(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ THỊ THU TRANG BÀI TOÁN TỰA TƯƠNG GIAO CỦA HAI ÁNH XẠ NỬA LIÊN TỤC DƯỚI VÀ NỬA LIÊN TỤC TRÊN TÁCH BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2021 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ THỊ THU TRANG BÀI TOÁN TỰA TƯƠNG GIAO CỦA HAI ÁNH XẠ NỬA LIÊN TỤC DƯỚI VÀ NỬA LIÊN TỤC TRÊN TÁCH BIẾN Ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: GS TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN Thái Nguyên, năm 2021 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực, không trùng lặp với đề tài khác thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng 04 năm 2021 Tác giả Đỗ Thị Thu Trang ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn hỗ trợ tận tình GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn Em xin gửi đến thầy kính trọng lịng biết ơn sâu sắc tận tâm thầy thân suốt thời gian làm luận văn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Tốn thầy giáo khoa Tốn trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện để em hoàn thành luận văn Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết em mong nhận quan tâm, góp ý quý thầy cô bạn để luận văn em hoàn thiện Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè người giúp đỡ hỗ trợ em suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 04 năm 2021 Tác giả Đỗ Thị Thu Trang iii Mục lục Trang bìa phụ i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục iv Lời nói đầu Chương Kiến thức giải tích đa trị giải tích lồi 1.1 Khơng gian tơ pơ tuyến tính lồi địa phương Hausdroff 1.2 Ánh xạ đa trị 1.3 Tính liên tục ánh xạ đa trị 10 1.4 Tính lồi ánh xạ đa trị 17 1.5 Một số định lý điểm bất động ánh xạ đa trị 20 Chương Bài toán tựa tương giao hai ánh xạ nửa liên tục nửa liên tục tách biến 24 2.1 Phát biểu toán 24 2.2 Sự tồn nghiệm toán 25 2.3 Bài toán liên quan 30 2.3.1 Bài toán tựa điểm bất động hai ánh xạ đa trị nửa liên tục nửa liên tục tách biến iv 30 2.3.2 Bài toán điểm tối đại 31 2.3.3 Bài tốn tựa cân vơ hướng 33 2.3.4 Bài tốn tựa cân Nash trị chơi chiến lược không hợp tác 33 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 v Lời nói đầu Cho X, Y hai tập hợp, C ⊆ X tập khác rỗng, f, g : C → Y hai ánh xạ Bài tốn tìm x¯ ∈ C cho f (¯ x) = g(¯ x) gọi toán tương giao Điểm x¯ gọi điểm tương giao Bài toán bao gồm tốn điểm bất động, tốn tìm nghiệm phương trình trường hợp đặc biệt: trường hợp F, G : C → 2Y ánh xạ đa trị, tốn trở thành tìm x¯ ∈ C cho F (¯ x) ∩ G(¯ x) = ∅ Cho X, Y, Z không gian tô pô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D ⊆ X, K ⊆ Z tập khác rỗng Cho ánh xạ đa trị P : D × K → 2D , Q : D × K → 2K , G, H : D × K → 2Y Bài tốn: Tìm x¯, y¯ ∈ D × K cho x¯ ∈ P (¯ x, y¯), y¯ ∈ Q(¯ x, y¯), G(¯ x, y¯) ∩ H(¯ x, y¯) = ∅ gọi toán tựa tương giao ánh xạ G H Bài toán bao gồm toán tựa cân tổng quát: Tìm (¯ x, y¯) ∈ D, K cho x¯ ∈ P (¯ x, y¯), y¯ ∈ Q(¯ x, y¯), ∈ G(¯ x, y¯) hay tốn tựa cân ánh xạ G, nói cách khác toán tựa tương giao trường hợp tổng quát toán tựa cân Lấy H ánh xạ đồng tốn tựa tương giao hai ánh xạ H G có dạng x¯ ∈ P (¯ x, y¯), y¯ ∈ Q(¯ x, y¯), (¯ x, y¯) ∈ G(¯ x, y¯) toán tựa điểm bất động ánh xạ G Vậy toán tựa tương giao bao gồm toán tựa điểm bất động trường hợp đặc biệt Mục đích luận văn tìm điều kiện đủ đặt tập hợp D, K, X, Y, Z ánh xạ P, Q, G, H để toán tựa tương giao ánh xạ G H có nghiệm Luận văn viết dựa báo tác giả Trương Thị Thùy Dương Nguyễn Xuân Tấn: Quasi – intersection problems and fixed point theory coneerning separately scalar wearly l.s.c u.s.c mappings Acta Math Vietnamica 45 (2020, no 2, 311 – 328) Tiếp theo ta tìm mối quan hệ toán với toán liên quan kể Ta thấy phát biểu toán có tập hợp ánh xạ nên ta sử dụng kiến thức giải tích hàm giải tích đa trị để nêu bật cấu trúc tập hợp khơng gian cần tính chất ánh xạ tốn có nghiệm Vậy nội dung gồm chương 1, chương sau Chương 1: Kiến thức giải tích đa trị giải tích lồi: Trong chương này, chúng tơi trình bày số vấn đề giải tích đa trị giải tích lồi khái niệm khơng gian tơ pơ tuyến tính lồi địa phương Hausdroff, khái niệm ánh xạ đa trị, số định lý liên quan phục vụ cho nghiên cứu chương sau Chương 2: Bài toán tựa tương giao hai ánh xạ đa trị nửa liên tục nửa liên tục tách biến: Đây nội dung luận văn Trong chương chúng tơi tìm điều kiện đủ để tốn tương giao ánh xạ có nghiệm Tiếp theo chúng tơi trình bày số kết toán liên quan Chương Kiến thức giải tích đa trị giải tích lồi Trong chương này, ta xây dựng lớp khơng gian có hai cấu trúc, ta gọi cấu trúc tơ pô cấu trúc đại số, hai cấu trúc tương thích với Các khái niệm giới hạn, lân cận, tập đóng, tập mở, tập lồi, , sinh từ cấu trúc Ta giới thiệu lớp khơng gian mà tốn ta xét khơng gian tơ pơ tuyến tính lồi địa phương Hausdroff 1.1 Khơng gian tơ pơ tuyến tính lồi địa phương Hausdroff Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp X Một họ G tập X tôpô X nếu: (i) Hai tập ∅, X thuộc họ G; (ii) G kín phép giao hữu hạn, tức giao số hữu hạn tập thuộc họ G thuộc họ G; (iii) G kín phép hợp bất kì, tức hợp số hữu hạn hay vô 1) Với x ∈ D, T (x) tập lồi đóng, khác rỗng 2) T ánh xạ l.s.c Khi tồn x¯ ∈ D cho x¯ ∈ T (¯ x) 23 Chương Bài toán tựa tương giao hai ánh xạ nửa liên tục nửa liên tục tách biến Mục đích luận văn tìm điều kiện đủ đặt tập hợp D, K, X, Y, Z ánh xạ P, Q, G, H để toán tựa tương giao ánh xạ G H có nghiệm Trước hết ta phát biểu tốn 2.1 Phát biểu toán Cho X, Y, Z khơng gian tơ pơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D ⊆ X, K ⊆ Z tập khác rỗng Cho ánh xạ đa trị P : D × K → 2D , Q : D × K → 2K , G, H : D × K → 2Y Bài tốn: Tìm x¯, y¯ ∈ D × K cho x¯ ∈ P (¯ x, y¯), y¯ ∈ Q(¯ x, y¯), G(¯ x, y¯) ∩ H(¯ x, y¯) = ∅ gọi toán tựa tương giao ánh xạ G H Các ánh xạ P , Q gọi ánh xạ ràng buộc, G H ánh xạ mục tiêu Chúng cho đẳng thức, bất đẳng thức hay tương giao 24 ánh xạ đa trị Trước hết, ta có khái niệm nón tiếp tuyến tập hợp điểm thuộc bao đóng Định nghĩa 2.1.1 Cho D tập lồi không gian véc tơ tơ pơ X Nón tiếp tuyến D x định nghĩa TD (x) = λ(y − x) : y ∈ D, λ ≥ = cone(D − x), đó, coneV = {λz : z ∈ V, λ ≥ 0} 2.2 Sự tồn nghiệm toán Từ toán tựa tương giao ta tìm điều kiện lên tập hợp xạ cho tốn có nghiệm Ta có định lý: Định lý 2.2.1 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: D, K tập khác rỗng, lồi, compact; P : D × K → 2D ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; Q : D × K → 2K ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; G ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng; H ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; Với (x, y) ∈ P (x, y)×Q(x, y), H(x, y) tập khác rỗng, lồi, đóng ∅ = G(x, y) − (H(x, y) ∩ TP (x,y) (x)) ⊂ TP (x,y) (x) Khi đó, tồn (x, y) ∈ D × K cho: x ∈ P (x, y); 25 y ∈ Q(x, y); G(x, y) ∩ H(x, y) = ∅ Chứng minh Ta đặt B = {(x, y) ∈ D × K|x ∈ P (x, y), y ∈ Q(x, y)} Xây dựng ánh xạ T : D × K → 2D×K , xác định T (x, y) = P (x, y) × Q(x, y), (x, y) ∈ D × K Dễ thấy T ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, compact Theo định lý điểm bất động Ky Fan, tồn (x, y) ∈ D × K cho: (x, y) ∈ T (x, y) Do đó, B tập khác rỗng Hơn nữa, T u.s.c có giá trị đóng nên B tập đóng tập compact Giả sử với (x, y) ∈ B, ∈ / G(x, y) − H(x, y) Lấy v ∈ G(x, y) Do H(x, y) tập khác rỗng, lồi, đóng nên v − H(x, y) tập khác rỗng, lồi, đóng ∈ / (v − H(x, y)) Theo định lý Hahn - Banach, tồn p ∈ X ∗ cho: p(v) + sup p(w) < w∈H(x,y) Suy inf p(v) + v∈co(G(x,y)) sup p(w) < w∈H(x,y) Khi đó, ta xác định ánh xạ c1p (., ) : D × K → R, c2p (., ) : D × K → R c1p (x , y ) = inf p(v); v∈co(G(x ,y )) c2p (x , y ) = sup w∈H(x ,y ) 26 p(w) Vì c1p , c2p ánh xạ u.s.c D × K, tập Up (x, y) = {(x , y ) ∈ D × K|c1p (x , y ) + c2p (x , y ) < 0} tập mở Vì (x, y) ∈ Up (x, y) nên Up lân cận mở khác rỗng (x, y) Do đó, với (x, y) ∈ B, tồn p ∈ X ∗ cho: Up (x, y) = {(x , y ) ∈ D × K|c1p (x , y ) + c2p (x , y ) < 0} tập mở khác rỗng Suy {Up }p∈X ∗ họ phủ mở tập B Mặt khác, B tập compact nên tồn hữu hạn ánh xạ p1 , , ps ∈ X ∗ cho: s B⊆ Upj j=1 Hơn nữa, B tập đóng D × K, Up0 = D × K\B tập mở D × K nên {Up0 , Up1 , , Ups } họ phủ mở tập compact D × K Theo định lý phân hoạch đơn vị, tồn hàm ψi : D × K → R, (i = 0, 1, , s) cho: ≤ ψi (x, y) ≤ 1; s ψi (x, y) = 1, với (x, y) ∈ D × K; i=1 Với i ∈ {0, 1, , s}, tồn j(i) ∈ {0, 1, , s} cho suppψi ⊂ Upj(i) Mặt khác, ta định nghĩa ánh xạ φ : K × D × D → R s ψi (x, y).pj(i) (t − x), φ(y, x, t) = i=0 với t, x ∈ D, y ∈ K Khi đó, φ hàm liên tục K × D × D Ngồi ra, với điểm (x, y) ∈ D × K cố định, φ(y, x, ) : D → R hàm tuyến tính φ(y, x, x) = với (x, y) ∈ D × K 27 Vì D, K, P, Q ánh xạ φ thỏa mãn điều kiện nên dễ dàng tồn (x, y) ∈ D × K cho (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y) φ(y, x, t) ≥ với t ∈ P (x, y) Suy s ψi (x, y).pj(i) (t − x) ≥ với t ∈ P (x, y) (2.1) i=0 Đặt p∗ = s ψi (x, y).pj(i) , từ (2.1) ta có i=0 p∗ (t − x) ≥ với t ∈ P (x, y) Hơn nữa, p∗ (u) ≥ 0, với u ∈ TP (x,y) (x) Từ giả thiết định lý này, ta có ∅ = G(x, y) + (H(x, y) ∩ TP (x,y) (x)) ⊂ TP (x,y) (x), nên p∗ (v) + p∗ (w) ≥ 0, với v ∈ coG(x, y), w ∈ H(x, y) ∩ TP (x,y) (x) Suy p∗ (v + w) ≥ inf (2.2) v+w∈coG(x,y)+(H(x,y)∩TP (x,y) (x)) Mặt khác, đặt I(x, y) = {i ∈ {0, 1, , s}|ψi (x, y) > 0} Vì ψi (x, y) ≥ s ψi (x, y) = nên I(x, y) = ∅ Do đó, với i ∈ I(x, y), (x, y) ∈ i=1 suppψi ⊂ Upj(i) ta có c1pj(i) (x, y) + c2pj(i) (x, y) < Với v ∈ coG(x, y), w ∈ H(x, y), ta có s ∗ p (v + w) = ψi (x, y).[pj(i) (v) + pj(i) (w)] i=0 = ψi (x, y).[pj(i) (v) + pj(i) (w)] i∈I(x,y) ≤ ψi (x, y) max {pj(i) (v) + pj(i) (w)} i∈I(x,y) i∈I(x,y) 28 (2.3) = max {pj(i) (v) + pj(i) (w)} i∈I(x,y) Hơn {p∗ (v + w)} inf v+w∈coG(x,y)+(H(x,y)∩TP (x,y) (x)) ≤ max {pj(i) (v) + pj(i) (w)} inf (2.4) v+w∈coG(x,y)+(H(x,y)∩TP (x,y) (x)) i∈I(x,y) Đặt C = co{pj(1) , , pj(s) }, E = co(G(x, y)) + H(x, y), f (p, u) = p(v) + p(w), u = v + w sử dụng tô pơ yếu* X ∗ Do đó, max pj(i) (u) inf u∈coG(x,y)+(H(x,y)∩TP (x,y) (x)) i∈I(x,y) = max inf i∈I(x,y) v+w∈coG(x,y)+(H(x,y)∩TP (x,y) (x)) ≤ max { inf i∈I(x,y) v∈coG(x,y) pj(i) (v) + {pj(i) (v) + pj(i) (w)} sup pj(i) (w)} w∈H(x,y) ≤ max {c1pj(i) (x, y) + c2pj(i) (x, y) < (2.5) i∈I(x,y) Từ (2.4) (2.5) suy p∗ (u) < inf (2.6) u∈coG(x,y)+(H(x,y)∩TP (x,y) (x)) Ta thấy (2.1) mâu thuẫn với (2.6) Vậy định lý chứng minh Từ Định lý 2.2.1, ta có hệ điểm bất động ánh xạ đa trị tổng ánh xạ nửa liên tục yếu vô hướng ánh xạ nửa liên tục yếu vô hướng Bằng cách chọn ánh xạ mục tiêu G, H thích hợp, tốn tựa tương giao toán mở rộng, tổng quát lớp toán tối ưu như: Bài toán tựa tối ưu vơ hướng, tốn tựa cân vơ hướng, toán tựa cân véc tơ 29 2.3 Bài toán liên quan 2.3.1 Bài toán tựa điểm bất động hai ánh xạ đa trị nửa liên tục nửa liên tục tách biến Hệ 2.3.1 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: D, K tập lồi, compact, khác rỗng; P : D × K → 2D ánh xạ đa trị liên tục với giá trị lồi, đóng, khác rỗng; Q : D × K → 2K ánh xạ u.s.c với giá trị lồi, đóng, khác rỗng; G ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng; H ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; Với (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), ∅ = (G(x, y) − x) − (H(x, y) ∩ TP (x,y) (x)) ⊂ TP (x,y) (x) Khi đó, tồn (x, y) ∈ D × K cho: x ∈ P (x, y); y ∈ Q(x, y); x ∈ G(x, y) − H(x, y) Chứng minh Ta định nghĩa ánh xạ G∗ : D × K → 2X xác định G∗ (x, y) = G(x, y) − x, (x, y) ∈ D × K Khi đó, với (x, y) ∈ D × K, G∗ ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng Áp dụng định lý 2.2.1, ta có điều phải chứng minh 30 2.3.2 Bài tốn điểm tối đại Một hệ tồn nghiệm tồn phần tử tối đại sau Hệ 2.3.2 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: D, K tập khác rỗng, lồi, compact; P : D × K → 2D ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; Q : D × K → 2K ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; G ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng; H ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị lồi, đóng; Với (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), x ∈ / G(x, y) + H(x, y) ∅ = (G(x, y) − x) + (H(x, y) ∩ TP (x,y) (x)) ⊂ TP (x,y) (x) Khi đó, tồn (x, y) ∈ D × K cho: x ∈ P (x, y); y ∈ Q(x, y); G(x, y) + H(x, y) = ∅ Chứng minh Ta giả sử G(x, y) + H(x, y) = ∅, với (x, y) ∈ P (x, y)×Q(x, y) Suy ra, với (x, y) ∈ P (x, y)×Q(x, y), G(x, y) = ∅ H(x, y) = ∅ Do đó, (G(x, y) − x) + (H(x, y) ∩ TP (x,y) (x)) ⊂ TP (x,y) (x) Theo Hệ 2.3.1, tồn (x, y) ∈ D × K cho: x ∈ P (x, y); y ∈ Q(x, y); 31 x ∈ G(x, y) + H(x, y) Ta thấy điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy ta có điều phải chứng minh Tiếp theo, ta có định lý Ky Fan định lý Brouwer Ky Fan sau Định lý 2.3.3 Cho D tập lồi, compact không gian lồi địa phương Hausdorff X, ánh xạ F : D → 2D nửa liên tục với giá trị lồi, khác rỗng Khi F có điểm bất động Định lý 2.3.4 Cho D tập lồi, compact, khác rỗng X F : D → 2D ánh xạ đa trị thoả mãn điều kiện sau Với x ∈ D, x ∈ / F (x) F (x) tập lồi; Với y ∈ D, F −1 (y) tập mở D Khi đó, tồn x¯ ∈ D cho F (¯ x) = ∅ Hệ sau mở rộng định lý Ky Fan định lý Brouwer - Ky Fan Hệ 2.3.5 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: D tập khác rỗng, lồi, compact X; G0 , H0 : D → 2D ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng; G0 l.s.c H0 u.s.c với giá trị lồi, đóng; (G0 (x) − x) + (H0 (x) ∩ TD (x)) ⊂ TD (x), với x ∈ D Khi đó, tồn x ∈ D cho x ∈ G0 (x) + H0 (x) Chứng minh Hệ suy trực tiếp từ Hệ 2.3.1 cách đặt P (x, y) = Q(x, y) = D, G(x, y) = G0 (x), H(x, y) = H0 (x) với (x, y) ∈ D × K 32 Hệ 2.3.5 tổng quát hóa định lý Ky Fan định lý Brouwer - Ky Fan 2.3.3 Bài tốn tựa cân vơ hướng Cho D, K, Pi , i = 1, 2, Q trên, R+ không gian số thực không âm Φ : K × D × D → R hàm số thỏa mãn Φ(y, x, x) = 0, với y ∈ K, x ∈ D Ta có tốn sau: Tìm x¯ ∈ D cho x¯ ∈ P1 (¯ x) ∈ Φ(y, x¯, t) − R+ , với t ∈ P2 (¯ x) y ∈ Q(¯ x, t) Đó tốn tựa cân quen biết: Tìm x¯ ∈ D cho x¯ ∈ P1 (¯ x) Φ(y, x¯, t) ≥ 0, với t ∈ P2 (¯ x) y ∈ Q(¯ x, t) Bài toán nghiên cứu nhiều tác giả (xem [3], [4], [5], [6]) nhiều tài liệu khác 2.3.4 Bài toán tựa cân Nash trị chơi chiến lược khơng hợp tác Cho Xi , i ∈ I, Y khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff I tập số hữu hạn (được gọi tập người chơi) C ⊆ Y nón lồi, đóng, nhọn Với i ∈ I, cho Di ⊆ Xi tập khác rỗng (gọi tập chiến lược người chơi thứ i) Đặt n D = Π Di i=1 Với i ∈ I, ánh xạ đa trị Sij : D → 2Di , j = 1, ánh xạ ràng buộc người chơi thứ i Hàm fi : D → Y gọi hàm thua thiệt 33 người chơi thứ i Hàm phụ thuộc vào chiến lược tất người chơi, Với x = (xi )i∈I ∈ D, ta kí hiệu xi = (xj )j∈I\{i} Điểm x¯ = (xi )i∈I gọi điểm cân Pareto mơ hình trị chơi Nash (Di , fi , Si1 , Si2 )i∈I với i ∈ I ta có xi ∈ Si1 (¯ x) fi (xi , yi ) − fi (¯ x) ∈ / − (C\{0}) , ∀yi ∈ Si2 (¯ x), i ∈ I Ta đặt n fi xi , ti − fi (x) ; G(x, t) = i=1 M (x) = {t ∈ D | G(x, t) ∈ / − (C\{0})} F (x, t) = t − M (x), (t, x) ∈ D × D Nếu tồn n x¯ ∈ S (¯ x) = Π Si (¯ x) i=1 x), i ∈ I cho ∈ F (¯ x, t) với ti ∈ Si2 (¯ Ta có xi ∈ Si1 (¯ x); G(¯ x, t) ∈ / − (C\{0}) , ∀yi ∈ Si2 (¯ x), i ∈ I Từ ta suy xi ∈ Si1 (¯ x), với i = 1, , n; n fi (xi , ti ) − fi (¯ x) ∈ / − (C\{0}) i=1 Lần lượt thay t = (¯ xi , ti ) ∈ Si2 (¯ x), ta suy fi (¯ xi , ti ) ∈ / fi (¯ x) − (C\{0}) , với ti ∈ Si2 (¯ x) Tức x¯ = (¯ xi )i∈I điểm cân Pareto mơ hình trị chơi Nash 34 Kết luận Bài toán tựa tương giao toán quan trọng lý thuyết tối ưu, bao hàm nhiều tốn khác Trong luận văn, chúng tơi trình bày số vấn đề sau • Trình bày kiến thức không gian tô pô, khơng gian tuyến tính, khơng gian tơ pơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, lý thuyết, khái niệm ánh xạ đa trị tính chất liên quan • Trình bày điều kiện để tồn nghiệm toán tựa tương giao ánh xạ nửa liên tục nửa liên tục tách biến • Trình bày số tốn liên quan khác toán tựa điểm bất động hai ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, nửa liên tục tách biến, toán điểm tối đại, tốn tựa cân vơ hướng tốn tựa cân Nash trị chơi chiến lược không hợp tác 35 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Ba Minh (2005), Một số vấn đề lý thuyết tối ưu véc tơ đa trị, Nhà xuất giáo dục Tiếng Anh [2] Duong T T T., Tan N X (2020), "Quasi-Intersection Problems and Fixed Point Theorems Concerning Separately Scalar Weakly l.s.c and u.s.c Mappings", Acta Mathematica Vietnamica, vol 45, pp 311–328, Scopus [3] Himmelberg C J (1972), "Fixed points of compact multifunctions", J.math Anal Appl 38, pp 205-207 [4] Kim, W.K and Tan K.K (2001), "New existence theorems of equilibria and applications", Nonlinear Analysis 47, pp 531-542 [5] Lin, L.J and Tan N X (2009), "Quasi-equilibrium inclusion problems of Blum-Oetli type and related problems", Acta Math Vietnam 34, no 1, pp 111-123 [6] Minh N B and Tan N X (2000), "Some sufficient conditions for the existence of equilibrium points concerning multivalued mappings", Vietnam Jour of Math 28, pp 295-310 36 [7] Tan N X (2018), "Quasi-equilibrium inclusion problems and fixed point theosrems of separately l.s.c and u.s.c mappings", Numerical Functional Analysis and Optimization, vol 39, no 2, pp 233-255 37 ... SƯ PHẠM ĐỖ THỊ THU TRANG BÀI TOÁN TỰA TƯƠNG GIAO CỦA HAI ÁNH XẠ NỬA LIÊN TỤC DƯỚI VÀ NỬA LIÊN TỤC TRÊN TÁCH BIẾN Ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa... ưu như: Bài toán tựa tối ưu vơ hướng, tốn tựa cân vơ hướng, tốn tựa cân véc tơ 29 2.3 Bài toán liên quan 2.3.1 Bài toán tựa điểm bất động hai ánh xạ đa trị nửa liên tục nửa liên tục tách biến Hệ... 20 Chương Bài toán tựa tương giao hai ánh xạ nửa liên tục nửa liên tục tách biến 24 2.1 Phát biểu toán 24 2.2 Sự tồn nghiệm toán 25 2.3 Bài toán liên quan