luận văn thạc sĩ tính ổn định và ổn định vững của một số lớp hệ chuyển mạch tuyến tính​

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————- LÊ VĂN NGỌC TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2020 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————- LÊ VĂN NGỌC TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 9460112.01 Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Khoa Sơn GS TSKH Phạm Kỳ Anh Hà Nội - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình tơi hồn thành hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Khoa Sơn, GS TSKH Phạm Kỳ Anh Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết nêu luận án chưa công bố cơng trình khác Hà Nội, tháng 01 năm 2020 Tác giả Lê Văn Ngọc i LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội hướng dẫn tâm huyết tận tình GS TSKH Nguyễn Khoa Sơn GS TSKH Phạm Kỳ Anh Đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới hai Giáo sư đặt tốn,dạy dỗ, bảo tận tình, chu đáo khơng q trình học tập, nghiên cứu khoa học mà sống suốt trình thực luận án Để hồn thành báo khoa học, bên cạnh giúp đỡ GS hướng dẫn đồng tác giả PGS TS Đỗ Đức Thuận, tác giả luận án nhận hỗ trợ động viên GS Trần Vũ Thiệu, PGS TSKH Vũ Hoàng Linh, ThS Nguyễn Huyền Mười Nghiên cứu sinh xin chân thành cám ơn Ban Lãnh đạo trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Phòng Sau đại học, Khoa Tốn-Cơ-Tin học, tập thể Thầy Cơ giáo mơn Tốn học Tính tốn-Tốn ứng dụng, Xêmina mơn Tốn học Tính tốn- Tốn ứng dụng trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi có ý kiến đóng góp quý báu cho tác giả suốt trình học tập làm luận án Tác giả xin cảm ơn đến Ban Lãnh đạo Học viện, Ban chủ nhiệm Khoa, Thầy Cơ giáo mơn Tốn đồng nghiệp Khoa Cơ 1, Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thông động viên, tạo điều kiện giúp đỡ công tác để nghiên cứu sinh tập trung hoàn thành luận án Tác giả xin trân trọng cảm ơn GS TSKH Vũ Ngọc Phát, GS TS Đặng Quang Á, GS TS Cung Thế Anh, PGS Nguyễn Minh Mẫn, PGS TS Lê Văn Hiện, PGS TS Tạ Duy Phượng, PGS TS Nguyễn Sinh Bảy, TS Nguyễn Trung Hiếu, TS Hà Phi, TS Nguyễn Thị Hoài đọc luận án đóng góp nhiều ý kiến để tác giả hồn thiện luận án tốt ii Tác giả chân thành cám ơn Viện nghiên cứu cao cấp toán (VIASM) tạo điều kiện, giúp đỡ khơng bố trí nơi làm việc, hoàn thiện báo với Thầy hướng dẫn năm 2018 mà cịn hỗ trợ kính phí nghiên cứu khoa học thơng qua thưởng cơng trình cho báo vào năm 2020 Bên cạnh tơi xin cảm ơn anh, chị, em, nghiên cứu sinh, bạn bè, đồng nghiệp người quan tâm tới luận án chia sẻ, động viên tác giả suốt trình học tập làm nghiên cứu sinh Đặc biệt, tác giả dành lời cảm ơn sâu sắc tới người thân mình: bố, mẹ, vợ, người thân gia đình ln sát cánh, chia sẻ động viên để cố gắng hoàn thành tốt luận án iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 1.3 Vectơ ma trận Bài toán ổn định Lyapunov Bài toán ổn định vững hệ 1.3.1 Tính ổn định vững h tính 1.3.2 Tính ổn định vững h tính có trễ Kết luận chương 1.4 Chương TÍNH ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH VỚI QUY TẮC CHUYỂN BẤT KỲ 2.1 Bán kính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính 34 2.1.1 Tính ổn định vững hệ tuyến tính: Phương pháp hàm Lyapunov toàn phương 34 2.1.2 Tính ổn định vững hệ chuyển mạch tuyến tính: Phương pháp hàm Lyapunov tồn phương 38 2.1.3 Tính ổn định vững hệ chuyển mạch tuyến tính: Cách tiếp cận nguyên lý so sánh nghiệm 45 2.2 Bán kính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ 2.2.1 2.2.2 2.3 Kết luận chương Chương TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA ĐƯỢC VỮNG CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH VỚI QUY TẮC CHUYỂN TUẦN HỒN 3.1 Tính ổn định vững hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hồn 3.1.1 Hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn chịu nhiễu cấu trúc hệ thống 3.1.2 Hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hồn chịu nhiễu hệ thống thời điểm chuyển mạch 3.2 Tính ổn định hóa vững hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hồn 3.3 Kết luận chương 103 KẾT LUẬN CHUNG DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN TÀI LIỆU THAM KHẢO R, R+ N C C+ Z ı n T K n K rK Hn + Hn Rez N Kn m + Rn m I kxk x y A B s S det A l(A) m(A) A > A lmax(A) lmin(A) s(A) smax(A), smin(A) r(A) M(A) kAk A n C([a, b], K ) BV([a, b], K p q Tập hàm có biến phân giới nội đoạn [a, ) b] K NBV([ QLF CQLF FDEs h, 0], K p q ) pq pq Tập hàm thuộc BV([a, b], K ) thỏa mãn h(q) = h(a) = 0, với q a h(q) = h(b), với q b Hàm Lyapunov toàn phương (quadratic Lyapunov functions) Hàm Lyapunov toàn phương chung (common quadratic Lyapunov functions) Phương trình vi phân hàm (functional differential equations) KẾT LUẬN CHUNG Kết đạt luận án Trong luận án này, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định, ổn định vững ổn định hóa vững số lớp hệ chuyển mạch tuyến tính Luận án thu kết sau: Đưa khái niệm bán kính ổn định cấu trúc hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển Đưa đánh giá bán kính ổn định hệ dựa hàm Lyapunov chung Chứng minh số điều kiện đủ ổn định mũ hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ tổng qt mơ tả phương trình vi phân phiếm hàm sử dụng điều kiện đánh giá độ ổn định vững hệ ma trận hệ chịu nhiễu cấu trúc affine Đưa khái niệm bán kính ổn định cấu trúc cho hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn đưa đánh giá bán kính ổn định Hướng nghiên cứu Mở rộng kết luận án cho hệ thống chuyển mạch mơ tả phương trình sai phân, phương trình thang thời gian, phương trình vi phân đại số hệ vô hạn chiều Xây dựng đánh giá tính ổn định vững với giả thiết nhẹ lớp nhiễu tổng quát Xây dựng thuật tốn đánh giá tính bán kính ổn định 104 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [CT1] Thuan D.D., Ngoc L.V (2019), "Robu ability for periodically switched linear systems", Applied Mathematics and Computation 361(15), pp 112-130 (SCIE-Q1) [CT2] Son N.K., Ngoc L.V (2020), "On robu systems", IET Control Theory & Applications 14, pp 19-29 (SCI-Q1) [CT3] Son N.K., Ngoc L.V (2020), "Robust delay switched linear systems" (gửi đăng tạp chí ISI) 105 TÀI LIỆU THAM KHẢO [ Tiếng Việt [1] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2003), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, Nhà xuất giáo dục Hà nội [2] Phạm Hữu Anh Ngọc (2018), Ổn định mũ phương trình vi phân phiếm hàm, NXB Đại học Quốc gia TPHCM [3] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình tối ưu phi tuyến, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [ Tiếng Anh [4] A.A Agrachev, D Liberzon (2001), "Lie-algebraic stability criteria for switched systems", SIAM Journal on Control and Optimization 40, pp 253-269 [5] P.K Anh, P.T Linh (2017), "Stability of periodically switched discretetime linear singular systems", Journal of Difference Equations and Applica-tions 23, pp 1680-1693 [6] M.A.Bagherzadeh, J.Ghaisari, J.Askari (2016), "Robust exponential stabil-ity and stabilisation of parametric uncertain switched linear systems un-der arbitrary switching", IET Control Theory and Applications 10, pp 381-390 [7] F Blanchini, P Colaneri, M E Valcher (2015), Switched positive linear sys-tems, Foundations and Trends in Systems and Control 2, pp 101-273 [8] R Bhatia (1997), Matrix Analysis, Springer-Verlag, New York [9] A Berman, R.J Plemmons (1979), Nonnegative Matrices in the Mathemati-cal Sciences, Academic Press, New York 106 [10] P Bolzern, P Colaneri (2013), "Switched periodic systems in discrete time: stability and input-output norms", International Journal of Control 86, pp 1258-1268 [11] S Boyd, L Vandenberghe (2004), Convex Optimization, Cambridge Uni-versity Press, New York [12] M.S Branicky (1998), "Multiple Lyapunov functions and other analysis tools for switched and hybrid systems", IEEE Transactions on automatic control 43, pp 475-482 [13] X Dai, Y Huang, M Xiao (2011),"Periodically switched stability in-duces exponential stability of discrete-time linear switched systems in the sense of Markovian probabilities", Automatica 47, pp 1512-1519 [14] X Dai (2014), "Robust periodic stability implies uniform exponential sta-bility of Markovian jump linear systems and random linear ordinary dif-ferential equations", J Franklin Inst 351, pp 29102937 [15] X Dai, Y Huang, M Xiao (2015), "Pointwise stability of discrete-time stationary matrix-valued Markovian processes", IEEE Transactions on au-tomatic control 60, pp 1898-1903 [16] N.H Du, V.H Linh (2006), "Stability radii for linear timevarying differ-ential–algebraic equations with respect to dynamic perturbations", Jour-nal of Differential Equations 230(2),pp 579-599 [17] S Elaydi (2005), An Introduction to Difference Equations, Springer Verlag, New York [18] L Farina, S Rinaldi (2000), Positive Linear Systems: Theory and Applications, Wiley-Interscience, Series on Pure and Applied Mathematics, New York [19] L Fainshil , M Margaliot , P Chigansky (2009), "On the stability of posi-tive linear switched systems under arbitrary switching laws", IEEE Trans Automat Control 54, pp 897–899 [20] E Fornasini , M.E Valcher (2010), "Linear copositive Lyapunov functions for continuous-time positive switched systems", IEEE Trans Automat Control 55, pp 1933-1937 107 [21] Z.Gajic, M.Tahir, J.Qureshi (1995), Lyapunov Matrix Equation in System Sta-bility and Control, Academic Press, San Diego [22] X Gao, D Liberzon, J Liu, T Basar (2018), "Unified stability criteria for slowly time-varying and switched linear systems", Automatica 96, pp 110-120 [23] J.C Geromel, P Colaneri (2006), "Stability and stabilization of continuous-time switched linear systems", SIAM J Control Optim 45, pp 1915-1930 [24] C Goăkcek (2004), "Stability analysis of periodically switched linear sys-tems using Floquet theory", Math Prob Eng 1, pp 1-10 [25] W.M Haddad, V Chellaboina (2004), "Stability theory for nonnegative and compartmental dynamical systems with time delay", Systems Control Lett 51, pp 355-361 [26] W.M Haddad, V Chellaboina (2008), Nonlinear Dynamical Systems and Control: A Lyapunov-Based Approach, Princeton university press, Prince-ton [27] J Hale, S V Lunel (1993), Introduction to Functional Differential Equations, Springer-Verlag, New York [28] L Hetel (2007), Robust stability and control of switched linear systems , PhD Thesis, TU Eindhoven [29] E Hewitt, K.R Stromberg (1965), Real and Abstract Analysis, Springer-Verlag, New York [30] D Hinrichsen, A Ilchmann, A.J Pritchard (1989), "Robustness of stabil-ity of time-varying linear systems", Journal of Differential Equations, 82(2), 219-250 [31] D.Hinrichsen, B.Kelb, A Linnemann (1989), "An algorithm for the com-putation of the structured complex stability radius", Automatica 25(5), pp 771-775 [32] D.Hinrichsen, N.K.Son (1998), "Stability radii of positive discrete-time systems under parameter perturbations", International Journal of Robust and Nonlinear Control 4, pp 1169-1188 108 [33] D.Hinrichsen, A.J.Pritchard (1986), "Stability radii of linear systems", Systems & Control Letters 7, pp 1-10 [34] D Hinrichsen, A.J Pritchard (1986), "Stability radii of linear systems", Systems & Control Letters 8, pp 105-113 [35] D Hinrichsen, A.J Pritchard (2005), Mathematical Systems Theory I, Springer, Berlin [36] R.A Horn, C.R Johnson (1985), Matrix Analysis, Cambridge Unviversity Press, London (1985) [37] B Jacob (1998), "A formula for the stability radius of timevarying sys-tems", Journal of Differential Equations 142, pp 167-187 [38] S Kim, S.A Campbell, X Liu (2006), "Stability of a class of linear switch-ing systems with time delay", IEEE Trans Circuits Syst 53, pp 384-393 [39] A Kundu, D Chatterjee (2015), "Stabilizing switching signals for switched system", IEEE Trans Automat Control 60, pp 882-888 [40] T.J.Laffey, H.Smigoc (2009), "Common Lyapunov solutions for two ma-trices whose difference has rank one", Linear Algebra and its Applications 431, pp 228-240 [41] Boston D Liberzon (2003), Switching in Systems and Control, Birkhauser, [42] D Liberzon, S Trenn (2009), "On stability of linear switched differential algebraic equations", Proc IEEE 48th Conf Decision Control, pp 2156-2161 [43] H.Lin, P.J Antsaklis (2005), "Stability and stabilizability of switched lin-ear systems: A short survey of recent results", Proc IEEE Mediterranean Conference on Control and Automation Intelligent Control, pp 24-29 [44] H.Lin, P.J Antsaklis (2009), "Stability and stabilizability of switched lin-ear systems: A survey of recent results", IEEE Trans Automat Control 54, pp 308-332 [45] V.H Linh, D.D Thuan (2015), "Spectrum-based robust stability analy-sis of linear delay differential-algebraic equations", In Numerical Algebra, 109 Matrix Theory, Differential-Algebraic Equations and Control Theory, pp 533-557 [46] X Liu, C Dang (2011), "Stability analysis of positive switched linear sys-tems with delays", IEEE Trans Automat.Control 56, pp 16841690 [47] L Liu, Q Zhou , H Liang, L Wang (2017), "Stability and stabilization of nonlinear switched systems under average dwell time", Appl Math Comput 298, pp 77-94 [48] Y Li, Y Sun , F Meng (2017), "New criteria for exponential stability of switched time-varying systems with delays and nonlinear disturbances", Nonlinear Anal Hybrid Syst 26, pp 284-291 [49] Y Li, Y Sun, F Meng, Y Tian (2018), "Exponential stabilization of switched time-varying systems with delays and disturbances", Appl Math Comput 324, pp 131-140 [50] X Liu, W Yu, L Wang (2010), "Stability analysis for continuous-time pos-itive systems with time-varying delays", IEEE Trans Automat Control 55, pp 1024 -1028 [51] C King, M Nathanson (2006), "On the existence of a common quadratic Lyapunov function for a rank one difference", Linear Algebra and its Ap-plications 419, pp 400-416 [52] O.Mason, R.N Shorten (2006), "On the simultaneous diagonal stability of a pair of positive linear systems", Linear Algebra and its Applications 23, pp 13-23 [53] O Mason, R Shorten (2007), "On linear copositive Lyapunov functions and the stability of switched positive linear systems", IEEE Trans Au-tomat.Control 52, pp 1346-1349 [54] Z Meng, W Xia, K H Johansson, S Hirche (2017), "Stability of Posi-tive Switched Linear Systems: Weak Excitation and Robustness to Time-Varying Delay", IEEE Trans Automat Control 62, pp 399-405 [55] Y Mori, T Mori, Y.Kuroe (1997), "A solution to the common Lyapunov function problem for continuous-time systems", Proceedings of the 36th Conference on Decision and Control, (San Diego, California) pp 35303531 110 [56] A P Molchanov, E.S.Pyatnitskiy (1989), "Criteria of asymptotic stability of differential and difference inclusions encountered in control theory", Systems Control Lett 13, pp 59-64 [57] K S Narendra, J Balakrishnan (1994), "A common Lyapunov function for stable LTI systems with commuting A-matrices", IEEE Transactions on automatic control 39, pp 2469-2471 [58] P H A Ngoc (2013), "Novel criteria for exponential stability of functional differential equations", Proc American Math Soc 141, pp 3083-3091 [59] P H A Ngoc, T Naito, J S Shin (2007), " Characterizations of positive linear functional differential equations", Funkc Ekvacioj 50, pp 17 [60] P H A Ngoc, N K Son (2005), "Stability radii of positive linear func-tional differential equations under multi-perturbations", SIAM J Control and Optimization 43, pp 2278-2295 [61] R V Patel, M Toda (1980), "Quantitative measures of robustness for mul-tivariable systems", Proceedings of Joint Automatic Control Conference, San Francisco, CA [62] P Peleties, R A DeCarlo (1991), "Asymptotic stability of mswitched sys-tems using Lyapunov-like functions", Proceedings of the American Control Conference, IEEE, New Jersey, pp 1679-1684 [63] V.N Phat, S Pairote (2006), "Global stabilization of linear periodically time-varying switched systems via matrix inequalities", Journal of Control Theory and Applications 4, pp 26-31 [64] L Qiu, B Bernhardsson, A Rantzer, E J Davison, P M Young, J C Doyle (1995), "A formula for computation of the real structured stability radius", Automatica 31, pp 879-890 [65] N K Son, D Hinrichsen (1996), "Robust stability of positive continuous-time systems", Numerical functional analysis and optimization 17, pp.649-659 [66] N.K Son, P H A Ngoc (1999), "Robust stability of positive linear time delay systems under affine parameter perturbations", Acta Mathematica Vietnamica 24 (3), pp.353-372 111 [67] N K Son, P H A Ngoc (2001),"Robust stability of linear functional dif-ferential equations", Advanced Studies in Contemporary Mathematics (Pu-san) 3, pp.43-59 [68] R Shorten, F Wirth, F Mason, K Wulff, C King (2007), "Stability criteria for switched and hybrid systems", SIAM Review 47, pp 545-592 [69] R Shorten, K S Narendra (2002), "Necessary and sufficient conditions for the existence of a common quadratic Lyapunov function for a finite number of stable second order linear time invariant systems", Inter J Adapt Control Signal Process 16, pp 709-728 [70] J Sreedhar, P Van Dooren, A Tits ( 1996), "A fast algorithm to compute the real stability radius", Stability Theory Birkhauser, Basel pp 219-231 [71] Z Sun, S S Ge (2011), Stability Theory of Switched Dynamical Systems, Springer, London [72] Y Sun (2016), "Stability analysis of positive switched systems via joint linear copositive Lyapunov functions", Nonlinear Anal Hybrid Syst 19, pp 146-152 [73] X Sun, W Wang, G Liu, J Zhao (2008), "Stability analysis for linear switched systems with time-varying delay", IEEE Trans Syst Man, Cyber Part B: Cyber 38, pp 528-533 [74] J Tokarzewski (1987), "Stability of periodically switched linear systems and the switching frequency", International Journal of Systems Science 18, pp 697-726 [75] Q.Yu, B.Wu (2013), "Robust stability analysis of uncertain switched lin-ear systems with unstable subsystems", International Journal of Systems Science 21, pp 1-11 [76] G Zhai, X Xu, H Lin, A N Michel (2006), "Analysis and design of switched normal systems", Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Ap-plications 12, pp 2248-2259 [77] L Zhang, P Shi, M Basin (2007), "Robust stability and stabilisation of un-certain switched linear discrete time-delay systems", IET Control Theory and Applications 2, pp 606-614 112 ... giá độ ổn định vững hệ chuyển mạch tuyến tính hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ thơng qua khái niệm bán kính ổn định có cấu trúc Chương Tính ổn định ổn định hóa vững hệ chuyển mạch tuyến tính với... định vững hệ 1.3.1 Tính ổn định vững h tính 1.3.2 Tính ổn định vững h tính có trễ Kết luận chương 1.4 Chương TÍNH ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH VỚI... Chương TÍNH ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH VỚI QUY TẮC CHUYỂN BẤT KỲ Chương chúng tơi trình bày điều kiện đủ để hệ chuyển mạch tuyến tính với tín hiệu chuyển mạch hệ chuyển mạch tuyến tính