Bài Toán Tựa Cân Bằng Véctơ Đối Với Tổng Của Hai Ánh Xạ Đa Trị

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Nengvue XOUA YI BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG VÉCTƠ ĐỐI VỚI TỔNG CỦA HAI ÁNH XẠ ĐA TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Nengvue XOUA YI BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG VÉCTƠ ĐỐI VỚI TỔNG CỦA HAI ÁNH XẠ ĐA TRỊ Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS BÙI THẾ HÙNG THÁI NGUYÊN - 2017 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2017 Người viết luận văn Nengvue XOUA YI Xác nhận trưởng khoa Toán Xác nhận người hướng dẫn khoa học TS Bùi Thế Hùng i Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Bùi Thế Hùng, người thầy tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Tốn tồn thể thầy giáo trường ĐHSP Thái Ngun, Viện Tốn học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội truyền thụ cho kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi ý kiến đóng góp q báu suốt q trình học tập thực luận văn Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu tổ Tốn Trường trung học phố thơng (Tỉnh Xay Som Buon- Lào) đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt q trình học tập hồn thành luận văn Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2017 Tác giả Nengvue XOUA YI ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Một số ký hiệu viết tắt v Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi số tính chất 1.2 Không gian lồi địa phương 1.3 Khái niệm ánh xạ đa trị 1.4 Một số tính chất ánh xạ đa trị 1.4.1 Nón khơng gian tuyến tính 1.4.2 Tính liên tục theo nón ánh xạ đa trị 1.4.3 Tính lồi theo nón ánh xạ đa trị 1.5 Nguyên lý ánh xạ KKM 10 15 17 Bài toán tựa cân véctơ tổng hai ánh xạ đa trị 19 2.1 Định lý điểm cực đại ánh xạ đa trị 19 2.2 Ánh xạ tựa đơn điệu suy rộng 22 2.3 Bài toán tựa cân véctơ 24 iii Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 iv Một số ký hiệu viết tắt N∗ tập số tự nhiên khác không R tập số thực R+ tập số thực không âm R− tập số thực không dương Rn không gian véctơ Euclide n− chiều Rn+ tập véctơ không âm Rn Rn− tập véctơ không dương Rn Cn không gian số phức n− chiều {xα } dãy suy rộng ∅ tập rỗng F : X → 2Y ánh xạ đa trị từ tập X vào tập Y dom F miền định nghĩa ánh xạ đa trị F gph F đồ thị ánh xạ đa trị F A := B A định nghĩa B A⊆B A tập B A⊆B A không tập B A∪B hợp hai tập hợp A B A∩B giao hai tập hợp A B v A\B hiệu hai tập hợp A B A+B tổng véctơ hai tập hợp A B B tích Descartes hai tập hợp A B conv A bao lồi tập hợp A coreB A lõi A theo B cl A bao đóng tơpơ tập hợp A int A phần tôpô tập hợp A (EP ) tốn cân vơ hướng ✷ kết thúc chứng minh vi Mở đầu Năm 1994, E Blum W Oettli [6] nghiên cứu tốn cân bằng: Tìm điểm x ¯ ∈ K cho f (¯ x, x) ≥ với x ∈ K, (EP ) K tập khơng gian X f : K × K → R hàm số thực thỏa mãn điều kiện f (x, x) ≥ với x ∈ K Từ toán ta suy tốn khác lý thuyết tối ưu toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân, toán bù, toán cân Nash, toán điểm yên ngựa, toán điểm bất động, (xem [5], [6], [10], [13], [16]) Vì tốn nhiều người quan tâm nghiên cứu E Blum, W Oettli, Ky Fan, Browder, Minty, Bianchi, S Schaible, Hadjisavvas, Sau tác giả chứng minh tồn nghiệm toán (EP ) với hàm mục tiêu f tổng hai hàm: Tìm điểm x ¯∈K cho g(¯ x, x) + h(¯ x, x) ≥ với x ∈ K, K tập khơng gian X g, h : K × K → R hàm số thực cho trước Năm 1998, N X Tấn P N Tĩnh [17] mở rộng kết cho ánh xạ mục tiêu tổng hai ánh xạ đa trị với ràng buộc cố định ta gọi toán toán cân véctơ đa trị: Tìm điểm x ¯ ∈ K cho G(¯ x, x) + H(¯ x, x) ⊆ Y \(− int C) với x ∈ K, K tập khơng gian X , C nón Y với int C = ∅ G, H : K × K → 2Y ánh xạ đa trị Năm 2016, G Kassay, M Miholca N T Vinh [15] chứng minh lại kết N X Tấn P N Tĩnh cho toán cân véctơ đa trị với ràng buộc di động ta gọi tốn tốn tựa cân véctơ đa trị: Tìm điểm x¯ ∈ A(¯ x) cho G(¯ x, x) + H(¯ x, x) ⊆ Y \(− int C) với x ∈ A(¯ x), K tập khơng gian X , C nón Y với int C = ∅ A : K → 2K ; G, H : K × K → 2Y ánh xạ đa trị Mục đích luận văn trình bày kết G Kassay, M Miholca N T Vinh báo [15] Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận tài liệu tham khảo Chương luận văn dành cho việc trình bày số kiến thức sở giải tích lồi, giải tích đa trị khái niệm ánh xạ đa trị, nón khơng gian tuyến tính, tính liên tục theo nón ánh xạ đa trị, tính lồi theo nón ánh xạ đa trị số tính chất liên quan Ngồi chúng tơi trình bày ngun lý ánh xạ KKM chương Chương trình bày điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa cân véctơ đa trị với ánh xạ mục tiêu tổng hai ánh xạ đa trị giả thiết tính tựa đơn điệu suy rộng, tính liên tục lồi theo nón ánh xạ mục tiêu Từ suy n λi F (xi , z) ⊆ −C i=1 Từ int C ∩ (−C) = ∅ ta khẳng định n λi F (xi , z) ∩ int C = ∅ i=1 Vậy F C - tựa đơn điệu suy rộng Bổ đề 2.2.4 Giả sử K tập không rỗng lồi X F : K ×K → 2Y ánh xạ đa trị với giá trị không rỗng thỏa mãn điều kiện sau: (1) F C - đơn điệu; (2) F C - lồi biến thứ hai Khi F C - tựa đơn điệu suy rộng n Chứng minh Giả sử x1 , x2 , , xn ∈ K λ1 , λ2 , , λn ≥ với n Ta đặt z := λi = i=1 λj xj Bởi F C - lồi biến thứ hai nên j=1 n n λi F (xi , z) ⊆ λi λj F (xi , xj ) − C i=1 i,j=1 n λi λj [F (xi , xj ) + F (xj , xi )] − C i,j=1 = Vì F C - đơn điệu, F (xi , xj ) + F (xj , xi ) ⊆ −C với i, j ∈ {1, 2, , n} Từ suy n λi F (xi , z) ⊆ −C i=1 Từ int C ∩ (−C) = ∅ ta khẳng định n λi F (xi , z) ∩ int C = ∅ i=1 Vậy F C - tựa đơn điệu suy rộng 23 Nhận xét Ví dụ sau ánh xạ đa trị C - lồi C - tựa đơn điệu suy rộng không C -đơn điệu Ví dụ 2.2.5 Xét X = R, K = [0, 1], Y = R2 , C = R2+ ánh xạ đa trị F : K × K → 2R xác định F (x, y) = [(0, 0); (|x − y|, 0)] với x, y ∈ K, [(0, 0); (|x − y|, 0)] đoạn nối hai điểm (0, 0) (|x − y|, 0) R2 Bằng tính tốn, ta thấy F C - lồi biến thứ hai C - tựa đơn điệu suy rộng Tuy nhiên F khơng C - đơn điệu F (1, 0) + F (0, 1) = [(0, 0); (2, 0)] ⊆ −C 2.3 Bài toán tựa cân véctơ Giả sử X, Y khơng gian tơpơ tuyến tính Hausdorff thực C nón lồi khơng tầm thường với int C = ∅ Gọi K tập không rỗng lồi X ánh xạ đa trị A : K → 2K ; G, H : K × K → 2Y với giá trị khơng rỗng, ta xét tốn tựa cân sau đây: Tìm x ¯ ∈ A(¯ x) cho G(¯ x, y) + H(¯ x, y) ⊆ Y \(− int C) với y ∈ A(¯ x) Trong phần này, nghiên cứu tồn nghiệm toán Trước tiên ta định nghĩa lớp ánh xạ đa trị Browder- Fan Định nghĩa 2.3.1 Giả sử X không gian tôpô Y không gian véctơ tôpô Ánh xạ đa trị T : X → 2Y gọi ánh xạ Browder- Fan điều kiện sau thỏa mãn: (i) T có giá trị khơng rỗng lồi; (ii) T có ảnh ngược điểm mở 24 Bổ đề 2.3.2 Giả sử D tập không rỗng lồi compact không gian véctơ tơpơ Hausdorff X ; G, H : D × D → 2Y ánh xạ đa trị với giá trị không rỗng A : D → 2D ánh xạ Browder- Fan thỏa mãn điều kiện (i) Tập F ix(A) := {x ∈ D : x ∈ A(x)} đóng D; (ii) H(x, x) ⊆ C với x ∈ D; (iii) G C - tựa đơn điệu suy rộng; (iv) G C - liên tục biến thứ hai; (v) H (−C)- liên tục biến thứ C - lồi biến thứ hai Khi tồn x ¯ ∈ D cho x¯ ∈ F ix(A) G(y, x¯) − H(¯ x, y) ⊆ Y \ int C với y ∈ A(¯ x) Chứng minh Theo Định lý điểm bất động Browder- Fan, ta có F ix(A) = ∅ Với x ∈ D, ta đặt P (x) = {y ∈ D : G(y, x) − H(x, y) ⊆ Y \ int C} Ta định nghĩa ánh xạ đa trị S : D → 2D công thức S(x) = conv P (x) ∩ A(x), x ∈ F ix(A), A(x), trường hợp lại, ánh xạ đa trị conv P : D → 2D xác định conv P (x) = conv(P (x)) Dễ thấy S(x) lồi với x ∈ D S −1 (y) = [(conv P )−1 (y) ∩ A−1 (y)] ∪ [A−1 (y) ∩ D\F ix(A)] Từ giả thiết ta có A−1 (y) D\F ix(A) mở D, với y ∈ D Trước tiên, ta chứng minh với y ∈ D, tập P −1 (y) = {x ∈ D : G(y, x) − H(x, y) ⊆ Y \ int C}, mở D Thật vậy, với y ∈ D, lấy x0 ∈ P −1 (y) tùy ý Từ suy [G(y, x0 ) − H(x0 , y)] ∩ int C = ∅ 25 Từ int C mở ánh xạ G(y, x) − H(x, y) C - liên tục theo biến x, nên tồn lân cận U x0 cho [G(y, x) − H(x, y)] ∩ (C + int C) = ∅ với x ∈ U Điều kéo theo [G(y, x) − H(x, y)] ∩ int C = ∅ với x ∈ U Quan hệ chứng tỏ U ⊆ P −1 (y) Vậy P −1 (y) mở D với y ∈ D Theo Bổ đề 2.1.5, ta có (conv P )−1 (y) mở D với y ∈ D Từ suy S −1 (y) mở D với y ∈ D Ta chứng minh x ∈ S(x) với x ∈ D Thật vậy, giả sử ngược lại, tồn z ∈ D cho z ∈ S(z) Nếu z ∈ D\F ix(A) z ∈ A(z) Điều mẫu thuẫn Vậy z ∈ F ix(A) z ∈ S(z) = conv P (z) ∩ A(z) Từ suy tồn {y1 , y2 , , yn } ⊆ P (z) cho z = n i=1 λi yi , λi ≥ 0, n i=1 λi = Bởi định nghĩa P, G(yi , z) − H(z, yi ) ⊆ Y \ int C với i = 1, 2, , n Từ suy tồn ∈ G(yi , z), bi ∈ H(z, yi ) cho − bi ∈ int C Điều kéo theo n λi (ai − bi ) ∈ int C (2.1) i=1 Vì G C - tựa đơn điệu suy rộng nên n λi G(yi , z) ∩ − int C = ∅ (2.2) i=1 Từ H C - lồi biến thứ hai, n λi H(z, yi ) ⊆ H(z, z) + C ⊆ C + C = C i=1 Điều kéo theo n − λi H(z, yi ) ⊆ −C i=1 26 (2.3) Kết hợp (2.2) (2.3), ta thu n λi (ai − bi ) ∈ int C (2.4) i=1 Điều mâu thuẫn với (2.1) Sử dụng Định lý 2.1.4, tồn x ¯ ∈ D cho S(¯ x) = ∅ Nếu x¯ ∈ D\F ix(A) S(¯ x) = A(¯ x) = ∅ Điều mâu thuẫn với ánh xạ A có giá trị không rỗng Vậy conv P (¯ x) ∩ A(¯ x) = ∅ Từ suy x ¯ ∈ F ix(A) G(y, x¯) − H(¯ x, y) ⊆ Y \ int C với y ∈ A(¯ x) Bổ đề chứng minh Nhận xét Bổ đề 2.3.2 khơng cịn bỏ giả thiết F ix(A) đóng Ví dụ sau minh họa điều Ví dụ 2.3.3 Xét X = R, D = [0, 1], Y = R2 , C = R2+ (1) Xét ánh xạ G : D × D → 2R xác định G(x, y) = {(|x − y|, 0)} với x, y ∈ D Bằng tính tốn, ta thấy G C - lồi biến thứ hai C - tựa đơn điệu suy rộng Tuy nhiên G khơng C - đơn điệu F (1, 0) + F (0, 1) = [(0, 0); (2, 0)] ⊆ −C (2) Xét ánh xạ H : D × D → 2R xác định H(x, y) = {(0, |x − y|)} với x, y ∈ D (3) Xét ánh xạ A : D → 2D xác định   {0}, x = 1, A(x) = [0, 1], x ∈ (0, 1),  {1}, x = Khi A nhận giá trị không rỗng, lồi A−1 (x) mở D với x ∈ D Từ suy A ánh xạ Browder- Fan F ix(A) = (0, 1) khơng đóng 27 D Hơn tất giả thiết (ii), (iii) (iv) thỏa mãn Tuy nhiên không tồn x ¯ ∈ D thỏa mãn kết luận Bổ đề 2.3.2 Thật vậy, giả sử tồn x ¯ ∈ F ix(A) cho G(y, x¯) − H(¯ x, y) ⊆ Y \ int C Điều tương đương với (|¯ x − y|, y − x¯) ∈ (0, +∞) × (0, +∞) với y ∈ A(¯ x) = [0, 1] Điều xảy Hệ 2.3.4 Giả sử D tập không rỗng lồi compact không gian véctơ tơpơ Hausdorff X , C nón lồi đóng nhọn Y với int C = ∅ G, H : D × D → 2Y ánh xạ đa trị với giá trị không rỗng thỏa mãn điều kiện (i) ∈ G(x, x) ⊆ C ∈ H(x, x) ⊆ C với x ∈ D; (ii) G C - đơn điệu; (iii) G C - liên tục C - lồi biến thứ hai; (iv) H (−C)- liên tục biến thứ C - lồi biến thứ hai Khi tồn x ¯ ∈ D cho G(y, x¯) − H(¯ x, y) ⊆ Y \ int C với y ∈ D Chứng minh Từ giả thiết (i), (ii), (iii) Bổ đề 2.2.3 ta suy G C - tựa đơn điệu suy rộng Khi tất giả thiết Bổ đề 2.3.2 thỏa mãn với G, H S(x) = D với x ∈ D Áp dụng Bổ đề 2.3.2, tồn x ¯ ∈ D cho G(y, x¯) − H(¯ x, y) ⊆ Y \ int C với y ∈ D 28 Bổ đề 2.3.5 Giả sử D tập không rỗng lồi đóng khơng gian véctơ tơpơ Hausdorff X ; G, H : D × D → 2Y ánh xạ đa trị với giá trị không rỗng A : D → 2D ánh xạ với giá trị không rỗng lồi thỏa mãn điều kiện (i) G(x, x) ⊆ C ∈ H(x, x) với x ∈ D; (ii)Với x, y ∈ D, ánh xạ g : [0, 1] → 2Y xác định g(t) := G(ty + (1 − t)x, y) (−C)- liên tục t = 0; (iii) G, H ánh xạ C - lồi biến thứ hai Khi tồn x ¯ ∈ D cho x¯ ∈ A(¯ x) G(y, x¯) − H(¯ x, y) ⊆ Y \ int C với y ∈ A(¯ x) x¯ ∈ A(¯ x) G(¯ x, y) + H(¯ x, y) ⊆ Y \(− int C) với y ∈ A(¯ x) Chứng minh Giả sử tồn x ¯ ∈ D cho x¯ ∈ A(¯ x) G(y, x¯) − H(¯ x, y) ⊆ Y \ int C với y ∈ A(¯ x) Ta đặt xt := ty + (1 − t)¯ x, t ∈ [0, 1] Dễ thấy xt ∈ A(¯ x) ta có x¯ ∈ A(¯ x) G(xt , x¯) − H(¯ x, xt ) ⊆ Y \ int C (2.5) Từ giả thiết (i) (iii) ta suy tG(xt , y) + (1 − t)G(xt , x¯) ⊆ G(xt , xt ) + C ⊆ C + C = C (2.6) tH(¯ x, y) ⊆ tH(¯ x, y) + (1 − t)H(¯ x, x¯) ⊆ H(¯ x, xt ) + C (2.7) Kết hợp (2.6) (2.7) ta tG(xt , y) + t(1 − t)H(¯ x, y) ⊆ (t − 1)G(xt , x¯) + (1 − t)H(¯ x, xt ) + C.(2.8) 29 Ta chứng minh G(xt , y) + (1 − t)H(¯ x, y) ⊆ Y \(− int C) với t ∈ (0, 1] (2.9) Giả sử ngược lại, tồn t ∈ (0, 1] a ∈ G(xt , y), b ∈ H(¯ x, y) cho a + (1 − t)b ∈ − int C (2.10) Bởi (2.8), tồn z ∈ G(xt , x ¯), w ∈ H(¯ x, xt ) c¯ ∈ C cho t[a + (1 − t)b] = −(1 − t)(z − w) + c¯ Từ (2.10), ta suy (1 − t)(z − w) = −t[a + (1 − t)b] + c¯ ∈ int C + c¯ ⊆ int C Từ suy z − w ∈ int C Điều mâu thuẫn với (2.5) Vậy (2.9) chứng minh Xét hàm h(t) = G(xt , y) + (1 − t)H(¯ x, y), t ∈ [0, 1] Giả sử h(0) ⊆ Y \(− int C) Khi tồn v ∈ h(0) cho v ∈ − int C Từ giả thiết (ii), h −C - nửa liên tục t = tồn δ ∈ (0, 1) cho h(t) ∩ (− int C − C) = h(t) ∩ (− int C) = ∅ với t ∈ [0, δ] Điều mâu thuẫn với (2.9) Vậy h(0) ⊆ Y \(− int C) Từ suy G(¯ x, y) + H(¯ x, y) ⊆ Y \(− int C) với y ∈ A(¯ x) Bổ đề chứng minh Định nghĩa 2.3.6 Giả sử K D tập không rỗng lồi X với D ⊆ K Lõi D theo K , kí hiệu coreK D, xác định coreK D := {a ∈ D : D ∩ (a, y] = ∅ với y ∈ K\D}, (a, y] = {x ∈ X : x = αa + (1 − α)y, α ∈ [0, 1)} Định lý sau điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa cân véctơ mà ánh xạ mục tiêu tổng hai ánh xạ đa trị 30 Định lý 2.3.7 Giả sử K tập không rỗng lồi đóng khơng gian véctơ tơpơ Hausdorff X D tập không rỗng lồi compact K ; G, H : K × K → 2Y ánh xạ đa trị với giá trị không rỗng ánh xạ đa trị A : D → 2K Browder- Fan thỏa mãn B(x) := A(x) ∩ D = ∅ với x ∈ D F ix(A) := {x ∈ D : x ∈ A(x)} đóng D Hơn nữa, giả sử điều kiện xảy (i) G(x, x) ⊆ C, G(x, x) ∩ (−C) = ∅ ∈ H(x, x) ⊆ C với x ∈ K; (ii) G C - tựa đơn điệu suy rộng; (iii)Với x, y ∈ K , ánh xạ g : [0, 1] → 2Y xác định g(t) := G(ty + (1 − t)x, y) (−C)- liên tục t = 0; (iv) G C - lồi C - liên tục biến thứ hai; (v) H (−C)- liên tục biến thứ C - lồi biến thứ hai; (vi) Với x ∈ B(x)\ coreA(x) B(x), tồn a ∈ coreA(x) B(x) cho G(x, a) + H(x, a) ⊆ Y \(−C) Khi tồn x ¯ ∈ B(¯ x) cho G(¯ x, y) + H(¯ x, y) ⊆ Y \(− int C) với y ∈ A(¯ x) Chứng minh Ánh xạ đa trị B : D → 2D thỏa mãn B −1 (y) = A−1 (y) với y ∈ D F ix(B) = F ix(A) Từ suy B ánh xạ Browder- Fan tập F ix(B) khơng rỗng đóng D Theo Bổ đề 2.3.2, tồn x ¯ ∈ B(¯ x) cho G(y, x¯) − H(¯ x, y) ⊆ Y \ int C với y ∈ B(¯ x) Sử dụng Bổ đề 2.3.5, ta có x¯ ∈ B(¯ x) G(¯ x, y) + H(¯ x, y) ⊆ Y \(− int C) với y ∈ B(¯ x) 31 Mặt khác, ta định nghĩa ánh xạ đa trị φ : K → 2Y φ(y) = G(¯ x, y) + H(¯ x, y), y ∈ K Khi ta có φ(y) ⊆ Y \(− int C) với y ∈ B(¯ x) (2.11) Từ giả thiết (iv) (v) ta suy φ C - lồi Nếu x ¯ ∈ coreA(¯x) B(¯ x), ta chọn x0 = x ¯ x¯ ∈ B(¯ x) ta chọn x0 = a, a xác định từ giả thiết (vi) Khi ln tồn x0 ∈ coreA(¯x) B(¯ x) cho φ(x0 ) ⊆ Y \(−C) Bây ta φ(y) ⊆ Y \(− int C) với y ∈ A(¯ x) Thật vậy, giả sử tồn y¯ ∈ A(¯ x)\B(¯ x) cho φ(¯ y ) ⊆ Y \(− int C) Từ suy tồn w ∈ φ(¯ y ) cho w ∈ − int C Vì φ(x0 ) ⊆ Y \(−C) nên tồn u ∈ φ(x0 ) cho u ∈ −C Với z = tu + (1 − t)w, t ∈ [0, 1), tính C - lồi φ nên ta có tu + (1 − t)w ∈ tφ(x0 ) + (1 − t)φ(¯ y ) ⊆ φ(z) + C Điều kéo theo tồn v ∈ φ(z) c ∈ C cho tu + (1 − t)w = v + c Từ suy v = −c + tu + (1 − t)w ∈ −c − C − int C ⊆ − int C Vậy φ(z) ⊆ Y \(− int C) với z ∈ (x0 , y¯] 32 (2.12) Từ x0 ∈ coreA(¯x) B(¯ x) nên tồn z¯ ∈ (x0 , y¯] ∩ B(¯ x) Từ (2.12), ta suy φ(¯ z ) ⊆ Y \(− int C) Điều mâu thuẫn với (2.11) Vậy φ(y) ⊆ Y \(− int C) với y ∈ A(¯ x) Từ kéo theo G(¯ x, y) + H(¯ x, y) ⊆ Y \(− int C) với y ∈ A(¯ x) Định lý chứng minh Hệ 2.3.8 Giả sử K tập khơng rỗng lồi đóng không gian véctơ tôpô Hausdorff X G, H : K × K → 2Y ánh xạ đa trị với giá trị không rỗng thỏa mãn điều kiện (i) G(x, x) ⊆ C, G(x, x) ∩ (−C) = ∅ ∈ H(x, x) ⊆ C với x ∈ K; (ii) G C - tựa đơn điệu suy rộng; (iii)Với x, y ∈ K , ánh xạ g : [0, 1] → 2Y xác định g(t) := G(ty + (1 − t)x, y) (−C)- liên tục t = 0; (iv) G C - liên tục C - lồi biến thứ hai; (v) H (−C)- liên tục biến thứ C - lồi biến thứ hai; (vi) Tồn tập D không rỗng lồi compact K cho với x ∈ K\ coreK D, tồn a ∈ coreK D cho G(x, a) + H(x, a) ⊆ Y \(−C) Khi tồn x ¯ ∈ D cho G(¯ x, y) + H(¯ x, y) ⊆ Y \(− int C) với y ∈ K 33 Chứng minh Hệ suy từ Định lý 2.3.7 cách chọn A(x) = K với x ∈ D Hệ 2.3.9 Giả sử K tập không rỗng lồi đóng khơng gian véctơ tơpơ Hausdorff X , C nón lồi đóng nhọn Y với int C = ∅ G, H : K × K → 2Y ánh xạ đa trị với giá trị không rỗng thỏa mãn điều kiện (i) ∈ G(x, x) ⊆ C ∈ H(x, x) ⊆ C với x ∈ K ; (ii) G C - đơn điệu; (iii)Với x, y ∈ K , ánh xạ g : [0, 1] → 2Y xác định g(t) := G(ty + (1 − t)x, y) (−C)- liên tục t = 0; (iv) G C - liên tục C - lồi biến thứ hai; (v) H (−C)- liên tục biến thứ C - lồi biến thứ hai; (vi) Tồn tập D không rỗng lồi compact K cho với x ∈ K\ coreK D, tồn a ∈ coreK D cho G(x, a) + H(x, a) ⊆ Y \(−C) Khi tồn x ¯ ∈ D cho G(¯ x, y) + H(¯ x, y) ⊆ Y \(− int C) với y ∈ K Chứng minh Từ giả thiết (i), (ii), (iv) Bổ đề 2.2.3, ta suy G C tựa đơn điệu suy rộng Sử dụng Định lý 2.3.7 với A(x) = K với x ∈ D ta suy hệ 34 Kết luận luận văn Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số nội dung sau đây: Trình bày số kiến thức giải tích lồi, khơng gian lồi địa phương, giải tích đa trị nguyên lý ánh xạ KKM Trình bày điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa cân véctơ với ánh xạ mục tiêu tổng hai ánh xạ đa trị 35 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2006), "Một số vấn đề lý thuyết tối ưu véctơ đa trị", Nhà xuất giáo dục [2] Nguyễn Đơng n (2007), "Giải tích đa trị", Nhà xuất giáo dục Tiếng Anh [3] J P Aubin, H Frankowska (1990), "Set-valued analysis", Birkhauser [4] C Begre (1997), "Topological spaces", Dover Publications, NY [5] M Bianchi and S Schaible (1996), "Generalized monotone befunctions and equilibrium problems", J Optim Theory Appl, 90, 31-42 [6] E Blum and W Oettli (1993), "From Optimization and Variational Inequalities to Equilibrium Problems", The Mathematical Student, 64, 1-23 [7] L E J Brouwer (1912), " Uber abbildungenvon mannigfaltigheiten", Math Ann, 79 , 97-115 [8] F E Browder (1984), " Coincidence Theorems, minimax Theorems and variational inequalities contemp", Math, 26 , 67-80 [9] K Fan (1961), "A Generalization of Tychonoff’s Fixed Point Theorem", Mathematische Annalen, 142, 305-310 36 [10] K Fan (1972), "A minimax inequality and application", In Inequalities III (O Shisha (Ed)), Aca Press, New York [11] F Ferro (1982), "Minimax Type Theorem for n-Valued Functions", Annali di Mathematica Pura ed Applicata, 32, 113-130 [12] A M Geoffrion (1968), " Proper efficiency and the theory of vector maximization", J Math Anal Appl, 22, 618-630 [13] N Hadjisavvas and S Schaible (1998), "From scalar to vector equilibrium problems in the quasimonotone case", J Optim Theory Appl, 96, 297-309 [14] M I Henig (1982), " Existence and characterization of efficient decisions with respect to cones", Math Programming, 23, 111-116 [15] G Kassay, M Miholca and N T Vinh (2016), "Vector QuasiEquilibrium Problems for the Sum of Two Multivalued Mappings", J Optim Theory Appl, DOI 10.1007/s10957-016-0919-9 [16] G J Minty (1978), " On variational inequalities for monotone operators", I Advances in Math, 30, 1-7 [17] N X Tan and P N Tinh (1998), "On the existence of equilibrium points of vector functions", Numer Funct Anal and Optim , 19 , 141–156 37 ... x∈D 18 Chương Bài toán tựa cân véctơ tổng hai ánh xạ đa trị Trong chương chúng tơi trình bày điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa cân véctơ mà ánh xạ mục tiêu tổng hai ánh xạ đa trị Các kết chương... Nguyên lý ánh xạ KKM 10 15 17 Bài toán tựa cân véctơ tổng hai ánh xạ đa trị 19 2.1 Định lý điểm cực đại ánh xạ đa trị 19 2.2 Ánh xạ tựa đơn... Mọi ánh xạ đa trị có ánh xạ ngược, điều không ánh xạ đơn trị Ta dễ dàng kiểm tra ánh xạ đa trị có ảnh ngược điểm mở ánh xạ nửa liên tục điều ngược lại khơng 1.4 Một số tính chất ánh xạ đa trị