gåi a l d¤ng song tuy¸n t½nh tr¶n H01(D)×H01(D) cho bði
a(u, v) = Z
D
A∇u∇vdx,∀u, v ∈ H01(D) (2.45) p döng ành lþ Lax-Milgram choa, vîi F = f v H = H01(D). Rã r ng,
a(u, v) l mët d¤ng song tuy¸n t½nh. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy- Schwarz, ta câ
|a(w, v)| ≤ β∥∇w∥L2(D)∥∇v∥L2(D) = β∥w∥H1
0(D)∥v∥H1
0(D) (2.46) vîi måi w v v trong H01(D). Hìn núa,
a(v, v) ≥α∥∇v∥2L2(D) = α∥v∥2H1
0(D), ∀v ∈ H01(D). (2.47) Do â, theo ành lþ LaxMilgram, chóng ta câ sü tçn t¤i v t½nh duy nh§t cõa nghi»m cõa (2.41) công nh÷ ÷îc l÷ñng (2.43).