ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN GMETRIC

LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Những nội dung trình bày luận văn nghiên cứu thực hướng dẫn TS Lương Quốc Tuyển Mọi tài liệu tham khảo luận văn trích dẫn rõ ràng, trung thực tên tác giả, tên đề tài, thời gian địa điểm công bố Nếu có chép khơng hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm Tác giả luận văn Phạm Thị Thanh Nga MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Đóng góp đề tài Cấu trúc luận văn CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Một số khái niệm tính chất khơng gian metric 1.2 Tập mở, tập đóng 1.3 Không gian metric đầy đủ ánh xạ liên tục 12 1.4 Không gian compact 17 CHƯƠNG KHÔNG GIAN G-METRIC 21 2.1 Không gian G-metric 21 2.2 Tính chất khơng gian G-metric 23 CHƯƠNG MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN G-METRIC 31 3.1 Một mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach 31 3.2 Một số định lý điểm bất động ánh xạ … không gian G-metric đầy đủ 35 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO) DANH MỤC CÁC QUY ƯỚC VÀ KÝ HIỆU  tập tất số tự nhiên  tập tất số thực * tập tất số nguyên dương  tập tất số thực không âm G xn  x dãy {xn } G-hội tụ đến x MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động khơng gian metric đóng vai trị quan trọng toán học khoa học ứng dụng Trong hai thập kỷ qua, phát triển lý thuyết điểm bất động không gian metric thu hút ý đáng kể nhiều ứng dụng lĩnh vực lý thuyết tối ưu, lý thuyết xấp xỉ, bất đẳng thức tuyến tính Năm 2006, Mustafa Sims đưa khái niệm không gian metric suy rộng, gọi không gian G-metric (xem [4]) Sau đó, Mustafa cộng đưa nhiều định lý điểm bất động không gian G-metric không gian suy rộng không gian G-metric (xem [4], [5]) Từ đến nay, tốn điểm bất động không gian G-metric thu hút nhiều nhà toán học giới quan tâm nghiên cứu Với lý định hướng thầy giáo Lương Quốc Tuyển, định chọn đề tài nghiên cứu: “Định lý điểm bất động không gian G- metric” Chúng mong muốn tạo tài liệu tham khảo tốt cho người quan tâm lý thuyết điểm bất động mong muốn đưa số ứng dụng nhằm góp phần làm phong phú thêm kết lĩnh vực Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu số định lý điểm bất động không gian G-metric Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu lý thuyết điểm bất động 3.2 Phạm vi nghiên cứu định lý điểm bất động không gian G-metric Phương pháp nghiên cứu 4.1 Tham khảo tài liệu hệ thống hóa kiến thức 4.2 Thu thập báo khoa học tác giả nghiên cứu liên quan đến “Định lý điểm bất động không gian G- metric” 4.3 Thể tường minh kết nghiên cứu đề tài 4.4 Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn Đóng góp đề tài Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết, sử dụng tài liệu tham khảo dành cho quan tâm nghiên cứu điểm bất động không gian G-metric Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn phần mở đầu kết luận gồm có ba chương Chương Giới thiệu kiến thức liên quan đến không gian metric Chương Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm tính chất khơng gian G-metric Chương Trình bày chứng minh chi tiết số định lý điểm bất động không gian G-metric CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất không gian metric nhằm làm tiền đề phục vụ cho việc chứng minh Chương Chương luận văn 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA KHƠNG GIAN METRIC 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập hợp khác rỗng Ánh xạ d : X  X   gọi metric X thỏa tiên đề sau (1) d ( x, y )  với x, y  X d ( x, y )   x = y (2) d ( x, y)  d ( y, x) với x, y  X (3) d ( x, y )  d ( x, z )  d ( z, y) với x, y, z  X Tập X với metric d xác định gọi khơng gian metric ký hiệu  X , d  1.1.2 Định nghĩa Cho X tập  Số x  X gọi cận X y  x với y  X 1.1.3 Định nghĩa Cho X tập  Số x  X gọi cận X x  y với y  X 1.1.4 Định nghĩa Giả sử X tập hợp khác rỗng Khi đó, cận bé X gọi supermum tập X Ký hiệu sup X 1.1.5 Định nghĩa Giả sử X tập hợp khác rỗng Khi đó, cận lớn X gọi infimum tập X Ký hiệu inf X 1.1.6 Định nghĩa Giả sử  X , d  không gian metric, x  X A  X Ta đặt d  x, A  inf {d ( x, y ) : y  A} Khi đó, d  x, A gọi khoảng cách từ x đến A 1.1.7 Nhận xét Nếu x  A , d  x , A   1.1.8 Mệnh đề Giả sử  X , d  không gian metric A  X Khi đó, với x, x '  X , ta có d ( x, A)  d ( x ', A)  d ( x, x ') Chứng minh Giả sử y  A Khi đó, ta có d ( x, y )  d ( x, x ')  d ( x ', y ) Do đó, inf d ( x, y )  inf [d ( x, x ')  d ( x ', y )] = d ( x, x ')  inf d ( x, y ) y A y A y A Suy d ( x, A)  d ( x, x ')  d ( x ', A) Bởi vậy, d ( x, A)  d ( x ', A)  d ( x, x ') Tương tự ta chứng minh d ( x ', A)  d ( x, A)  d ( x, x ') Do đó, d ( x, A)  d ( x ', A)  d ( x, x ') 1.1.9 Định nghĩa Giả sử  xn  □ dãy không gian metric X x0  X Khi đó, dãy  xn  gọi hội tụ đến x0 lim d ( xn , x0 )  n Ký hiệu lim xn  x0 hay xn  x0 n 1.1.10 Nhận xét (1) Giới hạn dãy hội tụ (2) Nếu xn  x0 dãy  xn  hội tụ x0 (3) Nếu xn  x0 yn  y0 d ( xn , yn )  d ( x0 , y0 ) Chứng minh (1) Giả sử xn  a xn  b Khi đó, với n  , ta có d ( a, b)  d ( a, xn )  d ( xn , b) Nếu n   d ( xn , a )  d ( xn , b)  nên từ bất đẳng thức trên, ta suy d (a, b)  Do đó, a  b   (2) Giả sử xnk dãy dãy  xn  Khi đó, xn  x nên với   0, tồn k0  cho d ( xn , x0 )   với n  k Suy với k  k0 ta có nk  k0 , kéo theo d ( xnk , x0 )   Do vậy, xnk  x0 (3) Kết cần chứng minh suy từ bất đẳng thức d ( xn , yn )  d ( x0 , y0 )  d ( xn , x0 )  d ( yn , y0 ) □ 1.1.11 Ví dụ (1) Trên , xn  x0 với   tồn n0  cho | xn  x0 |  với n  n (2) Xét {xn }   k xn  x0  k   Ký hiệu xn  x1( n ) , x2( n ) , , xk( n ) x0  ( x1(0) , x2(0) , , xk(0) ), ta có  k (n) (0)  lim xn  x0  lim   xi  xi  n n i 1      lim xi( n )  xi(0) n   1/2 0  víi mäi i  1,2,, k  lim xi( n )  xi(0) víi mäi i  1,2,, k n Do vậy, hội tụ k hội tụ theo thành phần tọa độ 1.1.12 Định nghĩa Giả sử  X , d  không gian metric, x0  X r  Khi đó, (1) Tập hợp B( x0 , r )   x  X | d ( x, x0 )  r gọi hình cầu mở tâm x0 , bán kính r (2) Tập hợp B  x0 , r    x  X | d ( x, x0 )  r gọi hình cầu đóng tâm x0 , bán kính r Ngoài ra, ta ký hiệu B * ( x0 , r )  B ( x0 , r ) \ {x0 } Từ định nghĩa, ta có B * ( x0 , r )  B ( x0 , r )  B  x0 , r  1.1.13 Định nghĩa Cho  X , d  không gian metric Tập A  X gọi lân cận x tồn r  cho B ( x0 , r )  A 1.1.14 Nhận xét (1) Mỗi hình cầu mở B ( x, r ) lân cận x n (2) Nếu A1 , A2 , , An lân cận x,  Ai lân i 1 cận x Chứng minh (1) Suy trực tiếp từ định nghĩa lân cận (2) Giả sử A1 , A2 , , An lân cận x Khi đó, với i  1, n tồn ri  cho B ( x, ri )  Ai Ta đặt r  ri Khi đó, 1 i  n B ( x, r )  B ( x, ri ) với i  1, 2, n Do đó, n n i 1 i 1 B ( x, r )   B ( x, ri )   Ai n Do vậy,  Ai lân cận x □ i 1 1.1.15 Định nghĩa Giả sử  X , d  không gian metric, x  X A  X Khi đó, (1) Điểm x gọi điểm A A lân cận x (2) Điểm x gọi điểm A tồn lân cận V x mà V  A   (3) Điểm x gọi điểm biên A với lân cận V x ta có V  A   V  ( X \ A)   1.2 TẬP MỞ, TẬP ĐÓNG 1.2.1 Định nghĩa Giả sử X không gian metric A  X Khi đó, A gọi tập hợp mở A lân cận điểm thuộc A 1.2.2 Định nghĩa Giả sử X không gian metric A  X Khi đó, A gọi tập hợp đóng X \ A tập hợp mở 1.2.3 Định lý Giả sử  X , d  khơng gian metric Khi đó, (1) Hợp họ tùy ý tập hợp mở tập hợp mở (2) Giao họ hữu hạn tập hợp mở tập hợp mở (3) Giao họ tùy ý tập hợp đóng tập hợp đóng (4) Hợp họ hữu hạn tập hợp đóng tập hợp đóng Chứng minh (1) Giả sử G I họ tùy ý tập hợp mở X Ta chứng minh G   G tập hợp mở Thật vậy, giả sử x G Khi đó,  I tồn  o  I cho x  G o Mặt khác, G o mở nên G o lân cận x Suy G lân cận x Do vậy, G tập hợp mở 33 d ( T n 1 x, T k1 T n 1 x )  d ( TT n x, T k1 1T n x )    k  O T n2 x, k1   Lại  k1   m  n  nên theo Định nghĩa 2.2.8, ta có  O  T n2 x, k1  1    O  T n 2 x, m  n    Suy   d ( T n 1 x, T k1 T n 1 x )  k  O T n2 x, m  n   Do đó,  O  T n1 x, m  n  1   k  O  T n 2 x, m  n    Bởi vậy,     d ( T n x, T m x )  k  O T n 1 x, m  n    k  O T n2 x, m  n   Tiếp tục trình trên, ta thu   d ( T n x , T m x )  k  O T n1 x, m  n     k n  O  x, m   Mặt khác,  O  x, m    O  x,   nên theo Định lý 3.1.1 ta suy kn d T x, T x  d ( x, Tx ) 1 k  n m  (3.1) Hơn nữa, k [0,1) nên lim k n  0, kéo theo {T n x} dãy Côsi X n  Bởi X đầy đủ T-quỹ đạo nên T n x  u Bây giờ, ta chứng minh Tu  u Thật vậy, T tự ánh xạ nên 34 d (u, Tu)  d (u, T n1 x )  d ( T n 1 x, Tu)  d (u, T n1 x )  d ( TT n x, Tu)   d (u, T n1 x )  k max d ( T n x , u); d ( T n x , T n1 x );  d (u, Tu); d ( T n x , Tu); d (T n1 x, u)  d (u, T n1 x )  k d (T n x, T n 1 x )  d ( T n x, u)  d (u, Tu)  d (T n1 x, u)  d (u, T n1 x )  k d ( T n x , T n1 x )  k d ( T n x , u)  k d (u, Tu)  k d ( T n1 x , u) Mặt khác, theo tiên đề (2) Định nghĩa 1.1.1, ta có d ( T n x , u)  d (u, T n x ) d ( T n 1 x, u)  d (u, T n1 x ) Bởi thế, từ bất đẳng thức ta suy (1  k ) d (u, Tu)   d (u, T n 1 x )  k d (T n x, T n1 x )  k d (u, T n x )  k d (u, T n 1 x )  (1  k ) d (u, T n1 x )  k d ( T n x, T n1 x )  k d (u, T n x ) Do đó, d (u, Tu)  1  k  d (u, T n1 x )  k d (u, T n x )  k d (T n x, T n1 x ) 1 k Cuối cùng, {T n x} dãy Cơsi lim T n x  u, nên ta suy d (u, Tu)  n  Như vậy, khẳng định (2) thỏa mãn Do đó, u điểm bất động T Bây giờ, ta chứng minh u điểm bất động T Thật vậy, giả sử v điểm bất động T, nghĩa T (v)  v Khi đó, sử dụng Định nghĩa 2.2.9 ta suy 35 d  u , v   d  Tu, Tv  k max  d  u , v ; d  u, Tu  ; d  v, Tv ; d  u, Tv ; d  v, Tu   k max  d  u , v  ; d  u , v ; d  v, u   k d  v, u   k d  u, v  Suy 1  k  d  u , v  Điều kéo theo d  u , v  0, u  v Như vậy, u điểm bất động T Do đó, khẳng định (1) thỏa mãn Cuối cùng, theo khẳng định (2), ta có lim T m x  u Do đó, từ (3.1) suy m  kn d ( T x , u)  d ( x, Tx ) với k [0,1) 1 k n Bởi vậy, khẳng định (3) thỏa mãn □ 3.2 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ TRÊN KHÔNG GIAN G-METRIC ĐẦY ĐỦ 3.2.1 Định nghĩa ([7]) Giả sử  tập hợp tất hàm không giảm  :  0,    0,  thỏa mãn điều kiện lim  n (t )  với t (0, ) Khi đó, hàm   n  gọi  -ánh xạ 3.2.2 Bổ đề ([7]) Giả sử   -ánh xạ Khi đó, (1)  (t )  t với t  (0, ); 36 (2)  (0)  Chứng minh (1) Giả sử ngược lại khẳng định (1) khơng Khi đó, tồn t  (0, ) cho  (t )  t Mặt khác,  hàm khơng giảm nên  (t )    (t )   (t )  t ,  (t )    (t )    (t )  t Bằng quy nạp, ta suy  n (t )  t với n * Suy lim  n (t )  t  n  Điều mâu thuẫn với định nghĩa  (2) Giả sử ngược lại khẳng định (2) không Khi đó,  (0)  Mặt khác,  hàm không giảm nên  (t )   (0)  với t  (0, ),  (t )    (t )      (0)   (0)  với t  (0, ) Bằng quy nạp ta thu  n (t )   (0)  với t  (0, ) Suy lim  n (t )   (0)  với t  (0, ) n  Điều mâu thuẫn với định nghĩa  □ 3.2.3 Định lý ([7]) Giả sử T : X  X ánh xạ không gian Gmetric đầy đủ  X , G    -ánh xạ thỏa mãn G T ( x ), T ( y ), T ( z )    G ( x, y, z ) với x, y, z  X Khi đó, (1) T có điểm bất động u  X ; (3.2) 37 (2) T G-liên tục u Chứng minh (1) Giả sử x0  X , ta đặt xn  T  xn1  với n  Khi đó, ta giả thiết xn  xn1 với n  Bây giờ, ta chứng minh {x n} dãy G-Côsi X Thật vậy, với n , ta có G  xn , xn1 , xn1   G  T ( xn1 ), T ( xn ), T ( x n )    G  xn 1 , xn , xn      G  xn , xn1, x n1   (3.3)   n  G  x0 , x1, x1   Giả sử   Khi đó, nhờ Bổ đề 3.2.2 ta suy lim  n  G  x0 , x1, x1          n  Bởi thế, tồn n0  cho  n  G  x0 , x1, x1          với n  n0 (3.4) G  xn , xn1, x n1         với n  n0 (3.5) Do đó, Bây giờ, ta chứng minh khẳng định sau quy nạp theo m G  xn , xm , xm    với m  n  n0 (1.1) Giả sử m  n  Khi đó, từ (3.5) ta có G  xn , xm , xm   G  x n , xn1 , xn1           với n  n0 Do vậy, (3.6) m  n  (1.2) Giả sử (3.6) m  k  n  1, nghĩa (3.6) 38 G  x n , xk , xk    với m  n  n0 Ta phải chứng minh (3.6) với m  k  Thật vậy, theo tiên đề (G5) Định nghĩa 2.1.1, tính chất  sử dụng (3.5) ta suy G  xn , x k 1, xk 1   G  xn , xn 1 , xn1   G  xn 1, xk 1, x k1            G ( x n , xk , xk )  (3.7)  e            Từ (3.6) ta suy {x n} dãy G-Côsi X Do vậy, tồn u  X cho {x n} G-hội tụ tới u Với n , theo tiên đề (G4), (G5) Định nghĩa 2.1.1, sử dụng (3.2) Bổ đề 3.2.2 ta suy  G  u, u, T (u)  G  T (u), u, u  G  T (u), xn1 , xn1   G  xn 1 , u, u  = G  u, u, xn 1   G  xn 1, xn 1, T (u) (3.8)  G  u, u, xn1     G ( xn , x n , u )  G  u, u, xn 1   G ( xn , x n , u) Mặt khác, {x n} G-hội tụ tới u nên theo tiên đề (G4) Định nghĩa 2.1.1 Mệnh đề 2.2.3 ta suy G  u, u, xn1   0, G ( xn , xn , u)  Do đó, từ (3.8) ta thu G  u, u, T (u)  0, kéo theo T (u)  u Như vậy, u điểm bất động T Cuối cùng, ta chứng minh u điểm bất động T Thật vậy, giả sử v điểm bất động T với v  u Khi đó, theo (3.2) Bổ đề 3.2.2 ta suy G  u, u, v  G  T (u), T (u), T (v)    G (u, u, v)  G (u, u, v ) (3.9) 39 Điều dẫn đến mâu thuẫn Như vậy, u điểm bất động T (2) Giả sử dãy {yn}  X , {yn} G-hội tụ tới u Khi đó, với n , theo (3.2) ta có  G  u, u, T ( yn )  G  T (u), T (u), T ( yn )    G (u, u, yn )  G  u, u, yn  (3.10) Mặt khác, {yn} G-hội tụ tới u nên theo Mệnh đề 2.2.3 tiên đề (G4) Định nghĩa 2.1.1 ta suy G  u, u, yn   Do đó, từ (3.10) ta thu lim G (u, u, T ( yn ))  n  Hơn nữa, lại theo Mệnh đề 2.2.3 tiên đề (G4) Định nghĩa 2.1.1 ta suy {T ( yn )} dãy G-hội tụ tới u  T (u ) Do vậy, áp dụng Định lý 2.2.4, T Gliên tục u 3.2.4 Định lý ([2]) Giả sử □ X , G không gian G-metric đầy đủ T : X  X ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau với x, y  X G ( Tx , Ty, Ty)  k max  G ( x, y, y), G ( x, Ty, Ty), G ( y, Ty, Ty), G ( y, Tx , Tx ) , (3.11) G ( Tx , Ty, Ty)  k max  G ( x , y, y), G ( x, x, Ty), G ( y, y, Ty ), G ( y, y, Tx ) (3.12) với k [0,1) Khi đó, (1) T có điển bất động u  X ; (2) T G-liên tục u Chứng minh (1) Giả sử T thỏa mãn điều kiện (3.11) Khi đó, với x, y  X , ta có 40 G ( Tx , Ty, Ty)  k max  G ( x , y, y), G ( x, Ty, Ty), G ( y, Ty, Ty), G ( y, Tx, Tx ) (3.13) Trước tiên, giả sử  X , G  G-metric đối xứng Khi đó, theo Mệnh đề 2.1.4, dG xác định công thức dG ( x, y)  G ( x, y, y) metric X Nhân vào hai vế (3.13) thay G ( x, y, y )  dG ( x, y) ta thu dG ( Tx, Ty)  k max dG ( x, y), dG ( x, Ty), dG ( y, Ty), dG ( y, Tx ) (3.14) Do đó, theo Định nghĩa 2.2.9 Định lý 3.1.2 ta suy T có điểm bất động u  X Bây giờ, giả sử  X , G  không đối xứng Khi đó, ta đặt xn  T n x0 với n  Nếu tồn n0   cho xn0  xn0 1, xn0  xn0 1  Txn0 Suy xn0 điểm bất động T Do vậy, ta giả thiết xn  xn 1 với n  Với số tự nhiên n  ta đặt An  {G (T i x0 , T j x0 , T j x0 ) :  i, j  n  1},  n  maxAn Khi đó, tồn cặp số i,m thỏa mãn  i, m  n  cho  n  G (T i x0 , T m x0 , T m x0 ) Ta chứng minh i  Thật vậy, giả sử ngược lại i  Khi đó, từ (3.11), ta có  n  G ( xi , xm , x m )  k max  G ( xi1 , xm 1 , x m1 ), G ( xi 1, x m , xm ), G ( xi 1 , xm , xm ), G ( xm 1 , xi , xi ) 41  = k max G (T i 1 x0 , T m 1 x0 , T m1 x0 ), G ( T i 1 x0 , T m x0 , T m x0 ),  G (T m1 x0 , T m x0 , T m x0 ), G (T m 1 x0 , T i x0 , T i x0 )  k  n Điều dẫn đến mâu thuẫn k [0,1) Do vậy, i  Khi đó, với số tự nhiên n  số tự nhiên m thỏa mãn  m  n  , theo tiên đề (G5) Định nghĩa 2.1.1 điều kiện (3.11), ta có  n  G ( x0 , xm , xm )  G ( x0 , x1 , x1 )  G ( x1 , xm , xm )  G ( x0 , x1 , x1 )  k max  G ( x0 , xm 1 , xm1 ), G ( x0 , x m , x m ), G ( x m1, x m , x m ), G ( x m1, x1 , x1 )  G ( x0 , x1 , x1 )  k  n Suy (1  k ) n  G ( x0 , x1, x1 ), kéo theo n  G ( x0 , x1, x1 ) 1 k Ta đặt   G ( x0 , x1, x1 ), kéo theo  n   với n  1 k Do đó, từ (3.11) ta có G ( xn , x n1, x n1 )  G (T n x0 , T n1 x0 , T n1 x0 )  G (TT n1 x0 , TT n x0 , TT n x0 )    k max G ( T n 1 x0 , T n x0 , T n x0 ), G (T n1 x0 , T n 1 x0 , T n1 x0 ),  G ( T n x0 , T n1 x0 , T n1 x0 ), G ( T n x0 , T n x0 , T n x0 ) = k max  G ( x n1, xn , xn ), G ( x n1 , xn1 , xn1 ), G ( x n , xn1 , xn1 ), G ( xn , x n , xn ) 42  k max  G ( xn1, x n , xn ), G ( x n1, xn 1 , xn 1 )    k max G ( xn 1 , xn , xn ), G ( T n1 x0 , T n1 x0 , T n 1 x0 )  k max  G ( xn 1 , xn , x n ),   Mặt khác, từ (3.11) ta lại có G ( xn1, x n , xn )  G (T n1 x0 , T n x0 , T n x0 )  G ( TT n2 x0 , TT n1 x0 , TT n 1 x0 )    k max G (T n2 x0 , T n1 x0 , T n1 x0 ), G (T n2 x0 , T n x0 , T n x0 ),  G (T n1 x0 , T n x0 , T n x0 ), G ( T n1 x0 , T n1 x0 , T n 1 x0 ) = k max  G ( xn , xn1, xn1 ), G ( x n2 , x n , xn ), G ( x n1 , xn , xn ), G ( x n1 , xn1, xn 1 )  k max  G ( xn 2 , xn 1 , xn1 ), G ( x n2 , xn , xn )    k max G ( xn , xn1, x n1 ), G ( T n 2 x0 , T n x0 , T n x0 )  k max  G ( x n2 , x n1, xn 1 ),   Suy G ( xn , x n1, x n1 )  k max  G ( xn , xn1, x n1 ),   Tiếp tục trình trên, ta thu G ( xn , x n1, xn1 )  k max  G ( xn 1 , xn , x n ),    k max  G ( xn , xn1, x n1 ),    k n max  G ( x0 , x1, x1 ),    kn  Bởi thế, với m, n   mà m  n , theo tiên đề (G5) Định nghĩa 2.1.1, ta có G ( xn , x m , xm )  G ( x n , xn1 , xn1 )  G ( xn 1, xm , xm )  43  G ( xn , xn1 , xn1 )  G ( xn 1 , xn 2 , x n )  G ( x n2 , xm , xm )  G ( xn , xn1 , xn1 )  G ( xn 1 , xn 2 , x n )   G ( xm 1 , xm , xm )   k   k n  k n1    k m1   n   k n1    kn  1 k kn   n   Suy Bởi k [0,1) nên ta có 1k lim G ( xn , x m , x m )  m , n Như vậy, {x n} dãy G-Côsi không gian G-metric đầy đủ Do đó, tồn u  X cho {x n} G-hội tụ tới u Bây giờ, ta chứng minh Tu  u Thật vậy, từ (3.11), ta có G ( xn , Tu, Tu)  k max  G ( xn1, u, u), G ( x n1, Tu, Tu), G (u, Tu, Tu), G (u, xn , x n ) Lấy giới hạn hai vế bất đẳng thức n   , ta có G (u, Tu, Tu)  k G (u, Tu, Tu), kéo theo (1  k ) G (u, Tu, Tu)  Điều kéo theo G (u, Tu, Tu)  , theo tiên đề (G2) Định nghĩa 2.1.1, ta suy u  Tu Như vậy, u điểm bất động T Tiếp theo, ta chứng minh tính u Thật vậy, giả sử v điểm điểm bất động T, nghĩa Tv  v Khi đó, từ (3.11) ta có G (u, v, v )  k max  G (u, v, v), G (u, v, v), G (v, u, u), G (v, u, u) (3.15)  k G (v, u, u) 44 Tương tự, ta có G (v, u, u)  k max  G (v, u, u), G (v, u, u), G (u, v, v ), G (u, v, v) (3.16)  k G (u, v, v) Kết hợp (3.15) (3.16), ta suy G (u, v, v)  k G (u, v, v) Điều dẫn đến mâu thuẫn k [0,1) Như vậy, u điểm bất động T (2) Giả sử {y n }  X y n  u n   Khi đó, từ (3.11), ta có G (u, Tyn , Tyn )  k max  G (u, yn , yn ), G (u, Tyn , Tyn ), G ( yn , Tyn , Tyn ), G ( yn , u, u)  k max  G (u, yn , yn ), G ( yn , Tyn , Tyn )  max  k G (u, yn , yn ), k G ( yn , Tyn , Tyn ) Áp dụng tiên đề (G5) Định nghĩa 2.1.1, ta có G ( yn , Tyn , Tyn )  G ( yn , u, u)  G (u, Tyn , Tyn ) Mặt khác, G (u, Tyn , Tyn )  k G ( yn , Tyn , Tyn ) nên ta có G ( yn , Tyn , Tyn )  G ( yn , u, u)  k G ( yn , Tyn , Tyn ) Suy (1  k ) G ( yn , Tyn , Tyn )  G ( yn , u, u), kéo theo G ( yn , Tyn , Tyn )  G ( yn , u, u) 1 k Do đó, từ (3.17) ta thu k   G (u, Tyn , Tyn )  max  k G (u, yn , yn ), G ( yn , u, u)  1 k   (3.17) 45 Sử dụng tiên đề (G4) Định nghĩa 2.1.1, ta có G (u, Tyn , Tyn )  G ( Tyn , u, Tyn ) Từ bất đẳng thức ta suy k   G ( Tyn , u, Tyn )  max  k G (u, yn , yn ), G ( yn , u, u)  1 k   Lấy giới hạn hai vế bất đẳng thức n   , ta có lim G ( Tyn , u, Tyn )  n  Suy Tyn  u  Tu Do vậy, T G-liên tục u □ 46 KẾT LUẬN Luận văn đạt số kết sau: (1) Hệ thống số kiến thức khơng gian metric (2) Trình bày số khái niệm tính chất khơng gian G-metric Tìm hiểu khái niệm G-liên tục, G-hội tụ, G-Côsi không gian metric suy rộng (3) Chứng minh chi tiết số kết định lý điểm bất động không gian G-metric Do hạn chế mặt lực thời gian nghiên cứu luận văn nên chưa chứng minh nhiều kết điểm bất động không gian suy rộng G-metric 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt [1] Nguyễn Xuân Liêm (1997), Giải tích tập 1, NXB Giáo dục [2] Trần Văn Ân, Lê Thanh Quân (2012), Một số định lý điểm bất động ánh xạ khơng gian G-metric đầy đủ, Tạp chí khoa học, Trường Đại học Vinh, 41 (2A) Tiếng anh [3] Ciric Lj B (1974), A generalization of Banach’s contraction principle, Proc Amer Math Soc., 45, 267-273 [4] Mustafa Z and Sims B (2006), A new approach to generalized metric spaces, J Nonlinear Convex Anal., (2), 289-297 [5] Mustafa Z., Obiedat H., and Awawdeh F (2008), Some fixed point theorem for mapping on complete G-metric spaces, Fixed Point Theory Appl., 43, 1-12 [6] Jleli M., Samet B (2012), Remarks on G -metric spaces and fixed point theorems Fixed Point Theory Appl., 2012(1), 1-7 [7] Shatanawi W (2010), Fixed point theory for contractive mappings satisfying   maps in G-metric spaces, Fixed point Theory and Appl., 2010 ... gọi không gian G-metric (xem [4]) Sau đó, Mustafa cộng đưa nhiều định lý điểm bất động không gian G-metric không gian suy rộng không gian G-metric (xem [4], [5]) Từ đến nay, tốn điểm bất động không. .. chất không gian G-metric 23 CHƯƠNG MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN G-METRIC 31 3.1 Một mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach 31 3.2 Một số định lý điểm bất động. .. x, n  31 CHƯƠNG MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN G-METRIC Trong chương này, chúng tơi trình bày chứng minh chi tiết số định lý điểm bất động không gian G-metric tài liệu [2],