Tính compắc liên thông và sự liên tục của nghiệm của phương trình tích phân trên không gian banach

Trang 1

4 [5

———

2 1H

ủ BO GIAO DUC VA DAO TẠO L

ĐẠT HỌC QUỐC! GIÁ THANH PHƠ HỖ CHÍ NINH,

TRUONG ĐẠI HỌC' SƯ PHAM LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC } CHUYEN NGANII: TỐN GIẢI TÍCH MA SỐ: 1H01 »Í!]lư-

TINH COM PAC LIEN THONG

YA SU LIEN TUC CUA NGHIEM CUA PHUONG TRINH TICH PHAN

TREN KHONG GIÁN BANACHL

Trang 2

*

LỜI CÁM TẠ

Din chin think cim on thi'y:

Phĩ tiến sĩ LÊ HỒN HỐ - Khoa Tốn, Trường Đại học Sư

pham Thành phố | lồ Chí Minh, người thay da tan tinh diu dat, day dé tơi tronp suốt thời gian tơi học Đại học, Cao học và đã trực tiếp hướng

dân, động viên, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn này

*

%

Din chin think cdém en gtt/ théy:

Phĩ tiến sĩ NGUYÊN BÍCH HUY - Khoa Tốn, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã dạy dơ tơi tận tình trong suốt

thời gian tơi học Đại học, Cao học - đã đọc, chỉ bảo và cho ý kiến phản biện luận van

Phĩ tiến sĩ NGUYÊN THÀNH LONG - Bai hoc Đại cương

Thành phố Hỗ Chí Minh đã dành thời gian quý báu dể dọc, chỉ báo

và cho ý kiến phản biện luận vắn Ain chin think cim en:

Quy thay cơ Khoa Tốn Trường Đại học Sử phạm Thành phố Hồ

Chí Minh đa truyền đạt kiến thức cho tơi suốt thời gian tơi học Đại lọc và Cao học tại trườnp,

Quy thay cơ Phịng nghiên cứu Khoa học Trường Đại học Su pliam Thanh pho Ho Chi Minh da giup dé, tao diéu kién cho tơi trong thời gian tơi học Cao học và thực hiện luận văn này

Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Cao đẳng Sư phạm Tây ninh và các đồng nghiệp đã tạo mọi điều kiện thuận tiện nhất để tơi cĩ đủ thời pian cần thiết hồn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn hữu, đồng nghiệp đã động

viên và giúp đỡ tơi hồn thành luận văn này

Xin chân thành cảm tạ

Thành phố Hồ Chí Minh 1997

Trang 3

MỤC LỤC + Ký liệu và thuật ngữ ~ Mở dau Phần 1: Xấp xỉ các tốn tử

1 Phép chiếu trên những tập lỗi Trang 1

POR EPL han CHIẾNG¡2002100070(001600022V/00100020ảW8A0GA120ášã1 Trang 6 3 Xấp xỉ Lipschitz địa pÏHương -s<cccsexreeeeeeexs Trang 9

Phần 2: Tốn tử cơ đặc

1 D6 do phi com pắc Kuratovskil «<< Trang 16 2 VAT MRS OO iss RT TARR Trang 17

3 Bãc tơpư cuả trường tốn tử cơ đặc - Trang 20 Phần 3: Tính com pắc liên thơng và sự liên tục cuả nghiệm cuả

phương trình tích phân

|, link com pac, liên thơng cuả tập nghiệm Trang 26 2 Sự liên tục cuả nghiệm - -«-««. - ~ [rang 42

+ Kết luân

Trang 4

Ky hibu va lhudl ng@ KY HIỂU N Z,=Nvwv {0] Bía,r) B'ta,t CHA} CoA Clu lA hoac TIA) A+B GA pix, A} degip,D1) THUAT NGU Tốn lử com prac Tốn tử k-cơ đặc Tap co ban Phu hdu han dia phương Su min hod

lap hop sé tu nhién [1,2, n, -]

Lập hợp các số nguyên khơng âm {0,1,2, ,n, ]

Hình cầu mở tâm a, ban kính r

Hình cầu đĩng tâm a, bán kính r

Bao dong cud tap hap A

Bao lỗi cuả tập hợp A

Thu hep cud anh xa C trén tap hgp M Ảnh cuả tập hợp A qua anh xa T

Tổng cuả 2 tập hợp trong khơng gian véc 1ơ

Biên cuả tập hợp À,

Khoảng cách từ điểm x đến tập hap A

Trang 5

eh Ud dau

NHiững vấn để liên quan đến phương trình tích phân cĩ một lịch sư nghiên cứu lâu dài và dược phát triển theo nhiều hướng khác nhau Luận van này đễ cập dến 2 tính chất cuả tập hợp nghiệm cuả phương trình tích phân trên khơng gian Banach đá là:

«_ Tính com pắc, liên thơng cuả tập hợp nghiệm cuả phương trình: I I xit) i A(s)x(s)ds + | git,s,x(s}ids, t € [0,a] 0 q -_ Sự liên tục cuả nghiêm cuảá phương trình: ! ( x{t) -| Alsixisids + | alt,s,xisiids + Dit), t € [0,00) ụ u Yuin win gem cứ ở “lên: Phan |: Xấp xỉ các tốn tử

Trang phan này chúng ta sẽ xét một số kết quả về sự tổn tại cuả

Trang 6

Phan LÍ: Tốn tử cơ đặc

Phần này trình bày sơ lược vê độ đo phi com pắc Kuratovskii và những tính chất cơ bản cuả nĩ Đồng thời dùng lý thuyết bậc tơpơ cua trường cơ đặc để chứng mình tính com pắc, liên thơng cuả tập các điểm hất động cuả ánh xạ cơ đặc Về tính com pắc, liên thơng cua tap các điểm bất động cuả một ánh xạ, chúng ta da cĩ dịnh lý Krasnoselskdi - Perov, nhưng định lý này phát biểu cho trường hợp ánh

xa com pắc Ở dây chúng ta chứng minh kết quả cuả định lý

Krasnoselskii - Perov van dung cho trường hợp ánh xa cơ đặc

Phan Ill: Tinh com pắc liên thơng và sự liên tục cuả tập nghiệm cuá phương trình tích phân

Trong phần nay chúng ta sẽ xét 2 tính chất cuả tập hợp nghiệm của phương trình tích phần trên khơng gian Banach đĩ là: tính com

pac, liên thơng cuả tập hợp nghiệm và sự liên tục cuả nghiệm

Trang 7

Phan / Lip at cae todan ld XẤP XỈ CÁC TOAN TU {> * CR

Ironp phần này chúng ta sẽ xét một số kết quả về sự tốn tại cuả

các ánh xa liên quan đến một ánh xạ cho trước về các mật; xấp xỉ hửu

hạn chiều một ánh xạ com pắc, mở rộng một anh xa com pac, xdp xi

|ipschitz một ánh xa liên tục,

fc) ¥ CR

L PAE P CHIEU TREN NHUKG TAP LC

Dinh nghia Lt:

Cho khơng gian Banach E với chuẩn | Í, N là một tập con cuả E Một tốn tử liên tục P đã định nphià trên L được gọi là một phép

chiếu trên N nếu PF z N và Px z x với mọi x eN

Dinh lý [.2:

Trang 8

Phan ¢ 7 at ede “at? ted

Chứng minh

[rước tiên ta giả sử N 6 thé kha ly Bat (yy) la moét day tra mat trang N ta xét các hàm sau đầy trên LXR:

0 néu (1+a)pix,N) < | Yk ~ x | AyLx) = -

1 +r - pix, NY! lve = X | nêu (1+œÌlp(x,N) > | Yk x |

Ro rang O < Aix! < I+ơ với mơi x e EXN và keN Do đĩ hàm: Aix) = DOU +a) Agix), (x € EXN), la dương và liên tục (vì chuỗi

ở vẽ phải là hội tụ đều)

Các hàm ụuíxÌ = I1+œ}*2(x]]'? 24x), [k = 1,2, ), củng liên tục trên EXN Rõ ràng là wạ(x) khơng âm và > pax) = 1 với mỗi x € EXN k-I la dinh nghia tốn tử P„ bởi: X tiếu xe Pox = om “ »u(xÌy, néux ¢ NW k

Ta phải chứng minh rằng P„ là một phép chiếu trên N và nĩ thoa man (I2) lấy x e ESN Với n du lớn, diểm:

_ nybdy, + w boy, +.+u, Oxy, nằm trong N vì N lồi

u,(x?+ u,fxÌ+ +, Íx)

Nhưng | z2 - Pex | —> 0 Từ đĩ ta thấy rằng P„x e N

Trang 9

Phan 7 of, (2 +Y tvêc (ướt le Bởi vì P„N = N ta cĩ P„E =N Bay giờ chúng ta kiểm tra ước lương (1.2), Với mỗi x e EXN tạ cĩ thể việt: x -P,x = Tyla - 3 tụ(x) Yk = S` tuÍx)(x - vụì, do đĩ: kt kel kel lx - Pax] < SX pudx) Ix - yl k

[lieo định nghíã cua hàm py ta co: u(x) = O néu (1 +adpix,N) < | Yk - X |

Vi thé trong tổng trên, giới hạn theo k là khác Ư chỉ nếu: Íx-vvÌ <(1+ơ)p(x,N] Vì vậy:

Ìx-PaxÌ s Š /u(x)(1 +ơ)p(x,NÌ = (I+œ)p(x,N|

¬

[Điêu này chứng mỉnh (1.2)

Phan con lại là chỉ ra rằng P„ là liên tục Biểu này là hiển nhiên

đối với mọi điểm trong tap md FN va đối với mọi điểm trong cua N

Trang 10

Phan Ff Lip aw cade loan le

Điều này hồn tất chứng minh khi N khả ly

Trước khi chứng minh trường hợp tổng quát, chúng ta nhắc lại vài dịnh nghiầ, Một phủ {V| cua tập M được gọi là hữu han địa phương néu vai moi x © M cĩ một lần cận chỉ gíao khác rơng với một số hữu hạn tập hợp cuá phú đĩ Miột phú {VỊ được gọi là sự làm min (min hoa)

cuả phủ {L:} nếu mỗi tập V dược chứa trong U

Iheo định lý Stone, mơi phủ mở cuả một tập con trong khơng

gian mê tríc cĩ một sự làm mịn bởi một phủ hữu han dia phương

Bay gid dat N là một tập lỗi dĩng tuỳ ý và œ > 0 Chọn một số (lương ư sao cho Ø < 8 < 1 và 1+2ä < (I+œ)(1- ðl Với mỗi z N ta ký hiệu quá cầu { x, lx-zÍ < Spiz,N) } la U, Nhting qua cau (U,),, ew tao thanh mét phi mé cua EX\N Bat (Vt)e7 la mét phd mo hiu han dia

Trang 11

Phin t Liip wi cde lodn te

< (1 - 8" (1 4+28}pix,N} < 11+ a@dpix,N)

Trén FAN, ta dinh nghia ho cua nhting ham s6 khéng âm bởi:

2x) = px,EXV:],r 6T, Với mơi x e FXN cĩ một r với x e V., vì

Vy); ¿ 7 phu EXN,

Bởi vì phủ (Vy ¿ + cuả ENN là hữu hạn địa phương nên với mơi x c EXN cĩ một lân cận chỉ piao khác rồng với mơt số hữu hạn Vụ, Điều nay dan dén tong Ax) = ¥ Ax) la mot ham sé dương, liên tục, được

tel

dinh nghia trén toan EXN

Dat paix) = CAG" Aix) x © ENN) Nhiing ham t,ix) hién nhiên khong am, lién tuc va thod man }) udx) = 1 tel Bay pid ta dinh nghia toan tu P„ bởi: neéuxeN X Pax = oe | + 3 tr(X)Y; nêu x £ N t+T Rỏ ràng P„ nhận những giá trị trong N, Iừ đẳng thức: x-l„x= 3' tuÍX)x - yv tạ dược | x- P„x | = ¥ ur (x) | x-wl rel

Néu pix) £ 0, khi đĩ x € V,, do dd | x- v,Ì < (l+ơ)mwx,N)

Vì vậy | x- Pax Í < Ð w4x)(1+ œlpix,N)=(1+ơ]pfx,NÌ

ul

[ính liên tục cuả P„ được kiém tra nhu trudng hop F khd ly.O

Trang 12

Phan fv oF tife at cae (đt¿# đồ

Mot lớp quan trọng cuả những tốn tử com pắc là những tốn tử trà những siá trị cuá nĩ được chưá trong một khơng piàn con hữu hạn chiêu Những tốn tử như thế được gọi là hữu hạn chiếu

Định lý 1.3:

Cho M E là một tập bị chặn và A là một tốn tử com pắc đã

định nghiã trên M Khi đĩ với mỗi e > 0 tần tại một tốn tử hữu hạn

chiều A, sao cho | Ax -A,xÍ < £ (x cM)

Chứng mình

Goi a là một số đương và yy, vạ, va là một e-lưới (1+œ}” hữu han cud tap com pắc tương đối AM Chọn một khơng gian con hữu hạn chiều Ea chưá mọi y¡ Khi đĩ hiển nhiên ta cĩ pÌy,Ea) < (1+øœ]” e ly €

AMI Theo định lý 1.2 tơn tại một phép chiếu P trên Ea sao cho:

| y - Py <a +aiply,Fo), ye F Do dé | y~ Pyl < £ Íy e AMI Phép chứng minh hồn chỉnh bởi cách đặt A, = PA

Trang 13

Dida T As 2 at các (êm bb Dinh ly LA:

Cho M c E là đĩng và A là một tốn tử cam pắc từ A4 vào

khơng gian Banach F; Khi đĩ A cĩ một mở rộng A* trên tồn E là

một tốn tử com pắc với những giá trị trong Cl(CoAM) cuả E; Chứng mình Chúng ta xét trường hợp M bị chặn Khi đĩ chúng ta cĩ thể sử dụng dịnh lý 1.3 để miêu tả A như là một chuồi: ẤX = Aòx + 3 A¡x Íx € M)

Ở day A, (n = 0,1,2, ) là những tốn tử hữu hạn chiều với

|Aax |<2"(xe Mon = 1,2,2 } (*)

Chúng ta ký hiệu những tốn tứ liên tục chiếu Ey lên Cl(CoAM) là P„ ín œ Nì Những tốn tử này tổn tại theo dịnh lý 1.2

Bay gid chúng ta áp dung dịnh lý LIryson để mở rộng mỗi tốn tử

A, (n = 0,1,2, ) lén tồn E để cĩ được tốn tử liên tục Bạ trên tồn E vào Lạ Khi đĩ ta đặt Ca = PaBa Ín = 0,1,2, } Với mơi n, tốn tử Ca là

com pắc (thậm chí hữu hạn chiều] mở rơng cuả Áa lên tồn E Áp dung (*? chúng ta ước lượng lCal<2"(xekE,n=1,2, ) Vì vậy

chudi Cx = Cox + >& x (x € E) dinh nghia mét sự mở rộng com pắc

cua A lén toan tl

Trang 14

Phin t Hip x6 cae tein để

Bây giờ chúng ta áp dụng định lý 1.2 va ky hiéu P la phép chiếu trên tập Cl(CoAMI Vì AM là com pắc tương đối, Cl(CoAM] là com pac theo dinh ly Mazur Pat A* = PC chiing ta cé duoc mét sy md rong

com pac cua A lén toan E với những giá trị trong Cl(CoAMI

Cuối cùng, chúng ta piải quyết trường hợp MI khơng bị chặn Ta gọi Tạ = Ix, Ix] <n} (n = 1,2, ) Theo chứng minh trên, cĩ một tốn tử com pắc Ay trên Tị nhân giá trị trong C|(CoA(M © T,)}, nĩ trùng với À trên MS ly La đặt My =M Tị và ký hiểu Bị là tốn tứ

trên Mụ với Bị [mu = A và Bị Ì¡ = Ai

[ốn tử Bị là một sự mở rộng com pắc cuả A lên Mị với những

giá trị tronp C|(CoAMI)

L[iếp theo, chúng ta chọn một mở rộng A¿ cuả Bà | M lên T; với những giá trị trong Cl(CoA(M z3 Tại) Một lẫn nưả, chúng ta đặt

Ma = MUT>, va chọn một tốn tử Bạ trên Mạ với Ba lu=A và B> | 1, = A2

Tốn tử Bạ là một sự mở rộng com pac cud cd hai A va By trén Ms =M wT; voi những giá trị trong Cl(CoAMI

Bằng cách tương tự ta tìm được một mở rộng Bạ cuả A và B lên

Mạ =M C2 T:, và như thể dịnh lý 1.4 dã được chứng mình

=

Trang 15

DY? nt r8 , Phan / et aft at cate toan beé Dinh ly 1.5: Cho X,Y là các khơng gian Banach, Ð là một tập con mở cud X f: D > Y là ánh xạ liên tục

Khi đĩ với mọi c > 0 cho trước, tồn tại một anh xa Lipschitz

địa phương f,: Ð -> E sao cho:

sup {1 f(x) - £00) |] se va f(D) c Cof(D)

Chting minh Với mọi z>0, mọi x e Ð, đặt LI(x)={ y e D, | fly) - fix) |< ef2}

la chung minh U(x} la tap md

[hật vậy, với mọi yạc LJ,(x) đặt œ = I flyo) - fix) lva 8 = (2/2) - @ Với mọi y œe Blye,Š) La Cĩ:

| fiy) - fix) ls Íf(y) - fyg)Í + Íftye) - fIx)Ï <ã +œ = g2

Trang 16

44x / Kể) aYx các (đtvÉz để,

ILI,ixi,xe DỊ} nghià là {V;, XeAI là một phú mở cuả D; D= | J Vị ; thoả hai tinh chat sau:

a) VGi moi x e D, tén tai Vix} la mét lan can cua x sao cho Vix) chi giao được với một số hữu hạn các Vụ Nghià là VixlevwV; z Ø chỉ với một số hửu hạn 2 e A lì) Với mơi 2 6 À, tổn tại x e D sao cho V¿ œ LJ{x] Đặt œ;: X —> R„, xác định như sau: Ũ néux ¢ V4 œ;Íx) = i ; m{x,AV,) ne@ux e Vz lrong dé ky hiéu pix,A) = inf (Ix-yl,y eA}

la cĩ px,ØVj) > 0 nếu x € V;, (vi AV, déng va x ¢ AV, )

Đặt @®; : [3 ->R, xác định như sau:

a, (x)

o> {x)= ———

` Sơ, (x) với mọi x e Í

Do xe D nén taco 4 € A sao cho x e Vị và do đĩ 5ˆ ơ,Íx) > 0

Lồng thời ta cùng cĩ: 0 < Dlx) <1 va 3 @;Íx) = 1

Ta chung minh a) Lipschitz trén X

Với mọi À € A, moi x,y € X 16 rang ta cé:

Trang 17

đâu / 3 tft at vate todn be — 0 néu x,y ¢ Vj 0 (x, AV) nếu x e Vạ, y £ Vạ lœ;Íxi - œạ( | = ns

That vậy, với mơi x e Vị, y £ Vị tạ cĩ 2z = (1 - x +Ly, với mọi t c |0,1] là một điểm trên đoạn |x,v| nên tồn tại tạ € [0,1] sao cho:

Zn =Íl - talx + tạy © AV, do dé | x-¥ |> [x- za Ì >p(x,aV;)

Vai méix € V;, ¥ € Vị la cĩ:

lx-zl<lx-yl +] y-z | vdi moiz e Avy Do đĩ: píx,@V;¿] <|Íx-y | +ly-z Í với mọi z © avy hay

pix,@V;)-|x-y | <Ìy-z | với mọi z e ØVạ Tit dé:

pix,@v;)- Íx-y Í « py,8Vj) vì vậy:

pix,AV,)- ply,éVa «| x- y |

Tương tự ta cũng cĩ:

pÍy,ØVj) - pIx,8Mj) « | x- y Ì

Tom lai ay Lipschitz trên X

Ta chứng minh ®; | ipschitz địa phương trên D

Voi moi x e D, viD = Vị nên tổn tai 49 sao cho x € V va

* %

Trang 18

Phin t Lip xt cde todn be ton tai mét lan can Vix) cud x sao cho Vixl m Vy # @ chi vai mét sé hituuhanazaEe A Trong số hitu han cac V, noi trén, gọi các V_ cĩ chưá x là: › V ,V., V Tacĩxe ƒ] Vị n Vũ,

Vì Vụ là tập mở nên a V, Víx) là tập mở Do đĩ tồn tại quả

cầu Bíx,ð) c (} V,,r5 Vixl và Bix,8) @ Vo, p # OT uk

Với mọi e BÍx,Š) la ca:

a, IU =p(u,ØV, }Ì >p(B(x,ð),ấV, } với mọi ¡ = 0,1, ,k Đặt r = mín { p(B(x,8),ØV, ), ¡ = 0,1, ,k } Ta cĩ:

Œ, Íu) >r với mọi ¡ = 0,1,, ,k và mọi u € Bix,d),

Với mọi u,v c B(x,ð), mọi 2# À¡, i= O,1, ,k, do u,v £ Vị nên ;Íu]} = œ;Ív) = 0 Từ đĩ ta cĩ:

đ;(u] = đ và ®;Ív} = 0 Dân đến :

|@®;(u) - ®;(v} | = 0 nếu 2# 3¿ với mọi ¡ = 0,1, ,k Nghia 1a:

®; Linschitz địa phương với mọi 2 z 3¿¡, ¡ = Ơ,1, ,k Với mọi 3¿„ Ì = Ĩ,E, ,k và mọi u,v e B(x,ồ) tạ cĩ;

Trang 19

Phin # Lap xt ode tocirn tae a fu) œ (vì ® (uì- ® (vì= c—— - Satu) Sa, c” ce, fu} Œ, (v) \ | Datu) da, tv) kL L Đặt 3 œ, (u) =a và 5” œ, (v] =b Ta cĩ: a, lu) >O, a, Ív)>0,a>0,b >0 Do đĩ;

Trang 20

244 / ;2 ft at ede lodn be, VÌ vậy từ (1 và (2) ta cĩ; ®Œ_,iu)- Œ (wis 3 — lơ, tuì- OL (vi | (3) | (k+llr - ®, (v)- ® (u] < = la (v)- am lu) | (4) _ (k+tìr Từ (3) và 14] cùng với sự kiện œ, lipschitz địa phương tà cĩ: l ld, (u)- ©, Ww] < —— lu-vl (k+lìr

Vậy ®, Lipschitz dia phương với mọi ¡ = 0,1, ,k Tu do ®, Lipschitz dia phuong trén D

la dinh nghia ham f(x) = S$ @,{x) flaj} vdi aye Vy va x € D

Red

Do dinh nghia nay ta co: f.{x) © Cof(D) vai moi x € D suy ra

(DI c Cof{D)

la chung minh {, Lipschitz dia phuong trén D Thật vậy, với mọi u,v c Bíx,ð) ta cĩ:

Trang 21

F277 Nĩ Lip at cdc loan le, ®lfía, )I =—`—— |u - vÌ (k+tlr

Vậy Í, lipschitz địa phương trên Ð

Ta chứng minh ÍÍ(x) - fox) | < e với mọi x e D

|hãt vậy, với mọi x ¢ D ta co:

liz(x) - fxì [ < | ®;ix) (flay) - fooil < @/1x) [fa¿) - f(x) |

Theo tinh chat b) cua ho V;, với 2 A mà đ;Íx) z 0 thì:

x€V¿C LI{xạl với xụ nào dĩ thuộc D và ta củng cĩ a;eV; nên äy © LI xạ), Do đĩ:

I fia,) - fx) | < [ffa¿) - xe) | + Íf(xạ) - f(x}Ï < s2 + e/2 =e

[Điêu này dân đến:

Trang 22

Phin 2: Codn đề cơ die TOAN TU CO DAC | —— > & CR

Phan nay trình bày sơ lược về độ do phi com pac Kuratovskii va

nhiing tinh chat co ban cuả nĩ Đồng thời dùng lý thuyét bac tépé6 cua

triững cơ đặc để chứng mình tính com pac, liên thơng cuả tập các

diém bat déng cua anh xa cơ đặc Về tính com pắc, liên thơng cuả tập

các điểm bất động cuả một ánh xạ, chúng ta da cé dinh lý Krasnoselski - Perov, nhưng định lý này phát biếu cho trường hợp ánh

xa com pac GO day ching ta chứng minh kết quả cuá định lý

Krasnoselskii - Perov vân đúng cho trường hợp ánh xa cơ đặc

£9 Cøi

Dinh nghia 1.1

Cho khơng gian Banach E với chuẩn | |, A la mét tập con bị chặn cuả E, độ đo phi com pắc Kuratovskii cuả A la số:

œ(ÀI = inÍ [d>0, Á được phú bởi hữu hạn các tập cĩ đường kính < dị, trong đĩ đường kính cuả một tập bị chặn B là số:

píB] = sup (lx -y ls x.y € BH,

Trang 23

Phin 2: Fadn thé cé dee

Tinh chat 1.2

a) tA} = 0 khi va chi khi A com pac Lương dối lb) atAb = afCoA) = af CICoAD)

cÌ at U B) = maxtalA), a{B))

d) at\ + B) = atA} + alB) vdi A+B = | a+b: aeA, beB}

el œ((Á) = Ì tÌ œtA) với tÁ = {la; a e Á|

¿ TOA N TỪ CO ĐÀ C

Dinh nphia 11.3

Cho khéng gian Banach F, D la mét tap md cua F, mét anh xa lien tue fs 1) > b duge poi la mét todn td k - 66 đặc neu lon Lại một số

ke [Ø,1) sao cho với mọi tập con bị chặn À c D ta cĩ ơ(f(À) < kơ(A) vdi ot) la dé do phi com pac Kuratovskii cua A

Nếu aiff Ah) < af A) véi af A) > O thi ta néi fla tốn tử cơ đặc

Nhân xét H.4

Nêu í = LÍ +€ với LI là ánh xa co với hệ số k và C là ánh xạ com

bắc thị Ý là tốn tử k-cơ đặc

Thật vậy, với mọi tập con bị chăn Á c |) ta cĩ: fA = (le + CHA) Cc ULA) + CIA),

Vì C là ánh xạ com pắc nên CÍA) là tập com pắc tương đối do đĩ

Trang 24

Phan 2: OVodn be vb dav

œ{C(AD = 0, Từ đĩ tạ cĩ:

œ(f[ÁI < ơ((l(A] + C(A)) = ơ(LI(AI] + ứÍC{Ầ)) = ơ(( LAI) = kơi(AI [Điêu này chứng tỏ f là tốn tử k-cơ đặc

Định lý lH.5

Cho D lơi đĩng bị chặn trong khơng gian Banach E f: D -> D

là ánh xạ k - cơ đặc Khi đĩ f cĩ điểm bất động trong Ð

Chứng minh Vdi moi neN, dat:

Ay = Cl(Cof(D)), Ag = CliCotlA,}), Avy = CllColAnt

Ro rang vdi moi n © N, A, loi đĩng bị chặn Bằng qui nạp, ta

chứng minh: Àa«y C Ap Thay vay:

e Voi n=1, do f(D) c D ma D Idi đĩng nên Cl(Cof(DÐì) c D Từ dé Ay & D Điều này dẫn đến A›=CliCof(A11) = Cl(CofiD)) = Ay, ® Ciiá SỬ Aa C Ana, ta c6 ff{A,) c ÍCAaz.¡Ì, do đĩ:

Aya = CIICof{A,)) c CIICOof{A, 1) = Ag

Vay Angi C A, VOI moin € N Mat khac do f la k-cơ đặc nên với

moine N, theo tinh chat 6) ta cé:

OA, a1) = OCCKCOoA,)) = afffA,)} < k af Ag)

Ter dé: alg ya) S k g(Aa) < kỶ An.) < < k" giÁy) « kh?! œ(D],

Trang 25

Phin 2: Todn tée cé dic

Dat K = MAn thi K léi déng va aikK) < atAny) © kya GID) vi

noi n 6N, Do k < 1 nên ơ(K) = 0

la cliing minh K + @

Thật vậy, xét day (x,}, trong dé x,eA,, NEN VGi moi ieN, dat: B; = (xy, n = i} thi By c Aj

Vi By = | x4,X2, %ia} UB; nén theo tinh chat c) ta cĩ:

ơ(B1) < ơÍB;) < ofA’ <k' afD), vdi moi ie N, do dé afB,) = 0 Theo tính chất a), Bị là tập com pắc tương đối vì vậy dãy (xaÌn

chưá mốt đây con hoi tu (x, hy

Dat: lim x, = x Véi moi ie N ta cé x, © Aj néu ny 2 i Vi A; x wv doénp nén x © Aj vdi moi i ¢ N dan dén x € (An =K Vậy K # Ø, nm! Do afk) = O va K déng nên K lỗi, com pac , khác rơng Ta chung minh fk} c K Thật vậy, với mọi neN, do K œ Áa nên f(K) c CH(Col(Aall = An¿t [2o đĩ: f(K} = ƒ]An = K

Vậy K lỗi, com pắc, khác rơng, í: K -> K liên tục nên theo dịnh

Trang 26

Phan 2: Sodan “đ cơ cặc

Dinh nghià 11.6

* Cho D là mội tập mở hị chăn trong EF, T: Cl2] —> E liên

lục, tập lơi S được gọi là tập cơ bản cuá T nếu:

T(S ¬ Cl(D]) c S và nếu xạ e Co{Txa,S] thì xạ e Š

Nếu Š là tập cơ bản cuả T thì S chưá tất cả các điểm bất động

cua F và Col{S a CUD) la tap cơ bản cuá T Nếu S$ la tap co ban cud | va Š5 đĩng thì ClíCoT(S Cl(D1]) cũng là tập cơ bản cua T Tập cơ ban cua T cĩ thể là tập rơng

* Tốn tử T dược gọi là cĩ giá com pắc nếu T cĩ một tập cơ

bản cam pắc tương dối

* Gia si tT: CID) > L là tốn tử cĩ gid com pac S, đặt T; là tha hep cud T trén SACD) Khi dd, theo dinh ly 1.4, tổn tại một tốn tử mở rộng T,* xác dịnh trên tồn E, T,* là tốn tử com pắc và

T¿'SCl(3) c 5, Khi đĩ với mọi p #lHÌØD] ta định nghia:

degíp,[2,I - TÌ = deg{p,D,I- T,*) và gọi deg{p,[,I - Tì là bậc tơpơ

cua T trên D, tại p

Định nghià trên hồn tồn xác định do tính chất cuả bậc tơpõ

cua trường com pắc va tinh chat cud tap co ban Nghia la dinh nghia

này khơng phụ thuộc vào mở rộng [;* cuả Ï; cùng như cách chọn tập

cd ban S

Trang 27

Phan 2: Vein để cĩ đặc Dinh ly 1.7 Nếu T là tốn tử cơ đặc thì T cĩ giá com pac hộ | Chứng mình

Nếu T khơng cĩ điểm bất động, ta lấy $ = ©

Ciiả sử T cĩ điểm bất động Đặt Sy la giao cud tat cả các tập cơ

ban (họ các tập cơ bản khác rỗng như là quả cầu chưá TíCl(D)).) thi So là tập cơ bản bé nhất Do € lCo [(Sẽ CHỦ) cũng là tập cơ bản nên €ClíCoT(Sạ Cl(D))1 = Sạ Khi đĩ:

œÍSo) = œ(C|(CoT(Se zš CÍ(D)1) = œ [T(Se mà CHD)] < ơSoCl(D))

Suy ra (Sa) = 0, Vậy Sạ là com pắc tương dối

Q

Từ dịnh lý này, bậc tơpơ cuả trường tốn tử cơ dặc | - T hồn

lồn xác định và thoả các tính chất sau:

Tinh chat 1.8

Cho 1D la tap mé bj chan cud F T: CD) > LF là tốn tử cơ đặc, với p #(l - TI(@D) hàm số degip,D,I - Tì hồn tồn xác định va thoả các tính chất:

a} Néu deg(p,D,1 - 1) #0 thi ton tai x € D sao cho | - Tix) = p

b) Néu p € D thi degip,D,| ) = 1,

Trang 28

Dhdun 2: CVodn đề cơ de

cì Nếu Dy, D2 la cac tap mé cach biét cud D va nếu

p £ ([ - T](Cl(21%CIl¿) c2 C32) thì:

degtp,2,I - [] = degip,D,,1 - T) + degip,D;,l - T),

dì (lính bất biến qua đồng luân)

Giả sử pe(l - TÌ((0,1)xØD] và T: [0,1] Cl(D)—> E là tốn tử cơ dặc

nghia la véi moi A & CHD) va ứ(A) + 0 thì ơi | J0,A)) < ơ(AI] Khi dĩ

he 10,11

deg(p,D,I - TA ) là hằng số

Định nghia 11.9

Cho L là khơng gian Banach thực, D là một tập mỏ bị chặn cud 3 và T: CHĐ}] — E là mơt ánh xạ k - cơ dặc Ta nĩi T thoa man diéu

kiện ¡*] nếu với mọi e + 0, tồn tại ánh xạ k;„ - cơ đặc T„ sao cho:

cĩ nhiều nhất một nghiệm nếu {Jb|| < s

Trang 29

Goi N la tap các diém bat déng cua T, N = {x € D, x = Tx} Do dest0,D,1-T) #0 nen N 4

Miãt khác, do T là ánh xạ k - cơ dac nén af TIN) = kơ(N), với ke |0,1) Vi TIN) = N nén bat dang thức trên trở thành:

Néu aN} = 0 thi N la tap com pắc tương đốt

Néu k = 0 thi afN) £ O.a(N), do dé a(N) = 0 va ta cling cé N la

com pac tuong dai

Mac khac, N =(I- Tr'(0}) nén N là tập dĩng Vậy N là com pac Ching minh N lién thong

Giả sử N khơng liên thơng, thì N là hội cuả hai tập com pắc khúc rồng cách biệt, Khí đĩ ton tai 2 tập mở Vụ, Vạ c Ð sao cho:

Nđ¬V:iz@;NđnV;yz#@Ø;NCVyUOV;và Vịn V„z=Ø,

[Do 0 ø (| - Ti(ơ@) nên O ¢ (1 - THCKDINCIV)) ở CH(V2II) do đĩ: deg(0,D,I - T) = degi0, Vì, - T) + dep(0, Vạ,l - TỊ

la chứng minh: dep(0, Vị,l - T) = dep(0, Vạ,| - 1} =

Thật vậy, do Nz3Vy # Ø nên tổn tại xịạeN/3Vì sao cho xy = Tx

Đặt đ®,Íx) = x - l;Íx) - [xị - FaÍxy)) và dat:

Hit.x} = (D(x) + (1 - OU - TMxl, te 10,1] Ta cĩ:

Trang 30

Phan 2: CTCutin để cĩ debe:

Hit.x) =t {x - Tex) - [xy - Tele ib + 0 - Tx - Tod)

= tx - fÏ,Íx) - tXy - t T¿Áxy) + x - TÍx) - lx + LI(x) =x- T(x) - t[T;lx) - T(x)] - 1 [xị - H;x¡Ì]

=x- [(x)-t[HI¿{x) - IF(x)] - 1t [I(xy) - laxyi {do xị = TÍx4)) Do x - I(x) + 0, với mọi xeØV¿ và do giả thiết |] Tix) - T.{x) |] < e nên Ht,x) # 0 với e đủ nhỏ

Vì x- Tx # 0 với mọi xe8V› nên dặt œ = iní[||x - Tix) ||, xeØW]

thi a > 0 Khi do:

|Hít,x)ƒ > œ - 2£ > 0 với mọi t e [0,1] và x € aD [de tinh bất biến qua đồng luân ta cĩ:

deg(0, V„,Ht,.)) khơng đổi theo t c [0,1| dẫn đến: deg(0, Vạ,| - E = dep(0, Vạ, ®,) trong do:

đ);Íx) = x- T;íx) - b với b = xy- T;Áxy) = xy) - T;ÍxịÌ, vậy ||b||< e Do diểu kiện (*) nên phương trình: ®,(x) = 0 cĩ nhiều nhất một nghiệm mà @,(x,} = 0 (x; € V) ON) nén Œ®; khơng triệt tiêu trên Vạ,

Trang 31

(lep(0,1,| -[) = degi0, Vị, - 1) + degiO, Va, - 1) = 0

Điều này mâu thuẩn với gia thiél degi0,D,1 - 1) 4 0

Vậy N là tập liên thơng

Tĩm lại, N là tập com pắc liên thơng

Dinh ly 11.10 da duge chung minh

Trang 32

Phan Bo o ‘ink com pac hidn thé RY & oe đê» Cae Cad weghite Z2? TPH COM DAC, LIEN THONG VA 8U LIES TUC CUA SCIIEM CUA BHUCNG TRING TICE PHA £c) # (3ì

[rong phần này chúng ta sẽ xét 2 tính chất cuá tập hợp nghiệm cuảä phương trình tính phân trên khơng gian Banach đĩ là: tính com

pắc, liên thơng cuả tập hợp nghiệm và sự liên tục cuả nghiệm £c3 * c3 Cho E là khơng gian Banach với chuẩn | | Xét phương trình: ! 1 {1} x(t) = | Alsix(sids + { ø(1,s,x(s)lds, a>0, te [0a] Trong do:

(i} {|A(0] là một họ ánh xạ tuyến tính bị chặn từ F vào E, phụ

thuộc liên tục theo t†

(ii) g:[0,a' ⁄E —> E là ánh xạ com pắc sao cho gít,.,.):H„A -> F là liên tục đều theo t, với bất kỳ H c [0,a' và Á bị chặn bất kỳ, A - F

(iii) lim | gít,s,x) |/Ix| = 0 đều theo t,s € [0,al

Trang 33

Phin 8: CVink com prac đê» thing a oa lbn luc cud nghiem Binh by UL

Cho phuong trinh (1) thoả các điều kiện (¡) - (iii) Khi dé tap nghiệm N cua phương trình (1) là tập khác rỗng, com pắc, liên thơng

Chứng minh

Phần chứng mình sẻ được chia thành 2 bước:

Bước 1: Sử dụng định lý II.5 để chứng minh N z# Ø

Bước 2: Sử dụng dịnh lý II.10 để chứng minh N là tập com pac,

liên thơng

Dat X = C{[0,al,L) la khéng gian Banach các ánh xa liên tục từ l0,a| vào F với chuẩn Jx|| = Supl | xí) |, te ;0,al)

Xét các ánh xạ LI,C ; X —> X xác định như sau:

| 1

Uxit) = ƒ Ats)xts)ds ; Cxit) = | git,s,x(silds, te [0,al

Trước tiên ta chứng ninh các bố đề sau:

Bổ đề 1I1.2: ——

Véi gid thiét (i), tốn tại trén X mét chuadn ||.|[¿ tương đương với

Trang 34

DPidu 8: Fink com pric hin thong ÿ J6” (êm đực cust nghiem

l '

IUxitl| = [|Ais)x(s)|ds < Jl aisi| |x(s) | ds < mal|x||

Do đĩ: ||Ux|| £ mà |x[| Vậy L¿ liên tục Bằng quy nạp, ta chứng mình: lU"x(u| < Gn n! |x], véi moi n © N vat e [0,a) That vay: ® VỚĨIH = Ì ta CĨ: | Luxio | <P] atsi| [xts)| ds š mtỊxỊ 0 e Gid sd bat dang thiic dting vdi n Ta co: I Le" xt) = LIU" dt) = [AisiL" ixiisids Do đĩ: 1 ! nei + n 5 {ms}" _{mt}”

[ux |< J | ais)| |stats) lds < mf a SUX oy yy EL

Vay bất đẳng thức đúng với moi n eN

(mal n!

Suy raz JU" | *

Trang 35

2á“áu ®- CÌ7/ cozm pric đêm (đê ee ME hen tac cud unghie m

Do vay: JUxf, £41 - 1fe™) Ix}

lied; JU, <1 - 1/eP*!=k < T

Vay U la dnh xa co hệ số k = (1 - 1/e"*) đối với chuẩn || [¡.-l

Bổ dể III.2 đã được chứng minh Cs Bổ dề 111.3: > X là ánh xạ com pac, Chung minh

Trước tiên ta chứng minh C: X—>X

Với mọi x e X ,gọi B710, |x |) là quả cầu đĩng tâm 0 bán kính Jx|

trong X Vì ø liên tục déu trên [0,a]”xB(0, |x||) nên với mọi c>0 cho

trước, tổn tại 8 > O sao cho vdi moi t,t e Í0,a} mà lt - tl < 6 f để ý Í(L,s.x(s} - ÍF,s,xís}| = lt - Pl} thì: |pít,s,x(s)] - e',s,x(sI[ < g/a, với mọi s e [0,a] Khi đĩ: | lcxit) - Cx | < [gt,s,x(snds - alt’,s,xisii|ds < ag/a =e Ị

Vậy Cx liên tục theo t € [0,a] hay Cx e X Tức là C: X — X Tiếp theo, ta chứng rninh C liên tục,

| ay {xala là một dãy trong X sao cho lim x, = Xo

n om

Trang 36

Phan 3: “Vink com “ước đêm thé „4 1€ hién lac cud nghie me

Chúng ta xác nhân rang B la tap compac trong E

That vay, xét day {x (9 B Ta cĩ thể giả sử rằng lim tị = tạ và

lim x.=X"

(Ghi cha: [x fi 06 thể khơng là dãy con cuả {xal¿ và x* cĩ thể là một xụ nào đĩ chứ khơng nhất thiết x* = xạ ) La Cĩ: | x, (4) - x*ttel| < Ìx„ttỷ - x*t)[ + | x*tt) = x*(te) | Š |x„ -x” || + | x*(t) - x*(tạ) | Diéu nay chứng tỏ rằng lim x, (ti) = x*{to}, do đĩ B là tập com pắc trong F

Vdi & > O bat ky, vi g lién tuc trén tap com pac '0,al?xB nên tổn

lại ồ > O sao cho véi moi x,y e B mà |x-y|| < ä thì: | gít,s,x) - ø(t,s, | < Íg/a] ,với mol s„L e [0,a]

Mật khác, do lim xạ = xạ trong X nên ton tại số nạ sao cho với mọi

n -~+*”‹:

1h = No la CO:

| xa - xe || < ỗ Điều này dân đến:

Trang 37

2o đĩ JC(xa) - C(xall| < ¢ vGi mai n= nạ, tức là C liên tục

Cuối cùng, ta chdng minh C com pac Lay D la mét lap con bj chan cud X Dat:

A = {x(s), x e D, s € [0,al}

Khi đĩ A là bị chăn trong L, Vì ø là ánh xạ com pắc nên tập

ai[0,al?xÄ) là com pắc tương đối trong E do đĩ ø(/0,al”xA) là bị chặn Với bất kỹ tị, tạ e [0,a] ta cĩ: L, ty |Cix)(t) - Cixhita) | = LÍ gítị,s,x(s)lds - | 6(ta,s,x(s})ds | t t, <| | pity s,xis)) - pltz,s,xls}) lds + | | gitys.xisiids |, 0 t

Vi pit,.,.) a li@n tuc déu theo t trén [0,a]*xA va vi gf[0,a]*xA) là bị

chặn nên bất đẳng thức trên chỉ ra rằng CíD) là liên tục đồng bậc trên /0,a]l Dat K la bao léi dang cuả ø(|0,ajxÃ1, K = Cl{Cog([0,a]*xA)} khi dé K là com pắc trong E Bởi vì gít,s,x(s)] e K với mọi s,t e [Ø0,a' và x e D nên ta cĩ: | C(D)it) = t Jatt s.xisiids, x € D]ctK với mọi t © [0,al 0

Vi vay C(D)(0 la com pac tuong déi trong E Te dé, theo dinh ly

Ascoli - Azelà ta cĩ C(DI] là com pắc tương dối trong X Vậy C là ánh xạ com pac

Trang 38

Phin 3 CFink com prc đâm thé RE # ME hibn tac cud nghtem

Bd dé 111.4:

Cho E là khơng gian Banach Nếu g: [0,al?xl — £ la anh xa

Lipschitz dia phugng thi vi moi x9 € [, tơn tài r > 0 sao cho ø là ánh

xá Lipschitz trén Oa] 7xBixp, 1)

Chứng mình

Do g lipschitz dịa phương nên với mọi (†,s,xạ) € í0,a]xF tổn tại Stsfisckts > O sao cho ø | ipschit7 trên (†-ðw,†+ơu) x (5-54, 5 +84.) x BUXp, 1.) với hệ số l ipschitz kụ

Dat: lis = ((-ð,+ỗys) ; dạ = (S-Bro-S4+Or) Khi đĩ họ [ÍtsX‹J+s}\eI0,a| là

một phú mở cuả [0,a]Ÿ, mà {0,a]Ÿ com pắc rên tổn tại một tập H hữu

Trang 39

Bổ để LII.5:

Với các giả thiết (i), (ii) nhu da néu, néu thém g: [0,aìxF —› E là | anh xa Lipschitz địa phương thì phương trình tích phần:

(Al xItl= J sists * mm + xn, với < tạ St S à

tụ lạ

cĩ nghiệm duy nhất trên đoạn [tn,to+Hl với H > 0

Chung minh

Vì g lién tục tai (tg,to,X9) nén vai moi e>0, ttn taid>Ovac>O

sao cho với mọi (t,s,x)c fltg-d.tp+d)'0,al}* x B’ixg,c) ta 6:

| gít,s,x) - gito,te,xe! | < e Từ do:

\ gít,s,x) Í - Ígtte,te,xo) | é Ì gít,s,x) - gÍta,to,xe) Ì < e, vì vậy:

| gt,s,x) Í < + Í gftu,te,xa) | =M

® ín= sup{ |AtI, t cÍ[0,al)

se H=Minld ——-:, k )|với D<h < 1

míc+lx„lM] m+k

¢ X = C([0,to+H],E) la khéng gian Banach cac ánh: xạ liên tục từ

.0,tn+H] vào E với chuẩn ||x|| = Sup| Ixith|, te [O,tg+H]}

Trang 40

ĐÁÄx 3+ Vinh com pce hin the rege 4 44 đâm đục cud nghiem

Định dạng
Số trang	57
Dung lượng	2,6 MB