Những định lý điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ 20, có thể kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer năm 1912, nguyên lý ánh xạ co Banach năm 1922. Năm 1929 ba nhà toán học Knaster, Kuratowski và Mazurkiewicz đã chứng minh một kết quả rất quan trọng mà ngày nay chúng ta gọi là "Bổ đề KKM". Năm 1961, Ky Fan đã mở rộng bổ đề KKM cổ điển sang không gian tôpô tuyến tính với ánh xạ đa trị và kết quả thu được ngày nay ta gọi là "Bổ đề Fan-KKM". Trước tiên ta nhắc lại khái niệm ánh xạ KKM.
Định nghĩa 1.5.1. Giả sử D là tập con không rỗng của X. Ánh xạ đa trị F : D → 2X được gọi là ánh xạ KKM nếu với mọi tập con hữu hạn
{x1, x2, ..., xn} trong D, ta luôn có conv{x1, x2, ..., xn} ⊆ n [ i=1 F(xi).
Định lý 1.5.2. (Định lý điểm bất động Brouwer, xem [7]) Giả sử D là tập con không rỗng lồi đóng của không gian hữu hạn chiều X và F : D → D
là ánh xạ liên tục. Khi đó tồn tại x0 ∈ D sao cho x0 = F(x0).
Định lý 1.5.3. (Bổ đề Fan-KKM, xem [9]) Giả sử D là tập con không rỗng của không gian tôpô tuyến tính X và F : D → 2X là ánh xạ KKM với giá trị đóng. Khi đó với mọi tập hữu hạn A⊆ D, ta luôn có
\
x∈A
F(x) 6= ∅.
Chứng minh. Ta chứng minh định lý bằng phản chứng. Giả sử tồn tại tập hữu hạn {x1, x2, ..., xn} ⊆ D sao cho
Đặt L = span{x1, x2, ..., xn} và d là khoảng cách trên L tương thích với tôpô cảm sinh từ X. Ta kí hiệu ∆ = conv{x1, x2, ..., xn} và G(xi) =
F(xi) ∩ L với i = 1,2, ..., n. Với mỗi x ∈ ∆, đặt αi(x) = d(x, G(xi)). Vì ∩n
i=1F(xi) = ∅ nên ∩n
i=1G(xi) = ∅. Do đó với mỗi x ∈ ∆, tồn tại i sao cho x 6∈ G(xi). Vì G(xi) đóng nên αi(x) > 0. Ta đặt µi(x) = Pnαi(x) j=1αj(x), x ∈ ∆. Khi đó các hàm µi liên tục và 0 ≤ µi(x) ≤ 1,Pn j=1µj(x) = 1 với mọi x ∈ ∆. Xét ánh xạ T : ∆ → ∆ xác định bởi T x = n X j=1 µi(x)xi.
Rõ ràngT liên tục trên∆là tập con lồi và compact của không gian con hữu hạn chiều L. Sử dụng Định lý điểm bất động Brouwer, tồn tạix¯ ∈ ∆sao cho T(¯x) = ¯x. Đặt I(¯x) := {i ∈ {1,2, ..., n} : µi(¯x) > 0}. Vì P i∈I(¯x) µi(¯x) = 1 nên I(¯x) 6= ∅. Mặt khác ta lại có ¯ x = T(¯x) = n X i=1 µi(¯x)xi = X i∈I(¯x) µi(¯x)xi. Từ đó suy ra ¯ x ∈ conv{xi : i ∈ I(¯x)} ⊆ ∪i∈I(¯x)F(xi).
Vì µi(¯x) > 0 với mọi i ∈ I(¯x), nên ta có x¯ 6∈ G(xi). Vì x¯ ∈ L nên ¯
x 6∈ F(xi) với mọi i ∈ I(¯x). Chứng tỏ x¯ 6∈ ∪i∈I(¯x)F(xi). Điều này mâu thuẫn với x¯ ∈ ∪i∈I(¯x)F(xi). Vậy định lý được chứng minh.
Nhận xét. Trong Định lý 1.5.3 nếu tồn tại x0 ∈ D sao cho F(x0) là tập compact trong X thì
\
x∈D
Chương 2
Bài toán tựa cân bằng véctơ đối với tổng của hai ánh xạ đa trị
Trong chương này chúng tôi trình bày điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ mà ánh xạ mục tiêu là tổng của hai ánh xạ đa trị. Các kết quả chính của chương này được chúng tôi trình bày dựa trên bài báo [15].
2.1 Định lý điểm cực đại của ánh xạ đa trị
Định lý 2.1.1. (Phân hoạch đơn vị, xem [3]) Giả sử {Vα}α∈I là phủ mở của tập con không rỗng compact K của không gian véctơ tôpô Hausdorff X. Khi đó tồn tại các hàm liên tục pi : K → R (i = 1,2, ..., n) thỏa mãn các điều kiện
(i) 0≤ pi(x) ≤1 với mọi x ∈ K và i = 1,2, ..., n. (ii) Pn
i=1pi(x) = 1 với mọi x ∈ K.
(iii) supp(pi) := cl{x ∈ K : pi(x) 6= 0} ⊆ Vyi với i = 1,2, ..., n.
Bổ đề 2.1.2. Giả sử K là tập con không rỗng, lồi, compact của không gian véctơ tôpô Hausdorff X và F : K → 2K là ánh xạ đa trị với giá trị không
rỗng, lồi thỏa mãn điều kiện với mỗi x ∈ K, F−1(x) là mở trong K. Khi đó tồn tại x¯∈ K sao cho x¯ ∈ F(¯x)
Chứng minh. Từ mỗi x ∈ K, F−1(x) là mở trong K nên họ {F−1(x)}x∈K
là phủ mở của K. Vì K compact nên tồn tại x1, x2, ..., xn ∈ K sao cho K = ∪ni=1F−1(xi).
Theo Định lý về phân hoạch đơn vị, tồn tại các hàm liên tục pi : K → R
(i = 1,2, ..., n) thỏa mãn các điều kiện
(i) 0 ≤pi(x) ≤ 1 với mọi x ∈ K và i = 1,2, ..., n. (ii) Pni=1pi(x) = 1 với mọi x ∈ K.
(iii) supp(pi) := cl{x ∈ K :pi(x) 6= 0} ⊆ F−1(xi) với i = 1,2, ..., n. Xét ánh xạ ϕ : conv{x1, x2, ..., xn} → conv{x1, x2, ..., xn} bởi công thức
ϕ(x) =
n
X
i=1
pi(x)xi.
Rõ ràng ϕ liên tục và conv{x1, x2, ..., xn} là tập lồi và compact của không gian con hữu hạn chiều span{x1, x2, ..., xn}. Do đó, sử dụng Định lý điểm bất động Brouwer, tồn tại x¯∈ conv{x1, x2, ..., xn} sao cho ϕ(¯x) = ¯x. Đặt I(¯x) := {i ∈ {1,2, ..., n} : pi(¯x) > 0}. Vì P i∈I(¯x) pi(¯x) = 1 nên I(¯x) 6= ∅. Mặt khác ta lại có ϕ(¯x) = n X i=1 pi(¯x)xi = X i∈I(¯x) pi(¯x)xi = ¯x.
Từ đó suy ra x¯ ∈ conv{xi : i ∈ I(¯x)}. Vì pi(¯x) > 0 với mọi i ∈ I(¯x), nên ta có
¯
x ∈ ∩i∈I(¯x)F−1(xi).
Từ đó suy ra xi ∈ F(¯x) với mọi i ∈ I(¯x). Điều này và bởi F(¯x) lồi nên ¯
Định nghĩa 2.1.3. Giả sử K là tập con không rỗng của không gian tôpô và ánh xạ đa trị F : K →2K. Ta nói rằng điểm x¯ ∈ K là điểm cực đại của F nếu F(¯x) = ∅.
Định lý 2.1.4. Giả sử K là tập con không rỗng, lồi, compact của không gian véctơ tôpô Hausdorff X và F :K →2K là ánh xạ đa trị với giá trị lồi thỏa mãn điều kiện x 6∈ F(x) và F−1(x) mở trong K với mọi x ∈ K. Khi đó tồn tại x¯∈ K sao cho F(¯x) =∅.
Chứng minh. Ta chứng minh định lý bằng phản chứng. Thật vậy, giả sử F(x) 6= ∅ với mọi x ∈ K. Khi đó tất cả các giả thiết của Bổ đề 2.1.2 được thỏa mãn. Áp dụng Bổ đề 2.1.2, tồn tại x¯ ∈ K sao cho x¯ ∈ F(¯x). Điều này mâu thuẫn với giả thiết x 6∈ F(x) với mọi x ∈ K. Định lý được chứng minh.
Bổ đề 2.1.5. Giả sử K là tập con không rỗng của không gian véctơ tôpô
X và F : K → 2K là ánh xạ đa trị thỏa mãn điều kiện F−1(x) mở trong
K với mọi x ∈ K. Khi đó (convF)−1(x) mở trong K với mọi x ∈ K. Chứng minh. Nếu (convF)−1(x) = ∅ thì khẳng định của định lý đúng. Xét trường hợp (convF)−1(x) 6= ∅. Lấy x0 ∈ (convF)−1(x) tùy ý. Khi đó x ∈ convF(x0). Từ đó suy ra tồn tại y1, y2, ..., yn ∈ F(x0) sao cho
x = Pn
i=1λiyi, ở đây λi ≥ 0 với mọi i = 1,2, ..., n và Pn
i=1λi = 1. Vì x0 ∈ F−1(yi) và F−1(yi) mở nên tồn tại lân cận Ui của x0 sao cho Ui ⊆ F−1(yi) với mọi i = 1,2, ..., n. Đặt U = ∩n
i=1Ui. Khi đó U là lân cận của x0 thỏa mãn U ⊆ (convF)−1(x). Vậy (convF)−1(x) mở.
Định lý 2.1.6. Giả sử K là tập con không rỗng, lồi, compact của không gian véctơ tôpô Hausdorff X và F : K → 2K là ánh xạ đa trị thỏa mãn điều kiện x 6∈ convF(x) và F−1(x) mở trong K với mọi x ∈ K. Khi đó tồn tại x¯∈ K sao cho F(¯x) = ∅.
Chứng minh. Sử dụng Định lý 2.1.4 đối với ánh xạ bao lồi convF, tồn tại ¯
2.2 Ánh xạ tựa đơn điệu suy rộng
Định nghĩa 2.2.1. Giả sử X, Y là các không gian véctơ, K là tập con không rỗng lồi của X và C là nón lồi không tầm thường trong Y. Ánh xạ đa trị F : K ×K →2Y được gọi là C- đơn điệu nếu
F(x, y) +F(y, x) ⊆ −C với mọi x, y ∈ K.
Định nghĩa 2.2.2. Giả sửX là các không gian véctơ,Y là không gian véctơ tôpô, K là tập con không rỗng lồi của X và C là nón lồi không tầm thường trong Y với intC 6= ∅. Ánh xạ đa trị F : K ×K → 2Y với giá trị không rỗng được gọi là C- tựa đơn điệu suy rộng nếu với mọi x1, x2, ..., xn ∈ K và λ1, λ2, ..., λn ≥ 0 với n P i=1 λi = 1, ta luôn có n X i=1 λiF(xi, n X j=1 λjxj)∩intC = ∅.
Bổ đề 2.2.3. Giả sử K là tập con không rỗng lồi của X vàF : K×K → 2Y
là ánh xạ đa trị với giá trị không rỗng thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) F(x, x) ⊆ C với mọi x ∈ K;
(2) F là C- đơn điệu và C- lồi trên đối với biến thứ hai. Khi đó F là C- tựa đơn điệu suy rộng.
Chứng minh. Giả sử x1, x2, ..., xn ∈ K và λ1, λ2, ..., λn ≥ 0 với
n P i=1 λi = 1. Ta đặt z := n P j=1
λjxj. Bởi F là C- đơn điệu nên
n X i=1 λiF(xi, z) ⊆ −C − n X i=1 λiF(z, xi).
Vì F là C- lồi trên đối với biến thứ hai,
n
X
i=1
Từ đó suy ra n X i=1 λiF(xi, z) ⊆ −C. Từ intC ∩ (−C) = ∅ ta khẳng định n X i=1 λiF(xi, z)∩intC = ∅. Vậy F là C- tựa đơn điệu suy rộng.
Bổ đề 2.2.4. Giả sử K là tập con không rỗng lồi của X vàF : K×K → 2Y
là ánh xạ đa trị với giá trị không rỗng thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) F là C- đơn điệu;
(2) F là C- lồi dưới đối với biến thứ hai. Khi đó F là C- tựa đơn điệu suy rộng.
Chứng minh. Giả sử x1, x2, ..., xn ∈ K và λ1, λ2, ..., λn ≥ 0 với
n P i=1 λi = 1. Ta đặt z := n P j=1
λjxj. Bởi F là C- lồi dưới đối với biến thứ hai nên
n X i=1 λiF(xi, z) ⊆ n X i,j=1 λiλjF(xi, xj)−C = 1 2 n X i,j=1 λiλj[F(xi, xj) + F(xj, xi)]−C. Vì F là C- đơn điệu, F(xi, xj) +F(xj, xi) ⊆ −C với mọi i, j ∈ {1,2, ..., n}. Từ đó suy ra n X i=1 λiF(xi, z) ⊆ −C. Từ intC ∩ (−C) = ∅ ta khẳng định n X i=1 λiF(xi, z)∩intC = ∅. Vậy F là C- tựa đơn điệu suy rộng.
Nhận xét. Ví dụ sau chỉ ra một ánh xạ đa trị là C- lồi trên và C- tựa đơn điệu suy rộng nhưng không là C-đơn điệu.
Ví dụ 2.2.5. Xét X = R, K = [0,1], Y = R2, C = R2+ và ánh xạ đa trị F : K ×K →2R2 xác định bởi
F(x, y) = [(0,0); (|x−y|,0)] với mọi x, y ∈ K,
ở đây [(0,0); (|x− y|,0)] là đoạn nối hai điểm (0,0) và (|x −y|,0) trong
R2. Bằng tính toán, ta thấy F là C- lồi trên đối với biến thứ hai và C- tựa đơn điệu suy rộng. Tuy nhiên F không C- đơn điệu bởi vì
F(1,0) +F(0,1) = [(0,0); (2,0)] 6⊆ −C.
2.3 Bài toán tựa cân bằng véctơ
Giả sử X, Y là các không gian tôpô tuyến tính Hausdorff thực và C là nón lồi không tầm thường với intC 6= ∅. Gọi K là tập con không rỗng lồi của X và các ánh xạ đa trị A : K → 2K;G, H : K×K → 2Y với giá trị không rỗng, ta xét bài toán tựa cân bằng sau đây:
Tìm x¯ ∈ A(¯x) sao cho
G(¯x, y) +H(¯x, y) ⊆ Y\(−intC) với mọi y ∈ A(¯x).
Trong phần này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán này. Trước tiên ta định nghĩa lớp ánh xạ đa trị Browder- Fan.
Định nghĩa 2.3.1. Giả sử X là không gian tôpô và Y là không gian véctơ tôpô. Ánh xạ đa trị T : X → 2Y được gọi là ánh xạ Browder- Fan nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) T có giá trị không rỗng và lồi;
Bổ đề 2.3.2. Giả sử D là tập con không rỗng lồi compact của không gian véctơ tôpô Hausdorff X; G, H : D ×D → 2Y là các ánh xạ đa trị với giá trị không rỗng và A : D → 2D là ánh xạ Browder- Fan thỏa mãn các điều kiện dưới đây
(i) Tập F ix(A) := {x ∈ D : x ∈ A(x)} đóng trong D;
(ii) H(x, x) ⊆ C với mọi x ∈ D;
(iii) G là C- tựa đơn điệu suy rộng;
(iv) G là C- liên tục dưới đối với biến thứ hai;
(v) H là (−C)- liên tục dưới đối với biến thứ nhất và là C- lồi trên đối với biến thứ hai.
Khi đó tồn tại x¯∈ D sao cho x¯ ∈ F ix(A) và
G(y,x¯)−H(¯x, y) ⊆ Y\intC với mọi y ∈ A(¯x).
Chứng minh. Theo Định lý điểm bất động Browder- Fan, ta cóF ix(A) 6= ∅. Với mỗi x∈ D, ta đặt
P(x) = {y ∈ D : G(y, x)−H(x, y) 6⊆Y\intC}. Ta định nghĩa ánh xạ đa trị S :D →2D bởi công thức
S(x) =
convP(x)∩A(x), nếu x ∈ F ix(A), A(x), trong trường hợp còn lại,
ở đây ánh xạ đa trịconvP :D →2D xác định bởiconvP(x) = conv(P(x)). Dễ thấy S(x) lồi với mọi x ∈ D và
S−1(y) = [(convP)−1(y)∩A−1(y)]∪[A−1(y)∩ D\F ix(A)].
Từ giả thiết ta có A−1(y) và D\F ix(A) là mở trong D, với mọi y ∈ D. Trước tiên, ta chứng minh với mỗi y ∈ D, tập
P−1(y) = {x ∈ D : G(y, x)−H(x, y) 6⊆ Y\intC},
là mở trong D. Thật vậy, với mỗi y ∈ D, lấy x0 ∈ P−1(y) tùy ý. Từ đó suy ra
Từ intC là mở và ánh xạ G(y, x) −H(x, y) là C- liên tục dưới theo biến x, nên tồn tại lân cận U của x0 sao cho
[G(y, x)−H(x, y)]∩(C + intC) 6= ∅ với mọi x ∈ U.
Điều này kéo theo
[G(y, x)−H(x, y)]∩ intC 6= ∅ với mọi x ∈ U.
Quan hệ này chứng tỏ rằng U ⊆ P−1(y). Vậy P−1(y) mở trong D với mọi y ∈ D. Theo Bổ đề 2.1.5, ta có(convP)−1(y)là mở trongD với mọiy ∈ D. Từ đó suy ra S−1(y) mở trong D với mọi y ∈ D. Ta chứng minh x 6∈ S(x) với mọi x ∈ D. Thật vậy, giả sử ngược lại, tồn tại z ∈ D sao cho z ∈ S(z). Nếu z ∈ D\F ix(A) thì z ∈ A(z). Điều này mẫu thuẫn. Vậy z ∈ F ix(A) và z ∈ S(z) = convP(z)∩ A(z). Từ đó suy ra tồn tại {y1, y2, ..., yn} ⊆ P(z) sao cho z = Pn
i=1λiyi, λi ≥ 0,Pn
i=1λi = 1. Bởi định nghĩa của P, G(yi, z)−H(z, yi) 6⊆ Y\intC với mọi i = 1,2, ..., n.
Từ đó suy ra tồn tại ai ∈ G(yi, z), bi ∈ H(z, yi) sao cho ai −bi ∈ intC. Điều này kéo theo
n
X
i=1
λi(ai −bi) ∈ intC. (2.1)
Vì G là C- tựa đơn điệu suy rộng nên
n
X
i=1
λiG(yi, z)∩ −intC = ∅. (2.2) Từ H là C- lồi trên đối với biến thứ hai,
n
X
i=1
λiH(z, yi) ⊆ H(z, z) +C ⊆ C +C = C.
Điều này kéo theo
−
n
X
i=1
Kết hợp (2.2) và (2.3), ta thu được
n
X
i=1
λi(ai −bi) 6∈ intC. (2.4)
Điều này mâu thuẫn với (2.1). Sử dụng Định lý 2.1.4, tồn tại x¯ ∈ D sao cho S(¯x) = ∅. Nếu x¯ ∈ D\F ix(A) thì S(¯x) = A(¯x) = ∅. Điều này mâu thuẫn với ánh xạ A có giá trị không rỗng. Vậy convP(¯x) ∩A(¯x) = ∅. Từ đó suy ra x¯ ∈ F ix(A) và
G(y,x¯)−H(¯x, y) ⊆Y\intC với mọi y ∈ A(¯x).
Bổ đề được chứng minh.
Nhận xét. Bổ đề 2.3.2 không còn đúng nếu bỏ đi giả thiết F ix(A) đóng. Ví dụ sau minh họa điều đó.
Ví dụ 2.3.3. Xét X = R, D = [0,1], Y = R2, C = R2+. (1) Xét ánh xạ G: D ×D → 2R2 xác định bởi
G(x, y) ={(|x−y|,0)} với mọi x, y ∈ D.
Bằng tính toán, ta thấy G là C- lồi trên đối với biến thứ hai và C- tựa đơn điệu suy rộng. Tuy nhiên G không C- đơn điệu bởi vì
F(1,0) +F(0,1) = [(0,0); (2,0)] 6⊆ −C. (2) Xét ánh xạ H : D ×D →2R2 xác định bởi H(x, y) = {(0,|x−y|)} với mọi x, y ∈ D. (3) Xét ánh xạ A : D →2D xác định bởi A(x) = {0}, nếu x = 1, [0,1], nếu x ∈ (0,1), {1}, nếu x = 0.
Khi đó Anhận giá trị không rỗng, lồi vàA−1(x) mở trong D với mọix ∈ D. Từ đó suy ra A là ánh xạ Browder- Fan và F ix(A) = (0,1) không đóng
trong D. Hơn nữa tất cả các giả thiết (ii), (iii) và (iv) được thỏa mãn. Tuy nhiên không tồn tại x¯ ∈ D thỏa mãn kết luận của Bổ đề 2.3.2. Thật vậy, giả sử tồn tại x¯ ∈ F ix(A) sao cho
G(y,x¯)−H(¯x, y) ⊆ Y\intC. Điều này tương đương với
(|x¯−y|, y−x¯) 6∈ (0,+∞)×(0,+∞) với mọi y ∈ A(¯x) = [0,1].
Điều này không thể xảy ra.
Hệ quả 2.3.4. Giả sử D là tập con không rỗng lồi compact của không gian véctơ tôpô Hausdorff X, C là nón lồi đóng nhọn trong Y với intC 6= ∅ và
G, H : D ×D → 2Y là các ánh xạ đa trị với giá trị không rỗng thỏa mãn các điều kiện dưới đây
(i) 0∈ G(x, x) ⊆ C và 0∈ H(x, x) ⊆ C với mọi x ∈ D;
(ii) G là C- đơn điệu;
(iii) G là C- liên tục dưới và C- lồi trên đối với biến thứ hai;
(iv) H là (−C)- liên tục dưới đối với biến thứ nhất và là C- lồi trên đối với biến thứ hai.
Khi đó tồn tại x¯∈ D sao cho
G(y,x¯)−H(¯x, y) ⊆ Y\intC với mọi y ∈ D.
Chứng minh. Từ các giả thiết (i), (ii), (iii) và Bổ đề 2.2.3 ta suy ra G là