2 Bài toán tựa cân bằng véctơ đối với tổng của
2.3 Bài toán tựa cân bằng véctơ
Giả sử X, Y là các không gian tôpô tuyến tính Hausdorff thực và C là nón lồi không tầm thường với intC 6= ∅. Gọi K là tập con không rỗng lồi của X và các ánh xạ đa trị A : K → 2K;G, H : K×K → 2Y với giá trị không rỗng, ta xét bài toán tựa cân bằng sau đây:
Tìm x¯ ∈ A(¯x) sao cho
G(¯x, y) +H(¯x, y) ⊆ Y\(−intC) với mọi y ∈ A(¯x).
Trong phần này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán này. Trước tiên ta định nghĩa lớp ánh xạ đa trị Browder- Fan.
Định nghĩa 2.3.1. Giả sử X là không gian tôpô và Y là không gian véctơ tôpô. Ánh xạ đa trị T : X → 2Y được gọi là ánh xạ Browder- Fan nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) T có giá trị không rỗng và lồi;
Bổ đề 2.3.2. Giả sử D là tập con không rỗng lồi compact của không gian véctơ tôpô Hausdorff X; G, H : D ×D → 2Y là các ánh xạ đa trị với giá trị không rỗng và A : D → 2D là ánh xạ Browder- Fan thỏa mãn các điều kiện dưới đây
(i) Tập F ix(A) := {x ∈ D : x ∈ A(x)} đóng trong D;
(ii) H(x, x) ⊆ C với mọi x ∈ D;
(iii) G là C- tựa đơn điệu suy rộng;
(iv) G là C- liên tục dưới đối với biến thứ hai;
(v) H là (−C)- liên tục dưới đối với biến thứ nhất và là C- lồi trên đối với biến thứ hai.
Khi đó tồn tại x¯∈ D sao cho x¯ ∈ F ix(A) và
G(y,x¯)−H(¯x, y) ⊆ Y\intC với mọi y ∈ A(¯x).
Chứng minh. Theo Định lý điểm bất động Browder- Fan, ta cóF ix(A) 6= ∅. Với mỗi x∈ D, ta đặt
P(x) = {y ∈ D : G(y, x)−H(x, y) 6⊆Y\intC}. Ta định nghĩa ánh xạ đa trị S :D →2D bởi công thức
S(x) =
convP(x)∩A(x), nếu x ∈ F ix(A), A(x), trong trường hợp còn lại,
ở đây ánh xạ đa trịconvP :D →2D xác định bởiconvP(x) = conv(P(x)). Dễ thấy S(x) lồi với mọi x ∈ D và
S−1(y) = [(convP)−1(y)∩A−1(y)]∪[A−1(y)∩ D\F ix(A)].
Từ giả thiết ta có A−1(y) và D\F ix(A) là mở trong D, với mọi y ∈ D. Trước tiên, ta chứng minh với mỗi y ∈ D, tập
P−1(y) = {x ∈ D : G(y, x)−H(x, y) 6⊆ Y\intC},
là mở trong D. Thật vậy, với mỗi y ∈ D, lấy x0 ∈ P−1(y) tùy ý. Từ đó suy ra
Từ intC là mở và ánh xạ G(y, x) −H(x, y) là C- liên tục dưới theo biến x, nên tồn tại lân cận U của x0 sao cho
[G(y, x)−H(x, y)]∩(C + intC) 6= ∅ với mọi x ∈ U.
Điều này kéo theo
[G(y, x)−H(x, y)]∩ intC 6= ∅ với mọi x ∈ U.
Quan hệ này chứng tỏ rằng U ⊆ P−1(y). Vậy P−1(y) mở trong D với mọi y ∈ D. Theo Bổ đề 2.1.5, ta có(convP)−1(y)là mở trongD với mọiy ∈ D. Từ đó suy ra S−1(y) mở trong D với mọi y ∈ D. Ta chứng minh x 6∈ S(x) với mọi x ∈ D. Thật vậy, giả sử ngược lại, tồn tại z ∈ D sao cho z ∈ S(z). Nếu z ∈ D\F ix(A) thì z ∈ A(z). Điều này mẫu thuẫn. Vậy z ∈ F ix(A) và z ∈ S(z) = convP(z)∩ A(z). Từ đó suy ra tồn tại {y1, y2, ..., yn} ⊆ P(z) sao cho z = Pn
i=1λiyi, λi ≥ 0,Pn
i=1λi = 1. Bởi định nghĩa của P, G(yi, z)−H(z, yi) 6⊆ Y\intC với mọi i = 1,2, ..., n.
Từ đó suy ra tồn tại ai ∈ G(yi, z), bi ∈ H(z, yi) sao cho ai −bi ∈ intC. Điều này kéo theo
n
X
i=1
λi(ai −bi) ∈ intC. (2.1)
Vì G là C- tựa đơn điệu suy rộng nên
n
X
i=1
λiG(yi, z)∩ −intC = ∅. (2.2) Từ H là C- lồi trên đối với biến thứ hai,
n
X
i=1
λiH(z, yi) ⊆ H(z, z) +C ⊆ C +C = C.
Điều này kéo theo
−
n
X
i=1
Kết hợp (2.2) và (2.3), ta thu được
n
X
i=1
λi(ai −bi) 6∈ intC. (2.4)
Điều này mâu thuẫn với (2.1). Sử dụng Định lý 2.1.4, tồn tại x¯ ∈ D sao cho S(¯x) = ∅. Nếu x¯ ∈ D\F ix(A) thì S(¯x) = A(¯x) = ∅. Điều này mâu thuẫn với ánh xạ A có giá trị không rỗng. Vậy convP(¯x) ∩A(¯x) = ∅. Từ đó suy ra x¯ ∈ F ix(A) và
G(y,x¯)−H(¯x, y) ⊆Y\intC với mọi y ∈ A(¯x).
Bổ đề được chứng minh.
Nhận xét. Bổ đề 2.3.2 không còn đúng nếu bỏ đi giả thiết F ix(A) đóng. Ví dụ sau minh họa điều đó.
Ví dụ 2.3.3. Xét X = R, D = [0,1], Y = R2, C = R2+. (1) Xét ánh xạ G: D ×D → 2R2 xác định bởi
G(x, y) ={(|x−y|,0)} với mọi x, y ∈ D.
Bằng tính toán, ta thấy G là C- lồi trên đối với biến thứ hai và C- tựa đơn điệu suy rộng. Tuy nhiên G không C- đơn điệu bởi vì
F(1,0) +F(0,1) = [(0,0); (2,0)] 6⊆ −C. (2) Xét ánh xạ H : D ×D →2R2 xác định bởi H(x, y) = {(0,|x−y|)} với mọi x, y ∈ D. (3) Xét ánh xạ A : D →2D xác định bởi A(x) = {0}, nếu x = 1, [0,1], nếu x ∈ (0,1), {1}, nếu x = 0.
Khi đó Anhận giá trị không rỗng, lồi vàA−1(x) mở trong D với mọix ∈ D. Từ đó suy ra A là ánh xạ Browder- Fan và F ix(A) = (0,1) không đóng
trong D. Hơn nữa tất cả các giả thiết (ii), (iii) và (iv) được thỏa mãn. Tuy nhiên không tồn tại x¯ ∈ D thỏa mãn kết luận của Bổ đề 2.3.2. Thật vậy, giả sử tồn tại x¯ ∈ F ix(A) sao cho
G(y,x¯)−H(¯x, y) ⊆ Y\intC. Điều này tương đương với
(|x¯−y|, y−x¯) 6∈ (0,+∞)×(0,+∞) với mọi y ∈ A(¯x) = [0,1].
Điều này không thể xảy ra.
Hệ quả 2.3.4. Giả sử D là tập con không rỗng lồi compact của không gian véctơ tôpô Hausdorff X, C là nón lồi đóng nhọn trong Y với intC 6= ∅ và
G, H : D ×D → 2Y là các ánh xạ đa trị với giá trị không rỗng thỏa mãn các điều kiện dưới đây
(i) 0∈ G(x, x) ⊆ C và 0∈ H(x, x) ⊆ C với mọi x ∈ D;
(ii) G là C- đơn điệu;
(iii) G là C- liên tục dưới và C- lồi trên đối với biến thứ hai;
(iv) H là (−C)- liên tục dưới đối với biến thứ nhất và là C- lồi trên đối với biến thứ hai.
Khi đó tồn tại x¯∈ D sao cho
G(y,x¯)−H(¯x, y) ⊆ Y\intC với mọi y ∈ D.
Chứng minh. Từ các giả thiết (i), (ii), (iii) và Bổ đề 2.2.3 ta suy ra G là C- tựa đơn điệu suy rộng. Khi đó tất cả các giả thiết của Bổ đề 2.3.2 được thỏa mãn với G, H và S(x) = D với mọi x ∈ D. Áp dụng Bổ đề 2.3.2, tồn tại x¯ ∈ D sao cho
Bổ đề 2.3.5. Giả sử D là tập con không rỗng lồi đóng của không gian véctơ tôpô Hausdorff X; G, H : D ×D → 2Y là các ánh xạ đa trị với giá trị không rỗng và A :D →2D là ánh xạ với giá trị không rỗng lồi thỏa mãn các điều kiện dưới đây
(i) G(x, x) ⊆ C và 0∈ H(x, x) với mọi x ∈ D;
(ii)Với mỗi x, y ∈ D, ánh xạ g : [0,1] →2Y xác định bởi
g(t) := G(ty+ (1−t)x, y)
là (−C)- liên tục dưới tại t = 0;
(iii) G, H là các ánh xạ C- lồi trên đối với biến thứ hai. Khi đó nếu tồn tại x¯∈ D sao cho
¯
x ∈ A(¯x) và G(y,x¯)−H(¯x, y) ⊆ Y\intC với mọi y ∈ A(¯x)
thì
¯
x ∈ A(¯x) và G(¯x, y) + H(¯x, y) ⊆Y\(−intC) với mọi y ∈ A(¯x).
Chứng minh. Giả sử tồn tại x¯ ∈ D sao cho
¯
x ∈ A(¯x) và G(y,x¯)−H(¯x, y) ⊆Y\intC với mọi y ∈ A(¯x).
Ta đặt xt := ty + (1−t)¯x, t ∈ [0,1]. Dễ thấy xt ∈ A(¯x) và do vậy ta có ¯
x ∈ A(¯x) và G(xt,x¯)−H(¯x, xt) ⊆ Y\intC. (2.5) Từ giả thiết (i) và (iii) ta suy ra
tG(xt, y) + (1−t)G(xt,x¯) ⊆G(xt, xt) +C ⊆C +C = C. (2.6)
tH(¯x, y) ⊆ tH(¯x, y) + (1−t)H(¯x,x¯) ⊆ H(¯x, xt) +C. (2.7) Kết hợp (2.6) và (2.7) ta được
Ta chứng minh
G(xt, y) + (1−t)H(¯x, y) ⊆ Y\(−intC) với mọi t ∈ (0,1]. (2.9) Giả sử ngược lại, tồn tại t ∈ (0,1] và a ∈ G(xt, y), b ∈ H(¯x, y) sao cho
a+ (1−t)b ∈ −intC. (2.10)
Bởi (2.8), tồn tại z ∈ G(xt,x¯), w ∈ H(¯x, xt) và ¯c ∈ C sao cho t[a+ (1−t)b] = −(1−t)(z −w) + ¯c. Từ (2.10), ta suy ra
(1−t)(z −w) = −t[a+ (1−t)b] + ¯c ∈ intC + ¯c ⊆ intC.
Từ đó suy ra z−w ∈ intC. Điều này mâu thuẫn với (2.5). Vậy (2.9) được chứng minh.
Xét hàm h(t) = G(xt, y) + (1 − t)H(¯x, y), t ∈ [0,1]. Giả sử h(0) 6⊆
Y\(−intC). Khi đó tồn tại v ∈ h(0) sao chov ∈ −intC. Từ giả thiết (ii), h là −C- nửa liên tục dưới tại t = 0 và do đó tồn tại δ ∈ (0,1) sao cho h(t) ∩ (−intC −C) = h(t) ∩ (−intC) 6= ∅ với mọi t ∈ [0, δ]. Điều này mâu thuẫn với (2.9). Vậy h(0) ⊆ Y\(−intC). Từ đó suy ra
G(¯x, y) +H(¯x, y) ⊆ Y\(−intC) với mọi y ∈ A(¯x).
Bổ đề được chứng minh.
Định nghĩa 2.3.6. Giả sử K và D là các tập con không rỗng lồi trong X với D ⊆ K. Lõi của D theo K, kí hiệu là coreK D, xác định bởi
coreKD := {a ∈ D : D ∩(a, y] 6= ∅ với mọi y ∈ K\D}, ở đây (a, y] = {x ∈ X : x = αa+ (1−α)y, α ∈ [0,1)}.
Định lý sau là điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ mà ánh xạ mục tiêu là tổng của hai ánh xạ đa trị.
Định lý 2.3.7. Giả sử K là tập con không rỗng lồi đóng của không gian véctơ tôpô Hausdorff X và D là tập con không rỗng lồi compact của K;
G, H : K ×K → 2Y là các ánh xạ đa trị với giá trị không rỗng và ánh xạ đa trị A : D → 2K là Browder- Fan thỏa mãn B(x) := A(x) ∩D 6= ∅ với mọi x ∈ D và F ix(A) := {x ∈ D : x ∈ A(x)} đóng trong D. Hơn nữa, giả sử các điều kiện dưới đây xảy ra
(i) G(x, x) ⊆ C, G(x, x) ∩ (−C) 6= ∅ và 0 ∈ H(x, x) ⊆ C với mọi
x ∈ K;
(ii) G là C- tựa đơn điệu suy rộng;
(iii)Với mỗi x, y ∈ K, ánh xạ g : [0,1] →2Y xác định bởi
g(t) := G(ty+ (1−t)x, y)
là (−C)- liên tục dưới tại t = 0;
(iv) G là C- lồi trên và C- liên tục dưới đối với biến thứ hai;
(v) H là (−C)- liên tục dưới đối với biến thứ nhất và là C- lồi trên đối với biến thứ hai;
(vi) Với mọi x ∈ B(x)\coreA(x)B(x), tồn tại a ∈ coreA(x)B(x) sao cho
G(x, a) +H(x, a) 6⊆ Y\(−C).
Khi đó tồn tại x¯∈ B(¯x) sao cho
G(¯x, y) +H(¯x, y) ⊆ Y\(−intC) với mọi y ∈ A(¯x).
Chứng minh. Ánh xạ đa trị B : D → 2D thỏa mãn B−1(y) = A−1(y) với mọi y ∈ D và F ix(B) = F ix(A). Từ đó suy ra B là ánh xạ Browder- Fan và do đó tập F ix(B) không rỗng và đóng trong D. Theo Bổ đề 2.3.2, tồn tại x¯ ∈ B(¯x) sao cho
G(y,x¯)−H(¯x, y) ⊆ Y\intC với mọi y ∈ B(¯x).
Sử dụng Bổ đề 2.3.5, ta có
¯
Mặt khác, ta định nghĩa ánh xạ đa trị φ :K →2Y bởi φ(y) = G(¯x, y) +H(¯x, y), y ∈ K. Khi đó ta có
φ(y) ⊆Y\(−intC) với mọi y ∈ B(¯x). (2.11)
Từ giả thiết (iv) và (v) ta suy ra φ là C- lồi trên. Nếu x¯ ∈ coreA(¯x)B(¯x), ta chọn x0 = ¯x và nếu x¯ ∈ B(¯x) thì ta chọn x0 = a, ở đây a được xác định từ giả thiết (vi). Khi đó luôn tồn tại x0 ∈ coreA(¯x)B(¯x) sao cho φ(x0) 6⊆ Y\(−C). Bây giờ ta chỉ ra
φ(y) ⊆ Y\(−intC) với mọi y ∈ A(¯x).
Thật vậy, giả sử tồn tại y¯∈ A(¯x)\B(¯x) sao cho
φ(¯y) 6⊆ Y\(−intC).
Từ đó suy ra tồn tại w ∈ φ(¯y) sao cho w ∈ −intC. Vì φ(x0) 6⊆ Y\(−C) nên tồn tại u ∈ φ(x0) sao cho u ∈ −C. Với z = tu+ (1 −t)w, t ∈ [0,1), bởi tính C- lồi trên của φ nên ta có
tu+ (1−t)w ∈ tφ(x0) + (1−t)φ(¯y) ⊆ φ(z) +C.
Điều này kéo theo tồn tại v ∈ φ(z) và c ∈ C sao cho
tu+ (1−t)w = v +c.
Từ đây suy ra
v = −c+tu+ (1−t)w ∈ −c−C −intC ⊆ −intC.
Vậy
Từ x0 ∈ coreA(¯x)B(¯x) nên tồn tại z¯∈ (x0,y¯]∩B(¯x). Từ (2.12), ta suy ra φ(¯z) 6⊆Y\(−intC).
Điều này mâu thuẫn với (2.11). Vậy
φ(y) ⊆ Y\(−intC) với mọi y ∈ A(¯x).
Từ đó kéo theo
G(¯x, y) +H(¯x, y) ⊆ Y\(−intC) với mọi y ∈ A(¯x).
Định lý được chứng minh.
Hệ quả 2.3.8. Giả sử K là tập con không rỗng lồi đóng của không gian véctơ tôpô Hausdorff X và G, H :K×K →2Y là các ánh xạ đa trị với giá trị không rỗng thỏa mãn các điều kiện dưới đây
(i) G(x, x) ⊆ C, G(x, x) ∩ (−C) 6= ∅ và 0 ∈ H(x, x) ⊆ C với mọi
x ∈ K;
(ii) G là C- tựa đơn điệu suy rộng;
(iii)Với mỗi x, y ∈ K, ánh xạ g : [0,1] →2Y xác định bởi
g(t) := G(ty+ (1−t)x, y)
là (−C)- liên tục dưới tại t = 0;
(iv) G là C- liên tục dưới và C- lồi trên đối với biến thứ hai;
(v) H là (−C)- liên tục dưới đối với biến thứ nhất và là C- lồi trên đối với biến thứ hai;
(vi) Tồn tại tập con D không rỗng lồi compact của K sao cho với mọi
x ∈ K\coreKD, tồn tại a ∈ coreKD sao cho
G(x, a) +H(x, a) 6⊆ Y\(−C).
Khi đó tồn tại x¯∈ D sao cho
Chứng minh. Hệ quả được suy ra từ Định lý 2.3.7 bằng cách chọnA(x) =K với mọi x ∈ D.
Hệ quả 2.3.9. Giả sử K là tập con không rỗng lồi đóng của không gian véctơ tôpô Hausdorff X, C là nón lồi đóng nhọn trong Y với intC 6= ∅ và
G, H : K ×K → 2Y là các ánh xạ đa trị với giá trị không rỗng thỏa mãn các điều kiện dưới đây
(i) 0∈ G(x, x) ⊆ C và 0∈ H(x, x) ⊆ C với mọi x ∈ K;
(ii) G là C- đơn điệu;
(iii)Với mỗi x, y ∈ K, ánh xạ g : [0,1] →2Y xác định bởi
g(t) := G(ty+ (1−t)x, y)
là (−C)- liên tục dưới tại t = 0;
(iv) G là C- liên tục dưới và C- lồi trên đối với biến thứ hai;
(v) H là (−C)- liên tục dưới đối với biến thứ nhất và là C- lồi trên đối với biến thứ hai;
(vi) Tồn tại tập con D không rỗng lồi compact của K sao cho với mọi
x ∈ K\coreKD, tồn tại a ∈ coreKD sao cho
G(x, a) +H(x, a) 6⊆ Y\(−C).
Khi đó tồn tại x¯∈ D sao cho
G(¯x, y) +H(¯x, y) ⊆ Y\(−intC) với mọi y ∈ K.
Chứng minh. Từ giả thiết (i), (ii), (iv) và Bổ đề 2.2.3, ta suy ra G là C- tựa đơn điệu suy rộng. Sử dụng Định lý 2.3.7 với A(x) = K với mọi x∈ D ta suy ra hệ quả này.
Kết luận của luận văn
Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày một số nội dung chính sau đây:
1. Trình bày một số kiến thức về giải tích lồi, không gian lồi địa phương, giải tích đa trị và nguyên lý ánh xạ KKM.
2. Trình bày điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ với ánh xạ mục tiêu là tổng của hai ánh xạ đa trị.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2006), "Một số vấn đề trong lý thuyết tối ưu véctơ đa trị", Nhà xuất bản giáo dục.
[2] Nguyễn Đông Yên (2007), "Giải tích đa trị", Nhà xuất bản giáo dục.
Tiếng Anh
[3] J. P. Aubin, H. Frankowska (1990), "Set-valued analysis", Birkhauser.
[4] C. Begre (1997), "Topological spaces", Dover Publications, NY.
[5] M. Bianchi and S. Schaible (1996), "Generalized monotone befunctions and equilibrium problems", J. Optim. Theory Appl, 90, 31-42.
[6] E. Blum and W. Oettli (1993), "From Optimization and Variational Inequalities to Equilibrium Problems", The Mathematical Student, 64, 1-23.
[7] L. E. J. Brouwer (1912), " Uber abbildungenvon mannigfaltigheiten",
Math. Ann, 79 , 97-115.
[8] F. E. Browder (1984), " Coincidence Theorems, minimax Theorems and variational inequalities contemp", Math, 26 , 67-80.
[9] K. Fan (1961), "A Generalization of Tychonoff’s Fixed Point Theo- rem", Mathematische Annalen, 142, 305-310.
[10] K. Fan (1972), "A minimax inequality and application",In Inequalities III (O. Shisha (Ed)), Aca Press, New York.
[11] F. Ferro (1982), "Minimax Type Theorem for n-Valued Functions",
Annali di Mathematica Pura ed Applicata, 32, 113-130.
[12] A. M. Geoffrion (1968), " Proper efficiency and the theory of vector maximization", J. Math. Anal. Appl, 22, 618-630.
[13] N. Hadjisavvas and S. Schaible (1998), "From scalar to vector equi- librium problems in the quasimonotone case", J. Optim. Theory Appl, 96, 297-309.
[14] M. I. Henig (1982), " Existence and characterization of efficient deci- sions with respect to cones", Math. Programming, 23, 111-116.
[15] G. Kassay, M. Miholca and N. T. Vinh (2016), "Vector Quasi- Equilibrium Problems for the Sum of Two Multivalued Mappings",
J. Optim. Theory Appl, DOI 10.1007/s10957-016-0919-9.
[16] G. J. Minty (1978), " On variational inequalities for monotone opera- tors", I. Advances in Math, 30, 1-7.
[17] N. X. Tan and P. N. Tinh (1998), "On the existence of equilibrium points of vector functions", Numer. Funct. Anal. and Optim. , 19 , 141–156.