Bài toán gán phổ nhị phân mũ và tuyến tính hóa cho hệ động lực không ôtônôm

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC LÊ VIẾT CƯỜNG BÀI TOÁN GÁN PHỔ NHỊ PHÂN MŨ VÀ TUYẾN TÍNH HĨA CHO HỆ ĐỘNG LỰC KHƠNG ƠTƠNƠM LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI - 2022 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC LÊ VIẾT CƯỜNG BÀI TỐN GÁN PHỔ NHỊ PHÂN MŨ VÀ TUYẾN TÍNH HĨA CHO HỆ ĐỘNG LỰC KHƠNG ƠTƠNƠM CHUN NGÀNH: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN MÃ SỐ: 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: PGS TSKH Đoàn Thái Sơn HÀ NỘI - 2022 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, hướng dẫn cán hướng dẫn khoa học Các kết viết chung nhận trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết quả, số liệu luận án trung thực chưa công bố công trình khác Các liệu tham khảo trích dẫn đầy đủ NCS Lê Viết Cường ii LỜI CẢM ƠN Luận án hồn thiện Viện Tốn học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam hướng dẫn tận tình PGS TSKH Đồn Thái Sơn Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc đến Thầy Trong suốt q trình tác giả làm nghiên cứu sinh, thơng qua giảng, hội nghị sinh hoạt học thuật, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ ý kiến đóng góp quý báu thầy viện Tốn học Việt Nam Tác giả xin chân thành cám ơn Trung tâm Quốc tế Đào tạo Nghiên cứu Toán học, Viện Tốn học hỗ trợ kinh phí cho tác giả thông qua đề tài nghiên cứu sinh trung tâm Tác giả xin chân thành cảm ơn! Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Lãnh đạo trường Đại học Xây dựng tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thời gian làm nghiên cứu sinh Xin chân thành cảm ơn thầy cô, anh, chị em trong phịng Phương trình vi phân phịng Xác suất thống kê, Viện Toán học bạn bè đồng nghiệp bên cạnh động viên, giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu Luận án quà tinh thần, tác giả xin kính tặng đến gia đình thân u với lòng biết ơn, yêu thương trân trọng iii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mở đầu Bảng kí hiệu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phổ nhị phân mũ cho phương trình trình vi phân tuyến tính 1.2 Phổ nhị phân mũ cho phương trình trình sai phân tuyến tính 15 1.3 Hệ điều khiển tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian 18 1.3.1 Hệ điều khiển tuyến tính liên tục 18 1.3.2 Hệ điều khiển tuyến tính rời rạc 20 Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian 2.1 22 Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính liên tục 23 2.1.1 Đặt toán kết 24 2.1.2 Một số kết chuẩn bị 25 2.1.3 Chứng minh kết 29 iv 2.2 Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến rời rạc 32 2.2.1 Đặt toán kết 32 2.2.2 Một số kết chuẩn bị 33 2.2.3 Chứng minh kết 42 Định lý Sternberg cho phương trình vi phân khơng ơtơnơm 47 3.1 Đặt toán phát biểu Định lý Sternberg cho phương trình vi phân khơng ơtơnơm 49 3.2 Làm phẳng đa tạp bất biến loại bỏ thành phần không cộng hưởng 52 3.3 Hệ sai phân liên kết 57 3.3.1 Khái niệm hệ sai phân liên kết số tính chất 57 3.3.2 C k tương đương hệ sai phân liên kết 59 3.3.3 k Hệ sai phân liên kết với hệ thuộc Oflat (A) 63 3.4 Phương pháp đường cho phương trình sai phân 66 3.5 Chứng minh Định lý Sternberg 71 Kết luận 80 Danh mục cơng trình khoa học tác giả có liên quan đến luận án Bảng thuật ngữ 81 82 Mở đầu Lịch sử vấn đề lý chọn đề tài Trong thập niên gần hệ động lực không ôtônôm, hệ có yếu tố ngẫu nhiên phụ thuộc thời gian, dùng để mơ hình hóa nhiều tượng thực tế lĩnh vực khác sinh học, kinh tế, (xem [21, 22]) Khi nghiên cứu hệ này, thường quan tâm đến dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ Ở đây, số khía cạnh quan trọng lý thuyết định tính hệ động lực khơng ôtônôm lý thuyết tuyến tính, lý thuyết ổn định, lý thuyết đa tạp bất biến tuyến tính hóa, lý thuyết dạng chuẩn tắc lý thuyết rẽ nhánh (xem [21]) Năm 1978, R Sacker G Sell phát triển lý thuyết phổ nhị phân mũ cho phương trình vi phân khơng ơtơnơm hay gọi phổ Sacker - Sell (xem [34, 36]) Cho đến phổ nhị phân mũ công cụ quan trọng việc nghiên cứu lý thuyết định tính phương trình vi phân khơng ơtơnơm Cụ thể, lý thuyết ổn định, nghiệm tầm thường phương trình phi tuyến ổn định mũ phổ nhị phân mũ phương trình tuyến tính tương ứng âm (xem [7]) Điều kiện tách phổ phù hợp hệ tuyến tính kéo theo tồn đa tạp bất biến trơn hệ phi tuyến tương ứng (xem [2]) Trong [26], Palmer mở rộng định lý tuyến tính hóa Hartman-Grobman cho phương trình vi phân khơng ôtônôm với điều kiện đủ không thuộc phổ nhị phân mũ hệ tuyến tính Sử dụng cấu trúc phổ nhị phân mũ xây dựng điều kiện cộng hưởng phù hợp, Siegmund xây dựng định lý dạng chuẩn tắc cho phương trình vi phân không ôtônôm [37] Gần dựa hiểu biết thay đổi cấu trúc phổ nhị phõn m vo tham s, cỏc tỏc gi Păotzsche v Rasmussen [30, 32] xây dựng phân tích nhiều tượng rẽ nhánh khác cho phương trình vi phân không ôtônôm Cuối cùng, phương pháp số để tính tốn số mũ nhị phân phát triển (xem [14, 24]) tài liệu tham khảo liên quan Do quan trọng phổ nhị phân mũ lý thuyết định tính phương trình vi phân khơng ôtônôm nên chọn nghiên cứu số khía cạnh liên quan đến phổ nhị phân mũ Cụ thể, trước hết chúng tơi nghiên cứu tốn gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính khơng ơtơnơm Ở hệ điều khiển tuyến tính khơng ôtônôm cho hai dạng sau: Dạng vi phân: x(t) ˙ = A(t)x(t) + B(t)u(t), t ∈ R, với A(t), B(t) hàm ma trận liên tục khúc u(t) hàm điều khiển Trong trường hợp hàm điều khiển xây dựng có dạng u(t) = F (t)x(t) , F (t) hàm ma trận liên tục khúc, thu phương trình vi phân tuyến tính có dạng x(t) ˙ = (A(t) + B(t)F (t))x(t) Một câu hỏi quan trọng đặt là: Câu hỏi 1a: Đối với hệ điều khiển vi phân tuyến tính khơng ơtơnơm liệu ta tìm hay khơng điều khiển phản hồi tuyến tính phù hợp để gán phổ nhị phân mũ cho hệ này? Dạng sai phân: xn+1 = An xn + Bn un , n ∈ Z, với (An ) dãy ma trận bị chặn khả nghịch bị chặn, (Bn ) dãy ma trận bị chặn (un ) dãy điều khiển Trong trường hợp dãy điều khiển xây dựng có dạng un = Un xn , thu phương trình sai phân tuyến tính xn+1 = (An + Bn Un ) xn Một câu hỏi quan trọng đặt là: Câu hỏi 1b: Đối với hệ điều khiển sai phân tuyến tính khơng ơtơnơm liệu ta tìm hay khơng điều khiển phản hồi tuyến tính phù hợp để gán phổ nhị phân mũ cho hệ này? Song song với toán gán phổ nhị phân mũ nghiên cứu ứng dụng phổ nhị phân mũ lý thuyết tuyến tính hóa Nhắc lại rằng, định lý quan trọng lý thuyết tuyến tính hóa Định lý Hartman Grobman mở rộng cho phương trình vi phân khơng ôtônôm (xem [26]) Nội dung định lý nói xung quanh điểm cân hyperbolic dịng sinh phương trình vi phân khơng ơtơnơm tương đương động lực với phương trình tuyến tính Cụ thể, xét phương trình vi phân khơng ơtơnơm x(t) ˙ = A(t)x(t) + f (t, x), t ∈ R, A(t) ma trận hàm liên tục hàm f (t, x) liên tục, bị chặn thỏa mãn f (t, 0) = ||f (t, x1 ) − f (t, x2 )|| ≤ L||x1 − x2 ||, với t, x, x1 , x2 Giả sử phương trình tuyến tính x(t) ˙ = A(t)x(t), hyperbolic (có tính nhị phân mũ), tồn đồng phôi H(t, x) lân cận điểm cân tầm thường x = cho x(t) nghiệm phương trình H(t, x(t)) nghiệm phương trình tuyến tính x(t) ˙ = A(t)x(t) Câu hỏi đặt là: Câu hỏi 2: Tính trơn phép biến đổi H nào? Mục tiêu nghiên cứu Trong luận án này, tập trung nghiên cứu chủ điểm sau lý thuyết phương trình vi phân không ôtônôm: (i) Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian (ii) Định lý Sternberg tuyến tính hóa trơn cho hệ phương trình vi phân khơng ơtơnơm Đối tượng phạm vi nghiên cứu Với mục tiêu đặt trên, luận án nghiên cứu nội dung sau: 74 Khi đó, từ (3.49) ta có đánh giá ∥Dηnτ (x)∥ ≤ M δ ∗ < Vì vậy, áp dụng Bổ đề 3.9, ánh xạ x → x + ηnτ (x) C k vi phơi Theo (3.47), ta có Pnτ (x) = Bn (x + ηnτ (x)), điều suy Pnτ ∈ Diff k (Rd ) Tính liên tục Pnτ theo τ suy trực tiếp từ định nghĩa (3.47) Pnτ , (i) chứng minh (ii) Với τ ∈ [0, 1] ta định nghĩa ∆τn (x) := DPnτ (x) − Bn = Dηnτ (x) Như phần (i), từ (3.48) (3.49) ta có đánh giá sau ∥DPnτ (x) − Bn ∥ ≤ M δ ∗ ≤ δ Tương tự, ∥∆τn (x)Bn−1 ∥ ≤ M δ ∗ < Khi DPnτ (x)−1 = (Bn + ∆τn (x))−1 = Bn−1 (id + ∆τn Bn−1 )−1 ∞ = Bn−1 (−∆τn (x)Bn−1 )k k=0 ∞ = Bn−1 (−1)k (∆τn (x)Bn−1 )k id + k=1 Từ ta suy ∥DPnτ (x)−1 − Bn−1 ∥ M 2δ∗ ≤M ≤ δ − M 2δ∗ Do (ii) chứng minh Để chứng minh Mệnh đề 3.11, ta chọn r > cho khẳng định Bổ đề 3.12 thỏa mãn Pnτ , sử dụng (B1), ta có bất đẳng thức sau với n ∈ Z: ∂(πu ◦ (Pnτ )−1 ) ∂xu < ∥Dx (Pnτ )−1 ∥∞ > ∞ (3.50) 75 ∥Dx Pnτ ∥∞ ∂(πu ◦ (Pnτ )−1 ∂xu Dx (Pnτ )−1 ∞ k−ℓ ∥Dx (Pnτ )−1 ∥ℓ∞ < γ, ∞ k−ℓ Pnτ ) ∂(πs ◦ ∂xu ∥Dx Pnτ ∥ℓ∞ < γ, (3.51) (3.52) ∞ với γ ∈ (0, 1) Theo Định lý 3.8, để chứng minh Mệnh đề 3.11 ta cần tồn Znτ ∈ C1k (Rd ) thỏa mãn τ Zn+1 (x) ∂Pnτ ∂Pnτ τ −1 τ τ −1 − (Pn ) (x) Zn (Pn ) (x) = (Pnτ )−1 (x) ∂x ∂τ (3.53) với n ∈ N Trong bổ đề sau ta thiết lập số tính chất vế bên phải (3.53) Để thực việc này, với ℓ ∈ N, ≤ ℓ ≤ k, R > 0, ta đặt ℓ d Mk,ℓ R := W ∈ C([0, 1], Cflat,u (R )) : ∂ℓW (τ, x) ∂xℓ ≤ R∥πu x∥k−ℓ (3.54) Bổ đề 3.13 Vế phải (3.53) ∂Pnτ Xn (τ, x) := (Pnτ )−1 (x) ∂τ (τ ∈ [0, 1], n ∈ N), (3.55) có tính chất sau: k (i) Xn (τ, ·) ∈ Cflat,u (Rd ) với n ∈ Z, (ii) Tồn R > cho Xn ∈ Mk,ℓ R với n ∈ Z Chứng minh Từ (3.47) (3.55), ta suy Xn (τ, x) = gn (Pnτ )−1 (x) − fn (Pnτ )−1 (x) (3.56) k k Do fn − gn ∈ Cflat (Rd ), ta có Xn (τ, ·) ∈ Cflat (Rd ) Hơn nữa, sử dụng (B2) ta có khơng gian {(0, xs ) ∈ Rdu × Rds } bất biến fn gn Cùng với (3.45) Bn = diag(Bnu , Bns ), ta suy πu Pnτ (0, xs ) = πu Bn (0, xs )T + (1 − τ )πu fn (0, xs ) + τ πu gn (0, xs ) 76 = Do đó, khơng gian {(0, xs ) ∈ Rdu × Rds } bất biến Pnτ , tức k (Rd ) πu (Pnτ )−1 (0, xs ) = Sử dụng (3.43), ta thu fn − gn ∈ Cflat,u Vì vậy, Di fn (Pnτ )−1 (0, xs ) − Di gn (Pnτ )−1 (0, xs ) = k (Rd ) Do đó, từ (3.56) ta suy Dxi Xn (τ, 0, xs ) = Xn (τ, ·) ∈ Cflat,u (ii) Đặt R := sup x∈Rd ∂ k Xn (τ, x) ∂xk Khi với τ ∈ [0, 1] ta sử dụng khai triển Taylor hàm ∂ ℓ Xn (τ, x) ∂xℓ đến bậc k − ℓ (0, xs ) thu ∂ ℓ Xn ∂ ℓ Xn ∂ ℓ Xn u s (τ, x) = (τ, x , x ) − (τ, 0, xs ) ≤ R∥πu x∥k−ℓ ℓ ℓ ℓ ∂x ∂x ∂x Bổ đề chứng minh Tiếp theo ta định nghĩa ánh xạ Ln : C [0, 1], C ℓ (Rd ) → C [0, 1], C ℓ (Rd ) công thức (Ln W )(τ, x) := Dx Pnτ (Pnτ )−1 (x) W τ, (Pnτ )−1 (x) (3.57) ℓ d Tư (3.54), ta có Mk,ℓ R ⊂ C([0, 1], C (R )) Trong bổ đề sau, đưa vài đánh giá tốn tử tuyến tính Ljn := Ln+j−1 · · · Ln hạn chế Mk,ℓ R , n ∈ Z j ∈ N Bổ đề 3.14 Với W ∈ Mk,ℓ R khẳng định sau thỏa mãn với (τ, x) ∈ [0, 1] × Rd n ∈ Z, j ∈ N (i) ∥Ljn W (τ, x)∥ ≤ Rγ j ∥πu x∥k (ii) Tồn ε > cho ∥πu x∥ ≤ ε ∂ i Ljn W (τ, x) ≤ Rγ j ∥πu x∥k−i i ∂x với i = 1, , ℓ 77 Chứng minh (i) Từ (3.57), ta có j−1 Ljn W (τ, x) τ τ τ Dx Pn+i ((Pn+i )−1 (x)) W (τ, (Pn+j−1 )−1 ◦· · ·◦(Pnτ )−1 (x)) = i=0 (3.58) Do đó, j−1 ∥Ljn W (τ, x)∥ τ τ ∥Dx Pn+i ∥∞ ∥W (τ, (Pn+j−1 )−1 ◦ · · · ◦ (Pnτ )−1 (x))∥ ≤ i=0 (3.59) Do W ∈ Mk,ℓ R áp dụng định lý giá trị trung bình ta thu ∥W (τ, x)∥ ≤ R ∥πu x∥k (k − r + 1) · · · k Mặt khác, sử dụng tính bất biến {0} × Rds Pnτ áp dụng định lý giá trị trung bình, ta có j−1 ∥πu ◦ τ (Pn+j−1 )−1 ◦ ··· ◦ (Pnτ )−1 (x)∥ ≤ i=0 τ )−1 ) ∂(πu ◦ (Pn+i ∂xu ∥πu x∥ ∞ Vì vậy, từ (3.59) ta suy j−1 ∥Ljn W (τ, x)∥ τ )−1 ) ∂(πu ◦ (Pn+i R k τ ≤ ∥πu x∥ ∥Dx Pn+i ∥∞ (k − r + 1) · · · k ∂xu i=0 Khẳng định với (3.50) (3.51) suy khẳng định (i) mệnh đề (ii) Trước hết, sử dụng [9, Bổ đề 4] ta có khẳng định mệnh đề j = 1, tức tồn ε > cho với ∥πu x∥ ≤ ε ∂ i Ln W (τ, x) ≤ Rγ∥πu x∥k−i i ∂x với i = 1, , ℓ Sử dụng qui nạp theo j, ta thu khẳng khẳng định mệnh đề với j ∈ N Mệnh đề chứng minh Chứng minh Mệnh đề 3.11 Áp dụng Bổ đề 3.14(i), chuỗi ∞ Ljn−j Xn−1−j (τ, x) =: Znτ (x), j=0 (3.60) k ∞ 78 với Xn (τ, x) xác định (3.55), hội tụ với n ∈ Z Theo định nghĩa Zn , ta có ∞ τ Zn+1 (x) Ljn+1−j Xn−j (τ, x) = j=0 ∞ Ljn+1−j Xn−j (τ, x) + Xn (τ, x) = j=1 = Ln Znτ (x) + Xn (τ, x) Do đó, ta có (Znτ (x))n∈Z nghiệm (3.53) Hơn sử dụng Bổ đề 3.14(ii), ta thu ∂ i Ljn X (τ, x) ≤ Lγ j ∥πu x∥k−i i ∂x với i = 1, , ℓ (3.61) ∥x∥ ≤ ε với ε > Bằng cách cắt hàm số fn gn , ta thu khẳng định với x ∈ Rd Dẫn đến, Znτ (·) hàm số C ℓ ta có Znτ (0) = DZnτ (0) = Vì vậy, Znτ ∈ C1ℓ (Rd ) Cuối cùng, từ (3.61) ta thu chuỗi ∞ j j=0 Ln+1−j Xn−j (τ, x) hội tụ theo τ tới Znτ ∥ · ∥ℓ Do đó, ánh xạ Z : [0, 1] → C1ℓ (Rd )Z , τ → Zτ := Z·τ (·) liên tục Áp dụng Định lý 3.8, ta thu hệ (3.41) (3.42) C ℓ tương đương Mệnh đề chứng minh Bây chứng minh kết chương Chứng minh Định lý 3.2 Theo Mệnh đề 3.3, với hệ thuộc Ok+2 (A) C k tương đương với hệ x˙ = A(t)x + g(x), (3.62) k thuộc Oflat (A) Theo Mệnh đề 3.7, tồn κ > cho hệ κ sai phân liên kết hệ (3.62) (κ) xn+1 = A(κ) n xn + fn (xn ), (3.63) 79 k,ℓ k (A) Theo Nhận xét 3.10, tồn φn ∈ Cflat,u (Rd ) phần tử Dflat k (Rd ) với n ∈ N cho (3.63) viết lại ψn ∈ Cflat,s xn+1 = A(κ) n xn + φn (xn ) + ψn (xn ) (3.64) k Do φn ∈ Cflat,u (Rd ) với n ∈ N, nên áp dụng Mệnh đề 3.11 ta thu hệ (3.64) C ℓ tương đương với hệ xn+1 = A(κ) n xn + ψn (xn ) Áp dụng Mệnh đề 3.11 lần nữa, hệ C ℓ tương đương với hệ tuyến tính xn+1 = A(κ) n xn Vì vậy, theo Mệnh đề 3.6 hệ (3.62) C ℓ tương đương với hệ tuyến tính hóa x˙ = A(t)x Định lý chứng minh Kết luận chương 3: Chương trình bày tốn tuyến tính hóa trơn phương trình vi phân khơng ơtơnơm Kết đạt là: Xây dựng phiên định lý Sternberg điều kiện tách phổ cho tuyến tính hóa trơn phương phương trình vi phân không ôtônôm 80 Kết luận Kết đạt Luận án đạt kết sau: (i) Xây dựng chứng minh điều kiện cần đủ để hệ điều khiển tuyến tính liên tục gán phổ nhị phân mũ (ii) Xây dựng chứng minh điều kiện cần đủ để hệ điều khiển tuyến tính rời rạc gán phổ nhị phân mũ (iii) Xây dựng phiên Định lý Sternberg điều kiện đủ để tách phổ cho tuyến tính hóa trơn phương trình vi phân không ôtônôm Một số hướng nghiên cứu Bên cạnh kết đạt luận án, số vấn đề tồn cần nghiên cứu mở rộng thời gian tới: (i) Bài toán gán phổ số loại phổ khác (ii) Nghiên cứu thêm số khía cạnh khác hệ động lực khơng ơtơnơm có cấu trúc 81 Danh mục cơng trình khoa học tác giả có liên quan đến luận án [CT1] Le Viet Cuong, Doan Thai Son and Stefan Siegmund, A Sternberg theorem for nonautonomous differential equations, Journal of Dynamics and Differential Equations 31 (2019), pp 1279 - 1299 (SCIE) [CT2] Le Viet Cuong, Doan Thai Son, Assignability of dichotomy spectrum for discrete time-varying linear control systems, Discrete and Continuous Dynamical Systems, Series B 25(9) (2020), pp 3597 - 3607 (SCIE) [CT3] Artur Babiarz, Le Viet Cuong, Adam Czornik and Doan Thai Son, Necessary and sufficient conditions for assignability of dichotomy spectra of continuous time-varying linear systems, Automatica 125 (2021), 109466 (SCIE) [CT4] Artur Babiarz, Le Viet Cuong, Adam Czornik and Doan Thai Son, Necessary and sufficient conditions for assignability of dichotomy spectrum of one-side discrete time-varying linear systems, IEEE-Trans on Automatic Control 67 (2022), no 4, 2039-2043 (SCIE) 82 Bảng thuật ngữ Tiếng Việt Tiếng Anh nhị phân mũ, 10 exponential dichotomy phổ nhị phân mũ, 10 dichotomy spectrum phổ Lyapunov, 44 Lyapunov spectrum tương đương tiệm cận, 13 asymptotical equivalence phản hồi tuyến tính, 22 linear feedback gán phổ nhị phân mũ, 24 assignability of dichotomy spectrum điều khiển đều, 18, 20 uniform complete controllability ổn định hóa được, 25, 33 uniform complete stablization số mũ Bohl, 45 Bohl exponent đặc trưng Kalman, 18, 21 Kalman’s characterization dạng chuẩn tắc , 58 normal form phương pháp đường , 67 method of the path 83 Tài liệu tham khảo [1] L Ya Adrianova, Introduction to Linear Systems of Differential Equations, Translantions of Mathematical Monographs, American Mathematical Society, Providence (1995) [2] B Aulbach, C Păotzsche and S Siegmund, A smoothness theorem for invariant fiber bundles, Journal of Dynamics and Differential Equations 14 (2002), 519-547 [3] B Aulbach, S Siegmund, The dichotomy spectrum for noninvertible systems of linear difference equations, J Difference Equations Appl (2001), no 6, 895-913 [4] B Aulbach and T Wanner, Integral manifolds for Carathéodory type differential equations in Banach spaces, in: B Aulbach, F Colonius (Eds.), Six Lectures on Dynamical Systems, World Scientific, Singapore, 1996, pp 45-119 [5] A Babiarz, A Czornik, E Makarov, M Niezabitowski and S Popova, Pole placement theorem for discrete time-varying linear systems, SIAM Journal on Control 55 (2017), no 2, 671-692 [6] A Babiarz, I Banshchikova, A Czornik, E Makarov, M Niezabitowski and S Popova, Necessary and sufficient conditions for 84 assignability of the Lyapunov spectrum of discrete linear time-varying systems, IEEE Trans Automat Control 63 (2018), no 11, 3825-3837 [7] L Barreira and C.Valls, Stability of Nonautonomous Differential Equations, Lecture Notes in Mathematics 1926, Berlin, Springer, 2008 [8] F Battelli and K.J Palmer, Criteria for exponential dichotomy for triangular systems, Journal of Mathematical Analysis and Applications 428 (2015), 525-543 [9] P Bonckaert, On the continuous dependence of the smooth change of coordinates in parametrized normal form theorems, Journal of Differential Equations 106 (1993), 107-120 [10] P Bonckaert and F Dumortier, On a linearization theorem of Sternberg for germs of diffeomorphisms, Math Z 185 (1984), no 1, 115135 [11] P Bonckaert, P De Maesschalck, T.S Doan and S Siegmund, Partial linearization for planar nonautonomous differential equations, Journal of Differential Equations 258 (2015), 1618-1652 [12] F Bruhat, Travaux de Sternberg [Works of Sternberg], Séminaire Bourbaki 6, Exp No 217, 179-196, Soc Math France, Paris, 1995 [13] W.A Coppel, Dichotomies in Stability Theory, Lecture Notes in Mathematics 629 Springer, Berlin, 1978 [14] L Dieci, E S Van Vleck, Lyapunov spectral intervals: theory and computation, SIAM Journal on Numerical Analysis 40 (2002), no 2, 516–542 85 [15] T S Doan, K J Palmer, M Rasmussen, The Bohl spectrum for linear nonautonomous differential equations, Journal of Dynamical and Differential Equations (2017), no 10, 1459-1485 [16] F Dumortier, P.R Rodrigues and R Roussarie, Germs of Diffeomorphisms in the Plane, Lecture Notes in Mathematics 902, Springer, Berlin, 1981 [17] A.Halanlay, V Ionescu, Time-Varying Discrete Linear Systems Input-Output Operators Riccati Equations, Disturbance Attenuation, Springer, Berlin, 1994 [18] P Hartman, Ordinary Differential Equations, Birkhăauser, Boston, 1982 [19] M Ikeda, H Maeda and S Kodama, Stabilization of linear systems, SIAM Journal on Control (1972), no 10, 716-729 [20] R.E Kalman, Contributions to the theory of optimal control, Boletin de la Sociedad Matematika Mexicana (1960), no 5, 102-119 [21] P.E Kloeden and M Rasmussen, Nonautonomous Dynamical Systems, Mathematical Surveys and Monographs, 176 American Mathematical Society, Providence, RI, 2011 [22] P E Kloeden and C Potzsche, Nonautonomous Dynamical Systems in the Life Sciences, Lecture Notes in Mathematics 2102, Springer International Publishing, pp 3–39, 2013 [23] G A Leonov and M M Shumafov, Stabilization of Linear Systems, Cambridge Sci Publ., Cambridge, 2012 86 [24] V.H Linh, V Mehrmann, Approximation of spectral intervals and leading directions for differential-algebraic equation via smooth singular value decompositions, SIAM Journal on Numerical Analysis 49 (2011), no 5, 1810–1835 [25] E K Makarov, S N Popova, Controllability of asymptotic invariants of time-dependent linear systems, Belorusskaya Nauka, Moscow, 2012 [26] K Palmer, A generalization of Hartman’s linearization theorem, Journal of Mathematical Analysis and Applications 41 (1973), 753758 [27] S N Popova, On the global controllability of Lyapunov exponennts of linear systems, Differential Equations 43 (2007), no 8, 1072-1078 [28] C Păotzsche, Geometric Theory of Discrete Nonautonomous Dynamical Systems, Lecture Notes in Mathematics 2002, Springer, Berlin, 2010 [29] C Păotzsche, Fine structure of the dichotomy spectrum, Integral Equations Operator Theory 73 (2012), no 1, 107-151 [30] C Păotzsche, Dichotomy spectra of triangular equations, Discrete & Continuous Dynamical Systems 36 (2016), no 1, 423-450 [31] C Păotzsche and S Siegmund, Smoothness of invariant fiber bundles, Topol Methods Nonlinear Anal 24 (2004), no 1, 107-145 [32] M Rasmussen, Attractivity and Bifurcation for Nonautonomous Dynamical Systems, Lecture Notes in Mathematics 1907, Springer, Berlin, 2007 87 [33] M Rasmussen, Dichotomy spectra and Morse decompositions of linear nonautonomous differential equation, Journal of Differential Equations 246 (2009), 2242-2263 [34] R.J Sacker and G.R Sell, A spectral theory for linear differential systems, Journal of Differential Equations 27 (1978), no 3, 320–358 [35] S Siegmund, Spektraltheorie, glatte Faserungen und Normalformen fă ur Differentialgleichungen vom Carathộodory-Typ Dissertation, University of Augsburg, 1999 [36] S Siegmund, Dichotomy spectrum for nonautonomous differential equations, Journal of Dynamics and Differential Equations 14 (2002), no 1, 243–258 [37] S Siegmund, Normal forms for nonautonomous differential equations, Journal of Differential Equations 178 (2002), no 2, 541-573 [38] S Siegmund, Reducibility of nonautonomous linear differential equations, J London Math Soc 65 (2002), no 2, 397-410 [39] J.M Steele, An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities The Cauchy-Schwarz Master Class, Cambridge University Press, 2004 [40] S Sternberg, Local contractions and a theorem of Poincaré, Amer J Math 79 (1957), 809-824 [41] S Sternberg, On the structure of local homeomorphisms of Euclidian n-space, I, Amer J Math 80 (1958), 623-631 [42] E L Tonkov, Criterion of uniform controllability and stabilization of linear recurrent system, Differentsialnye Uravneniya 10 (1979), no 15, 1804-1813 88 [43] W Wonham, On pole assignment in multi-input controllable linear systems, IEEE Trans on Automatic Control 12 (1967), no 6, 660-665 [44] V.A Zaitsev, S.N Popova, E.L Tonkov, On the property of uniform complete controllability of a discrete-time linear control system, Vestnik Udmurtskogo Universiteta Matematika Mekhanika Komp’yuternye Nauki (2014), 53-63 ... (A + BF ) phổ nhị phân mũ hệ (2.4) (xem Định nghĩa 1.2) Sau đưa khái niệm gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính liên tục Định nghĩa 2.1 (Gán phổ nhị phân mũ) Phổ nhị phân mũ ΣJED (A+BF... sau nói cấu trúc phổ nhị phân mũ cho phương trình sai phân tuyến tính Định lý 1.13 (Định lý phổ nhị phân mũ cho hệ phương trình sai phân tuyến tính) Phổ nhị phân mũ ΣTED (A) hệ (1.8) hợp tối... để gán phổ nhị phân mũ cho hệ này? Song song với tốn gán phổ nhị phân mũ chúng tơi nghiên cứu ứng dụng phổ nhị phân mũ lý thuyết tuyến tính hóa Nhắc lại rằng, định lý quan trọng lý thuyết tuyến