đặc trưng tính mở, tính chính quy mêtric và tính chất lipschitz - like của các ánh xạ đa trịị luận văn thạc sĩ toán học

Banach 1931 chứng minh được mọi toàn ánh tuyến tính liên tục giữa các không gian Banach đều là ánh xạ mớ.. Penot 1989 chttng minh được sự tương đương giữa tính Lipschitz-like của ánh xa

Muc luc 1

1.1 Một số khái niệm và tính chất cøbản 4

1.2 Ham giá trị tối ưu và nguyên lý biến phân Ekeland 7

2 Đặc trưng tính phủ và tính mở của các ánh xạ đa trị 10

Tính mớ, tính chính quy mêtrie và tính chất Lipsehitz-like là những tính

chất quan trọng của các ánh xạ đa trị, thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học Cho dến nay, kết quả dạt dược theo hướng

này là rất phong phú và đa dạng

J Schauder (1930) và S Banach (1931) chứng minh được mọi toàn

ánh tuyến tính liên tục giữa các không gian Banach đều là ánh xạ mớ

L A Lyusternik (1934) thiết lập một định lý mô tả nón tiếp tuyến trung gian của tap M := {xe X : f(x) = 0} tai Z € M, trong đó X, Y là các

khong gian Banach, f : X — Y là một hàm khả vi liên tục và có đạo hàm f{#) là toàn ánh Bằng cách điều chính chứng minh của Lyusternik, người

ta thu được tính chính quy mêtric của ƒ quanh # Với giả thiết ƒ: X — Y

kha vi chat tai Z va f’(Z) toàn ánh, L M Graves (1950) chứng mình được

ƒ mở địa phương quanh z và A D Ioffe và V M Tikhomirov (1974) chứng mình được ƒ chính quy mêtrie địa phương quanh # C Ursesku (1975)

và S M Robinson (1976) đã mỏ rộng kết quả của Banach-Schauder và Lyusternik-Gravos cho các ánh xạ đa trị # có đồ thị lồi hoặc có dạng

F(x) = ƒ() + K nếu z € Ở và F(x) = 0 néu w € X\C, trong đó Œ là

một tập lồi khác rỗng của không gian Banach X, là một nón lồi đóng

của không gian Banach Y, ƒ : X —› Y khả vi chặt tại # € Œ sao cho

0€ ƒ(z) + K và 0 € int(ƒ(#) + ƒf(#)(C — Z) + K) Năm 1984, để phân

tích độ nhạy của của các bài toán quy hoạch lồi, J.-P Aubin [1] giới thiệu khai niém anh xa da tri gia Lipschitz (con goi 1a Lipschitz-like) Ngay sau

do, J M Borwein, D M Zhuang (1988) va J.-P Penot (1989) chttng minh

được sự tương đương giữa tính Lipschitz-like của ánh xa da tri F và tính

chính quy mêtrie hoặc tính mở địa phương của “~! Trong thập niên 80,

nhiều điều kiện đủ để một ánh xạ có tính mở, tính chính quy métric hoặc

tính Lipschitz-like được đưa ra Năm 1993, B S Modukhovich [2] thiết lập

cho cdc Anh xa da tri F : R" = R™ co dé thi dong, va sau do cac két qua này được phát triển cho trường hợp vô hạn chiều; xem [3, 4, 5] Ngày nay, chúng đã trở thành những công cụ quan trọng để nghiên cứu tính chất ổn định của các hệ ràng buộc và hệ biến phân chứa tham số

Với mục đích tìm hiểu sâu một số tính chất quan trọng của ánh xạ đa

trị, chúng tôi chọn đề tài sau đây cho luận văn của mình: "Đặc trưng

tính mở, tính chính quy mêtric và tính chất Lipschitz-like

của các ánh xạ đa trị"

Luận văn dược chia làm ba chương Chương 1 dược dành dể giới thiệu một số khái niệm cơ sở liên quan để phục vụ cho luận văn Chương 2 khảo

sát các đặc trưng tính phủ và tính mổ của các ánh xạ đa trị và mối quan

hệ giữa hai tính chất này Chương 3 nghiên cứu đặc trưng tính chính quy métric và tính Lipsehitz-like của các ánh xạ đa trị và mối quan hệ giữa

tính chính quy mềtrie, tính Lipschitz-like, tính phủ và tính mỏ

Luận văn được hoàn thành tại trường Dại học Vĩnh dưới sự hướng dẫn của T5 Nguyễn Huy Chiêu Tác giả xin bày tó lòng biết ơn sâu sắc đến

Thầy, người đã chỉ dẫn tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu

Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô giáo khoa Toán

và khoa Sau Dại Học đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình

học tập và công tác Xin cẩm ơn các anh chị em học viên Cao học khoá 17, đặc biệt Cao học 17 Giải tích đã chia sẻ những khó khăn trong suốt thời gian học tập

Mặc dù đã có nhiều có gắng, nhưng luận văn không thể tránh khỏi

những thiếu sót Chúng tôi mong nhận được những góp ý của quý Thầy

Cô và các bạn

Nghệ An, tháng 12 năm 2011

Trần Thanh Hải

CAC KIEN THUC CHUAN BI

Trong chương này chúng ta nhắc lại một số khái niệm và tính chất eơ bản trong lý thuyết vi phân suy rộng Mordukhovich

1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản

Trong toàn bộ luận văn này đối với ánh xạ đa trị Ƒ' : IR* — R”" ta ký hiệu

gphF := {(2,y) € R" x R” : y€ F(a)},

DomF := {x € R": F(x) £0} va KerF := {x € RK”: 0€ F(z)}

1.1.1 Định nghĩa (Xem [2, 3|).Cho © là một tập con khác rỗng của R", đóng địa phương quanh điểm # € ©, nghĩa là tồn tại U (#) sao cho NN cl(V) la tap dóng trong IR*

(i) Non phap tuyén qua gidi han cia © tại # được xác định bởi

N(z;Q) := Limsup [cone(x — II(z;©))]

Lr Nếu €0 thi N(z;Q) := 0

(ii) Tap N(z;Q) xée định bởi

rt pp — N(z;Q) := {2* € R” : limsup te —#)

6s _ lư=z|

được gọi là nón pháp tuyến Fréchet cia tap Ø tại điểm # € Q Nếu z ¢ thi N(#;Q) := 0

ở Dịnh nghĩa 1.1.1 trùng với nón pháp tuyến theo nghĩa của giải tích lồi, tức là

N(%;Q) = N(z;Q) —{a* ER” : (a*,a-—%) <0, Va EQ} Trong trường hợp tổng quát, AX(z:9) có thể không lồi

1.1.3 Mệnh đề (Xem |2, 3|) Cho Q la một tập con đóng khác rỗng

cua R" va & EQ Khi do,

N(Z;Q) = Limsup N (a2)

2

1.1.4 Định nghĩa (Xem [2, 3]) Cho F : R” = R™ 1a mot anh xa

đa trị và (#,ÿ) € gphF’ Déi dao ham của # tại (#,7) là ánh xạ đa trị D*F(x,) : R” — R" dược xác định bởi

D'F(z,0)(w') :— {œ'` €R" : (Œ,—u”)€ N((Œ,0);gphF)}, (12)

vdi moi y* € R”

1.1.5 Ménh dé (Xem [2, 3]) Cho F : R” = R™ la mét ham kha vi

chat tai diém %, nghia la F kha vi Fréchet tai z va

_ F(z)— F(u) — VF(#)(œ — u)

lim —————————x_————-

Khi đó, D*F(#)(uÈ) = (VF(#)) (`) tới mọi ụ* € Rm,

1.1.6 Mệnh đề (Xem |2, 3|) Với bất kỳ ánh zạ đa trị F : R" ¬ Rm

dong dia phatong quanh diém (z,7) € gphF va y* € DomD* F(z, 9), ddi

đạo hàm qua gidi han c6 tinh chat viing (robustness), nghia là

phân qua giới hạn suy biến của hàm Ư tại # là tập 9Ư(#) được xác định bởi

9ệg(z) := DỢ EẤ(#.Ủ(#))(0) = {zỢ Ạ RỢ : (x*,0) Ạ N((z 9(2)): epi) } trong đó

epig = {(x,u) ER: w> y(a)} va B(x) = {we Ri n> @(2)}

1.1.8 Nhận xét (¡) Tập ửƯ(#) luôn đóng và có thể không lồi Chẳng hạn, xét hàm Ư(+) = Ở|+| với moi a Ạ ]R và # = 0, ta có (0) = {Ở1;1}

Nếu Ư là hàm lồi thì dưới vi phân qua giới hạn 9Ư(#) trùng với dưới vi

phân theo nghĩa siải tắch lồi, tức là

1.1.9 Mệnh đề (Xem [2, 3]) Nếu hờm ọ : IR" Ở IR đạt cục tiểu địa

phương tại z Ạ domg thì 0 Ạ ĐƯ(3), trong đó domg := {z Ạ R" :

lƯ(z)| < cof

1.1.10 Ménh dé (Xem [2, 3]) Gia st ham y: RỢ = R 1a ham nửa

lién tuc dudi quanh diém z Ạ domy Khi do, ằ la Lipschitz địa phương

quanh điểm # nếu uà chỉ nếu đệg(#) Ở {0}

1.1.11 Mệnh đề (Xem [2, 3]) Néuy : RỢ = RỎ la mot ham Lipschitz

địa phương quanh điểm #, thà D*Ư(ệ)(*) = đ(*.e)(#) # Ú tới mọi y* Ạ RỎ, trong do (y*,y)(x) = (y*, p(@)) vot moi x Ạ RỢ

1.1.12 Dinh lý (Xem 2, 3]) Cho Fi, Fz: R" = R™ la cdc anh xa da trị có đồ thị đóng 0à (%,) € gph(H + T2) Giả sử rằng các lập

S(x,y) = {(yr yo) ER: yw € F1(2), yw € r(x), yi + y= y}

là bi chặn đều quanh điểm (#,ÿ) tà

D'R(.wi)(0) n[— D*B(1,w¿)(0)] = {0} Vy ye) € S(2,0) (13)

Khi đó,

(1h s42)ES (x9)

vor mor y* € R™

1.1.13 Hệ quả (Xem [2, 3]) Gid st yi, yg: R” = R Ia hai ham nửa

liên tục dưới quanh điểm z € dom¿ 1dom¿2 tờ

Khi do, Ap1 + y2)(%) C Ogi(Z) + Apa(Z)

1.1.14 Nhận xét Diều kiện (1.4) được thỏa mãn khi ¿¡ hoặc ¿s là

Lipsehitz địa phương quanh điểm Z

1.2 Hàm giá trị tối ưu và nguyên lý biến phân Ekeland

Trong mục này, trước hết chúng ta sẽ nhắc lại một số công thức ước

lượng dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu Tiếp đó là một mở rộng của

nguyên lý biến phân Ekeland Các kết quả này sẽ được dùng trong các phần sau

Cho ¿ : R” — R là một hàm số thực suy rộng và Ƒ : R° 3 R™ a một ánh xạ đa trị Với mdi x € R®, xét bài toán tối ưu phụ thuộc tham

số sau đây:

ply) = inf,

(Px)

y € F(a)

m(x) := inf {y(y) : y € F(x)}

va

M(x) := {y € F(x) : gy) =m(x)}

Ta goim:R” = Rva M: R" = R™ tuong ting 1a ham gid tri tdi wu và

ánh xạ nghiệm của bài toán (7)

Với Q #Z 0 và @ € R*”, đặt II(+z, ©) := {œ € clO : || — ằ|| = d(w,Q)}

1.2.1 Định ly (Xem [2, 3]) Gid s@ F : R? 3 R“h là một ánh xa đa

trị có đồ thi dong, M(x) 40 va bi chén déu quanh điểm # € dom(m), :R™ — R la mot ham nửa liên tục dưới quanh điểm G € F(Z) Khi

ð(gsF)#)Cc |j 20.PM

u'c9g(0)

Do do, dat py(x) := d(v, F(x)) véi moi x € R", ta cd hé qua sau đây

1.2.2 Hệ quả (Xem [2, 3]) Gia sv FP: R” = R™ la ánh za da tri c6

đồ thị đóng tà bị chăn địa phương quanh điểm x € domF’ Khi đó

2p(3) C U|P'F(3,0)( Ø)0*) : | <1 (,ÿ—) = l|ÿ~ 0Ì

gclI(; F())]

ở đâu u* = (g—v) néuv € F(Z)

Kết quả sau là một phiên bản của nguyên lý biến phân Ekoland (1974) cho các không gian hữu hạn chiều

1.2.3 Định lý (Xem |2, 3]) Cho y : R" — (—00, 0] la mét ham chính

thường nửa liên tục dưới va bi chặn dưới Giá sử e > 0 va x, € R”

thỏa mãn ¿(w;) < anf p(x) +e Khi d6, vdi mdi \ > 0 tén tại một

diém x, € R” sao cho

() ¿(>A) < ø(:);

(ii) |], — wel] < A;

(ii) g(A) < v(x) + S lla — x || vdi moi x € R”

Ngoài các kiến thức được trình bày ở trên, kết quả khác của giải tích biến phân và lý thuyết tối ưu có thể tìm thay trong [3].

CHUONG 2

DAC TRUNG TINH PHU VA TINH MO CUA CAC ANH

XA DA TRI

Chương này được dành để khảo sát tính phủ và tính mớ của ánh xa

đa trị có đồ thị đóng Ƒ : R“ — R'“* quanh điểm (Z,7ÿ) € gphFƑ Trong

mục này chúng ta xét các khái niệm có liên hệ qua lại với nhau về tính chất phủ và tính chất mở của ánh xạ đa trị và thu được các đặc trưng của

chúng

2.1 Tính phủ

2.1.1 Định nghĩa (Xem [2|) Ta nói hàm F có tính chất phủ quanh diểm # nếu tồn tại ø > 0 và Ứ € 4V(#) sao cho B„;(F(+)) C F,(z)) với mọi (z,r) € R” x (0,+00) théa man B,(x) C U Méi 86 a > 0 nhu trên được gợi là một modulus tính phủ của F quanh diém # Superemum của tất cả các modulus tính phủ của Ƒ quanh điểm # được gọi là cận phủ của Ƒ quanh điểm # và được kí hiệu là (covF')(#) Trong đó, V(Z) là tập

hợp tất cả lân cận mở của điểm # và Bạy :— { 6 R” : d(ụ, F{(+)) < ar}

2.1.2 Ví dụ Xét hàm #':= ƒ :IR — R cho bởi ƒ(+) = z với mọi z € JR

và # CIR Ta có mọi ø € (0,1] đều là modulus tính phủ của F tai Z, moi

a & (0, 1] khong la modulus tinh phu cua F tai % va do do (covF’)(%) = 1

2.1.3 Nhận xét Cận phi (covF)(Z) 1a can trén nho nhat cha tat ca

các modulus tính phủ của F quanh diém # nhưng, như được chỉ ra ở ví

dụ tiếp theo, nó có thế không là một modulus tính phủ của # quanh Z

2.1.4 Ví dụ Xét hàm F :— f : R > R cho béi f(x) — z2+ 2z với

moi « € R va = = 0 Khi do, (covF’)(%) = 2 va 2 khong 14 modulus tinh phti ctia F tai z That vay, dau tién ta chttng minh moi a € (0,2) déu 1a

modulus tính phủ của Ƒ' tại # Lấy a € (0,2) Đặt U = B;(#), trong đó

z Khi đó, tồn tại U € N(Z) sao cho Bo (F(x)) C F(B,(x)), voi moi

(«,r) € R x (0, +00) thda man B,(a) C U Khong mat tinh tong quat ta

có thể gia stt U = B.(Z) C [—1, 00) (e > 0) Lay (a.r) € R x (0,00) théa

mãn „(z) CƯ Đằng cách lặp lại các lập luận ở trên, ta có

—2z r <0

Bar (F(x)) C F(Br(x)) &

—2z—r <0.

Vì vậy, nếu (z,r) € IR x (0, +00) théa man B,(x) C U, thi -2a +r <0

Nói riêng ra, với ø := 5 var = 3 >0, ta có B„(z) C U và do đó

= -2(—3) + 5 < 0 Đây là điều mâu thuẫn Vậy a = 2 không là

modulus tính phủ của F’ tai Z = 0 va (covF’)(Z) = 2

Mục tiêu tiếp theo của chúng ta là chứng minh một số tiêu chuẩn để

ánh xạ đa trị Ƒ' có tính phủ quanh # và ưóc lượng cận phu (covF’)(Z) Đặt

(i) Trường hợp a(J)#) = œ Khi đó, với mọi ÿ € Ƒ(#) va y* 4 0,

D*F(,0)(u*) = 0 Tà đó suy ra, với mọi e > 0, ta có

[x* e D'F(z.ø)(w').ø e F(z)] = ||u'|| < elle" (2.4)

1

alF,®) (ii) Trudng hdp a(F,z) € (0,5) Ta sẽ chứng minh (2.4) ding với

thuẫn với định nghĩa của a(Ƒ, #) Do đó (2.4) đúng với mọi e > (Fa) Từ a(F,#

đó ta suy ra c(ƑF` #) < uF ie Bây giờ ta chứng minh c(F; #) > oF 3 Xét một số c > 0 thỏa mãn (2.4) Khi đó, với bất kỳ ÿ € Ƒ(®), g* € R™

Kết quả chính của mục này là định lý sau đây, nó không những cho

chúng ta các tiêu chuẩn để một ánh xa đa trị có tính phủ mà còn đưa ra công thức tính chính xác cận phù

2.1.6 Định lý (Xem [2]) Cho F :R" = R™ là ánh xạ đa trị bị chăn

địa phương quanh điểm #, nghĩa là tồn tại V € (#) tà M > 0 sao

cho F(e) C _AIB uới mọi » € V Khả đó, các tính chất sau đâu là tương đương

vt bat ky x EU, y € F(a) va x* € D*F(z,y)(y*)

(iv) Tén tai U € N(Z) sao cho kerD* F(x, y) = {0} tới bất kỳ z U

sẽ chỉ ra rằng œ < a(Ƒ` #) và điều này chứng tỏ (¡) > (ii) Thật vậy, giả sử

a > a(Ƒ.Z) Khi đó, với bất kỳ y > 0 đủ nhỏ, tồn tại z* € IR*, * € R” và

y € F(z) sao cho (a*, —y*) € N((Z,y): gphF), |ly*|]| = 1 và |#*||< a—+ Theo Ménh dé 1.1.3, ton tai cée day 2, —> #, yy —¬ ÿ, øƑ — #” và

tự — y* sao cho (a%,—yj) € N (xg, ye); :phF) và (y,y;) € gphF voi

mọi k = 1,2, Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử llwl| = 1 và

|+zj.|l < ø— + với mọi k = 1,2, Sử dụng công thức (1.1), ta có

(2,4 — #§) — (YES Y — Ye)

lim sup a lứ— zs.9 — <0, eo) 27

(x,y) — (k, Ye)

ở đây ||(z,ø)l| := llzl+ llo|l Khi đó, từ (2.7) ta suy ra với mỗi e > 0 có

thế tìm được một dãy 5, \, 0 khi k > 00 sao cho

(Yio ¥ — Ye) + €(le — well + lly — yell) 2 (3; # — we),

vdi moi (x.y) € gphF'N (Bs, (xz) x Bs, (yx) (k = 1, 2, ) Lay ¢ = ite’

a

Ta chọn dãy ðẹ như trên và đặt r„ :— mìn{ðj,ðg/a} (k = 1,2, ) Xét

dãy z := 0y — @ry, 6 day vu, € R™ la một véctơ thỏa man ||v;|| = 1 va

với mọi « € B,, (ag) (k = 1,2, ) Do do, z, ¢ F(x) véi moi x € B,, (xp),

vì nếu diều này không xẩy ra thì dẫn đến mâu thuẫn với (2.7) Do đó,

tồn tại các dãy {zg},{rz},{z¿} sao cho xy, > Z, rg \, 0 va với bất kỳ

x € By, (xy), ta co

Uy © F(x), (lee — yell Sark, 2% € F(a) (2.8)

Từ đó suy ra ø không là modulus phủ của F tai Z Diéu mâu thuẫn này

chiing t6 a(F, 2) > a > 0 va do do (i) = (ii)

Tiếp theo ta chứng minh (ii) = (ii) bằng phương pháp phản chứng Giả sử (ii) đúng và (ii) không đúng IKhi đó, tồn tại một dãy số dương

Ch — co va cac day {xz}, {ye}, {ay} {yz} sao cho x, — F va yp €

Pla), af € D* P(g, ue)(v) v9 llvfll > cxllegll voi moi k = 1,2, Lata

y ra ang |ly;|| > 0 vdi moi k Do do, bang cach dat 7 := |ly;l| ty} va

Bi, = lvgll Taj, ta 06 a € DF (ep, vfN(Gi) Mall = 1 v9 Nay < —

Kết hợp với giả thiết F bi chan dia phuong quanh Z, ta suy ra {z¿} và

{i} là các dãy bị chặn Bằng cách thay dãy con, nếu cần thiết, chúng

ta có thể giả sử rằng jim ye = 9 € R™ va jim y = y ER” Tu

Diéu này mâu thuẫn với (ii) và do đó, ta có (ii) = (iii)

(iii) > (iv) Gia sử (ii) đúng, tức tồn tại e > 0 và U € Ấ{(#) sao

cho |ly*|| < ¢|la*|| voi mọi z € U, € (+) và (œ*,*) € R" x R™ thoa mãn «* € D*F(x,y)(y*) Ta co kerD* F(z, 7) = {0} voi moi « € U wa

y € F(x) That vay, vi (x,y) € gphF nén 0 € kerD* F(x, y) Lay bat kv

c€U, ye F(x) vay* € kerD* F(x, y) Ta c6 0 € D* F(x, y)(y*) Do do,

theo (2.5), |ly*|| < c||0|| = 0, nghĩa là y* = 0 Vay kerD* F(x, y) = {0}

với mọi z CU vay € F(z)

(iv) > (v) là hiển nhiên (vì # € U vay € F(2))

(v) = (0) Trước hết chúng ta chứng mình rằng (v) = (ii) That vay,

giá sử (v) đúng nhưng a(7,#) = 0 Khi đó, tồn tại ÿ; € Ƒ(Z), yj, € R”™,

luzl| = 1 và x; € D'F(Z,øy)(w;) sao cho ||zx|| > 0 Vi F bi chan dia

phương quanh điểm # nên dãy {7¿} bị chặn Bằng cách thay dãy con nếu

cần ta có thể giả thiết øy — ÿ € Ƒ'(#), yÿ — * € IR", Sử dụng tính chất

ốn định vững của đối dao ham, ta suy ra 0 € D* F(Z, 9)(y*) vdi |ly*|| = 1 Tit dé ta suy ra kerD* F(x, y) {0} Diều này mâu thuẫn với giả thiết tính chất (v) là đúng Do đó, nếu (v) ding thi a(F,%) > 0, tttc la (v) > (ii) Như vậy, chúng ta đã chứng minh được (1) © (ii) © (iv) © (v)

Giả sử (v) đúng Chúng ta sẽ chứng minh rằng với bất kỳ số dương

a < a(F,#) đều là modulus tính phủ của Ƒ' tại điểm # Thật vậy, giả sử điều này không đúng với số dương a < a(Ƒ#) Khi đó, tồn tại các dãy

vécto {x}, {yx}, {zn} va day sd duong {r,} sao cho x, —> #, y —> ÿ và

1 >7; — 0 và (2.8) được thỏa mãn với mỗi k = 1,2, Dặt

0g(%) = d(%, F(x)) Ve eR”

Từ (2.8) ta suy ra /øg(œy) < 7y, øg(z) > 0 vdi moi x € B,,(ayz) và

k = 1,2, Sử dụng Định lý 1.2.3 cho hàm ¿(z) := ø(#) + ð(#; B„,(z;))

VỚI € — đTg,#z — #; VÀ À = Tp — rị (Ú < rụạ < 1) ta tìm được véctƠ

Uự C]R" sao cho |[uy¿ — #;|| r¿ — rỉ và œ là nghiệm tối ưu của bài toán

0‡(#) + ð(œ:Bạ,(øy)) + |z — œ»|| = inf, a eR"

l—rg

Lưu ý rằng œ € intB„ (z¿) Từ đó suy ra œ là cực tiểu địa phương của

hàm ø¿(.) + —ry ll — y; || Theo Mệnh đề 1.1.9 và Hệ qua 1.1.13,

a

0 € O(p;(.) + ———-] € (ex) + 7 II — up vel) (ve) C Prune) + 7 Op (UE B

Vì thế tồn tại z‡ € Øøy(o;) sao cho

a

zt|| < , VR—= 1,2, 2.9

Theo Hệ quả 1.2.2, tồn tại «¡¿ € II(z¿: F(oy)) và ý € R™ sao cho z‡ € D* F (vg, we) (up) với | || — 1 (k — 1,2, ) Từ cách xây dựng ở trên, ta suy ra 0y —> # khi k —› œ và các dãy {œ»}, {z‡}, {ø‡} bị chặn Bang

cách thay dãy con nếu cần và sử dụng giả thiết 7ˆ có đồ thị đóng, ta có thé giả sử các dãy {«}, {az} va {yf} tương ứng hội tu dén 9 € F(z), z*

và y* € R™ véi |ly*|| = 1 Theo Ménh dé 1.1.6, a* € D* F(z, 9)(y*) voi

\|y*|| = 1 Tw (2.2) và (2.9) ta suy ra ø > ||#*|| > a(F,#) Điều này mâu

thuẫn với cách chọn ø Do đó, ta có (v) = (i)

Từ chứng minh (v) = (1) ó trên, ta suy ra a(Ƒ,#) < (covF)(Z) Bat đẳng thức a(F)#) > (covF')(#) được suy ra từ chứng minh (¡) => (ii) Do

đó, a(F,.Z) = (covF)(%) Dang thtte thit hai trong (2.6) được suy ra từ

2.1.7 Hé qua (Xem [2]) Cho ¢: R® > R là mét ham Lipschitz dia

phương quanh điểm % 6 IR" Khi đó, để ọ có tính chất phủ quanh 2, điều kiện cần uà đủ là một trong các tính chất sau đâu được thỏa mãn

(i) a(y, Z) = {a*: &* € A(y*.p(Z)), |ly*|| = 1} > 0

(ii) Ton tai c > 0 va U € N(2) sao cho

I'l <cla"l] nếuz* € dy", ola) vax eU

(iii) Ton tai U € N(Z) sao cho

Chứng mưnh Theo Mệnh đề 1.1.11, tồn tại U € M(#) sao cho

điểm z Khi đó, ọ có tính chất phủ quanh điểm z nếu uà chỉ nếu

Vự(z)(R") = R”" Trong trường hợp nay,

(cœz)(z)_— mim{ll(Ve())°#lL: llw lÍ— 1}

~ minfe > 0: |ly*|| < ell(Ve(2))*y*||, Vụ* e Rm}'

Hon thé, néum =n va ma tran Veo(&) khong suy bién, thi

1

Chứng mảnh Vì ¿ khả vì chặt tại điểm # nên, theo Mệnh dé 1.1.5, ta có

D*p(z)(y*) = {(Ve(3))°w'} Vì vậy,

ker2*g(z) — {'€l§”: 0€ D*y(Z)(y*)}

={U€l§": 0= (Vụ(Z))°'}

= ker(Vụ(#))

=imf{e> 0: |l'||< c|lz*|| z°* — (Vự(Z))°*, y*' eR”)

= min{e > 0: |ly'll < e|(Vø(3))*g°)||, Vụ € RP) (2.13)

Trong trường hợp m = n va ma tran Vy(x) khong suy bién, ta cd

(g.2) = mine > 0: [ly"l| < ell(Vela))*y"l, Yu" ER™}

= J(Ve(®)ˆ”II

2.2 Tính mở

2.2.1 Định nghĩa (Xem [2|) Một ánh xa da tri F : R” = R™ dude goi

là mở với hệ số tuyến tính quanh điểm (Z,ÿ) € gphƑ nếu tồn tại ø > 0,

U EN(z) va V € N(y) sao cho

vdi bat ky (a,r) € R” x (0,00) théda man B„(z) C Ù Mỗi số a > 0 như trên được gọi là một modulus tính mở của F quanh điểm (#.ÿ) Superemum của tất cả modulus tính mở của #' quanh điểm (#,ÿ) được

gọi là cận mở của Ƒ quanh điểm (Z, 9) va dude ky hiéu la (opeF)(Z, 9) Đặt

a(F, &, 4) = inf{||a*|| : «* € D* F(z, 9)(y*) |ly*|] = 1} (2.15)

Do do, C(F, &, 9) =0= alF, 2,9)

(1ñ) Trường hợp a(F,z, 7) € (0,00) Ta sé chttng minh (2.17) ding véi moi ¢ > Thật vậy, giả sử điều này không đúng Khi đó, ta có thể

a(F`#, ÿ)

tìm được e > 1 ,j €lR" và ø' € D*F(z,7)(ÿ') sao cho ||ÿ' || >

a(F) #, 9) cll#*ll Đặt ø* = || l#' và z* = |l'||F!#* Ta có 2* € D*F(#,0)(0)),

\ly* || = 1 và l|x*||< e~† < a(F,#,ÿ) Điều này mâu thuẫn với định nghĩa

1 1

2Œ.s.0) Bây giờ ta chitng minh c(F, Z, 9) > al 55)

Xét mot s6 c > 0 thỏa mãn (2.17) Khi đó, với bất kỳ y* € R™ thỏa

(iii) Ton taic> 0, U € N(z) va V € N(¥) sao cho

I'll <clje'l, Ye" € D'F(0, yy"), e EU, ye Fl@)AV (218)

(iv) Ton tai U € N(®) va V € N(¥) sao cho

kerD* F(x, y) = {0}, Vc € U, y € F(x) NV (2.19) (v) kerD* F(Z, y) = {0}

Nếu các tính chất trên đúng thì

(ope \@, 9) = 0(F.2.9) = ea (2.20)

Chiing minh Trude hét ta chttng minh (i) > (ii) Gia sit (i) duge thoa

mãn với modulus tính mở quanh điểm (z, 7) lA a > 0 Bằng phương pháp

phản chứng, chúng ta sẽ chí ra rằng ø < ø(Ƒ#.7) và điều này chứng tỏ (i) > (ii) That vay, gid sit a > a(F.%, 9) Khi d6, véi bất kỳ + > 0 đủ

nhỏ, tồn tai 2* € R” va y* € R™ sao cho (a*,-y*) € N((z.¥); gphF),

lly*|| = 1 va ||x*|| < @—-y Theo Ménh dé 1.1.3, tồn tai cac day x, — #,

Uk > Y, Ui, — 6” Và — È sao cho (z‡,—wy) € N (cp, 94); gphF) va (xp, ye) € gphF với mọi k — 1,2, Không mất tính tổng quát ta có thể

giá sử ||¿|| = 1 và |laz|| < a — + với mọi k = 1,2, Sử dụng công thức (1.1), ta có

lim sup (thst — #k) = (Yio ¥ = Ya) ek) — (Yio ¥ = Ya) <0, (2.21) gphF ||Íđ — +¿ — #;) ||

(x,y) — (xk, 9k)

6 day ||(x, y)|| := ||cl| + |lyl] Khi đó, từ (2.21) ta suy ra với mỗi e > 0 có

thé tim duoc mot day 6, \, 0 khi k > 00 sao cho

(Yes ¥ — Yk) + e(lex — well + lly — yell) S (eh, © — we)

véi moi (x,y) € gphF'N (Bs, (aj) x Bs, (ys) (k = 1, 2, ) Lay e = Tra

Ta chon day 6, nhu trén va dat rz := min{d,, 6,/a} (k = 1,2, ) Xét dãy zg := yp — arpup, 6 day vu, € R™ 1a mot vécto thoa man ||v;|| = 1 va (0) — 1 (k = 1,2, ) Ta có ||lz¿ — ;|| < arg < ð; và

(Us 2 — Yk) +£(l|# — xp] + llze — yell)

=—ar, 4 Tra tE — all + arg)

< (+ ~ đ)T‡ < t},# — Lk);

vdi moi x € B;, (ag) (k = 1,2, ) Do do, z, ¢ F(x) véi moi x € B,, (xy),

vì nếu điều này không xấy ra thì dẫn đến mâu thuẫn với (2.21) Do đó,

tồn tại các dãy {zz},{rg},{z¿} sao cho øy — #, rạ `, 0 và với bất kỳ

% € r,(œy), ta cÓ

Ye E F(xx), |l2e— Yell Sark, 2% € F(a) (2.22)

Từ đó suy ra ø không là modulus mở của F quanh (%, 7) Dieu mau thuan này chứng tỏ ø(F'#,ÿ) > a > 0 va do dé (i) = (ii)

Tiép theo ta chitng minh (ii) => (ii) bằng phương pháp phản chứng

Giả sử (ii) đúng và (ii) không đúng Khi đó, tồn tại một dãy số dương

ch — co va cac day {x,}, {ye}, {ap} ty} sao cho (xp, ye) — (Z,ÿ) và

ur © F (xz), x € D*F (xx, ye) (yp) và lygll > cl|ezl| voi moi & = 1,2, Lưu ý rằng |ly‡|| > 0 với mọi k Do đó, bằng cách đặt 7% := ||w;|[F Tự; va

Diều này mâu thuẫn với (ii) và do đó, ta có (1ï) = (iii)

(ii) = (iv) = (v) là hiển nhiên

(v) = () Trước hết chúng ta chttng minh rang (v) = (ii) That

vậy, giả sử (v) đúng nhưng a(Ƒ,#,ÿ) = 0 Khi đó, ton tai yf € R™ va

ry, € DF (a, (yi) sao cho |lu¿|| = 1 và |lzÿ¿|| — 0 Bang cách thay dãy con nêu cần ta có thể giả thiet y; > y* € IR™ Sit dung tinh chat ồn định

vững của đối đạo hàm, ta suy ra 0 € D*F(%, 9)(y*) véi |ly*|| = 1 Từ đó

ta suy ra kerD*F(z,y) # {0} Diều này mâu thuẫn với giả thiết (v) là

đúng Do đó, nếu (v) đúng thì a(#,#.ÿ) > 0, tite la (v) = (ii) Nhu vay, chúng ta đã chimg minh duge (ii) © (iii) = (iv) © (v)

Giả sử (v) đúng Chúng ta sẽ chứng minh rằng với bất kỳ số dương

a < a(F,#.ÿ) đều là modulus tính mở của ' quanh điểm (Z#.7) Thật

vậy, giả sử điều này không đúng với số dương a < a(#,#,) Khi đó, tồn

tai các dãy véctơ {zz}, {;}.{z¿} và đãy số dương {rg} sao cho #„, — #,

Yr 2 9, 1 > rp 3 0 va (2.22) được thỏa mãn với mỗi k = 1.2, Đặt

py(a) = d(z, F(x)) Vx € R”

Từ (2.8) ta suy ra Øg(œy) < arg, py(x) > 0 voi moi x € B,, (xz) va

k = 1,2, Sti dung Dinh ly 1.2.3 cho ham (x) := px(x) + 6 (x; By, (7x) V6l © = arg, te = Tp VAN = Trụ — r: (0 < ry < 1) ta tìm được véctơ

ug € R” sao cho ||vp — xz || < 74 — re va ug là nghiệm tối ưu của bài toán

px(x) + 6(x; By, (x;)) +3 a —Th lc — vg || ~ inf, 2 eR”

Luu y rang vg € int B,, (xz) Tit do suy ra vg 1a cute ticu dia phuong cia hàm /ø¿(.) + lh — || Theo Mệnh đề 1.1.9 va Hé qua 1.1.13,

— Tr

Vi thé ton tai x}, € Apz(vz) sao cho

a 1—

Theo Hệ quả 1.2.2, tồn tại w, € II (zg: F(vz)) va yj, € R™ sao cho z‡ €

D*F (up, we) (ug) Vai |lyZ|] = 1 (k = 1,2, ) Tt cach xay dung 6 trén, ta

suy ra (0y,ø) —> (#,Ø) khi k —› œ Bằng cách thay dãy con nếu cần,

ta có thé giả sử đấy {zÿ} và {¿} tương ứng hội tu dén «* va y* € R™

với ||u*|| — 1 Theo Mệnh đề 1.1.6, z* € D* F(Z, 9)(y*) véi |ly*|| = 1 Tù (2.15) và (2.23) ta suy ra a > ||#*|| > a(F,#,) Điều này mâu thuẫn với

cách chọn ø Do đó, ta có (v) => (i)

Từ chứng minh (v) => (1) ỏ trên, ta suy ra a(f,#,ÿ) < (opeF)(# 0) Bất dẳng thức a(#, ÿ) > (opeƑ)(#, ø) được suy ra từ chứng minh (¡) > (1) Do đó, a(Ƒ, #, ÿ) = (opeF)(# ø) Dắng thức thứ hai trong (2.20) được

suy ra từ Mệnh đề 2.2.3 Dịnh lý được chứng minh L]

2.2.5 Mệnh đề (Xem |9|) Cho ánh zạ đa trị F`:IR" 3 R™ Khi do,

các khẳng định sau day là đúng

() Nếu P' có tính chất phú quanh diém & thi, véi moi 7 € F(Z), F

là mở uới hệ số tuyến tính quanh điểm (2 ÿ)

(1) Nếu F bị chặn địa phương quanh điểm # thà F` có tính chất phủ

quanh điểm % nếu tà chỉ nếu uới mợi G € F(Z), F là mổ uới hệ số

tuyến tính quanh điểm (1, 9)

Chứng mình (ï) Giả sti F có tính chất phủ quanh điểm # và ÿ € Ƒ()

Khi đó, tồn tại € V(Z) sao cho

(ñ) Giả sử Ƒ bị chặn địa phương quanh điểm # Theo Định lý 2.1.6,

F eó tính chất phủ quanh điểm # nếu và chỉ nếu kerD*F'(Z, ÿ) = {0} với

moi 7 € F(z) Mat khac, theo Dinh ly 2.2.4, để # là mở với hệ số tuyến

tinh quanh (z, 9) € gphF điều kiện can va dt 1a kerD* F(z, y) = {0} Tit

2.2.6 Định nghĩa (Xem [D|) Ta nói ánh xa da tri F : R° = R™ la

mở eompaet với hệ số tuyén tinh quanh diém z € DomF néu véi moi tap compact V C R™, ton tai U € N(%) va a > 0 sao cho Ber (F(#) NV) C F(®,(z)), với bất kỳ (x, r) € R” x (0, +00) thoa man B,(2) CU

2.2.7 Định lý (Xem [2]) Cho anh za da tri F : R” 3 R"” Khi do,

các khẳng định sau là tương đương

(i) F la mé compact vdi hé s6 tuyén tinh quanh điểm z

(ii) F la mé vdi hệ số tuyến tinh quanh diém (%, 7) vdi moi g € F(Z) Chứng mình Dầu tiên ta chứng mình (¡) = (ii) Gia stt (i) ding va

ø€ F(z) Dạt V := B,(g) Ta thấy V là một tập compact lo đó, theo (i), ton taia > 0 va U € NZ) sao cho Ba (F(x) NV) C Ƒ(B,(z)), với

bất kỳ (z,z) € IR" x (0,+oc) thỏa mãn B„(z) C U Điều này có nghĩa là

F mé tuyén tinh quanh diém (2, 9)

Bay gid ta chttng minh (ii) > (i) Gia sit (ii) ding va V 1a tap compact

va F(z) NV z# Ú Theo (ii), với mỗi 9 € F(Z) NV ton tai ay > 0,

Uy € N(z) va Vy € N(g) sao cho By, (F(x) Vy) C F(B;(x)), v6i mọi (x,r) € R® x (0, +00) théa man B,(x) C Uy Vi F(Z) NV 1a tap compact

va {Va} ger(ajav là một phủ mỏ của F ®) f1V nên tồn tại một phủ con hữu hạn {W;};e; Đặt W := J1, U = fU; và ã := mina¡ > 0 Khi

tel iel tel

do, W va U' 1a cée tap mé théa man

vdi moi («,r) € R” x (0, +00) sao cho B, (x) € U' Xét tap compact V\W

Ta co F(Z)N(V\W) = 0 Vi gphF 1a tap dong, nén véi méi z € (V\W) tồn tại các lân cận mở V € N(z) va U € N(2Z) sao cho F(x) NV = 0,

vi moi « € U; Vi V\W 1a compact va {V-} zev\w là một phủ mở của VÀW, nên tồn tại một phủ con hữu hạn 1 {Vj ]jeJ Với mỗi j € 7, gọi Uj

là lân cận của # tương ứng với Vj Dat U:= fì Uj và Ở :=Ư nỮ Khi

jet

dé, F(z) AV C F(x) NW, véi moi x € U Két hop với (2.24), chúng ta

thu được (2.14) với a= ø >0, = và V =V Cuối cùng, xét trường

hợp Ƒ(#)nV =Ú Lấy W = Ú, ta thu được (2.14) với Ở = Ù và a > 0

Do do, F 1A mé compact véi hé số tuyến tính quanh điểm Z Oo

2.2.8 Nhận xét Nếu Ƒ : R" = IR" bị chặn địa phương quanh điểm #

thì, từ Mệnh đề 2.2.5 và Dịnh lý 2.2.7 ta suy ra #' có tính phủ quanh Z

nếu và chỉ nếu #' là md compact quanh z

2.2.9 Hệ quả (Xem |2|) Cho ánh xạ da tri F : R” = R™ Khi do,

các điều kiện sau đâu là tương đương

() Ƒ mở compact tới hệ số tuyến tính quanh điểm z

(ñ) Với mợi tập compact VỀ C R™, tồn tại c > 0 tà U € N(#) sao cho

ly || < ela*]] Va" € D'F(x,y)(y"), «EU y E F(a) NV

(iii) Với mợi tập compact V C R™, ton tai U € N(®) sao cho

kerD* F(x, y) = {0}, Va EU, ye F(a) nV

(iv) Voi moi 9 € F(Z), ta co

ker D* F(z, 7) = {0}

Chứng mánh ( => (ii) Gia stt F c6 tinh chat mé compact quanh @

Khi đó, theo Dinh ly 2.2.7, F có tính chất mở với hệ số tuyến tính quanh điểm (Z,ÿ) với mọi ÿ € Ƒ(#) Lấy tập compact V C R” Ta cần chứng minh ton tai ¢ > 0 va U € (#) sao cho

lly* || < ella*]], ve" © D* F(x, y)(y*), « EU, y € F(a) nv

Thật vậy, với mỗi ÿ € Ƒ(#), vì F mở với hệ số tuyến tính quanh điểm

(z,%) nén, theo Dinh ly 2.2.4 ton tai cy > 0, Uy € (#) và Vạ„ € (ÿ)

sao cho |ly*|| < cylla*|], Va* € D* F(x y)(y*), « € Ug, y © F(a) ñn Vụ

Vi {Va} ger(2) là một phủ mở của tập compact F(z) NV nén ton tai phi

con hitu han {V;};e7 Dat ¢ = maxc;, V = UV; va U = [] Uj Ta sẽ

chting minh tén tai U € N(%) sao cho U CU va F(x) NV C V Véi