Đang tải... (xem toàn văn)
Đối với luận văn này, chúng tôi hướng tới việc tìm hiểu một số tính chất của trường giá trị của các đặc trưng bất khả quy bậc lẻ của một nhóm hữu hạn.. Tiếp theo chúng tôi tập trung tìm [r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ -
Quản Thị Hoài Thu
TRƯỜNG GIÁ TRỊ CỦA CÁC ĐẶC TRƯNG PHỨC BẤT KHẢ QUY CỦA MỘT SỐ NHÓM HỮU HẠN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
(2)BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ -
Quản Thị Hoài Thu
TRƯỜNG GIÁ TRỊ CỦA CÁC ĐẶC TRƯNG PHỨC BẤT KHẢ QUY CỦA MỘT SỐ NHÓM HỮU HẠN
Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 46 01 04
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH Phạm Hữu Tiệp PGS TS Đoàn Trung Cường
(3)1
LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan viết luận văn tìm tịi, học hỏi thân hướng dẫn tận tình thầy Phạm Hữu Tiệp thầy Đoàn Trung Cường Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa công bố phương tiện Tơi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan
Hà Nội, tháng 12 năm 2020 Học viên
(4)LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến GS TSKH Phạm Hữu Tiệp PGS TS Đoàn Trung Cường GS TSKH Phạm Hữu Tiệp người hướng dẫn tơi tìm hướng nghiên cứu, thầy dành nhiều thời gian quý báu để hướng dẫn giảng giải cho tơi Đồng thời, PGS TS Đồn Trung Cường người trực tiếp trao đổi, dẫn dắt theo sát tôi, thầy quan tâm động viên suốt trình làm luận văn Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình thầy suốt thời gian dài
Hơn nữa, xin chân thành cảm ơn thầy cô thuộc phịng Đại số lý thuyết số, Viện Tốn học góp ý tạo điều kiện để tơi hồn thành luận văn Đặc biệt, tơi xin cảm ơn PGS TS Nguyễn Duy Tân giúp đỡ dẫn quý báu thầy
Tôi xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi sở đào tạo Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam trình thực luận văn
Lời cảm ơn cuối tơi xin gửi đến gia đình, người thân bạn bè sát cánh, động viên khích lệ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu
Hà Nội, tháng 12 năm 2020 Học viên
(5)Mục lục
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Mở đầu 5 1 Kiến thức chuẩn bị 7 1.1 Các biểu diễn đặc trưng nhóm
1.2 Đặc trưng hạn chế đặc trưng cảm sinh 17
2 Bảng đặc trưng số nhóm hữu hạn 25 2.1 Nhóm tuyến tính tổng qt 25
2.1.1 Bảng đặc trưng nhómGL(2, q) 27
2.1.2 Bảng đặc trưng nhómGL(3, q) 35
2.2 Nhóm tuyến tính đặc biệt 43
2.2.1 Bảng đặc trưng nhómSL(2, q) 43
2.2.2 Bảng đặc trưng nhómSL(3, q) 48
3 Trường giá trị đặc trưng bất khả quy bậc lẻ 53 3.1 Trường giá trị đặc trưng bất khả quy bậc lẻ 53
3.2 Chứng minh Định lý 3.1.8 nhóm tuyến tính đặc biệt 63 3.3 Một số ví dụ 75
Kết luận 79
Tài liệu tham khảo 80
(6)DANH MỤC CÁC BẢNG
Số hiệu bảng Tên bảng Trang
2.1 Bảng lớp liên hợp củaGL(2, q) 30
2.2 Bảng lớp liên hợp củaP(1,1) 33
2.3 Bảng đặc trưng nhómGL(2, q) 35
2.4 Bảng lớp liên hợp củaGL(3, q) 36
2.5 Bảng đặc trưng nhómGL(3, q) 41
2.6 Bảng lớp liên hợp củaSL(2, q), q lẻ 45
2.7 Các đặc trưng GL(2, q) hạn chế xuốngSL(2, q)
45
2.8 Bảng đặc trưng nhómSL(2, q),q lẻ 47
2.9 Bảng lớp liên hợp SL(2, q), q chẵn
48
2.10 Bảng đặc trưng nhóm SL(2, q), q chẵn
48
2.11 Bảng lớp liên hợp củaSL(3, q) 49
2.12 Bảng đặc trưng nhómSL(3, q) 51
(7)5
MỞ ĐẦU
Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn lĩnh vực Đại số có liên hệ sâu sắc với nhiều lĩnh vực khác Toán học Cho V không gian véctơ hữu hạn chiều trườngF, biểu diễn nhómGlà đồng cấu
nhóm từGvào nhóm tự đẳng cấu củaV Nếu ta cố định sở củaV tự đẳng cấu trênV tương ứng với ma trận khả nghịch lấy hệ số F, hay ta có tương ứng phần tử Gvới ma trận khả nghịch Đặc trưng nhóm định nghĩa ánh xạ tương ứng phần tử củaGvới vết ma trận khả nghịch Nếu ta xétF trường số phức Cthì giá trị đặc trưng nằm vành số nguyên đại số C Trường giá trị đặc trưng mở rộng trênQ giá trị đặc trưng Cho tới bây giờ, cịn nhiều tốn câu hỏi hấp dẫn liên quan đến đặc trưng nhóm
Đối với luận văn này, chúng tơi hướng tới việc tìm hiểu số tính chất trường giá trị đặc trưng bất khả quy bậc lẻ nhóm hữu hạn Trước tiên nghiên cứu cách xây dựng bảng đặc trưng số nhóm hữu hạn như: nhóm tuyến tính tổng qtGL(2, q), GL(3, q)và nhóm tuyến tính đặc biệtSL(2, q), SL(3, q) Tiếp theo chúng tơi tập trung tìm hiểu số kết trường giá trị đặc trưng bất khả quy bậc lẻ nhóm hữu hạn cơng bố báo "I.M Isaacs, M.W Liebeck, G Navarro, P.H Tiep, Fields of values of odd-degree irreducible characters, Advances in Mathematics 354 (2019), 1-26", đưa số ví dụ tính toán trường giá trị đặc trưng bất khả quy, dựa bảng đặc trưng số nhóm tìm hiểu
Nội dung luận văn gồm gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
(8)lý quan trọng chương Định lý Clifford (Định lý 1.2.3) Định lý thuận nghịch Frobenius (Định lý 1.2.11) nói mối quan hệ đặc trưng nhóm với nhóm
Chương 2: Bảng đặc trưng số nhóm hữu hạn
Chương gồm mục lớn, trình bày cách xây dựng bảng đặc trưng số nhóm hữu hạn Trong mục thứ nhất, chúng tơi trình bày cách xây dựng bảng đặc trưng nhóm tuyến tính tổng qt: nhómGL(2, q), nhómGL(3, q) Bảng đặc trưng nhóm xây dựng chủ yếu dựa đặc trưng cảm sinh từ nhóm dựa theo kết R Steinberg Ở mục thứ hai, chúng tơi trình bày cách xây dựng bảng đặc trưng nhóm tuyến tính đặc biệt: nhómSL(2, q), nhómSL(3, q) Bảng đặc trưng nhóm xây dựng chủ yếu dựa đặc trưng hạn chế từ nhómGL(2, q),
GL(3, q)và dựa theo kết Simpson-Frame Chương 3: Trường giá trị đặc trưng bất khả quy bậc lẻ
(9)Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương chúng tơi trình bày ngắn gọn số kiến thức biểu diễn đặc trưng nhóm hữu hạn, kết Bổ đề Schur, Định lý Clifford Định lý thuận nghịch Frobenius Các kiến thức sử dụng cho chương tham khảo theo tài liệu [1], [2]
Trong luận văn này, ta ký hiệuGlà nhóm hữu hạn
1.1 Các biểu diễn đặc trưng nhóm
Ký hiệu GL(n,F) nhóm ma trận khả nghịch cỡn×nlấy hệ số trường F Nếu F trường hữu hạn chứa q phần tử GL(n,F) ký hiệu làGL(n, q)
Định nghĩa 1.1.1. Một biểu diễn nhóm G trênF đồng cấu nhómρ
từGvào nhómGL(n,F)với số nguyênn > Sốnđược gọi làbậccủa ρ
Ví dụ 1.1.2. Cho G nhóm hữu hạn bất kỳ, đồng cấu nhóm ρ : G →
C, g 7→ 1là biểu diễn bậc1của nhómG Biểu diễn gọi
làbiểu diễn tầm thường củaG Nhóm D8 =
a, b | a4 = b2 = 1, b−1ab = a−1 có biểu diễn bậc hai
(10)làρ : D8 → GL(2,C)thỏa mãn
ρ(a) =
0
−1
, ρ(b) =
1
0 −1
Định nghĩa 1.1.3. Cho V không gian véctơ hữu hạn chiều F Khi
đó V gọi FG-mơđun V có phép nhân G × V →
V,(g, v) 7→ vg thỏa mãn điều kiện sau
(1) vg ∈ V,
(2) v(gh) = (vg)h,
(3) v1 = v,
(4) (λv)g = λ(vg),
(5) (u+v)g = ug +vg
Trong đó, u, v ∈ V, g, h ∈ Gvà λ ∈ F
Ví dụ 1.1.4. Giả sử V C-khơng gian véctơ chiều G nhóm hữu
hạn TrênV ta định nghĩa phép nhân vg := v
với v ∈ V, g ∈ G V với phép nhân định nghĩa lập thành mộtCG-môđun
2 Cho V C-không gian véctơ chiều với sở {v1, v2} nhóm
D8 =
a, b | a4 = b2 = 1, b−1ab = a−1 TrênV định nghĩa phép nhân
v1a := v2, v2a := −v1;
v1b := v1, v2b := −v2
(11)9
Từ định nghĩa FG-môđun, ta xét ánh xạ V xác định ϕg : v 7→vg thìϕg ánh xạ tuyến tính trênV Khi đó, cố định sở BcủaV, ϕg có ma trận biểu diễn tương ứng ma trận vuông lấy hệ số trênF, ma trận ta đặt là[g]B Khi đó, ánh xạ g 7→ [g]B biểu diễn nhómG
Định nghĩa 1.1.5. ChoV mộtFG-môđun Một không gian véctơ conW
V gọi FG-môđun con V wg ∈ W với w ∈ W
g ∈ G
Định nghĩa 1.1.6. MộtFG-môđunV gọi làbất khả quynếu V 6= vàV
khơng có mơđun khác ngoại trừ0và
Nếu FG-mơđun V có FG-mơđun khác khác thìV gọi khả quy
Ví dụ 1.1.7. Cho nhóm xyclic C3 =
a | a3 = Giả sử V F-không gian véctơ chiều với sở {v1, v2, v3} Xét phép nhân V cho
bởi
v1a = v2, v2a = v3, v3a = v1
V với phép nhân định nghĩa lập thành FC3-mơđun V có
mộtFC3-mơđun W sinh bởiv1+v2 +v3 Hơn nữa,W cịn FC3-mơđun
bất khả quy vìW có chiều bằng1
Định lý 1.1.8(Định lý Maschke). [2, Định lý 8.1] ChoF = Rhoặc Cvà V là
mộtFG-môđun NếuU là mộtFG-môđun củaV thì tồn mộtFG-mơđun
conW của V sao choV = U ⊕W.
Định lý Maschke nói chung khơng nếuFlà trường có đặc sốp Thật vậy, cho nhóm xyclic G = Cp = | ap = 1i Fp trường hữu hạn gồm p phần tử XétFpG-môđun V với sở{v1, v2}và
(12)trong đó0≤ j ≤p−1 Rõ ràng,U = hv1i mộtFpG-môđun củaV Giả sử tồn mộtFpG-môđun con1chiều W củaV cho V = U ⊕W, giả sử W = hλ1v1 +λ2v2i Khi (λ1v1 +λ2v2)aj = k(λ1v1 + λ2v2) với k ∈ F×p Mặt khác,
(λ1v1 + λ2v2)aj = (λ1 +λ2j)v1 +λ2v2
Do đó,kλ2 = λ2 và(k−1)λ1 −λ2j = Ta suy λ2 = 0hayU = W (mâu
thuẫn)
Nhờ định lý Maschke, CG-mơđunV viết thành tổng trực tiếp cácCG-môđun bất khả quy
V = U1 ⊕U2 ⊕ .⊕Ur,
trong cácUi cácCG-mơđun bất khả quy V
Bổ đề Schur cho ta số kết biểu diễn nhóm giao hốn
Bổ đề 1.1.9(Bổ đề Schur). [2, Bổ đề 9.1] Cho V và W là hai CG-môđun bất
khả quy.
(1) Nếu ϕ : V → W là một CG-đồng cấu hoặc ϕ là một CG-đẳng cấu
hoặcϕ(v) = 0với mọiv ∈ V.
(2) Nếuϕ : V →V là mộtCG-đẳng cấu thìϕ = λ1V với λ ∈ C nào đó. Một kết quan trọng nhờ Bổ đề Schur phát biểu sau
Mệnh đề 1.1.10. [2, Mệnh đề 9.5] Mọi biểu diễn bất khả quy nhóm giao
hốnGđều có bậc1.
Ví dụ 1.1.11. Cho nhóm giao hốn G = Cn1 × Cn2 với Cni, i = 1,2,
nhóm xyclic cấp ni sinh gi Gọi i, i = 1,2, nguyên thủy bậcni đơn vị trongC Khi đó, với mọi0≤ j1 ≤ n1−1và0 ≤ j2 ≤n2−1, ta có
ρj1j2(g1, g2) =
j1
(13)11
là biểu diễn bậc1của nhómG
Hai phần tửx, y ∈ Gđược gọi làliên hợpvới tồn phần tửg ∈ G cho y = xg := g−1xg Tập hợp tất phần tử G liên hợp với x ký hiệu
xG := {xg : g ∈ G}
và gọi làlớp liên hợpcủaxtrong G
Ví dụ 1.1.12. Giả sử G = S3 nhóm hốn vị bậc Khi đóS3 có 3lớp
liên hợp là1G,(1 2)G = {(1 2),(1 3),(2 3)}và (1 3)G = {(1 3),(1 2)}
Mệnh đề 1.1.13. [2, Định lý 12.8]Số phần tử lớp liên hợp của x∈ Glà
xG
=
|G| |CG(x)|
,
trong đó|CG(x)|là nhóm tâm hóa phần tửxtrongG.
Từ bây giờ, ta giả sử Flà trường số phứcC
Định nghĩa 1.1.14. Giả sửGlà nhóm hữu hạn vàV mộtCG-mơđun với
cơ sở làB Khi hàm χ : G→ Ccho χ(g) = tr[g]B,
được gọi đặc trưngcủa nhóm Gtương ứng với CG-mơđun V Số chiều không gianV gọi làbậc đặc trưngχ
Các đặc trưng có bậc gọi đặc trưng tuyến tính Đặc trưng tương ứng với CG-môđun bất khả quy gọi làđặc trưng bất khả quy Tập hợp tất đặc trưng bất khả quy nhómGđược ký hiệu làIrr(G)
(14)nhómGthì χ(g) = tr(ρ(g)) đặc trưng nhóm Gvà tương ứng vớiCG-mơđunCn
Định nghĩa 1.1.15. Choχlà đặc trưng củaG Khi đóhạt nhâncủaχđược
định nghĩa
Kerχ := {g ∈ G | χ(g) =χ(1)}
Nếuρlà biểu diễn tương ứng với đặc trưngχthìKerρ = Kerχ[2, Định lý 13.11]
Ví dụ 1.1.16. Cho nhóm xyclicC3 =
a | a3 = Ánh xạ a 7→e2πi/3 đặc trưng tuyến tính củaC3
2 Xét nhóm D8 Ví dụ 1.1.2(2), giá trị đặc trưng χ tương ứng
với biểu diễnρtrong ví dụ này, đại diện lớp liên hợp củaD8
là
1 a a2 b ab
χ −2 0
Mệnh đề 1.1.17. [2, Mệnh đề 13.15] Giả sử χ là đặc trưng nhóm G.
Định nghĩa hàmχ : G →Cqua phép liên hợp phức sau
χ(g) := χ(g)
Hàm χ cũng đặc trưng nhóm G Hơn nữa, χ là bất khả quy và chỉ khiχlà bất khả quy.
Sau ta có số tính chất đặc trưng nhóm Với g ∈ Gbất kỳ, ký hiệu|g|là cấp phần tử g nhómG
Mệnh đề 1.1.18. [2, Mệnh đề 13.9] Giả sử χ là đặc trưng nhóm G
(15)13
(1) χ(1) = dimV,
(2) χ(g)là tổng đơn vị bậc m,
(3) χ(g−1) =χ(g),
(4) χ(g)là số thực nếu g liên hợp vớig−1.
Mệnh đề 1.1.19. [2, Định lý 22.11]Nếu χlà đặc trưng bất khả quy củaG
thìχ(1) | |G|.
Theo Mệnh đề 1.1.18(2), χ(g) nằm vành số nguyên đại số C với mọig ∈ G Hơn nữa, mệnh đề sau cho ta điều kiện để χ(g)là số nguyên
Mệnh đề 1.1.20. [2, Hệ 22.6] Cho g là phần tử có cấp bằng n trong
G Giả sử g liên hợp với phần tử gi với ≤ i ≤ n và (i, n) = 1 Khi đó
χ(g) là số nguyên với đặc trưngχ củaG.
Nếuχ(g) ∈ Zvàgcó cấp lũy thừa số ngun tốpthì giá trịχ(g)
có liên hệ với bậc đặc trưng tính chất sau
Mệnh đề 1.1.21. [2, Hệ 22.27] Cho p là số nguyên tố Giả sửg ∈ G
vàg có cấp lũy thừa của p Khi đó, nếu χlà đặc trưng nhóm Gsao choχ(g) ∈ Z thì
χ(g) ≡χ(1) (modp)
Khái niệm tích vơ hướng hai đặc trưng cho ta cơng cụ quan trọng để xác định tính bất khả quy đặc trưng, mối quan hệ đặc trưng với đặc trưng bất khả quy
Định nghĩa 1.1.22. Giả sửχ, ψ ánh xạ từGvàoC Khi đótích vơ hướng
củaχ, ψ định nghĩa sau
hχ, ψi = |G|
X
g∈G
(16)Để ý, χ, ψ hai đặc trưng nhómGthì ta có
hχ, ψi = hψ, χi = |G|
X
g∈G
χ(g)ψ(g−1)
Hơn nữa, G có l lớp liên hợp đại diện lớp liên hợp g1, , gl
hχ, ψi = l
X
i=1
χ(gi)ψ(gi−1) |CG(gi)|
(1.1.1)
Tính trực giao đặc trưng bất khả quy nhóm tính chất thú vị quan trọng, sở để ta có quan hệ trực giao bảng đặc trưng cơng cụ để xét tính bất khả quy đặc trưng Trước tiên, tính chất trực giao phát biểu sau
Định lý 1.1.23. [2, Định lý 14.12] Giả sử χ và ψ là hai đặc trưng bất khả quy
phân biệt nhómG Khi đó
hχ, χi = 1,hχ, ψi =
Mặt khác, nhờ tính trực giao đặc trưng bất khả quy, đặc trưng nhóm ln viết thành tổ hợp tuyến tính đặc trưng bất khả quy với hệ số số nguyên không âm
Định lý 1.1.24. [2, Định lý 14.17] Giả sử Irr(G) = {χ1, , χk} và ψ là một
đặc trưng của G Khi đóψ có thể viết thành
ψ = d1χ1 + .+dkχk,
trong đód1, , dk là số nguyên không âm Hơn nữa,
di = hψ, χii và hψ, ψi = k
X
i=1
(17)15
Các đặc trưng χi có hệ sốdi 6= phân tích gọi thành
phần bất khả quy ψ Dựa vào Định lý 1.1.24, ta có hệ quan trọng sau, áp dụng nhiều việc tính tốn đặc trưng bất khả quy nhóm
Hệ 1.1.25. [2, Định lý 14.20]Một đặc trưngχ của nhómGlà bất khả quy
khi khihχ, χi = 1.
Mặt khác, số lượng đặc trưng bất khả quy số lớp liên hợp nhóm [2, Định lý 15.3] Tính chất thú vị cho ta thông tin bảng đặc trưng nhóm
Định nghĩa 1.1.26. Giả sử Irr(G) = {χ1, , χk} g1, , gk đại diện
của lớp liên hợp củaG.Bảng đặc trưngcủa nhóm Glà ma trận vng cỡk×k mà giá trị vị trí(i, j)là χi(gj)
Định nghĩa 1.1.27. Trường giá trị đặc trưngχ mở rộng Q
các giá trị đặc trưngχ, ký hiệu Q(χ)
Ví dụ 1.1.28. Cho w = e2πi/3 = −21 +
√ −3
2 , bảng đặc trưng nhóm
C3 =
a | a3 = 1là
1 a a2
χ1 1
χ2 w w2
χ3 w2 w
Ở đây, trường giá trị củaχ2 làQ(χ2) = Q(1, w, w2) =Q(
√ −3)
(18)1 (1 2)(3 4) (1 3) (1 5) (1 4)
χ1 1 1
χ2 −1 −1
χ3 −1 0
χ4 −1 12 + √ 2 − √
χ5 −1 12 − √ 2 + √
Ở đây, trường giá trị củaχ4
Q(χ4) = Q 3,−1,0,
1 + √ , − √ !
= Q(√5)
Trong bảng đặc trưng, hàng (hoặc cột) khơng hồn tồn độc lập với Một tính chất mối quan hệ hàng (hoặc cột) quan trọng tính chất trực giao Quan hệ trực giao cho ta cơng cụ hữu ích để tính tốn giá trị đặc trưng nhóm, phát biểu định lý sau
Định lý 1.1.29. [2, Định lý 16.4]ChoIrr(G) ={χ1, χ2, , χk}vàg1, , gk
là đại diện lớp liên hợp nhómG Khi với bất kỳr, s ∈ {1, , k}, ta có quan hệ sau:
(1) Quan hệ trực giao theo hàng
k
X
i=1
χr(gi)χs(gi) |CG(gi)|
= δrs
(2) Quan hệ trực giao theo cột
k
X
i=1
χi(gr)χi(gs) =δrs|CG(gs)|
(19)17
ω ∈ Ω làm sở ký hiệu không gian véctơ CΩ Các véctơ thuộc CΩ
có dạng
X
ω∈Ω
λωω (λω ∈ C) Trên CΩta định nghĩa phép nhân
X
ω∈Ω
λωω
!
g = X
ω∈Ω
λω(ωg)
Định nghĩa 1.1.30. C - không gian véctơ CΩ với phép nhân định nghĩa
như lập thành CG-môđun gọi môđun hốn vị G Đặc trưng tương ứng vớiCG-mơđun hốn vị gọi đặc trưng hoán vị
Giả sử π đặc trưng hốn vị tương ứng vớiCG-mơđun CΩ Cố định sở{ω ∈ Ω}củaCΩ, giá trị củaπ tạig ∈ Gcho
π(g) = |fixΩ(g)|
trong đófixΩ(g) ={ω ∈ Ω | ωg = ω}
1.2 Đặc trưng hạn chế đặc trưng cảm sinh
Việc tạo biểu diễn đặc trưng nhóm quan trọng lý thuyết biểu diễn Đặc trưng hạn chế đặc trưng cảm sinh hai cách tạo đặc trưng hữu ích cho mục đích
Cho H nhóm nhóm G Nếu V CG-mơđun V CH-mơđun Vì điều kiện (1)-(5) để V CH-môđun Định nghĩa 1.1.3 thỏa mãn với g, h ∈ H Ký hiệu V ↓ H
CH-môđun tương ứng vàV ↓ H gọi làhạn chế V lênH
Định nghĩa 1.2.1. Nếuχlà đặc trưng tương ứng vớiCG-mơđunV đặc trưng
(20)phần tử củaH Đặc trưng gọi làđặc trưng hạn chếcủaχxuống H ký hiệuχ ↓ H
Tập hợp tất thành phần bất khả quy có mặt phân tích χ ↓ H ký hiệu làIrr(χ ↓ H)
ChoN Gvàθ ∈ Irr(N) Vớig ∈ G, hàm θg : N →Cđược cho θg(x) := θ(g−1xg)
Ta dễ dàng chứng minh hàmθg đặc trưng bất khả quy củaN nhờ Hệ 1.1.25
Định nghĩa 1.2.2. Đặc trưngθg định nghĩa gọi đặc trưng
liên hợpvớiθ
Từ định nghĩa trên, ta thấy nhómGtác động liên hợp lên tập Irr(N) Giả sử H ≤ G, đóθđược gọi H-bất biến nếuθ bất biến tác động liên hợp phần tử thuộcH
Định lý Clifford cho ta số thông tin đặc trưng hạn chế nhóm xuống nhóm chuẩn tắc
Định lý 1.2.3 (Định lý Clifford). [1, Định lý 6.5] Giả sử N là nhóm con
chuẩn tắc củaG, χ ∈ Irr(G) và θ là thành phần bất khả quy của χ ↓ N. Ký hiệu θ1, , θt là đặc trưng bất khả quy khác củaN liên hợp với θvới θ1 = θ Khi đó
χ ↓N = e(θ1 + +θt),
vớie = hχ ↓N, θi.
Định nghĩa 1.2.4. Cho H nhóm nhóm G Một đặc trưng ψ ∈