Bài toán về tựa điểm bất động của hai ánh xạ đa trị

liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến

Hệ quả 2.3.1. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn: 1. D, K là các tập lồi, compact, khác rỗng;

2. P : D ×K → 2D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị lồi, đóng, khác rỗng;

3. Q :D ×K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị lồi, đóng, khác rỗng; 4. G là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng;

5. H là ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; 6. Với mỗi (x, y) ∈ P(x, y) ×Q(x, y), ∅ 6= (G(x, y) −x) −(H(x, y) ∩

TP(x,y)(x)) ⊂ TP(x,y)(x).

Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D ×K sao cho: 1. x ∈ P(x, y);

2. y ∈ Q(x, y);

3. x ∈ G(x, y)−H(x, y).

Chứng minh. Ta định nghĩa ánh xạ G∗ :D ×K → 2X xác định bởi

G∗(x, y) = G(x, y)−x,(x, y) ∈ D ×K.

Khi đó, với mọi (x, y) ∈ D ×K, G∗ là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng. Áp dụng định lý 2.2.1, ta có điều phải chứng minh.

2.3.2 Bài toán về điểm tối đại

Một hệ quả của sự tồn tại nghiệm là tồn tại phần tử tối đại như sau Hệ quả 2.3.2. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:

1. D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact;

2. P : D ×K → 2D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;

3. Q :D ×K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; 4. G là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng;

5. H là ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị lồi, đóng;

6. Với mỗi (x, y) ∈ P(x, y) ×Q(x, y), x /∈ G(x, y) + H(x, y) và ∅ 6= (G(x, y)−x) + (H(x, y)∩TP(x,y)(x)) ⊂TP(x,y)(x).

Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D ×K sao cho: 1. x ∈ P(x, y);

2. y ∈ Q(x, y);

3. G(x, y) +H(x, y) = ∅.

Chứng minh. Ta giả sử rằng G(x, y) + H(x, y) 6= ∅, với mọi (x, y) ∈ P(x, y)×Q(x, y). Suy ra, với mọi(x, y) ∈ P(x, y)×Q(x, y), hoặcG(x, y) 6=

∅ hoặc H(x, y) 6= ∅. Do đó, (G(x, y) − x) + (H(x, y) ∩ TP(x,y)(x)) ⊂ TP(x,y)(x).

Theo Hệ quả 2.3.1, tồn tại (x, y) ∈ D ×K sao cho: 1. x ∈ P(x, y);

3. x ∈ G(x, y) +H(x, y).

Ta thấy điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy ta có điều phải chứng minh.

Tiếp theo, ta có định lý Ky Fan và định lý Brouwer Ky Fan như sau Định lý 2.3.3. Cho D là tập con lồi, compact trong không gian lồi địa phương Hausdorff X, ánh xạ F : D →2D nửa liên tục trên với giá trị lồi, khác rỗng. Khi đó F có điểm bất động.

Định lý 2.3.4. Cho D là tập con lồi, compact, khác rỗng của X và

F :D → 2D là ánh xạ đa trị thoả mãn các điều kiện sau 1. Với mọi x ∈ D, x /∈ F(x) và F(x) là tập lồi;

2. Với mọi y ∈ D, F−1(y) là tập mở trong D. Khi đó, tồn tại x¯∈ D sao cho F(¯x) = ∅.

Hệ quả sau chính là sự mở rộng của định lý Ky Fan và định lý Brouwer - Ky Fan.

Hệ quả 2.3.5. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn: 1. D là tập con khác rỗng, lồi, compact của X;

2. G0, H0 : D → 2D là các ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng; G0 là l.s.c và H0 là u.s.c với giá trị lồi, đóng;

3. (G0(x)−x) + (H0(x)∩TD(x)) ⊂ TD(x), với mọi x ∈ D

Khi đó, tồn tại x ∈ D sao cho x ∈ G0(x) +H0(x)

Chứng minh. Hệ quả này được suy ra trực tiếp từ Hệ quả 2.3.1 bằng cách đặt P(x, y) = Q(x, y) = D, G(x, y) = G0(x), H(x, y) = H0(x) với mọi

Hệ quả 2.3.5 là sự tổng quát hóa của định lý Ky Fan và định lý Brouwer - Ky Fan.

2.3.3 Bài toán tựa cân bằng vô hướng

Cho D, K, Pi, i = 1,2, Q như trên, R+ là không gian các số thực không âm và Φ : K ×D ×D → R là hàm số thỏa mãn Φ(y, x, x) = 0, với mọi

y ∈ K, x ∈ D. Ta có bài toán sau: Tìm x¯ ∈ D sao cho x¯ ∈ P1(¯x) và

0∈ Φ(y,x, t¯ )−R+, với mọi t ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(¯x, t).

Đó chính là bài toán tựa cân bằng đã quen biết: Tìm x¯ ∈ D sao cho x¯ ∈ P1(¯x) và

Φ(y,x, t¯ ) ≥ 0, với mọi t ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(¯x, t).

Bài toán này đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả (xem trong [3], [4], [5], [6]) và nhiều tài liệu khác.

2.3.4 Bài toán tựa cân bằng Nash trong trò chơi chiến lược không hợp tác.

Cho Xi, i ∈ I, Y là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff. I là tập chỉ số hữu hạn (được gọi là tập các người chơi). C ⊆ Y

là nón lồi, đóng, nhọn. Với mỗi i ∈ I, cho Di ⊆ Xi là tập khác rỗng (gọi là tập chiến lược của người chơi thứ i). Đặt

D = Πn

i=1

Di.

Với mỗi i ∈ I, ánh xạ đa trị Sij : D → 2Di, j = 1,2 là ánh xạ ràng buộc của người chơi thứ i. Hàm fi : D → Y được gọi là hàm thua thiệt của

người chơi thứ i. Hàm này phụ thuộc vào chiến lược của tất cả các người chơi, Với x = (xi)i∈I ∈ D, ta kí hiệu xi = (xj)j∈I\{i}.

Điểm x¯ = (xi)i∈I được gọi là điểm cân bằng Pareto của mô hình trò chơi Nash (Di, fi, Si1, Si2)i∈I nếu với mọi i ∈ I ta có

xi ∈ Si1(¯x) fi(xi, yi)−fi(¯x) ∈ −/ (C\{0}),∀yi ∈ Si2(¯x), i ∈ I. Ta đặt G(x, t) = n X i=1 fi xi, ti−fi(x); M(x) = {t ∈ D | G(x, t) ∈ −/ (C\{0})} và F(x, t) = t−M(x),(t, x) ∈ D ×D. Nếu tồn tại ¯ x ∈ S1(¯x) = Πn i=1 Si(¯x)

sao cho 0 ∈ F(¯x, t) với mọi ti ∈ Si2(¯x), i ∈ I.

Ta có xi ∈ Si1(¯x); G(¯x, t) ∈ −/ (C\{0}),∀yi ∈ Si2(¯x), i∈ I. Từ đó ta suy ra xi ∈ Si1(¯x), với mọi i = 1, ..., n; n X i=1 fi(xi, ti)−fi(¯x) ∈ −/ (C\{0}).

Lần lượt thay t= (¯xi, ti) ∈ Si2(¯x), ta suy ra

fi(¯xi, ti) ∈/ fi(¯x)−(C\{0}), với mọi ti ∈ Si2(¯x).

Kết luận

Bài toán tựa tương giao là bài toán quan trọng trong lý thuyết tối ưu, nó bao hàm rất nhiều bài toán khác. Trong luận văn, chúng tôi đã trình bày một số vấn đề như sau.

• Trình bày các kiến thức cơ bản về không gian tô pô, không gian tuyến tính, không gian tô pô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, các lý thuyết, khái niệm cơ bản về ánh xạ đa trị cùng các tính chất liên quan.

• Trình bày điều kiện để tồn tại nghiệm của bài toán tựa tương giao đối với ánh xạ nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tách biến.

• Trình bày một số các bài toán liên quan khác như bài toán về tựa điểm bất động của hai ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới tách biến, bài toán về điểm tối đại, bài toán tựa cân bằng vô hướng và bài toán tựa cân bằng Nash trong trò chơi chiến lược không hợp tác.

Tài liệu tham khảo

Tiếng Việt

[1] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Ba Minh (2005), Một số vấn đề trong lý thuyết tối ưu của véc tơ đa trị, Nhà xuất bản giáo dục.

Tiếng Anh

[2] Duong T. T. T., Tan N. X. (2020), "Quasi-Intersection Problems and Fixed Point Theorems Concerning Separately Scalar Weakly l.s.c and u.s.c Mappings",Acta Mathematica Vietnamica, vol. 45, pp. 311–328, Scopus.

[3] Himmelberg C. J. (1972), "Fixed points of compact multifunctions", J.math. Anal. Appl. 38, pp. 205-207.

[4] Kim, W.K and Tan K.K. (2001), "New existence theorems of equi- libria and applications", Nonlinear Analysis. 47, pp. 531-542.

[5] Lin, L.J. and Tan N. X. (2009), "Quasi-equilibrium inclusion prob- lems of Blum-Oetli type and related problems", Acta Math. Vietnam. 34, no. 1, pp. 111-123.

[6] Minh N. B. and Tan N. X. (2000), "Some sufficient conditions for the existence of equilibrium points concerning multivalued mappings", Vietnam Jour of Math. 28, pp. 295-310.

[7] Tan N. X. (2018), "Quasi-equilibrium inclusion problems and fixed point theosrems of separately l.s.c and u.s.c mappings", Numerical Functional Analysis and Optimization, vol. 39, no. 2, pp. 233-255.