Các phương pháp chiếu để giải phương trình tách biến và bài toán chấp nhận được tách biến trong không gian hilbert

SỞ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TP HỒ CHÍ MINH VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TÍNH TỐN BÁO CÁO TỔNG KẾT Các Phương Pháp Chiếu để Giải Phương Trình Tách Biến Bài Toán Chấp Nhận Được Tách Biến Không Gian Hilbert Đơn vị thực hiện: PTN Công nghệ Toán ứng dụng Chủ nhiệm đề tài: Nguyễn Thị Thu Vân (thay cho Nguyễn Văn Hiền) Đồng chủ nhiệm đề tài: Jean Jacques Strodiot TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 7/2016 SỞ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ TP HỒ CHÍ MINH VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TÍNH TỐN BÁO CÁO TỔNG KẾT Các Phương Pháp Chiếu để Giải Phương Trình Tách Biến Bài Tốn Chấp Nhận Được Tách Biến Không Gian Hilbert Viện trưởng: Đơn vị thực hiện: PTN Cơng nghệ Tốn ứng dụng Chủ nhiệm đề tài: Nguyễn Thị Thu Vân (thay cho Nguyễn Văn Hiền) Đồng chủ nhiệm đề tài: Jean Jacques Strodiot Nguyễn Kỳ Phùng TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 7/2016 Các Phương Pháp Chiếu để Giải Phương Trình Tách Biến Bài Tốn Chấp Nhận Được Tách Biến Khơng gian Hilbert MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU ĐƠN VỊ THỰC HIỆN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU I Báo cáo khoa học II Tài liệu khoa học xuất 18 III Chương trình giáo dục đào tạo 19 IV Hội nghị, hội thảo 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO 21 CÁC PHỤ LỤC 24 Phụ lục Bài báo: A gradient projection method for solving split equality and split feasibility problems in Hilbert spaces Phụ lục Báo cáo hội nghị: “Solving the split equality problem and the split feasibility problem in Hilbert spaces” Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Các Phương Pháp Chiếu để Giải Phương Trình Tách Biến Bài Tốn Chấp Nhận Được Tách Biến Khơng gian Hilbert MỞ ĐẦU Mục đích đề tài trước hết nghiên cứu hội tụ thuật toán chiếu tổng quát để giải toán cực tiểu hàm lồi thuộc lớp C1 tập ràng buộc lồi sau áp dụng kết đạt để giải toán chấp nhận tách biến (SFP) phương trình tách biến (SEP) Cho H1 , H H không gian Hilbert thực, cho C  H1 , Q  H hai tập lồi đóng khác trống, cho A : H1  H , A : H  H hai tốn tử tuyến tính bị chận SEP tốn tìm x  C, y  Q cho Ax  By Nếu H  H B  I tốn SEP trở thành toán chấp nhận tách biến (SFP) [bài toán lần giới thiệu Censor Elfving (1994)] : Tìm x  C thỏa Ax  Q Bài tốn (SEP) có ứng dụng nhiều lĩnh vực toán ứng dụng Đây toán tối ưu tổng quát bao gồm nhiều trường hợp, ví dụ phương pháp tách miền cho phương trình đạo hàm riêng (PDE), lý thuyết trò chơi (game theory) xạ trị với cường độ thay đổi (intensity-modulated radiation therapy, viết tắt IMRT) Trong phương pháp tách miền cho phương trình đạo hàm riêng, (SEP) dạng biến phân phương trình đạo hàm riêng miền tách thành hai miền rời có chung mặt phân giới (xem ví dụ Attouch et al (2011)) Trong khoa học định, (SEP) cho phép xem xét đại lý người tương tác thông qua vài thành phần biến định họ (xem, ví dụ, Attouch et al (2008)) Trong IMRT, điều dần đến việc dự đoán kết hợp yếu vector liều hấp thụ tất voxel cường độ xạ (xem Censor et al (2006)) Attouch et al (2009) nhiều ứng dụng toán (SEP) lý thuyết điều khiển tối ưu, lượng bề mặt trò chơi tiềm mà dạng thức biến phân xem phương trình tách biến Các thuật tốn để giải toán (SEP) nhận nhiều quan tâm, ví dụ xem Chen et al (2013) Dong et al (2014) Viện Khoa học Công nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Các Phương Pháp Chiếu để Giải Phương Trình Tách Biến Bài Tốn Chấp Nhận Được Tách Biến Khơng gian Hilbert Trong đề tài này, thác triển từ cơng trình gần López et al (2012) Dong et al (2014), trước tiên nghiên cứu hội tụ thuật toán chiếu tổng quát để giải toán cực tiểu hàm lồi f thuộc lớp C1 tập ràng buộc S Sau áp dụng kết tổng quát cho tốn phương trình tách biến (SEP) toán chấp nhận tách biến (SFP) Làm khôi phục lại kết hội tụ López et al (2012) chúng tơi có phương pháp để giải tốn (SEP) mà khơng cần biết chuẩn tốn tử A B Khi C Q tập mức liên kết với hàm lồi, việc tính toán phép chiếu C Q tiêu tốn thời gian Trong trường hợp này, nhiều tác giả thay phép chiếu PC PQ sử dụng sơ đồ lặp trước phép chiếu nửa không gian chứa tập lồi C Q tương ứng Trong trường hợp rõ ràng ta tìm cơng thức hiển điểm chiếu Ngồi chúng tơi muốn đề cập báo Byrne Moudafi (2013) Moudafi (2013) liên quan đến toán (SEP), López et al (2012), Xu (2010), Yang (2004) toán (SFP) Một phiên giản lượt thuật toán chiếu gradient xem xét Trong phiên tập chấp nhận tập mức hàm lồi hàm mục tiêu f xấp xỉ bước lặp k hàm lồi không âm fk thuộc lớp C1 Để đạt hội tụ dãy sinh thuật tốn, chúng tơi đề nghị điều kiện liên kết fk f Sơ đồ tổng quát cho phép ta giải toán (SEP) cách lấy f k  f với k giải toán (SFP) cách chọn cẩn thận hàm fk Cho đến có kết hội tụ yếu thảo luận Tuy nhiên, rõ ràng thuật tốn hội tụ mạnh có tầm quan trọng việc giải toán khơng gian vơ hạn chiều Vì phần cuối nghiên cứu này, muốn kết hợp phương pháp chiếu gradient với thủ tục nhớt để đạt hội tụ mạnh dãy lặp sinh thuật tốn chúng tơi đề nghị Để làm điều Viện Khoa học Công nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Các Phương Pháp Chiếu để Giải Phương Trình Tách Biến Bài Tốn Chấp Nhận Được Tách Biến Khơng gian Hilbert chúng tơi điều chỉnh thuật tốn Halpern (1967) cho tương thích với tốn chúng tơi Cũng tương tự trên, sơ đồ tổng quát áp dụng cho toán (SEP) (SFP) sinh dãy lặp hội tụ mạnh Viện Khoa học Công nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Các Phương Pháp Chiếu để Giải Phương Trình Tách Biến Bài Tốn Chấp Nhận Được Tách Biến Khơng gian Hilbert Lời cảm ơn đến ICST Đề tài nhận tài trợ tài Sở Khoa học Cơng nghệ Tp.Hồ Chí Minh Chúng tơi biết ơn nguồn tài ngun tính tốn hỗ trợ Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn thành phố Hồ Chí Minh Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Các Phương Pháp Chiếu để Giải Phương Trình Tách Biến Bài Tốn Chấp Nhận Được Tách Biến Khơng gian Hilbert ĐƠN VỊ THỰC HIỆN Phịng thí nghiệm: Cơng nghệ Toán Chủ nhiệm đề tài: Giáo sư Tiến sĩ Nguyễn Văn Hiền Giáo sư Tiến sĩ Jean-Jacques Strodiot Thành viên đề tài: Tiến sĩ Nguyễn Thị Thu Vân Thạc sỹ Phan Tự Vượng Thạc sỹ Đinh Nguyễn Anh Trung Thạc sỹ Đinh Minh Giang Thạc sỹ Bùi Minh Quân Cơ quan phối hợp: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG HCM Trường Đại học Namur, Vương Quốc Bỉ Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Các Phương Pháp Chiếu để Giải Phương Trình Tách Biến Bài Tốn Chấp Nhận Được Tách Biến Không gian Hilbert KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU I BÁO CÁO KHOA HỌC Cho , không gian thực vơ hạn chiều Phương trình tách biến gần nghiên cứu Byrne Moudafi [1], Moudafi [2,3] có dạng Tìm và cho tập lồi đóng khác trống , hai toán tử tuyến tính bị chặn Như đề cập Moudafi [3], thú vị tốn bao gồm nhiều tình huống, ví dụ phương pháp tách cho tốn PDEs lý thuyết trị chơi Trong khoa học định, toán cho phép xem xét đại lý người tương tác thông qua vài thành phần biến định họ Để biết thêm chi tiết, xem Attouch et al [ ] tài liệu tham khảo đính kèm Chúng tơi giả sử tốn có nghiệm , nghĩa tốn tương thích Vì chúng tơi định nghĩa với hàm lồi khơng âm thuộc lớp , nghiệm toán cực tiểu với ràng buộc thỏa tính chất Khi tốn tử đồng nhất, trở thành toán chấp nhận tách biến: Tìm Censor Elfving [5] giới thiệu toán cho lần vào năm 1994 cho việc mơ hình hóa tốn ngược xuất phục hồi ảnh y khoa; xem Byrne [6] Stark [7] Bài tốn cịn áp dụng để nghiên cứu phương pháp xạ trị với cường độ thay đổi; xem Censor et al [8] Nhiều phương pháp lặp Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Các Phương Pháp Chiếu để Giải Phương Trình Tách Biến Bài Tốn Chấp Nhận Được Tách Biến Khơng gian Hilbert để giải toán đề nghị ưa chuộng; xem Byrne [9], xem tổng quan Bauschke Borwein [10] López et al [11] Chúng tơi giả sử tốn có nghiệm Vì chúng tơi định nghĩa với hàm không âm, lồi thuộc lớp , nghiệm tốn cực tiểu cho thỏa tính chất Vì hai trường hợp, chúng tơi phải giải tốn cực tiểu cho với điều kiện nghiệm đóng khơng gian Hilbert thỏa Trong tập khác trống lồi hàm không âm lồi thuộc lớp phương pháp lặp nghiên cứu để giải toán thuật tốn Byrne CQ [9] dãy Nhiều Trong số đó, ưa chuộng định nghĩa sau: (1) , độ dài bước hợp toán tử tập giãn và chọn khoảng , toán tử liên Gần phương pháp nghiên cứu Moudafi [12] tập điểm bất động hai tốn tử tuyến tựa khơng Như thất López et al [13], phương pháp khơng khác phương pháp chiếu gradient áp dụng cho toán cực tiểu , hàm định nghĩa với Từ Byrne [9], Byrne Moudafi đề nghị [1] thuật toán CQ sau cho việc giải toán ; xem Moudafi Al-Shemas [14]: Cho trước phần tử dãy , tính tốn thỏa hệ phương trình sau Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Các Phương Pháp Chiếu để Giải Phương Trình Tách Biến Bài Tốn Chấp Nhận Được Tách Biến Khơng gian Hilbert với dãy Họ chứng minh [13], Định lý 3.5 ràng sinh thuật toán (4) với độ dài bước cho (5) hội tụ yếu đến nghiệm toán Người đọc xem chi tiết thuật tốn chiếu sách Polyak [16] Trong đề tài này, thúc đẩy cơng trình López et al [13], trước tiên nghiên cứu hội tụ thuật toán chiếu tổng quát để giải toán cực tiểu hàm lồi thuộc lớp tập ràng buộc lồi sử dụng độ dài bước cho (5) Sau áp dụng kết tổng quát trước tiên cho tốn tốn , sau cho Làm chúng tơi có kết hội tụ López et al [13], đạt phương pháp lặp để giải toán cần biết chuẩn toán tử mà không Các kết đạt đề tài trình bày phần sau: Phần Thuật toán chiếu tổng quát hội tụ yếu thuật toán Phần Một phương pháp chiếu nới lỏng Phần Sự hội tụ mạnh thuật toán Trong phần báo cáo này, cho phép chúng tơi trình bày ngắn gọn ý kết quả, định nghĩa, bổ đề, chứng minh chi tiết người đọc tham khảo báo phần phụ lục Phần Thuật toán chiếu tổng quát hội tụ yếu thuật toán Trong phần nghiên cứu phương pháp chiếu tổng quát để giải tốn cực tiểu hàm lồi, khơng âm khác trống thuộc lớp tập lồi đóng Chúng tơi giả sử tốn có nghiệm thỏa Ký hiệu tốn tập nghiệm trước tiên giải tốn sau áp dụng thuật tốn đạt để giải trường hợp riêng Mục đích chúng tơi Với mục đích giới thiệu phương pháp Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 11 Các Phương Pháp Chiếu để Giải Phương Trình Tách Biến Bài Toán Chấp Nhận Được Tách Biến Không gian Hilbert chiếu tổng quát với độ dài bước đặc biệt mà độ dài bước đề nghị López et al [13] xét toán Thuật toán Bước Cho Đặt Bước Nếu , DỪNG ( nghiệm tốn ) Nếu khơng, quay trở lại Bước Bước Tính độ dài bước chọn theo công thức sau với Bước Đặt Vì hàm quay trở lại Bước lồi nên ta suy cực tiểu hàm Vì phần sau giả sử Để chứng minh hội tụ dãy thiết sau dãy , C1 C2 với sinh Thuật toán 1, đề nghị giả , với với C3 Chúng đạt kết hội tụ yếu Thuật toán sau: Định lý 3.1 Giả sử tập nghiệm khác trống Cho , , dãy sinh Thuật tốn Nếu điều kiện (C1) (C3) thỏa a) Với b) , bất đẳng thức sau thỏa bị chặn Viện Khoa học Công nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh ; Page 12 Các Phương Pháp Chiếu để Giải Phương Trình Tách Biến Bài Tốn Chấp Nhận Được Tách Biến Khơng gian Hilbert c) Dãy hội tụ yếu đến dãy hội tụ đến 0.□ Bây kiểm tra trường hợp riêng Đối với toán , với nên ta có với , ký hiệu toán tử liên hợp Trong trường này, Thuật tốn viết lại sau: Thuật toán 1-SEP Bước Cho Đặt Bước Nếu tốn , dừng ( nghiệm ) Nếu không, quay trở lại Bước Bước Tính bước lặp kế sau độ dài bước chọn cơng thức với Bước Đặt quay trở lại Bước Đối với tốn , hàm xác định với Khi Trong trường hợp Thuật toán trùng với 3.1 López et al [13] có dạng sau: Thuật tốn 1-SFP Bước Cho Đặt Bước Nếu , DỪNG ( nghiệm tốn ) Nếu khơng, quay trở lại Bước Bước Tính điểm lặp sau Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 13 Các Phương Pháp Chiếu để Giải Phương Trình Tách Biến Bài Tốn Chấp Nhận Được Tách Biến Khơng gian Hilbert độ dài bước chọn theo công thức với Bước Đặt quay trở lại Bước Chúng đạt kết hội tụ yếu sau: Mệnh đề 3.2 Giả sử nghiệm toán khác trống dãy thỏa điều kiện (C3) Thì dãy sinh Thuật tốn 1-SEP hội tụ yếu đến nghiệm toán Hơn nữa, dãy hội tụ mạnh đến Mệnh đề 3.3 Giả sử nghiệm toán điều kiện (C3) Thì dãy tốn khác trống dãy thỏa sinh Thuật toán 1-SFP hội tụ yếu đến nghiệm Hơn nữa, dãy hội tụ mạnh đến Phần Một phương pháp chiếu nới lỏng Trong phần chúng tơi đề nghị thuật tốn chiếu gradient để giải toán sau: Thuật toán Bước Cho Bước Nếu Đặt , DỪNG ( nghiệm toán ) Nếu khơng, quay trở lại Bước Bước Tính bước lặp tiếp cho cơng thức đặt độ dài bước chọn theo công thức với Bước Đặt quay trở lại Bước Ta thấy Thuật tốn cài đặt phép chiếu nửa khơng gian có dạng hiển Trong định lý kế tiếp, cần thay điều kiện (C1) điều kiện sau C1a giả sử hàm với và thỏa Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 14 Các Phương Pháp Chiếu để Giải Phương Trình Tách Biến Bài Tốn Chấp Nhận Được Tách Biến Không gian Hilbert C4 Tồn cho với Cuối cần điều kiện sau A1 Toán tử vi phân , , (C2) (C4), dãy : bị chặn tập bị chặn Định lý 4.1 Giả sử tập nghiệm tốn dãy khác trống giả thiết (A1) thỏa Khi sinh Thuật toán thỏa điều kiện (C1a) hội tụ yếu nghiệm toán Hơn nữa, dãy hội tụ 0.□ Bây chúng tơi xem xét tốn Trogn trường hợp này, tập , với có dạng sau: hàm tương ứng bước lặp lồi khả vi phân Thì tập xác định cơng thức với Chúng ta có Để liên hệ với Thuật tốn 2, chúng tơi định nghĩa hàm Thì Hơn nữa, ta dễ dàng thấy với với (C4) thỏa với Vì hàm Ở định nghĩa dãy không âm, lồi, thuộc lớp , điều kiện Trong trường hợp này, Thuật tốn viết lại sau: Thuật toán 2-SEP Bước Cho Đặt Bước Nếu toán , DỪNG ( nghiệm ) Nếu không, quay trở lại Bước Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 15 Các Phương Pháp Chiếu để Giải Phương Trình Tách Biến Bài Tốn Chấp Nhận Được Tách Biến Không gian Hilbert Bước Tính bước lặp sau: độ dài bước chọn theo công thức với Bước Đặt quay trở lại Bước Để kết thúc phần này, chúng tơi xét tốn: Tìm Ở tốn tử cho tuyến tính bị chặn, tập Thì tập tương ứng bước lặp cho định nghĩa sau: và với Với định nghĩa hàm công thức Trong trường hợp này, Thuật toán trùng với Thuật toán 4.1 López et al [13] có dạng: Thuật toán 2-SFP Bước Cho Đặt Bước Nếu , DỪNG ( nghiệm toán ) Nếu không, quay trở lại Bước Bước Tính độ dài bước sau chọn sau với Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 16 Các Phương Pháp Chiếu để Giải Phương Trình Tách Biến Bài Tốn Chấp Nhận Được Tách Biến Không gian Hilbert Bước Đặt quay trở lại Bước Chúng đạt kết hội tụ yếu cho Thuật toán 2-SEP Mệnh đề 3.2 toán tử vi phân chặn tương ứng; đạt kết hội tụ yếu cho Thuật toán 2- SFP Mệnh đề 3.3 toán tử vi phân chặn bị chặn tập bị bị chặn tập bị Phần Sự hội tụ mạnh thuật tốn Trong phần chúng tơi sử dụng thủ tục kiểu Halpern để hiệu chỉnh Thuật toán để thuật toán hội tụ mạnh Thủ tục giới thiệu Halpern [19] để tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn Thuật tốn đề nghị sau: Thuật toán Bước Chọn Cho Bước Nếu Đặt , DỪNG ( nghiệm tốn ) Nếu khơng, quay trở lại Bước Bước Tính theo cơng thức độ dài bước chọn theo cơng thức với Bước Đặt quay trở lại Bước Chúng đạt kết hội tụ mạnh sau Định lý 5.1 Giả sử tập nghiệm (C1) (C3), (B1) thỏa Thì dãy đến nghiệm tốn nghiệm khác trống điều kiện sinh Thuật toán thuộc hội tụ mạnh , nghiệm hình chiếu tập □ Ngồi đạt kết hội tụ mạnh tương ứng cho toán Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 17 Các Phương Pháp Chiếu để Giải Phương Trình Tách Biến Bài Tốn Chấp Nhận Được Tách Biến Không gian Hilbert II CÁC TÀI LIỆU KHOA HỌC ĐÃ XUẤT BẢN Phan Tu Vuong, Jean Jacques Strodiot, Van Hien Nguyen: A gradient projection method for solving split equality split feasibility problems in Hilbert spaces, Optimization, Vol 64, 2321—2341, 2015 Viện Khoa học Công nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 18 Các Phương Pháp Chiếu để Giải Phương Trình Tách Biến Bài Tốn Chấp Nhận Được Tách Biến Khơng gian Hilbert III CHƯƠNG TRÌNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Ngồi nghiên cứu khoa học phổ biến kiến thức thông qua ấn phẩm tạp chí quốc tế có uy tín, đề tài tập trung vào việc đào tạo sinh viên nghiên cứu cấp độ tiến sĩ Tối ưu hóa Tốn học ứng dụng ICST Phan Tự Vượng cộng tác viên nghiên cứu Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn Tp Hồ Chí Minh bảo vệ thành công luận án tiến sĩ vào tháng 5/2014 Cũng cần nói thêm đề tài chuyển tiếp từ năm 2014 Đề tài có đóng góp cho việc hướng dẫn Thạc sỹ Đinh Nguyễn Anh Trung bước đầu chuẩn bị làm nghiên cứu sinh Đinh Nguyễn Anh Trung nghiên cứu viên Viện Hiện lý riêng Đinh Nguyễn Anh Trung tạm ngưng công việc nghiên cứu Chúng hướng dẫn nghiên cứu cho 02 thạc sỹ:  Đinh Minh Giang, nghiên cứu viên Viện  Bùi Minh Quân, cộng tác viên Viện Viện Khoa học Công nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 19 Các Phương Pháp Chiếu để Giải Phương Trình Tách Biến Bài Tốn Chấp Nhận Được Tách Biến Khơng gian Hilbert IV HỘI NGHỊ, HỘI THẢO Van Hien Nguyen, Solving the split equality problem and the split feasibility problem in Hilbert spaces, International Conference on Mathematical Research, Education and Applications (ICMREA – UEL, 2013) Ho Chi Minh City, December 21 23, 2013 Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 20 Các Phương Pháp Chiếu để Giải Phương Trình Tách Biến Bài Tốn Chấp Nhận Được Tách Biến Không gian Hilbert TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Byrne Ch., Moudafi A.: Extensions of the CQ Thuật toáns for the split feasibility split equality problems Working paper UAG 2013 01 [2] Moudafi A.: Alternating CQ-Thuật toáns for convex feasibility split fixed-point problems J Nonlinear Convex Anal 2014;15:809 818 [3] Moudafi A.: A relaxed alternating CQ-Thuật toáns for convex feasibility problems Nonlinear Anal 2013;79:117 121 [4] Attouch H., Bolte J., Redont P., Soubeyran A.: Alternating proximal Thuật toáns for weakly coupled minimization problems Applications to dynamical games PDEs J Convex Anal 2008;15:485 506 [5] Censor Y., Elfving T.: A multiprojection Thuật toán using Bregman projections in a product space Numer Thuật toáns 1994;8:221 239 [6] Byrne Ch.: A unified treatment of some iterative Thuật toáns in signal processing image reconstruction Inverse Problems 2004;20:103 120 [7] Stark H (Ed) Image Recovery: Theory Applications San Diego, CA Academic; 1987 [8] Censor Y., Bortfeld T., Martin B., Trofimov A.: A unified approach for inversion problems in intensity-modulated radiation therapy Phys Med Biol 2003;51:2353 2365 [9] Byrne Ch.: Iterative oblique projection onto convex Đặts the split feasibility problem Inverse Problems 2002;18:441 453 [10] Bauschke H.H., Borwein J.M.: On projection Thuật toáns for solving convex feasibility problems SIAM Rev 1996;38:367 426 [11] L\'opez G., Mart\'in-M\'arquez V., Xu H.K.: Iterative Thuật toáns for the multipleĐặts split feasibility problem In Censor Y., Jiang M Wang G., editors Biomedical Mathematics: Promising Directions in Imaging, Therapy Planning Inverse Problems Madison (WI): Medical Physics Publishing; 2009 p 243 279 [12] Moudafi A.: A note on the split common fixed-point problem for quasinonexpansive operators Nonlinear Anal 2011;74:4083 4087 Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 21 Các Phương Pháp Chiếu để Giải Phương Trình Tách Biến Bài Tốn Chấp Nhận Được Tách Biến Không gian Hilbert [13] L\'opez G., Mart\'in-M\'arquez V., Wang F., Xu H.K.: Solving the split feasibility problem vớiout prior knowledge of matrix norms Inverse Problems 2012;28:085004 (18pp) doi:10.1088/0266-5611/28/8/085004 [14] Moudafi A., Al-Shemas E.: Simultaneous iterative methods for split equality problems Trans Math Program Appl 02/2013;1:1-11 [15] Yang Q.: On variable-Bước relaxed projection Thuật toán for variational inequalities J Math Anal Appl 2005;302:166 179 [16] Polyak B.T.: Introduction to Optimization New York: Optimization Software, 1987 [17] Xu H.K.: Iterative methods for the split feasibility problem in infinite-dimensional Hilbert spaces Inverse Problems 2010;26:105018 (17pp) [18] Yang Q.: The relaxed CQ Thuật toán for solving the split feasibility problem Inverse Problems 2004;20:1261 1266 [19] Halpern B.: Fixed points of nonexpvàing maps Bull Am Math Soc 1967;73:591-597 [20] Chen R., Li J., Ren Y.: Regularization method for the approximate split equality problem in infinite-dimensional Hilbert spaces Abstr Appl Anal 2013;ID 813635: pages [21] Dong Q.-Li, He S., Zhao J.: Solving the split equality problem vớiout prior knowledge of operator norms Optimization 2014;doi:10.1080/02331934.2014.895897 [22] He S., Yang C.: Solving the variational inequality problem defined on intersection of finite level Đặts Abstr Appl Anal 2013; Article ID 942315 [23] Xu H.K.: Iterative Thuật toáns for nonlinear operators J Lond Math Soc 2002;66:240 256 [24] Konnov I.V.: Equilibrium Models Variational Inequalities Elsevier, 2007 [25] Fukushima M.: A relaxed projection method for variational inequalities Math Program 1986;35:58 70 [26] Wittmann R.: Approximation of fixed points of nonexpansive mappings Arch Math 1992;58:486 491 [27] Suzuki T.: A sufficient necessary condition for Halpern-type strong convergence to fixed points of nonexpansive mappings Proc Am Math Soc 2007;135:99 106 Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 22 Các Phương Pháp Chiếu để Giải Phương Trình Tách Biến Bài Tốn Chấp Nhận Được Tách Biến Không gian Hilbert [28] He S., Zhao Z.: Strong convergence of a relaxed CQ Thuật toán for the split feasibility problem J Inequal Appl 2013, 2013;197:doi:10.1186/1029-242X-2013- 197 Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 23 Các Phương Pháp Chiếu để Giải Phương Trình Tách Biến Bài Tốn Chấp Nhận Được Tách Biến Không gian Hilbert CÁC PHỤ LỤC Phụ lục Bài báo : A class shrinking projection extragradient methods for solving nonmonotone equilibrium problems in Hilbert spaces Tạp chí : Journal of Global Optimization 64 (1), 159—178 (2016) Tác giả : Jean Jacques Strodiot , Phan Tu Vuong, Nguyen Thi Thu Van Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 24 Các Phương Pháp Chiếu để Giải Phương Trình Tách Biến Bài Toán Chấp Nhận Được Tách Biến Không gian Hilbert Phụ lục Báo cáo hội nghị: Solving the split equality problem and the split feasibility problem in Hilbert spaces ICMREA – UEL, 2013, Ho Chi Minh City, December 21-23 Tác giả: Phan Tu Vuong, Jean Jacques Strodiot and Van Hien Nguyen Viện Khoa học Công nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 25