Tính ổn định và mặt phẳng pha của hệ otonom

1 Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn - TS Lê Hải Trung - có nhiều ý kiến đóng góp quý báu định hướng suốt trình làm thực đề tài Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm Đại học Đà Nẵng, gia đình bạn bè động viên tạo điều kiện để luận văn hoàn thành Mục lục Lời cảm ơn Lời nói đầu 0.1 Lý chọn đề tài 0.2 Mục đích nghiên cứu 0.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 0.4 Phương pháp nghiên cứu 0.5 Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài 0.6 Cấu trúc luận văn Tính ổn định mặt phẳng pha hệ otonom 1.1 1.2 Hệ otonom 9 1.1.1 Khái niệm chung 1.1.2 Ví dụ 11 Ảnh pha hệ otonom 12 1.2.1 Ảnh pha 12 1.2.2 Ví dụ 13 1.3 Tính chất điểm tới hạn 14 1.4 Sự ổn định 18 1.5 Sự ổn định tiệm cận 23 Ứng dụng phần mềm toán học Matlab vào giải số tập 29 2.1 Cách sử dụng phần mềm Matlab để vẽ ảnh pha hệ otonom 29 2.2 Ứng dụng phần mềm Matlab vẽ ảnh pha trường véc tơ để xét tính chất điểm tới hạn số hệ otonom 2.2.1 Tìm điểm tới hạn hệ otonom cho so sánh với ảnh pha hệ 2.2.2 30 30 Tìm nghiệm cân x(t) = x0 phương trình vi phân cấp cho x + f (x; x ) = Dùng máy tính vẽ ảnh pha trường véc tơ hệ phương trình vi phân tương đương x = y; y = f (x; y) Xét xem điểm (0;0) tâm, điểm yên ngựa hay điểm xoắn hệ? 2.2.3 34 Giải hệ tuyến tính tập sau xét xem điểm tới hạn (0;0) ổn định, ổn định tiệm cận hay không ổn định? Dùng máy tính vẽ ảnh pha trường véc tơ hệ cho xét tính ổn định hay không ổn định điểm tới hạn Bằng trực giác xác định điểm tới hạn điểm nút, điểm yên ngựa, tâm 2.2.4 điểm xoắn hay không? dx dy Cho hệ = F (x; y); = G(x; y) Giải phương dt dt dy G(x; y) trình = để tìm quỹ đạo hệ Dùng dx F (x; y) vi tính vẽ ảnh pha trường véc tơ hệ, từ 38 trực giác xác định tính chất ổn định điểm tới hạn (0;0) hệ cho Kết luận 41 45 Tài liệu tham khảo 46 Phụ lục 47 Lời nói đầu 0.1 Lý chọn đề tài Trong thực tế, nhiều tượng tự nhiên, vấn đề kỹ thuật, hệ thống điều khiển mô tả phương trình vi phân tốn học, đặc biệt hệ điều khiển tự động hay gọi hệ otonom Tính ổn định mặt phẳng pha hai đặc trưng quan trọng hệ otonom Tính ổn định phận quan trọng hệ otonom Nó ứng dụng ngày nhiều lĩnh vực khác nhau, kinh tế, kỹ thuật, sinh thái học mơi trường học Với lý đó, phát triển theo hai hướng ứng dụng lý thuyết Muốn biết hệ có ổn định hay khơng ngồi việc giải lý thuyết, ta cịn xét tính ổn định trực giác thông qua mặt phẳng pha hệ Một mặt phẳng pha hình hiển thị hình ảnh số đặc điểm số loại phương trình vi phân, phiên chiều n -chiều không gian chung pha Mặt phẳng pha hữu ích việc hình dung tính chất đối tượng hệ thống vật lý, đặc biệt, hệ thống dao động chẳng hạn mô hình động vật ăn thịt-con mồi Những mơ hình "xoắn ốc" dần gốc tọa độ, "xoắn ốc" hướng tới vô Điều hữu ích việc xác định động thái ổn định hay không Trước ứng dụng rộng rãi tầm quan trọng tính ổn định hệ thống với gợi ý động viên thấy giáo hướng dẫn - tiến sĩ Lê Hải Trung, lựa chọn đề tài "Về tính ổn định mặt phẳng pha hệ otonom" 0.2 Mục đích nghiên cứu Mục tiêu đề tài nhằm nghiên cứu tính ổn định mặt phẳng pha hệ otonom đồng thới ứng dụng phần mềm toán học Matlab việc phác thảo ảnh pha trường véc tơ hệ otonom, từ xem xét tính ổn định 0.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu mặt phẳng pha tính ổn định hệ otonom Phạm vi nghiên cứu hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 0.4 Phương pháp nghiên cứu • Thu thập báo khoa học, giáo trình tác giả liên quan đến hệ otonom • Sử dụng phần mềm Matlab để vẽ ảnh pha trường véc tơ phục vụ cho việc nghiên cứu tính ổn định hệ otonom 0.5 Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài • Tổng quan kết tác giả nghiên cứu liên quan đến tính ổn định mặt phẳng pha hệ otonom nhằm xây dựng tài liệu cho muốn nghiên cứu hệ otonom • Đưa số ví dụ đặc sắc giải chi tiết số tập liên quan 0.6 Cấu trúc luận văn • Chương 1: Trình bày kiến thức hệ otonom khái niệm, điểm tới hạn, nghiệm cân bằng, tính ổn định ổn định tiệm cận hệ otonom • Chương 2: Trình bày lời giải chi tiết số tập tìm điểm tới hạn, nghiệm cân số hệ otonom ứng dụng phần mềm Matlab để vẽ ảnh pha trường véc tơ hệ đó, phục vụ cho việc xét tính ổn định hệ Chương Tính ổn định mặt phẳng pha hệ otonom 1.1 Hệ otonom 1.1.1 Khái niệm chung Nhiều tượng tự nhiên mô tả hệ gồm hai phương trình vi phân cấp hai chiều, gọi hệ otonom, dạng sau:   dx = F (x; y),  dt dy dt (1.1) = G(x; y), t biến độc lập, x = x(t), y = y(t) Sự vắng mặt biến t vế phải hệ (1.1) làm cho việc phân tích hệ dễ việc nhận nghiệm hệ dễ thấy Chúng ta giả thiết hàm F G hàm khả vi liên tục miền D mặt phẳng Oxy, cịn gọi mặt phẳng pha hệ (1.1) Theo định lý tồn nghiệm t0 cho trước ta xác định điểm (x0 ; y0 ) thuộc D tồn nghiệm x = x(t), y = y(t) xác định khoảng (a; b) chứa t0 thỏa mãn điều kiện đầu sau đây: x(t0 ) = x0 ; y(t0 ) = y0 (1.2) Các phương trình x = x(t), y = y(t) mô tả đường cong nghiệm dạng tham số mặt phẳng pha, đường cong nghiệm gọi quỹ đạo hệ (1.1) Mỗi quỹ đạo hệ (1.1) qua điểm miền D Điểm (x∗ ; y∗ ) gọi điểm tới hạn hệ (1.1) nếu: F (x∗ ; y∗ ) = G(x∗ ; y∗ ) = (1.3) Điểm (x∗ ; y∗ ) điểm kỳ dị hàm: x(t) = x∗ , y(t) = y∗ , (1.4) thỏa mãn phương trình hệ (1.1) hàm gọi nghiệm cân hệ Quỹ đạo nghiệm cân (1.4) gồm điểm (x∗ ; y∗ ) Trong số tình thực tế, điểm đơn giản với quỹ đạo đối tượng quan tâm nhiều Chẳng hạn, giả sử hệ (1.1) đặc trưng cho hai đàn gia súc với số lượng x(t), y(t) sống môi trường cạnh tranh loại thức ăn mồi Giả sử x(t) số lượng thỏ, y(t) số lượng sóc thời điểm t Khi đó, điểm tới hạn (x∗ ; y∗ ) hệ thể số lượng số x∗ thỏ số lượng số y∗ sóc cho số lượng tồn song song môi trường Nếu (x0 ; y0 ) không điểm tới hạn khơng thể có số lượng số x0 , y0 thỏ sóc chung sống, hai phải thay đổi theo thời gian 10 Hình 2.5: Điểm xoắn (1;-1) 2.2.2 Tìm nghiệm cân x(t) = x0 phương trình vi phân cấp cho x +f (x; x ) = Dùng máy tính vẽ ảnh pha trường véc tơ hệ phương trình vi phân tương đương x = y; y = f (x; y) Xét xem điểm (0;0) tâm, điểm yên ngựa hay điểm xoắn hệ? Ví dụ Xét phương trình vi phân x + 4x − x3 = Lời giải: x0 nghiệm cân phương trình nếu:    x = 0,   f (x; x ) = ⇐⇒ −4x + x3 = ⇐⇒ x(−4 + x2 ) = ⇐⇒ x = 2,     x = −2 Vậy nghiệm cân x(t) = 0, ±2 Dùng máy tính vẽ ảnh pha trường véc tơ hệ phương trình vi 34 phân tương đương:    dx dt dy dt = y, (2.5) = −4x + x Hình 2.6: Tâm (0;0), điểm yên ngựa (±2, 0) Quan sát ảnh pha trường véc tơ hệ (2.5),điểm tới hạn (0,0) mặt phẳng pha tâm, điểm (±2, 0) điểm yên ngựa Ví dụ Xét phương trinh vi phân x + 2x + x + 4x3 = Lời giải: x0 nghiệm cân phương trình nếu: f (x; x ) = ⇐⇒ −2x − x − 4x3 = ⇐⇒ x(1 + 4x2 ) = ⇐⇒ x = Vậy nghiệm cân x(t) = Dùng máy tính vẽ ảnh pha trường véc tơ hệ phương trình vi phân tương đương:    dx dt dy dt = y, = −2y − x − 4x 35 (2.6) Hình 2.7: Điểm xoắn (0;0) Quan sát ảnh pha trường véc tơ hệ (2.6), ta thấy quỹ đạo chuyển động xoắn ốc quanh tiến đến Do đó, điểm (0;0) ổn định xoắn Ví dụ Xét phương trình vi phân x + (x2 − 1)x + x = Lời giải: x0 nghiệm cân phương trình nếu: f (x; x ) = ⇐⇒ −(x2 − 1)x − x = ⇐⇒ x = Vậy nghiệm cân x(t) = Dùng máy tính vẽ ảnh pha trường véc tơ hệ phương trình vi phân tương đương:    dx dt dy dt =y = −(x2 − 1)y − x 36 (2.7) Hình 2.8: Điểm nguồn xoắn (0;0) Quan sát ảnh pha trường véc tơ hệ (2.7), ta thấy đường cong nghiệm bắt nguồn từ điểm tới hạn (0;0) xoắn ngồi phía đường cong quỹ đạo đóng Do đó, điểm (0;0) nguồn xoắn ốc 37 2.2.3 Giải hệ tuyến tính tập sau xét xem điểm tới hạn (0;0) ổn định, ổn định tiệm cận hay khơng ổn định? Dùng máy tính vẽ ảnh pha trường véc tơ hệ cho xét tính ổn định hay khơng ổn định điểm tới hạn Bằng trực giác xác định điểm tới hạn điểm nút, điểm yên ngựa, tâm điểm xoắn hay khơng? Ví dụ    dx dt = 2x, dy dt = −2y dx dx = 2x ⇔ − dt = ⇔ dt 2x ln x = 2t + 2C ⇔ x = e2t+2C Ta có: dx − 2x (2.8) dt = C ⇔ ln x − t = C ⇔ Đặt x0 = e2C ⇒ x = x0 e2t ⇒ x(t) = x0 e2t dy dy dy = −2y ⇔ − dt = ⇔ − dt −2y −2y C ⇔ ln y = −2t + 2C ⇔ y = e−2t+2C dt = C ⇔ −1 ln x − t = Đặt y0 = e2C ⇒ y = y0 e−2t ⇒ y(t) = y0 e−2t = x0 y0 (x0 e2t )−1 = bx−1 (với b = x0 y0 ) Ảnh pha trường véc tơ hệ (2.8): 38 Hình 2.9: Điểm yên ngựa (0;0) Ta thấy quỹ đạo bán trục hypepol; điểm (x(t); y(t)) dần đến (x0 ; y0 ) theo trục y rời xa theo trục x t → +∞ có hai quỹ đạo dần đến (x0 ; y0 ) không bị chặn t → +∞ nên (0;0) điểm yên ngựa không ổn định Ví dụ    dx dt = −2x, dy dt = −y dy Ta có: = −y ⇒ y(t) = y0 e−t dt dx x0 x0 = −2x ⇒ x(t) = x0 e−2t = (y0 e−t )2 = by (Với b = ) dt y0 y0 Ảnh pha trường véc tơ hệ (2.9): 39 (2.9) Hình 2.10: Điểm nút (0;0) Ta thấy quỹ đạo tiếp xúc với đường thẳng qua (0;0) (0;0) tiến đến (0;0) t → +∞ nên (0;0) nút ổn định Ví dụ    dx dt = x, dy dt = 3y dx Ta có: = x ⇒ x(t) = x0 et dt dy y0 y0 = 3y ⇒ y(t) = y0 e3t = (x0 et )3 = bx3 ( với b = ) dt x0 x0 Ảnh pha trường véc tơ hệ (2.10): 40 (2.10) Hình 2.11: Điểm nút (0;0) Ta thấy quỹ đạo tiếp xúc với đường thẳng qua (0;0) (0;0) tiến xa (0;0) t → +∞ nên (0;0) nút khơng thường, không ổn định 2.2.4 dx dy Cho hệ = F (x; y); = G(x; y) Giải phương dt dt dy G(x; y) trình = để tìm quỹ đạo hệ dx F (x; y) Dùng vi tính vẽ ảnh pha trường véc tơ hệ, từ trực giác xác định tính chất ổn định điểm tới hạn (0;0) hệ cho Ví dụ Xét hệ:    Lời giải: dx dt = y, dy dt = −x dy x = − ⇔ ydy + xdx = ⇔ dx y 41 (2.11) xdx + ydy = C ⇔ x2 y2 + = C ⇔ x2 + y = C > Vậy, quỹ đạo hệ (2.11) có dạng 2 đường tròn Ta vẽ ảnh pha trường véc tơ hệ (2.11) quan sát: Hình 2.12: Tâm ổn định (0;0) Hình 2.12 mơ tả trường véc tơ quỹ đạo tròn hệ (2.11) Ta thấy điểm tới hạn (0;0) ổn định bao quỹ đạo kín, tuần hồn nên tâm ổn định Ví dụ Xét hệ:    Lời giải: dx dt dy dt = y(1 + x2 + y ), (2.12) = x(1 + x2 + y ) dy x = ⇔ xdx − ydy = ⇔ dx y xdx − ydy = C ⇔ x2 y − = C ⇔ x2 − y = C Vậy, quỹ đạo hệ (2.12) có dạng hypebol 2 42 Ta vẽ ảnh pha trường véc tơ hệ (2.12) quan sát: Hình 2.13: Điểm n ngựa khơng ổn định (0;0) Hình 2.13 mơ tả trường véc tơ quỹ đạo dạng hypebol hệ (2.12) Ta thấy điểm (x(t); y(t)) dần đến gốc tọa độ theo đường thẳng y = −x dần xa gốc tọa độ theo đường thẳng y = x nên điểm tới hạn (0;0) điểm n ngựa khơng ổn định Ví dụ Xét hệ:    dx 2 dt = 4y(1 + x + y ), dy 2 dt = −x(1 + x + y ) (2.13) dy x = ⇔ xdx + 4ydy = ⇔ xdx + 4ydy = C ⇔ dx y x2 x2 + 2y = C ⇔ + y = C > Vậy, quỹ đạo hệ (2.13) có dạng elip Ta vẽ ảnh pha trường véc tơ hệ (2.13) quan sát: Lời giải: 43 Hình 2.14: Tâm ổn định (0;0) Hình 2.14 mơ tả trường véc tơ quỹ đạo dạng elip hệ (2.13) Ta thấy điểm tới hạn (0;0) ổn định bao quỹ đạo kín, tuần hồn nên tâm ổn định 44 Kết luận Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu tính ổn định mặt phẳng pha hệ otonom, luận văn hoàn thành đạt mục tiêu nghiên cứu dựa kết sau: • Trình bày cách tương đối đầy đủ chi tiết tính ổn định mặt phẳng pha hệ otonom, vị trí quan trọng điểm tới hạn việc xét tính ổn định hệ otonom Bên cạnh đó, luận văn cịn trình bày số ví dụ đặc sắc nhằm minh họa cho vấn đề nêu • Giải chi tiết số tập nhằm phục vụ hiệu cho việc tiếp cận vấn đề Do thời gian hạn hẹp, luận văn tránh khỏi thiếu sót mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn 45 Tài liệu tham khảo [1] C.Henry Edwards, E.Peney David (2007), Elementary differential equations with boundary value problems, Prentice Hall [2] Arnold V.I (1978), Oridinary differential equations, MIT [3] William E Boyce (2000), Elementary differential equations with boundary value problems, John Wiley and Sons [4] Bản dịch (2008), Phương trình vi phân với toán giá trị biên - Tập 2, Đại học Thủy Lợi 46 Phụ lục Định lý tồn nghiệm hệ phương trình vi phân: Xét hệ phương trình vi phân:  dy1    dx = f1 (x, y1 , y2 , , yn ),     dy2 = f (x, y , y , , y ), dx 2 n (2.14)        dyn = fn (x, y1 , y2 , , yn ) dx Giả sử: • Các hàm f1 , f2 , , fn liên tục miền G = |x − x0 | ≤ a; |y1 − y10 | ≤ b; |y2 − y20 | ≤ b; ; |yn − yn0 | ≤ b giới nội : |fi (x, y1 , y2 , , yn )| ≤ M, i = (1, 2, , n) • Các hàm f1 , f2 , , fn thỏa mãn điều kiện Lipsit theo y1 , y2 , , yn miền G với số Lipsit L > Khi tồn nghiệm: y(x) = (y1 (x), y2 (x), , yn (x)), hệ (2.14) thỏa mãn điều kiền ban đầu: y1 (x0 ) = y10 , y2 (x0 ) = y20 , , yn (x0 ) = yn0 47 Nghiệm xác định khoảng đóng [x0 − h, x0 + h] với h = b a, M Điều kiện Lipsit: Ta nói rằng, miền G hàm f (x, y) thỏa mãn điều kiện Lipsit theo biến y tồn số L > cho hai điểm (x, y1 ) ∈ G, (x, y2 ) ∈ G bất kì, ta có bất đẳng thức: |f (x, y1 ) − f (x, y2 )| ≤ L|y1 − y2 | 48 ... Matlab để vẽ ảnh pha trường véc tơ hệ đó, phục vụ cho việc xét tính ổn định hệ Chương Tính ổn định mặt phẳng pha hệ otonom 1.1 Hệ otonom 1.1.1 Khái niệm chung Nhiều tượng tự nhiên mô tả hệ gồm hai... 2.2.3 Giải hệ tuyến tính tập sau xét xem điểm tới hạn (0;0) ổn định, ổn định tiệm cận hay khơng ổn định? Dùng máy tính vẽ ảnh pha trường véc tơ hệ cho xét tính ổn định hay không ổn định điểm tới... thuật, hệ thống điều khiển mô tả phương trình vi phân tốn học, đặc biệt hệ điều khiển tự động hay cịn gọi hệ otonom Tính ổn định mặt phẳng pha hai đặc trưng quan trọng hệ otonom Tính ổn định phận