(Luận văn thạc sĩ file word) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ file word) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ file word) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ file word) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ file word) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ file word) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ file word) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ file word) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ file word) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ file word) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ file word) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ file word) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ file word) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ file word) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ file word) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ file word) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ file word) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ file word) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ file word) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ file word) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ file word) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ file word) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ file word) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ file word) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ file word) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ file word) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ file word) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ file word) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ file word) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến
ĐẠI HOC THÁI NGUYÊN TRƯ NG ĐẠI HOC SƯ PHẠM ĐŐ TH± THU TRANG BÀI TOÁN TỰA TƯƠNG GIAO CỦA HAI ÁNH XẠ NỬA LIÊN TỤC DƯ I VÀ NỬA LIÊN TỤC TRÊN TÁCH BIEN LU N VĂN THẠC SĨ TOÁN HOC Thái Nguyên, năm 2021 ĐẠI HOC THÁI NGUYÊN TRƯ NG ĐẠI HOC SƯ PHẠM ĐŐ TH± THU TRANG BÀI TOÁN TỰA TƯƠNG GIAO CỦA HAI ÁNH XẠ NỬA LIÊN TỤC DƯ I VÀ NỬA LIÊN TỤC TRÊN TÁCH BIEN Ngành: Tốn giải tích Mã so: 8460102 LU N VĂN THẠC SĨ TỐN HOC Cán b® hướng dan khoa hoc: GS TSKH NGUYEN XUÂN TAN Thái Nguyên, năm 2021 ii L i cam đoan Tôi xin cam đoan rang n®i dung trình bày lu n văn trung thực, không trùng l p với đe tài khác thơng tin trích dan lu n văn rõ nguon goc Thái Nguyên, tháng 04 năm 2021 Tác giả Đő Thị Thu Trang L i cảm ơn Lu n văn hoàn thành hướng dan ho trợ t n tình GS TSKH Nguyen Xuân Tan Em xin gải đen thay kính lịng biet ơn sâu sac ve t n tâm thay đoi với thân suot thời gian làm lu n văn Em xin gải lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhi m khoa Toán thay giáo khoa Tốn trường Đại hoc Sư phạm - Đại hoc Thái Nguyên quan tâm, giúp đơ, tạo moi đieu ki n đe em hoàn thành lu n văn Bản lu n văn chac chan sě không tránh khỏi nhǎng khiem khuyet v y em rat mong nh n quan tâm, góp ý quý thay cô bạn đe lu n văn em hoàn thi n Cuoi cùng, em xin gải lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè nhǎng người giúp ho trợ em suot thời gian hoc t p hoàn thành lu n văn Em xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 04 năm 2021 Tác giả Đő Thị Thu Trang Mnc lnc Trang bìa phn i L i cam đoan ii L i cảm ơn iii Mnc lnc iv L i nói đau Chương Kien thfíc giải tích đa trị giải tích loi 1.1 Khơng gian tơ pơ tuyen tính loi địa phương Hausdroff 1.2 Ánh xạ đa trị 1.3 Tính liên tục ánh xạ đa trị 10 1.4 Tính loi ánh xạ đa trị 17 1.5 M®t so định lý ve điem bat đ®ng ánh xạ đa trị 20 Chương Bài toán tfia tương giao hai ánh xạ nfia liên tnc dư i nfia liên tnc tách bien 24 2.1 Phát bieu toán 24 2.2 Sự ton nghi m toán 25 2.3 Bài toán liên quan 30 2.3.1 Bài tốn ve tựa điem bat đ®ng hai ánh xạ đa trị nảa liên tục nảa liên tục tách bien 30 2.3.2 Bài toán ve điem toi đại 31 2.3.3 Bài tốn tựa cân bang vơ hướng .33 2.3.4 Bài toán tựa cân bang Nash trị chơi chien lược khơng hợp tác .33 Ket lu n 35 Tài li u tham khảo 36 L i nói đau Cho X, Y hai t p hợp, C ⊆ X t p khác rong, f, g : C → Y hai ánh xạ Bài toán tìm x¯ ∈ C cho f (x¯) = g(x¯) goi toán tương giao Điem x¯ goi điem tương giao Bài toán bao gom tốn điem bat đ®ng, tốn tìm nghi m phương trình nhǎng trường hợp đ c bi t: trường hợp F, G : C → 2Y ánh xạ đa trị, tốn trở thành tìm x¯ ∈ C cho F (x¯) ∩ G(x¯) ∅ Cho X, Y, Z không gian tô pô tuyen tính loi địa phương Hausdorff, D ⊆ X, K ⊆ Z t p khác rong Cho ánh xạ đa trị P : D × K → 2D, Q : D × K → 2K, G, H : D × K → 2Y Bài tốn: Tìm x¯, y¯ ∈ D × K cho x¯ ∈ P (x¯, y¯), y¯ ∈ Q(x¯, y¯), G(x¯, y¯) ∩ H(x¯, y¯) /= ∅ goi toán tựa tương giao đoi với ánh xạ G H Bài toán bao gom toán tựa cân bang tőng quát: Tìm (x¯, y¯) ∈ D, K cho x¯ ∈ P (x¯, y¯), y¯ ∈ Q(x¯, y¯), ∈ G(x¯, y¯) hay toán tựa cân bang đoi với ánh xạ G, nói cách khác tốn tựa tương giao trường hợp tőng quát toán tựa cân bang Lay H ánh xạ đong nhat tốn tựa tương giao hai ánh xạ H G có dạng x¯ ∈ P (x¯, y¯), y¯ ∈ Q(x¯, y¯), (x¯, y¯) ∈ G(x¯, y¯) tốn tựa điem bat đ®ng ánh xạ G V y toán tựa tương giao bao gom tốn tựa điem bat đ®ng trường hợp đ c bi t Mục đích lu n văn tìm nhǎng đieu ki n đủ đ t t p hợp D, K, X, Y, Z ánh xạ P, Q, G, H đe toán tựa tương giao đoi với ánh xạ G H có nghi m Lu n văn viet dựa báo tác giả Trương Thị Thùy Dương Nguyen Xuân Tan: Quasi – intersection problems and fixed point theory coneerning separately scalar wearly l.s.c u.s.c mappings Acta Math Vietnamica 45 (2020, no 2, 311 – 328) Tiep theo ta tìm moi quan h tốn với toán liên quan ke Ta thay phát bieu tốn có t p hợp ánh xạ nên ta sả dụng kien thác ve giải tích hàm giải tích đa trị đe nêu b t cau trúc t p hợp ho c khơng gian can tính chat ánh xạ đe cho tốn có nghi m V y n®i dung gom chương 1, chương sau Chương 1: Kien thác giải tích đa trị giải tích loi: Trong chương này, chúng tơi trình bày m®t so van đe ve giải tích đa trị giải tích loi khái ni m ve khơng gian tơ pơ tuyen tính loi địa phương Hausdroff, khái ni m ve ánh xạ đa trị, m®t so định lý liên quan phục vụ cho nghiên cáu chương sau Chương 2: Bài toán tựa tương giao hai ánh xạ đa trị nảa liên tục nảa liên tục tách bien: Đây n®i dung lu n văn Trong chương chúng tơi tìm nhǎng đieu ki n đủ đe toán tương giao ánh xạ có nghi m Tiep theo chúng tơi trình bày m®t so ket toán liên quan Chương Kien thfíc giải tích đa trị giải tích loi Trong chương này, ta xây dựng lớp khơng gian có hai cau trúc, ta goi cau trúc tô pô cau trúc đại so, hai cau trúc tương thích với Các khái ni m giới hạn, lân c n, t p đóng, t p mở, t p loi, , đeu sinh tà cau trúc Ta sě giới thi u m®t lớp khơng gian mà tốn ta xét khơng gian tơ pơ tuyen tính loi địa phương Hausdroff 1.1 Khơng gian tơ pơ tuyen tính loi địa phương Hausdrof Định nghĩa 1.1.1 Cho t p hợp X bat kì M®t ho G nhǎng t p X m®t tơpơ X neu: (i) Hai t p ∅, X đeu thu®c ho G; (ii) G kín đoi với phép giao hǎu hạn, tác giao m®t so hǎu hạn t p thu®c ho G thu®c ho G; (iii) G kín đoi với phép hợp bat kì, tác hợp m®t so hǎu hạn hay vơ ánh xạ đa trị Trước het, ta có khái ni m ve nón tiep tuyen t p hợp m®t điem thu®c bao đóng Định nghĩa 2.1.1 Cho D t p loi không gian véc tơ tơ pơ X Nón tiep tuyen D x định nghĩa TD(x) = λ(y − x) : y ∈ D, λ ≥ = cone(D − x), đó, coneV = {λz : z ∈ V, λ ≥ 0} 2.2 Sfi ton nghi m toán Tà toán tựa tương giao ta tìm đieu ki n lên t p hợp xạ cho tốn có nghi m Ta có định lý: Định lj 2.2.1 Giả sủ đieu ki n sau thóa mãn: D, K t¾p khác rőng, loi, compact; P : D × K → 2D ánh xạ đa tr liên tực với giá tr khác rőng, loi, đóng; Q : D × K → 2K ánh xạ u.s.c với giá tr khác rőng, loi, đóng; G ánh xạ l.s.c yeu vô hướng với giá tr khác rőng; H ánh xạ u.s.c yeu vô hướng với giá tr khác rőng, loi, đóng; Với mői (x, y) ∈ P (x, y)× Q(x, y), H(x, y) t¾p khác rőng, loi, đóng ∅ /= G(x, y) − (H(x, y) ∩ TP(x,y)(x)) ⊂ TP(x,y)(x) Khi đó, ton (x, y) ∈ D × K cho: x ∈ P (x, y); y ∈ Q(x, y); G(x, y) ∩ H(x, y) /= ∅ Chúng minh Ta đ t B = {(x, y) ∈ D × K|x ∈ P (x, y), y ∈ Q(x, y)} Xây dựng ánh xạ T : D × K → 2D×K, xác định T (x, y) = P (x, y) × Q(x, y), (x, y) ∈ D × K De thay T ánh xạ u.s.c với giá trị khác rong, loi, compact Theo định lý điem bat đng Ky Fan, ton ti (x, y) D ì K cho: (x, y) ∈ T (x, y) Do đó, B t p khác rong Hơn nǎa, T u.s.c có giá trị đóng nên B t p đóng t p compact Giả sả với moi (x, y) ∈ B, ∈/ G(x, y) − H(x, y) Lay v ∈ G(x, y) Do H(x, y) t p khác rong, loi, đóng nên v − H(x, y) t p khác rong, loi, đóng ∈/ (v − H(x, y)) Theo định lý Hahn - Banach, ton p ∈ X ∗ cho: p(v) + sup p(w) < w∈H(x,y) Suy inf v∈co(G(x,y)) p(v) + sup p(w) < w∈H(x,y) Khi đó, ta xác định ánh xạ c (., ) : D × K → R, c2(., ) : D × K → R p p c1(x′, y′) = p inf p(v); v∈co(G(x′,y′)) c2(x′, y′) = p sup w∈H(x′,y′) p(w) Vì c1, c2 đeu ánh xạ u.s.c D × K, t p p p Up (x, y) = {(x′, y ′) ∈ D × K|cp1 (x′ , y ′ ) + cp2 (x′, y ′) < 0} t p mở Vì (x, y) ∈ Up(x, y) nên Up m®t lân c n mở khác rong (x, y) Do đó, với moi (x, y) ∈ B, ton p ∈ X ∗ cho: Up (x, y) = {(x′, y ′) ∈ D × K|cp1 (x′ , y ′ ) + cp2 (x′, y ′) < 0} t p mở khác rong Suy {Up }p∈X ∗ ho phủ mở t p B M t khác, B t p compact nên ton hǎu hạn ánh xạ p1, , ps ∈ X ∗ cho: s [ B⊆ Upj j=1 Hơn nǎa, B t p đóng D × K, Up0 = D × K\B t p mở D × K nên {Up0 , Up1 , , Ups } ho phủ mở t p compact D × K Theo định lý phân hoạch đơn vị, ton hàm ψi : D × K → R, (i = 0, 1, , s) cho: ≤ ψi(x, y) ≤ 1; Σs ψi(x, y) = 1, với moi (x, y) ∈ D × i=1 K; Với moi i ∈ {0, 1, , s}, ton j(i) ∈ {0, 1, , s} cho suppψi ⊂ Upj(i) M t khác, ta định nghĩa ánh xạ φ : K × D × D → R φ(y, x, t) = s Σ ψi(x, y).pj(i)(t − x), i=0 với moi t, x ∈ D, y ∈ K Khi đó, φ hàm liên tục K × D × D Ngồi ra, với moi điem (x, y) ∈ D × K co định, φ(y, x, ) : D → R m®t hàm tuyen tính φ(y, x, x) = với moi (x, y) ∈ D × K Vì D, K, P, Q ánh xạ φ thỏa mãn đieu ki n ve nên de dàng ton (x, y) ∈ D × K cho (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y) φ(y, x, t) ≥ với moi t ∈ P (x, y) Suy s Σ ψi(x, y).pj(i)(t − x) ≥ với moi t ∈ P (x, y) (2.1) i=0 Đ t p∗ = s Σ i=0 ψi(x, y).pj(i), tà (2.1) ta có p∗(t − x) ≥ với moi t ∈ P (x, y) Hơn nǎa, p∗(u) ≥ 0, với moi u ∈ TP(x,y)(x) G(x, y) + (H(x, y) ∩ Tà giả thiet định lý này, ta có ∅ TP(x,y)(x)) ⊂ TP(x,y)(x), nên p∗(v) + p∗(w) ≥ 0, với moi v ∈ coG(x, y), w ∈ H(x, y) ∩ TP(x,y)(x) Suy p∗(v + w) ≥ inf v+w∈coG(x,y)+(H(x,y)∩TP (2.2) (x)) (x,y) M t khác, đ t I(x, y) = {i ∈ {0, 1, , s}|ψi(x, y) > 0} Vì ψi(x, y) ≥ s v Σ ψi(x, y) = nên I(x, ∅ Do đó, với moi i ∈ I(x, y), (x, y) i=1 y) suppψi ⊂ Upj(i) ta có ∈2 (x, y) + cpj(i) (x, y) < (2.3) cpj(i ) Với moi v ∈ coG(x, y), w ∈ H(x, y), ta có p∗ (v + w) = s Σ ψi (x, y).[pj(i) (v) + pj(i) (w)] i=0 = Σ i∈I(x,y) ψi (x, y).[pj(i) (v) + pj(i) (w)] ψi(x, y) max {pj(i)(v) + pj(i)(w)} ≤ i∈ΣI(x,y) i∈I(x,y ) = max {pj(i)(v) + pj(i)(w)} Hơn nǎa i∈I(x,y ) inf v + w ∈ coG(x,y)+ (H(x,y)∩TP (x)) {p∗ (v + w)} (x,y) ≤ m{pj(i)(v) + pj(i) a (w)} x (2.4) inf v + w ∈ coG(x,y)+ (H(x,y)∩TP (x,y) (x)) i∈I(x,y) Đ t C = co{pj(1), , pj(s)}, E = co(G(x, y)) + H(x, y), f (p, u) = p(v) + p(w), u = v + w sả dụng tô pô yeu* X ∗ Do đó, max pj(i)(u) i n f u∈coG(x,y)+(H(x,y)∩TP (x,y) (x)) i∈I(x,y) = m ax i ∈ I ( x , y ) v + w inf ∈coG(x,y)+ (H(x,y)∩TP (x,y)(x)) { (v pj(i) pj(i ) (w) + } ) ≤ i p n j(i) f ( p w j ) ) ( } v ) + s u p ∈ ∈I v (x, y) c o G ( x , y ) w∈ H(x, y) (2.6) V hướng ánh xạ nảa liên tục yeu vô y định hướng lý Bang cách chon ánh xạ mục tiêu G, cháng minh H thích hợp, tốn tựa tương giao Tà tốn mở r®ng, tőng qt Định lý m®t lớp tốn toi ưu như: Bài tốn 2.2.1, tựa toi ưu vơ hướng, tốn tựa cân bang ta có h vơ hướng, toán tựa cân bang véc tơ ve điem { bat đ®ng ánh xạ đa ma ≤ {c py) ∈ (x, j(i) + c i (x, j(i) < 0py) (2.5) Tà (2.4) (2.5) suy trị tőng ánh xạ nảa liên p∗( i u) u (< (2 6) Ta thay (2.1) mâu thuan với tục yeu vơ 2.3 2.3.1 Bài tốn liên quan Bài toán ve tfia điem bat đ ng hai ánh xạ đa trị nfia liên tnc dư i nfia liên tnc tách bien H 2.3.1 Giả sủ đieu ki n sau thóa mãn: D, K t¾p loi, compact, khác rőng; P : D × K → 2D ánh xạ đa tr liên tực với giá tr loi, đóng, khác rőng; Q : D × K → 2K ánh xạ u.s.c với giá tr loi, đóng, khác rőng; G ánh xạ l.s.c yeu vô hướng với giá tr khác rőng; H ánh xạ u.s.c yeu vô hướng với giá tr khác rőng, loi, đóng; Với mői (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), ∅ TP (x,y)(x)) ⊂ TP (x,y)(x) (G(x, y) − x) − (H(x, y) ∩ Khi đó, ton (x, y) ∈ D × K cho: x ∈ P (x, y); y ∈ Q(x, y); x ∈ G(x, y) − H(x, y) Chúng minh Ta định nghĩa ánh xạ G∗ : D × K → 2X xác định G∗(x, y) = G(x, y) − x, (x, y) ∈ D × K Khi đó, với moi (x, y) ∈ D × K, G∗ ánh xạ l.s.c yeu vô hướng với giá trị khác rong Áp dụng định lý 2.2.1, ta có đieu phải cháng minh 2.3.2 Bài toán ve điem toi đại M®t h ton nghi m ton phan tả toi đại sau H 2.3.2 Giả sủ đieu ki n sau thóa mãn: D, K t¾p khác rőng, loi, compact; P : D × K → 2D ánh xạ đa tr liên tực với giá tr khác rőng, loi, đóng; Q : D × K → 2K ánh xạ u.s.c với giá tr khác rőng, loi, đóng; G ánh xạ l.s.c yeu vơ hướng với giá tr khác rőng; H ánh xạ u.s.c yeu vơ hướng với giá tr loi, đóng; Với mői (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), x ∈/ G(x, y) + H(x, y) ∅ /= (G(x, y) − x) + (H(x, y) ∩ TP(x,y)(x)) ⊂ TP(x,y)(x) Khi đó, ton (x, y) ∈ D × K cho: x ∈ P (x, y); y ∈ Q(x, y); G(x, y) + H(x, y) = ∅ Chúng minh Ta giả sả rang G(x, y) + H(x, y) /= ∅, với moi (x, y) ∈ P (x, y)×Q(x, y) Suy ra, với moi (x, y) ∈ P (x, y)×Q(x, y), ho c G(x, y) /= ∅ ho c H(x, y) /= ∅ Do đó, (G(x, y) − x) + (H(x, y) ∩ TP(x,y)(x)) ⊂ TP (x,y)(x) Theo H 2.3.1, ton (x, y) ∈ D × K cho: x ∈ P (x, y); y ∈ Q(x, y); x ∈ G(x, y) + H(x, y) Ta thay đieu mâu thuan với giả thiet V y ta có đieu phải cháng minh Tiep theo, ta có định lý Ky Fan định lý Brouwer Ky Fan sau Định lj 2.3.3 Cho D t¾p loi, compact không gian loi đ a phương Hausdorf X, ánh xạ F : D → 2D nủa liên tực với giá tr loi, khác rőng Khi F có điem bat đng nh lj 2.3.4 Cho D l loi, compact, khác rőng X F : D → 2D ánh xạ đa tr thoả mãn đieu ki n sau Với moi x ∈ D, x ∈/ F (x) F (x) t¾p loi; Với moi y ∈ D, F −1(y) t¾p mớ D Khi đó, ton x¯ ∈ D cho F (x¯) = ∅ H sau mở r®ng định lý Ky Fan định lý Brouwer - Ky Fan H 2.3.5 Giả sủ đieu ki n sau thóa mãn: D t¾p khác rőng, loi, compact X; G0, H0 : D → 2D ánh xạ đa tr với giá tr khác rőng; G0 l.s.c H0 u.s.c với giá tr loi, đóng; (G0(x) − x) + (H0(x) ∩ TD(x)) ⊂ TD(x), với moi x ∈ D Khi đó, ton x ∈ D cho x ∈ G0(x) + H0(x) Chúng minh H suy trực tiep tà H 2.3.1 bang cách đ t P (x, y) = Q(x, y) = D, G(x, y) = G0(x), H(x, y) = H0(x) với moi (x, y) ∈ D × K H 2.3.5 tőng quát hóa định lý Ky Fan định lý Brouwer - Ky Fan 2.3.3 Bài tốn tfia cân bang vơ hư ng Cho D, K, Pi, i = 1, 2, Q trên, R+ không gian so thực không âm Φ : K × D × D → R hàm so thỏa mãn Φ(y, x, x) = 0, với moi y ∈ K, x ∈ D Ta có tốn sau: Tìm x¯ ∈ D cho x¯ ∈ P1(x¯) ∈ Φ(y, x¯, t) − R+ , với moi t ∈ P2(x¯) y ∈ Q(x¯, t) Đó tốn tựa cân bang quen biet: Tìm x¯ ∈ D cho x¯ ∈ P1(x¯) Φ(y, x¯, t) ≥ 0, với moi t ∈ P2(x¯) y ∈ Q(x¯, t) Bài toán nghiên cáu nhieu tác giả (xem [3], [4], [5], [6]) nhieu tài li u khác 2.3.4 Bài tốn tfia cân bang Nash trị chơi chien lư c không h p tác Cho Xi, i ∈ I, Y không gian tôpô tuyen tính loi địa phương Hausdorff I t p so hǎu hạn (được goi t p người chơi) C ⊆ Y nón loi, đóng, nhon Với moi i ∈ I, cho Di ⊆ Xi t p khác rong (goi t p chien lược người chơi thá i) Đ t n D = Π D i i=1 Với moi i ∈ I, ánh xạ đa trị Si j : D → 2Di, j = 1, ánh xạ ràng bu®c người chơi thá i Hàm fi : D → Y goi hàm thua thi t người chơi thá i Hàm phụ thu®c vào chien lược tat người chơi, Với x = (xi )i∈I ∈ D, ta kí hi u xi = (xj )j∈I\{i} Điem x¯ = (xi )i∈I goi điem cân bang Pareto mơ hình trị chơi Nash (Di , fi , S , S 2)i∈I neu với moi i ∈ I ta có i i xi ∈ Si1 (x¯) fi (xi , yi ) − fi (x¯) ∈/ − (C\{0}) , ∀yi ∈ iS (x¯), i ∈ I Ta đ t G(x, t) = n Σ fi xi, ti − fi (x) ; i=1 M (x) = {t ∈ D | G(x, t) ∈/ − (C\ {0})} F (x, t) = t − M (x), (t, x) ∈ D × D Neu ton n Π Si (x¯) x¯ ∈ S i=1 (x¯) = cho ∈ F (x¯, t) với moi ti ∈ S (x¯), i ∈ I i Ta có xi ∈ S 1(x¯); i G(x¯, t) ∈/ − (C\{0}) , ∀yi ∈ S (x¯), i ∈ i I Tà ta suy xi ∈S 1i(x¯), với moi i = 1, , n; n Σ fi (xi , ti ) − fi (x¯) ∈/ − (C\{0}) i=1 Lan lượt thay t = (x¯i , ti ) ∈ S (x¯), ta suy i fi (x¯i , ti ) ∈/ fi (x¯) − (C\{0}) , với moi ti ∈i S (x¯) Tác x¯ = (x¯i )i∈I điem cân bang Pareto mơ hình trị chơi Nash Ket lu n Bài toán tựa tương giao tốn quan trong lý thuyet toi ưu, bao hàm rat nhieu toán khác Trong lu n văn, chúng tơi trình bày m®t so van đe sau • Trình bày kien thác ve khơng gian tơ pơ, khơng gian tuyen tính, khơng gian tơ pơ tuyen tính loi địa phương Hausdorff, lý thuyet, khái ni m ve ánh xạ đa trị tính chat liên quan • Trình bày đieu ki n đe ton nghi m toán tựa tương giao đoi với ánh xạ nảa liên tục nảa liên tục tách bien • Trình bày m®t so tốn liên quan khác tốn ve tựa điem bat đ®ng hai ánh xạ đa trị nảa liên tục trên, nảa liên tục tách bien, toán ve điem toi đại, tốn tựa cân bang vơ hướng tốn tựa cân bang Nash trị chơi chien lược không hợp tác Tài li u tham khảo Tieng Vi t [1] Nguyen Xuân Tan, Nguyen Ba Minh (2005), M®t so van đe lý thuyet toi ưu véc tơ đa trị, Nhà xuat giáo dực Tieng Anh [2] Duong T T T., Tan N X (2020), "Quasi-Intersection Problems and Fixed Point Theorems Concerning Separately Scalar Weakly l.s.c and u.s.c Mappings", Acta Mathematica Vietnamica, vol 45, pp 311–328, Scopus [3] Himmelberg C J (1972), "Fixed points of compact multifunctions", J.math Anal Appl 38, pp 205-207 [4] Kim, W.K and Tan K.K (2001), "New existence theorems of equilibria and applications", Nonlinear Analysis 47, pp 531-542 [5] Lin, L.J and Tan N X (2009), "Quasi-equilibrium inclusion problems of Blum-Oetli type and related problems", Acta Math Vietnam 34, no 1, pp 111-123 [6] Minh N B and Tan N X (2000), "Some sufficient conditions for the existence of equilibrium points concerning multivalued mappings", Vietnam Jour of Math 28, pp 295-310 [7] Tan N X (2018), "Quasi-equilibrium inclusion problems and fixed point theosrems of separately l.s.c and u.s.c mappings", Numerical Functional Analysis and Optimization, vol 39, no 2, pp 233-255 ... SƯ PHẠM ĐŐ TH± THU TRANG BÀI TOÁN TỰA TƯƠNG GIAO CỦA HAI ÁNH XẠ NỬA LIÊN TỤC DƯ I VÀ NỬA LIÊN TỤC TRÊN TÁCH BIEN Ngành: Tốn giải tích Mã so: 8460102 LU N VĂN THẠC SĨ TOÁN HOC Cán b® hướng dan... ∈ G(x¯, y¯) hay toán tựa cân bang đoi với ánh xạ G, nói cách khác tốn tựa tương giao trường hợp tőng quát toán tựa cân bang Lay H ánh xạ đong nhat tốn tựa tương giao hai ánh xạ H G có dạng x¯... m ve ánh xạ đa trị, m®t so định lý liên quan phục vụ cho nghiên cáu chương sau Chương 2: Bài toán tựa tương giao hai ánh xạ đa trị nảa liên tục nảa liên tục tách bien: Đây n®i dung lu n văn Trong