trị
Trong lý thuyết tối ưu, việc đặt ra bài toán và giải bài toán, tức là đi tìm nghiệm của bài toán là vấn đề vô cùng cấp thiết. Cùng với sự phát triển, mở rộng của các bài toán trong lý thuyết tối ưu, các định lý tồn tại nghiệm cũng lần lượt ra đời. Chẳng hạn, năm 1912, L. Brouwwer đã sử
dụng phương pháp tổ hợp chứng minh một ánh xạ đơn trị liên tục f từ một đơn hìnhK ⊂ Rn vào chính nó có điểm bất động, tức là tồn tạix¯ ∈ K
sao cho f(¯x) = ¯x. Sau đó, năm 1934, J. Schauder đã mở rộng định lý cho trường hợp K là tập lồi com pắc khác rỗng trong Rn. Năm 1952, K. Fan đã chứng minh định lý điểm bất động của ánh xạ nửa liên tục trên với giá trị lồi, đóng, khác rỗng từ một tập lồi, khác rỗng và com pắc K vào chính nó trong không gian tuyến tính lồi địa phương Hausdorff... Ngày nay, đã có rất nhiều các nhà toán học như N.C. Yannelis, N. D. Prabhakar, B.E Mechaiekh, X.P. Ding, W. K. Kim,... nghiên cứu các định lý về điểm bất động của các ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới với giá trị lồi, đóng, khác rỗng. Trong luận văn, ta nhắc lại một số định lý điểm bất động phát biểu trong không gian tuyến tính lồi địa phương Hausdorff. Trước hết, ta nhắc lại khái niệm ánh xạ KKM.
Định nghĩa 1.5.1. Giả sử D là tập con khác rỗng của không gian tô pô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff. Ánh xạ đa trị F : D → 2X được gọi là ánh xạ KKM nếu với mọi tập hữu hạn {x1, .., xn} trong D ta luôn có
co{t1, ...,tn} ⊆
n S i=1
F(xi).
Ngoài ra, ta còn có khái niệm ánh xạ KKM mở rộng sau.
Định nghĩa 1.5.2. Giả sử D, K lần lượt là các tập con khác rỗng của các không gian tô pô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff và các ánh xạ đa trị F : K×D×D → 2X, Q : D×D →2K. Khi đó, F được gọi là ánh xạ Q-KKM nếu với bất kì tập hữu hạn {t1, ..., tn} ⊂ D, x ∈ co{t1, ...,tn}, tồn tại chỉ số j ∈ {1, ..., n} sao cho 0 ∈ F(y, x, tj) với mọi y ∈ Q(x, tj). Định lý 1.5.3 (Bổ đề Fan-KKM). Giả sử D là tập con khác rỗng của không gian tô pô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff X và ánh xạ F :
F(x0) là tập com pắc trong X thì T
x∈D
F(x) 6= ∅.
Định lý 1.5.4 (Định lý điểm bất động Ky Fan). Cho X là không gian tô pô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff. D là tập con khác rỗng, lồi, com pắc của X, F : D →2D là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với giá trị khác rỗng, lồi, đóng. Khi đó, tồn tại x¯ ∈ D sao cho x¯∈ F(¯x).
Định lý 1.5.5 (Định lý điểm bất động Fan-Browder). Cho X là không gian tô pô lồi địa phương Hausdorff, D ⊂ X là một tập con lồi, com pắc, khác rỗng và F :D → 2D là ánh xạ đa trị thoả mãn các điều kiện.
1) Với mọi x ∈ D, F(x) là tập khác rỗng, lồi trong D. 2) Với mọi y ∈ D, F−1(y) là tập mở trong D.
Khi đó tồn tại x¯∈ D sao cho x¯∈ F(¯x).
Đến năm 1983, N. C. Yannelis và N. D. Prabhakar đã đưa ra định lý. Định lý 1.5.6. Cho X là một không gian tô pô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D ⊂ X là một tập con lồi, com pắc, khác rỗng và ánh xạ đa trị F : D → 2D thoả mãn các điều kiện.
1) Với mọi x ∈ D, x /∈ F(x), F(x) là tập lồi. 2) Với mọi y ∈ D, F−1(y) là tập mở trong D.
Khi đó tồn tại x¯∈ D sao cho F(¯x) = ∅.
X. Wu đã chứng minh sự tồn tại định lý về điểm bất động liên quan tới ánh xạ l.s.c.
Định lý 1.5.7. Giả sử D là một tập con khác rỗng, lồi, com pắc của không gian tô pô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff X và ánh xạ đa trị
1) Với mỗi x ∈ D, T(x) là tập lồi đóng, khác rỗng. 2) T là ánh xạ l.s.c.
Chương 2
Bài toán tựa tương giao của hai ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến
Mục đích của luận văn là tìm những điều kiện đủ đặt trên các tập hợp
D, K, X, Y, Z và các ánh xạ P, Q, G, H để bài toán tựa tương giao đối với ánh xạ G và H có nghiệm. Trước hết ta phát biểu bài toán.
2.1 Phát biểu bài toán
Cho X, Y, Z là các không gian tô pô tuyến tính lồi địa phương Haus- dorff, D ⊆ X, K ⊆ Z là các tập con khác rỗng. Cho các ánh xạ đa trị
P : D ×K →2D, Q : D ×K → 2K, G, H : D ×K → 2Y. Bài toán: Tìm ¯ x,y¯∈ D ×K sao cho 1. x¯∈ P(¯x,y¯), 2. y¯∈ Q(¯x,y¯), 3. G(¯x,y¯)∩H(¯x,y¯) 6= ∅
được gọi là bài toán tựa tương giao đối với ánh xạ G và H. Các ánh xạ
P, Q được gọi là các ánh xạ ràng buộc, G và H là các ánh xạ mục tiêu. Chúng có thể được cho bởi đẳng thức, bất đẳng thức hay sự tương giao
của các ánh xạ đa trị.
Trước hết, ta có khái niệm về nón tiếp tuyến của tập hợp tại một điểm thuộc bao đóng của nó.
Định nghĩa 2.1.1. Cho D là tập con lồi của không gian véc tơ tô pô X. Nón tiếp tuyến của D tại x được định nghĩa bởi
TD(x) = λ(y −x) : y ∈ D, λ ≥0 = cone(D−x),
trong đó, coneV = {λz : z∈ V, λ ≥ 0}.