Về toán tử đơn điệu trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN QUANG TRUNG VỀ TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU HÀ NỘI - 2014 Mục lục KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỐN TỬ ĐA TRỊ TRONG KHƠNG GIAN HILBERT 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Khái niệm không gian Hilbert 1.1.2 Tính trực giao hình chiếu 1.1.3 Toán tử tuyến tính phiếm hàm khơng gian Hilbert 11 1.2 Toán tử đa trị 14 1.2.1 Một số kiến thức giải tích lồi 14 1.2.2 Toán tử đa trị 20 TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHƠNG GIAN HILBERT 24 2.1 2.2 Toán tử đơn điệu 24 2.1.1 Toán tử đơn điệu 24 2.1.2 Toán tử đơn điệu tuần hoàn 32 2.1.3 Toán tử đơn điệu cực đại 34 2.1.4 Hàm Fitzpatrick 40 Tổng hai toán tử đơn điệu cực đại 43 Tài liệu tham khảo 49 Lời nói đầu Toán tử đơn điệu lĩnh vực quan trọng giải tích đại, có nhiều ứng dụng giải tích ứng dụng nhiều ngành toán học ứng dụng khác bất đẳng thức biến phân, cân bằng, tối ưu hóa, Nội dung luận văn trình bày kiến thức sở liên quan; Các định nghĩa, tính chất điều kiện để toán tử đơn điệu, đơn điệu cực đại; Điều kiện để tổng hai toán tử đơn điệu cực đại toán tử đơn điệu cực đại nhờ hàm Fitzpatrick Bố cục Luận văn gồm hai chương: • Chương Kiến thức toán tử đa trị khơng gian Hilbert • Chương Tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert Nội dung chương là: Chương I: Trình bày kiến thức khơng gian Hilbert Sau trình bày kiến thức toán tử đa trị khơng gian Hilbert, có trình bày số kiến thức Giải tích lồi phục vụ cho nghiên cứu toán tử đơn điệu khơng gian Hilbert Chương II: Trình bày khái niệm tốn tử đơn điệu, đơn điệu tuần hồn, đơn điệu cực đại tính chất như: điều kiện đủ để toán tử đơn điệu, đơn điệu cực đại Tiếp theo trình bày tính cực đại tổng hai toán tử đơn điệu cực đại Lời cảm ơn Để hoàn thành Luận văn này, trước hết tác giả xin bày tỏ kính trọng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Lê Dũng Mưu, Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn, giải đáp thắc mắc học trò suốt trình nghiên cứu giúp đỡ tác giả hồn thành hoàn thiện luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn tới thầy giáo, cô giáo Khoa Toán - Cơ - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy giáo thuộc Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam tham gia giảng dạy nhiệt tình khóa học, giúp tác giả tích lũy nhiều kiến thức quan trọng phục vụ cho luận văn Tác giả xin cám ơn Seminar Toán Viện toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ nhận xét góp ý cho luận văn Tác giả xin cám ơn tới quan nơi tác giả công tác, gia đình bạn bè ln động viên, ủng hộ giúp đỡ tác giả suốt trình học tập làm luận văn tốt nghiệp Mặc dù có nhiều cố gắng tích cực học tập, nghiên cứu khoa học, song q trình thực khơng tránh khỏi sai sót Vì tác giả mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Ngày 10 tháng năm 2014 Chương KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TOÁN TỬ ĐA TRỊ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Trong chương giới thiệu kiến thức khơng gian Hilbert tốn tử đa trị Các khái niệm kết tham khảo từ tài liệu [1, 2, 3, 4, 10] 1.1 Không gian Hilbert Chúng ta ký hiệu H không gian Hilbert thực với tích vơ hướng | chuẩn Toán tử đồng H Id 1.1.1 Khái niệm không gian Hilbert Một tập X mà phần tử đối tượng bất kỳ, gọi không gian vectơ, nếu: a) Trên X trang bị hai phép toán: + : X × X → X : (x, y) → x + y; · : R × X → X : (α, x) → αx, b) Hai phép tốn thỏa mãn tám tiên đề sau: i) x + y = y + x; ii) (x + y) + z = x + (y + z) ; iii) ∃ ∈ X : x + = x, ∀x ∈ X ; iv) x ∈ X , ∃ − x ∈ X : x + (−x) = 0; v) 1.x = x; vi) α (βx) = (αβ) x, ∀α, β ∈ R, ∀x ∈ X ; vii) (α + β) x = αx + βx, ∀α, β ∈ R, ∀x ∈ X ; viii) α (x + y) = αx + αy, ∀α ∈ R; ∀x, y ∈ X Nếu tập X trang bị metric: p : X × X → R+ : (x, y) → p (x, y) , thỏa mãn tính chất sau: i) p (x, y) > 0, ∀x = y; p (x, y) = 0, x = y; ii) p (x, y) = p (y, x) , ∀x, y; iii) p (x, y) ≤ p (x, z) + p (y, z) , ∀x, y, z ∈ X , (X , p) gọi không gian metric Định nghĩa 1.1 Một không gian vectơ định chuẩn tập X vừa không gian vectơ, vừa không gian metric Khi X trang bị chuẩn x = p (x, 0) thỏa mãn điều kiện: i) x > x = 0; x = x = 0, ii) αx = |α| x , iii) x + y ≤ x + y Định nghĩa 1.2 Một khơng gian tuyến tính thực X gọi không gian tiền Hilbert với x, y ∈ X , xác định số thực kí hiệu x| y gọi tích vơ hướng x, y ∈ X thỏa mãn: i) x|y = y|x ii) x + y|z = x|z + y|z iii) λx|y = λ x|y iv) x|x ≥ với x, dấu "=" xảy x = v) x|x = x Nhận xét 1.1 Từ tính chất i), ii), iii) v) Định nghĩa 1.2 ta suy ra: x+y + x−y =2 x + y (1.1) Công thức (1.1) gọi điều kiện bình hành Mệnh đề 1.1 Mọi khơng gian tiền Hilbert X khơng gian tuyến tính định chuẩn, với chuẩn xác định: x = x| x , ∀x ∈ X (1.2) Chứng minh Với số thực λ ta có: ≤ x − λy|x − λy = x|x − 2λ x|y + λ2 y|y , tam thức bậc hai theo λ có biệt thức ∆ ≤ 0: | x|y |2 − x|x y|y ≤ 0, hay | x|y | ≤ x y (1.3) Từ ≤ x + y|x + y = x|x + x|y + y|y ≤ ≤ x +2 x y + y = ( x + y )2 Vậy x+y ≤ x + y , (1.4) nghĩa bất đẳng thức tam giác thỏa mãn Mặt khác từ (1.2), (1.3) (1.4) ta suy x > x = 0, x = x = λx = |λ| x Do x chuẩn Nhận xét 1.2 Qua chứng minh ta thấy khơng gian tiền Hilbert ln có bất đẳng thức (1.3) gọi bất đẳng thức Schwarz Hơn nữa, theo đẳng thức hình bình hành (1.1) ln Vì: x + y|x + y − x − y|x − y = x|y nên có: x| y = ( x + y| x + y − x − y| x − y ) (1.5) Khi xn − x → 0, yn − y → 0, x n + y n → x + y , x n − yn → x − y , nên theo (1.5) có xn |yn → x|y Vậy x|y hàm liên tục x y Định nghĩa 1.3 Cho X không gian định chuẩn Dãy {xn } ⊂ X gọi dãy X lim n,m→∞ xn − xm = Nếu X dãy hội tụ, tức xn − xm → ⇒ ∃x0 ∈ X : xn → x0 , X gọi không gian đủ không gian Banach Định nghĩa 1.4 Không gian tiền Hilbert đủ gọi không gian Hilbert Định nghĩa 1.5 Không gian Banach thỏa mãn điều kiện bình hành gọi khơng gian Hilbert Bổ đề 1.1 (xem [10]) Cho x, y ∈ H Khi có kết sau: i) x| y ≤ ⇔ (λ ∈ R++ ) x ≤ x − λy ⇔ (λ ∈ [0, 1]) x ≤ x − λy ii) x⊥y ⇔ (λ ∈ R) x ≤ x − λy ⇔ (λ ∈ [−1, 1]) x ≤ x − λy Ví dụ 1.1 Cho (Ω, F, µ) khơng gian có độ đo, cho (H, | H ) không gian Hilbert thực, cho p ∈ [1; +∞) Ký hiệu Lp ((Ω, F, µ) ; H) khơng gian ánh xạ Boren đo x : Ω → H cho x (ω) p H µ (dω) < +∞ Ω Khi L2 ((Ω, F, µ) ; H) khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng (x, y) → x (ω) |y (ω) H µ (dω) Ω Ví dụ 1.2 Khơng gian Rk khơng gian Hilbert với tích vơ hướng k x| y = i=1 ξi η i , chuẩn xác định cơng thức x = k i=1 ξi2 Ví dụ 1.3 Cho T ∈ R++ cho (H, | H ) không gian Hilbert thực t Với y ∈ L2 ([0, T ] ; H), hàm x : [0, T ] → H : t → y (s) ds khả vi hầu khắp nơi [0, T ], với x (t) = y (t) hầu khắp nơi (0, T ) Chúng ta nói x : [0, T ] → H thuộc W1,2 ([0, T ] ; H) tồn y ∈ L2 ([0, T ] ; H) cho t (∀t ∈ [0, T ]) x (t) = x (0) + y (s) ds, lựa chọn W1,2 ([0, T ] ; H) = x ∈ L2 ([0, T ] ; H) x (t) ∈ L2 ([(0, T )] ; H) , với tích vơ hướng khơng gian Hilbert thực T (x, y) → T x (t)| y (t) H dt + x (t)| y (t) H dt Ví dụ 1.4 Trong Ví dụ 1.1, cho T ∈ R++ , tập Ω = [0, T ] cho µ độ đo Lebesgue Khi có khơng gian Hilbert L2 ([0, T ] ; H) với tích vơ hướng T (x, y) → x (t) |y (t) H dt Ví dụ 1.5 Trong Ví dụ 1.1, cho H = R Khi thu khơng gian Banach thực Lp (Ω, F, µ) = Lp ((Ω, F, µ) ; R) , với p = 2, không gian Hilbert thực L2 (Ω, F, µ) trang bị tích vơ hướng (x, y) → x (ω) y (ω)µdω Ω 1.1.2 Tính trực giao hình chiếu Định nghĩa 1.6 Ta nói hai vectơ x, y không gian Hilbert H trực giao với nhau, ký hiệu x⊥y , x|y = Ta nói vectơ x trực giao với tập C ⊂ H x trực giao với phần tử C Tập tất vectơ trực giao với C ⊂ H khơng gian đóng H Khơng gian ký hiệu C ⊥ gọi phần bù trực giao C Nhận xét 1.3 Từ định nghĩa suy số tính chất đơn giản sau: i) Nếu x⊥y y⊥x Ta có x⊥x x = Vectơ θ trực giao với vectơ x ii) Nếu x⊥y1 , y2 , , yk x⊥λ1 y1 + λ2 y2 + + λk yk iii) Nếu x⊥yk , yk → y (k → +∞) x⊥y Thật vậy, tính liên tục tích vơ hướng nên có: x|y = lim k→+∞ x, yk = iv) Nếu tập C trù mật H C ⊥ = {θ} Thật vậy, C trù mật H nên x ∈ H giới hạn dãy xk ∈ C : x = lim xk Vậy x⊥C kéo theo x⊥xk với k k→+∞ x⊥x ⇒ x = v) Nếu x⊥y x + y = x + y 36 điều mâu thuẫn với giả thiết T toán tử đơn điệu cực đại Ngược lại, giả sử b ∈ T (a) Xét với tốn tử đơn điệu T có: gra (T ) ⊆ gra T Dễ thấy (a, b) ∈ gra T thì: u − b| x − a ≥ ∀ (x, u) ∈ gra (T ) , có b ∈ T (a) ⇒ (a, b) ∈ gra (T ) Nghĩa gra T ⊆ gra (T ) Điều chứng tỏ T toán tử đơn điệu cực đại Mệnh đề 2.8 Toán tử đa trị T : H → 2H đơn điệu cực đại λT toán tử đơn điệu cực đại (λ > 0) Chứng minh Giả sử T toán tử đơn điệu cực đại λ > Do Mệnh đề 2.2 , λT toán tử đơn điệu Để chứng minh λT toán tử đơn điệu cực đại, sử dụng Mệnh đề 2.7 Giả sử (a, b) ∈ H × H thỏa mãn: b − u| a − x ≥ 0, ∀ (x, u) ∈ gra (λT ) Vì: ∀ (x, u) ∈ gra (λT ) ⇔ u ∈ λT (x) ⇔ x, λ−1 u ∈ gra (T ) , điều kéo theo: λ−1 b − λ−1 u a − x ≥ 0, x, λ−1 u ∈ gra (T ) Do T toán tử đơn điệu cực đại, từ ta có λ−1 b ∈ T (a) Từ ta suy b ∈ (λT ) (a).Vậy λT toán tử đơn điệu cực đại Ngược lại, giả sử λT toán tử đơn điệu cực đại λ > Đặt T = λT , T = λ−1 T 37 toán tử đơn điệu cực đại Định lý 2.2 (Xem [10]) Cho F : H × H → (−∞, +∞] hàm lồi cho F ∗ thường F ∗ ≥ | Ta định nghĩa toán tử đa trị A sau: graA = {(x, u) ∈ H × H| F ∗ (u, x) = x| u } Khi đó, có: (i) A tốn tử đơn điệu (ii) Giả sử F ≥ | Khi A toán tử đơn điệu cực đại Định lý 2.3 (Xem [12]) Giả sử C ⊂ H tập khác rỗng, lồi, đóng T : H → 2H tốn tử đơn điệu Khi z ∈ H, tồn x ∈ C thỏa mãn x + v| y − x ≥ z| y − x , (y, v) ∈ gra (T ) , ∀y ∈ C Định nghĩa 2.6 Toán tử đa trị T : H → 2H gọi toán tử tràn với v ∈ H tồn x ∈ H thỏa mãn v ∈ T (x) Mệnh đề 2.9 (Xem [10]) Cho T : H → 2H tốn tử đơn điệu cực đại với domT đóng Khi T tốn tử tràn Định lý 2.4 (Định lí Minty) Cho T : H → 2H tốn tử đơn điệu λ > Khi đó, T toán tử đơn điệu cực đại I + λT toán tử tràn, hay ran (I + λT ) = H Chứng minh Theo Mệnh đề 2.8, khơng tính tổng qt ta giả sử λ = Điều kiện cần: Giả sử T toán tử đơn điệu cực đại Áp dụng Định lí 2.3 cho C = H, ta có với z ∈ H, tồn x ∈ H cho: x + v| y − x ≥ z| y − x , (y, v) ∈ gra (T ) , ∀y ∈ H, hay v − (z − x)| y − x ≥ 0, (y, v) ∈ gra (T ) , ∀y ∈ H 38 Do tính đơn điệu cực đại T theo Mệnh đề 2.7 có: (z − x) ∈ T (x), hay z ∈ x + T (x) Từ suy ra: z ∈ (I + T ) (x) Vậy I + T toán tử tràn, hay ran (I + T ) = H Điều kiện đủ: Giả sử ran (I + T ) = H (x, u) ∈ H × H cho u − v| x − y ≥ 0, ∀ (y, v) gra (T ) (2.1) Ta khẳng định rằng: u ∈ T (x) Thật vậy, ran (I + T ) = H nên tồn ξ ∈ H cho: x + u ∈ (I + T ) (ξ) , hay u + x ∈ ξ + T (ξ) (2.2) Lấy y = ξ v = u + x − ξ ta v ∈ T (ξ) hay (y, v) gra (T ) Kết hợp với (2.1) được: u − (u + x − ξ)| x − ξ ≥ Từ suy x = ξ Mặt khác, (2.2) ta có: x + u ∈ x + T (x) , hay u ∈ T (x) Vậy T toán tử đơn điệu cực đại Định lý 2.5 Cho hàm số f : H → R ∪ {+∞} hàm lồi, đóng, thường, nửa liên tục Khi ánh xạ đa trị T : H → 2H cho công thức: T (x) = ∂f (x) toán tử đơn điệu cực đại Chứng minh 39 Với f : H → R ∪ {+∞} hàm lồi, đóng, thường, nửa liên tục dưới, theo Ví dụ 2.1 T = ∂f toán tử đơn điệu Theo Định lý 2.4, cần chứng minh I +T toán tử tràn, tức ran (I + T ) = H Thật vậy, với d ∈ H f ta đặt: hd (x) = f (x) + x − d| x Ta có hd (.) tổng hàm lồi, thường, nửa liên tục dưới, hàm lồi mạnh, liên tục hàm tuyến tính liên tục Vì hd (.) hàm lồi mạnh, thường, nửa liên tục Nếu y ∈ domf c ∈ ∂f (y), với x ∈ H ta có: f (x) − f (y) ≥ c| x − y Do ta thu được: hd (x) ≥ f (y) + x 2 − d| x + c| x − y ⇔ hd (x) ≥ f (y) − c| y + x 2 + c − d| x Mặt khác, vì: x 2 + c − d| x ≥ x 2 − c − d x → ∞ x → +∞, nên hd (x) → +∞ x → +∞ Vậy hd (.) thỏa mãn điều kiện bức, theo nghĩa hd (x) → +∞ x → +∞ Do hd (.) lồi mạnh nên toán: {hd (x) : x ∈ Rn } có nghiệm Gọi x∗ nghiệm tốn này, ∈ ∂hd (x∗ ) Sử dụng Định lý Moreau-Rockafellar, ta có: ∈ ∂hd (x∗ ) = ∂f (x∗ ) + x∗ − d Từ suy ra: 40 d ∈ x∗ + ∂f (x∗ ) Do d phần tử nên: I + T = I + ∂f toán tử tràn Vậy, T toán tử đơn điệu cực đại Ví dụ 2.10 Cho C tập khác rỗng, lồi, đóng khơng gian Hilbert H Khi NC tốn tử đơn điệu cực đại Chứng minh Vì C tập khác rỗng, lồi, đóng khơng gian Hilbert H nên theo Ví dụ 1.9 ta có: NC = ∂ιC Kết hợp với Định lý 2.5 cho ta kết NC toán tử đơn điệu cực đại Mệnh đề 2.10 (xem [13]) Cho H không gian Hilbert, J ánh xạ đối ngẫu Ví dụ 1.8 T : H → 2H toán tử đơn điệu cực đại toán tử đa trị T ( + ω) + J toán tử tràn với ω ∈ H 2.1.4 Hàm Fitzpatrick Định nghĩa 2.7 Cho A : H → 2H toán tử đơn điệu Hàm Fitzpatrick A là: FA : H × H → [−∞, +∞] (x, u) → ( y| u + x| v − y| v ) sup (y,v)∈graA = x| u − inf x − y| u − v (y,v)∈graA Ví dụ 2.11 Cho A ∈ B (H) toán tử đơn điệu qA : H → R : x → (1/2) x| Ax Khi (∀ (x, u) ∈ H × H) FA (x, u) = 2qA∗ 1 u + A∗ x 2 41 Chứng minh Lấy (x, u) ∈ H × H Khi ta có: FA (x, u) = sup ( y| u + x| Ay − y| Ay ) y∈H 1 y| u + A∗ x − y| Ay 2 = sup y∈H = 2qA∗ 1 u + A∗ x 2 Mệnh đề 2.11 Cho A : H → 2H toán tử đơn điệu cho graA = ∅ (x, u) ∈ H × H Khi có: (i) Nếu (x, u) ∈ graA, FA (x, u) = x| u (ii) FA (x, u) ≤ x| u {(x, u)} ∪ graA đơn điệu (iii) FA (x, u) ≤ FA∗ (u, x) (iv) Nếu (x, u) ∈ graA, FA∗ (u, x) = x| u Chứng minh (i) Vì x − y| u − v = inf (y,v)∈graA nên theo định nghĩa hàm Fitzpatrick toán tử A thu FA (x, u) = x, u (ii) Dễ dàng suy từ định nghĩa hàm Fitzpatrick (iii) Kết hợp định nghĩa hàm Fitzpatrick với (i), thu được: FA (x, u) = sup ( y| u + x| v − y| v ) (y,v)∈graA = sup ( y| u + x| v − FA (y, v)) (y,v)∈graA ≤ sup ( y| u + x| v − FA (y, v)) (y,v)∈H×H = sup (y,v)∈H×H ( (y, v)| (u, x) − FA (y, v)) 42 = FA∗ (u, x) (iv) Ta có: FA = (δgraA−1 + | )∗ nên FA∗ ≤ δgraA−1 + | Kết hợp điều với (i) (iii) thu được: FA∗ (u, x) ≤ x|u = FA (x, u) ≤ FA∗ (u, x) Vậy chứng minh xong (iv) Mệnh đề 2.12 Cho A : H → 2H toán tử đơn điệu cực đại Khi FA ≥ | graA = {(x, u) ∈ H × H| FA (x, u) = x| u } Chứng minh Lấy (x, u) ∈ H×H Nếu (x, u) ∈ graA theo Mệnh đề 2.11(i) có FA (x, u) = x|u Ngược lại (x, u) ∈ / graA {(x, u)} graA không đơn điệu nên theo Mệnh đề 2.11(ii) ta thu FA (x, u) > x|u Mệnh đề 2.13 (Xem [10]) Cho A : H → 2H toán tử đơn điệu cho graA = ∅ Khi đó: (i) FA∗ ≥ | (ii) Giả sử A toán tử đơn điệu cực đại Khi graA = {(x, u) ∈ H × H| FA∗ (u, x) = x| u } Mệnh đề 2.14 (Xem [10]) Cho H → 2H toán tử đơn điệu cực đại đặt Q1 : H × H → H : (x, u) → x Khi intdomA ⊂ intQ1 (domFA ) ⊂ domA ⊂ Q1 (domFA ) ⊂ domA 43 2.2 Tổng hai toán tử đơn điệu cực đại Nếu T1 , T2 hai tốn tử đơn điệu theo Mệnh đề 2.2 toán tử T1 + T2 xác định sau: (T1 + T2 ) (x) = T1 (x) + T2 (x) = {x∗1 + x∗2 | x∗1 ∈ T1 (x) , x∗2 ∈ T2 (x)} toán tử đơn điệu Vấn đề đặt T1 , T2 hai toán tử đơn điệu cực đại T1 + T2 có tốn tử đơn điệu cực đại hay không ? Để trả lời câu hỏi này, trước hết xét ví dụ sau: Ví dụ 2.12 Giả sử H = R2 , C = B ((−1, 0) ; 1) , D = B ((1, 0) ; 1) Khi NC , ND tốn tử đơn điệu cực đại (theo Ví dụ 2.10) với (domNC ) ∩ (domND ) = ∅ Tuy nhiên ran (NC + ND ) = R × {0} nên theo Mệnh đề 2.9 NC + ND khơng toán tử đơn điệu cực đại Sau phát biểu chứng minh kết vấn đề nêu Định lý 2.6 Cho Q1 : H × H → H : (x, u) → x, A, B toán tử đơn điệu cực đại từ H → 2H cho ∈ sriQ1 (domFA − domFB ) Khi A + B toán tử đơn điệu cực đại Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 2.12 Mệnh đề 2.11 (iii) với (x, u1 , u2 ) ∈ H3 , có: x| u1 + u2 ≤ FA (x, u1 ) + FB (x, u2 ) ≤ FA∗ (u1 , x) + FB∗ (u2 , x) (2.3) Như hàm F : H × H → (−∞, +∞] : (x, u) → (FA (x, ) FB (x, )) (u) (2.4) lồi, thường thỏa mãn F ≥ | (2.5) 44 Kết hợp Bổ đề 1.2 (2.3) có: (∀ (u, x) ∈ H × H) , F ∗ (u, x) = (FA∗ (., x) FB∗ (., x)) (u) ≥ F (x, u) ≥ (x, u) (2.6) Bây ta cố định (x, u) ∈ H × H giả sử F ∗ (u, x) = x| u Khi (2.6) Mệnh đề 2.13(i) đảm bảo tồn u1 , u2 ∈ H cho u1 + u2 = u x| u = F ∗ (u, x) = FA∗ (u1 , x) + FB∗ (u2 , x) ≥ x| u1 + x| u2 = x| u Tiếp theo, Mệnh đề 2.13(ii) nên ta có FA∗ (u1 , x) = x| u1 , FB∗ (u2 , x) = x| u2 (x, u) = (x, u1 + u2 ) ∈ gra (A + B) Bây ta giả sử (x, u) ∈ gra (A + B) Khi tồn u1 ∈ Ax, u2 ∈ Bx cho u1 + u2 = u Như vậy, áp dụng Mệnh đề 2.13(ii), ta có: FA∗ (u1 , x) = x| u1 , FB∗ (u2 , x) = x| u2 Kết hợp điều với (2.6) thu được: x| u = x| u1 + x| u2 = FA∗ (u1 , x) + FB∗ (u2 , x) ≥ (FA∗ (., x) FB∗ (., x)) (u) = F ∗ (u, x) ≥ x| u Bởi F ∗ (u, x) = x| u Nói tóm lại, {(x, u) ∈ H × H| F ∗ (u, x) = x| u } = gra (A + B) (2.7) 45 Kết hợp (2.5), (2.6), (2.7) Định lý 2.2 (ii) kết luận A+B toán tử đơn điệu cực đại Định lý 2.7 Cho A B toán tử đơn điệu cực đại từ H → 2H cho cone (domA − domB) = span (domA − domB) Khi A + B tốn tử đơn điệu cực đại Chứng minh Sử dụng Mệnh đề 2.13 có: cone (domA − domB) ⊂ cone (Q1 (domFA ) − Q1 (domFB )) ⊂ span (Q1 (domFA ) − Q1 (domFB )) ⊂ span domA − domB = span (domA − domB) = cone (domA − domB) Do giả thiết Định lý 2.6 thỏa mãn nên từ kết Định lý 2.6 ta chứng minh xong định lý Hệ 2.1 Cho A B toán tử đơn điệu cực đại từ H → 2H cho điều kiện sau thỏa mãn (i) domB = H (ii) domA ∩ intdomB = ∅ (iii) ∈ int (domA − domB (iv) (∀x ∈ H) (∃ε ∈ R++ ) [0, εx] ⊂ domA − domB (v) domA domB lồi ∈ sri (domA − domB) Khi A + B đơn điệu cực đại Chứng minh (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ cone (domA − domB) = span (domA − domB) (v): Do cone (domA − domB) = span (domA − domB) ⇔ ∈ sri (domA − domB) 46 Định lý 2.8 Cho H không gian Hilbert,cho T : H → 2H toán tử đơn điệu cực đại f hàm lồi, đóng, thường H Giả thiết ∈ core {conv dom (T ) − conv dom (∂f )} Khi đó: i) ∂f + T + J toán tử tràn ii) ∂f + T toán tử đơn điệu cực đại Chứng minh i) Ta xét hàm Fitzpatrick FT (x, x∗ ) fJ (x) := f (x) + x Đặt G (x, x∗ ) := −fJ (x) − fJ∗ (−x∗ ) Áp dụng Mệnh đề 2.12 bất đẳng thức Frechel - Young, thu được: FT (x, x∗ ) ≥ x, x∗ ≥ G (x, x∗ ) Do giả thiết ∈ core {conv dom (T ) − conv dom (∂f )} , áp dụng Mệnh đề 1.5 thu ∈ core {domFT − domG} Khi với ω ∈ H ω ∗ ∈ H∗ , áp dụng Định lý 1.6, thu được: FT (x, x∗ ) − G (z, z ∗ ) ≥ ω (x∗ − z ∗ ) + ω ∗ (x − z) (2.8) Bởi vậy, với x∗ ∈ T (x) , x ∈ dom (T ) với z, z ∗ có: x∗ − ω ∗ , x − ω + [fJ (z) + fJ∗ (−z ∗ ) + z, z ∗ ] ≥ ω ∗ − z ∗ , ω − z Bây ta sử dụng −ω ∗ ∈ dom (∂fJ∗ ), áp dụng Mệnh đề 1.5 với số v, −ω ∗ ∈ ∂fJ (v) x∗ − ω ∗ , x − ω + [fJ (v) + fJ∗ (−ω ∗ ) + v, ω ∗ ] ≥ ω ∗ − ω ∗ , ω − v = 47 Từ ta có: ω ∗ ∈ T (ω) Thay x = ω x∗ = ω ∗ vào (2.8), xếp lại ta có: ω ∗ , ω + { −z ∗ , ω − fJ∗ (z ∗ )} + { z, −ω ∗ − fJ (z)} ≤ 0, với z, z ∗ Lấy supremum qua z z ∗ ta có: ω ∗ , ω + fJ (ω) + fJ∗ (−ω ∗ ) ≤ Theo Mệnh đề 1.5, điều cho thấy −ω ∗ ∈ ∂fJ (ω) = ∂f (ω) + J (ω) Vậy ∈ (T + ∂fJ ) (ω) kết luận ∂f + T + J tốn tử tràn Vậy ta chứng minh xong i) Ngồi ra, theo Mệnh đề 2.10, ta có ∂f +T toán tử đơn điệu cực đại Vậy chứng minh ii) 48 Kết luận Toán tử đơn điệu lĩnh vực quan trọng giải tích đại, có nhiều ứng dụng giải tích ứng dụng nhiều ngành tốn học ứng dụng khác bất đẳng thức biến phân, cân bằng, tối ưu hóa, Luận văn nhằm trình bày cách tổng quan kiến thức toán tử đơn điệu, toán tử đơn điệu cực đại khơng gian Hilbert Cụ thể trình bày: • Các định nghĩa tính chất tốn tử đơn điệu, đơn điệu tuần hoàn, đơn điệu cực đại; • Điều kiện đủ để tốn tử đơn điệu đơn điệu cực đại; • Tính đơn điệu cực đại tổng hai toán tử đơn điệu cực đại Mặc dù cố gắng, song thời gian có hạn trình độ cịn hạn chế, nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả luận văn mong đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! 49 Tài liệu tham khảo [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, Hà Nội [2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực giải tích hàm (Giải tích đại), Nhà xuất Đại học quốc gia, Hà Nội [3] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nguyễn Hữu Điển (sẽ ra), Nhập mơn Giải tích lồi, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội [4] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình Giải tích đa trị, Nhà xuất Khoa học tự nhiên công nghệ [5] Borwein J.M & Zhu Q.J (2005), Techniques of Variational Analysis, Spriger - Verlag [6] Fitzpatrick, S (1988), "Representing monotone oparators by convex functions" Work shop/Miniconferece on Function Analysis and Optimization (Canberra), 59-65, Proc Centre Math Anal Austral Nat Univ., 20, Austral Nat Univ,.Canberra [7] G.J.Minty (1961), "On the maximal domain of a monotone function", Mich.Math.J.,8,pp.135-137 [8] G.J.Minty (1962), "Monotone nonlinear operators in Hilbert space", Duke.Math.J.,29,pp.341-346 [9] G.J.Minty (1964), "On the monotonicity of the gradient of a convex function", Pacific.Math.J.,14,pp.243-247 50 [10] Heinz H Bauschke, Patrick L Combettes (2011), "Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces", Springer [11] Rockafellar R.T (1970), "Convex Analysis", Princeton University Press, Princeton [12] Rockafellar R.T (1965), "Multivalued Monotone Nonlinear Mappings in Banach Spaces", Trans.Amer Math.118, 338-351 [13] Rockafellar R.T (1970), "On the Maximality of Sum of Nonlinear Monotone Operator", Tran.Amer.Math 149 [14] Simons S and C Zalinescu (2004), "A New proof for Rockafellar’s characterization of maximal monotone operators", Proc Amer Math Soc 132 ... TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHƠNG GIAN HILBERT Chương đề cập đến vấn đề quan trọng tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert khái niệm toán tử đơn điệu, đơn điệu tuần hồn, đơn điệu cực đại, ví dụ tốn tử đơn điệu. .. Toán tử đa trị T : H → 2H đơn điệu cực đại λT toán tử đơn điệu cực đại (λ > 0) Chứng minh Giả sử T toán tử đơn điệu cực đại λ > Do Mệnh đề 2.2 , λT toán tử đơn điệu Để chứng minh λT toán tử đơn. .. tốn tử đơn điệu, đơn điệu tuần hồn, đơn điệu cực đại; • Điều kiện đủ để tốn tử đơn điệu đơn điệu cực đại; • Tính đơn điệu cực đại tổng hai toán tử đơn điệu cực đại Mặc dù cố gắng, song thời gian