ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGÔ THƯỢNG THỦY MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN METRIC RIÊNG VÀ ỨNG DỤNG THÁI NGUYÊN, 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGƠ THƯỢNG THỦY MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN METRIC RIÊNG VÀ ỨNG DỤNG THÁI NGUYÊN, 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGƠ THƯỢNG THỦY MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN METRIC RIÊNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS HÀ TRẦN PHƯƠNG THÁI NGUYÊN, 2019 Xác nhận Xác nhận trưởng khoa chuyên môn người hướng dẫn Khoa học PGS TS Hà Trần Phương Mục lục Lời mở đầu Bảng kí hiệu Chương Khơng gian metric riêng 1.1 Định nghĩa ví dụ không gian metric riêng 1.2 Sự hội tụ không gian metric riêng 1.3 Metric riêng Hausdorff 12 1.4 Một số tính chất khơng gian metric riêng 16 Chương Một số định lí điểm bất động khơng gian metric riêng 20 2.1 Định lí điểm bất động cho ánh xạ giãn 20 2.2 Định lí điểm bất động cho ánh xạ co đơn trị 28 2.3 Sự tồn nghiệm chung phương trình tích phân kiểu Volterra 37 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 41 Lời mở đầu Các định lý điểm bất động đóng vai trị quan trọng lý thuyết tối ưu Những kết biết đến nguyên lý ánh xạ co Banach lớp không gian metric đầy đủ Về sau có nhiều tác giả mở rộng nguyên lý với điều kiện khác không gian ánh xạ Vào năm 1994, S Matthews (xem [8]) người đưa giới thiệu khái niệm không gian metric riêng Đây lớp không gian mở rộng tự nhiên từ khơng gian metric thơng thường, có vai trị quan trọng có số ứng dụng việc phát triển toán lý thuyết, đặc biệt định lý điểm bất động Trong số năm trở lại đây, số nhà Toán học nghiên cứu khơng gian metric riêng tính chất nó, đồng thời tổng quát hóa mở rộng số kết S Matthews Để tìm hiểu, nghiên cứu nhằm làm rõ vấn đề liên quan đến khái niệm, tính chất số định lí điểm bất động khơng gian metric riêng, tơi thực nghiên cứu luận văn với tên gọi là: "Một số định lí điểm bất động không gian metric riêng ứng dụng" Các nghiên cứu luận văn chia thành chương: • Chương 1: Khơng gian metric riêng: Trong chương này, tơi trình bày lại số kiến thức cần phải nắm vững nghiên cứu lí thuyết điểm bất động Đây hầu hết những định nghĩa, tính chất bản, chẳng hạn như: không gian metric riêng, dãy Cauchy, dãy 0-Cauchy, hội tụ khơng gian metric riêng Ngồi ra, tơi nghiên cứu metric riêng Hausdorff đưa số ví dụ minh họa Trong phần cuối chương, tơi có trình bày số tính chất không gian metric riêng để phục vụ cho nội dung có Chương 2 • Chương 2: Một số định lí điểm bất động khơng gian metric riêng Đây phần trọng tâm luận văn, tơi có trình bày chủ yếu kiến thức xoay quanh khái niệm điểm bất động không gian metric riêng cho số ánh xạ: ánh xạ giãn, ánh xạ co đơn trị Ngồi việc trình bày cách có hệ thống kiến thức, tơi đưa ví dụ tập nhằm giảm bớt tính trừu tượng khái niệm định lí, mệnh đề đề cập Phần cuối chương, tơi có trình bày ứng dụng định lí điểm bất động khơng gian metric riêng, tồn nghiệm chung phương trình tích phân kiểu Volterra Tơi cố gắng chọn lọc, xếp để nội dung luận văn ngắn gọn phù hợp hơn, thời gian khuôn khổ luận văn Thạc sĩ, nên q trình nghiên cứu khơng tránh khỏi thiếu sót định Chính vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến từ phía thầy giảng viên, nhà nghiên cứu anh chị học viên Cao học để luận văn hồn thiện Trong q trình thực luận văn này, nhận hướng dẫn, giúp đỡ tận tình thầy giáo Hà Trần Phương Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin, thầy cô giáo anh chị học viên lớp Cao học Toán K11A trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện để tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2019 Học viên Cao học Ngô Thượng Thủy Bảng kí hiệu Trong tồn luận văn này, ta dùng số kí hiệu sau N tập hợp số tự nhiên R tập hợp số số thực R+ tập hợp số thực không âm ∪ phép hợp ∩ phép giao × tích Descartes ∅ tập hợp rỗng id ánh xạ đồng A bao đóng tập hợp A Bp (x, ε) hình cầu mở tâm x, bán kính ε [a, b] đoạn đóng tập số thực với đầu mút a, b a < b Chương Không gian metric riêng Trong chương này, nhắc lại định nghĩa, đưa số ví dụ cụ thể tập trung nghiên cứu số tính chất không gian metric riêng Đây kiến thức tảng, sở cho việc trình bày nội dung trọng tâm Chương luận văn Nội dung chương trích dẫn chủ yếu từ nguồn tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [4], [6] [8] 1.1 Định nghĩa ví dụ khơng gian metric riêng Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập hợp khác rỗng, metric riêng X hàm số p : X × X −→ R+ cho với x, y, z ∈ X ta có (P1) p(x, x) = p(y, y) = p(x, y) x = y; (P2) p(x, x) p(x, y); (P3) p(x, y) = p(y, x); (P4) p(x, z) p(x, y) + p(y, z) − p(y, y) Khi đó, cặp (X, p) gọi khơng gian metric riêng Ví dụ 1.1.2 Cho X = R+ p : X × X −→ R+ hàm số xác định p(x, y) = max {x, y} , với x, y ∈ X Khi đó, (X, p) khơng gian metric riêng Thật vậy, rõ ràng p thỏa mãn Điều kiện (P1), (P2), (P3) Định nghĩa 1.1.1 nên ta cần chứng minh p thỏa mãn Điều kiện (P4) Rõ ràng vai trị x, z nên khơng giảm tính tổng qt, ta giả sử x z Ta có đánh giá p(x, z) p(x, y) + p(y, z) − p(y, y) ⇔ max {x, z} max {x, y} + max {y, z} − max {y, y} ⇔z max {x, y} + max {y, z} − y ⇔ (max {x, y} − y) + (max {y, z} − z) > Bất đẳng thức cuối thỏa mãn nên p thỏa mãn điều kiện (P4) Do (X, p) khơng gian metric riêng Ví dụ 1.1.3 Cho X = {[a, b] | a, b ∈ R, a b} p : X × X −→ R+ hàm số cho p ([a, b], [c, d]) = max {b, d} − {a, c} Dễ thấy p thỏa mãn Điều kiện (P1), (P2), (P3) Định nghĩa 1.1.1 Đặt x = [a, b], y = [c, d], z = [e, g] Vì vai trị x, z nên khơng giảm tính tổng qt, ta xét trường hợp sau: Trường hợp 1: a b < e g Ta có đánh giá p(x, z) p(x, y) + p(y, z) − p(y, y) ⇔ g − a max {b, d} − {a, c} + max {d, g} − {c, e} − d + c ⇔ (max {d, g} − g) + (a − {a, c}) + (max {b, d} − d) + (c − {c, e}) > Bất đẳng thức cuối thỏa mãn Trường hợp 2: a e < b g Tương tự trường hợp 1, ta có p(x, z) p(x, y) + p(y, z) − p(y, y) Trường hợp 3: a e g b Ta có đánh giá p(x, z) p(x, y) + p(y, z) − p(y, y) ⇔ b − a max {b, d} − {a, c} + max {d, g} − {c, e} − d + c ⇔ (max {b, d} − b) + (a − {a, c}) + (max {d, g} − d) + (c − {c, e}) > Bất đẳng thức cuối thỏa mãn Vậy p thỏa mãn Điều kiện (P4) nên p metric riêng X, hay (X, p) không gian metric riêng 6 Nhận xét 1.1.4 Một không gian metric không gian metric riêng Thật vậy, giả sử (X, p) khơng gian metric Khi đó, rõ ràng (X, p) thỏa mãn Điều kiện (P1), (P2), (P3) Định nghĩa 1.1.1 Theo tiên đề tam giác ta có p(x, z) p(x, y) + p(y, z) = p(x, y) + p(y, z) − p(x, y) + p(y, z) − p(y, y) Vậy (X, p) thỏa mãn Điều kiện (P4) nên khơng gian metric riêng Từ Định nghĩa 1.1.1, ta nhận thấy p(x, y) = từ Điều kiện (P1), (P2), ta suy x = y Tuy nhiên điều ngược lại nhìn chung khơng cịn đúng; nghĩa x = y p(x, y) chưa Thật vậy, chẳng hạn Ví dụ 1.1.2 ta thấy p(x, x) = x không thiết phải Cho (X, p) không gian metric riêng Khi hàm ps : X×X −→ R+ xác định ps (x, y) = 2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y) với x, y ∈ X metric X Thật vậy, ta kiểm tra • ps (x, y) = ⇔ 2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y) = ⇔ x = y • ps (x, y) = 2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y) = 2p(y, x) − p(y, y) − p(x, x) = ps (y, x) Mặt khác, ta có đánh giá ps (x, y) + ps (y, z) = [2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y)] + [2p(y, z) − p(y, y) − p(z, z)] = [p(x, y) + p(y, z) − p(y, y)] − p(x, x) − p(z, z) > 2p(x, z) − p(x, x) − p(z, z) = ps (x, z) Vậy ps thỏa mãn tiên đề metric nên ps metric X Định nghĩa 1.1.5 Cho (X, p) không gian metric riêng, x ∈ X ε > Ta gọi tập hợp Bp (x, ε) = {y ∈ X | p(x, y) < p(x, x) + ε} p-hình cầu mở tâm x, bán kính ε ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGƠ THƯỢNG THỦY MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN METRIC RIÊNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112... chất khơng gian metric riêng 16 Chương Một số định lí điểm bất động khơng gian metric riêng 20 2.1 Định lí điểm bất động cho ánh xạ giãn 20 2.2 Định lí điểm bất động cho ánh... là: "Một số định lí điểm bất động không gian metric riêng ứng dụng" Các nghiên cứu luận văn chia thành chương: • Chương 1: Khơng gian metric riêng: Trong chương này, tơi trình bày lại số kiến