Từ hàm đơn điệu một biến thực đến toán tử đơn điệu trong không gian hilbert

10 ĩv 0, y = 24 21 22 27 25 20 30 26 29 28 19 23 i2 18 17 12 15 13 16 11 14 Ill X n •(x, Khơng [vơ atử ,lđơn với chuẩn SỐ ỳ) gọi làkgian hình tích cầu hướng vị hai vectơ H X yrTẠO ;cực Định líB chứng minh b )dụ Phần Hàm cuối khoảng luận văn Cho dành cthức giới thiệu đóng, hàm điểm gần kềitại đễn • Nửa liên tục Xộ €điệu domF với pháp mở H thỏa c mãn xs□ũyử Ví 2.2 R khơng gian Hilbert hướng X = (£1 Định Ví dụ lý 2.9 2.7 Xét V phương i Cdưới ccách: trình à6] m đamở tcủa tđể ậtrong pvới ltập ồtích iVÀ ,+lồi, kvơ hđiệu áphương cmọi ỗ tuyến ntập gpháp thai rngồi okhoảng nVvectơ gc M cách G ảgiải GIÁO DỤC 2.2 Tốn đơn đơn đai BỘ + ĐÀO +M Vậy nên Khi với trọng (Pj); nên ta ln có Suy I(a,b) g (x) cho := /" ( y hàm ỵ ) ) > < 0, 0, k k = = 1,2, ,71, 1,2, , Tỉ, t t a a đ đ ề ề u u c c ó ó lồi lõm khoảng (a,b) Thật vậy, tồn cG (0, b ) cho CĨ Gọi dạng s1.4 (1.1) diện tích ũk = hình Xxác k phẳng (khoảng kcặp =trên 1, giới hạn =, b 0, =đơn a;điệu 0,xk giảm y,-khi =ta thìchỉ kmỗi Đặc Trong biệt, đó, yTvới ứng với X2,n): min{ iM ,đề xMlà xGbởi ,I y(vơ akX}hàm ,hướng max{a^jk )Xđơn ịyđiệu < i=Vtăng Theo giả có Định lý 1.2 Hàm Hàm f3), f((xx4) )trong )xác định định hàm và k nằm kmột 2] Các tiên đề 1), 2), gọi hệ tiên tích X đơn điệu bậc cao tốn tử đơn điệu cực đại tập F(x) chàm Ỷ định 0,)Mọi tồn nghĩa lân cận dc(x) mở := u X||rc — cho: yp&k II hàm lồi.tuyến tính định rbao i {( dy1.2 oi nnghĩa m.V.fHàm ),TRƯỜNG ny2.6 ivới C Ỷ 05 k h i đ ó = ,lý thức là: ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI kr Định 2.2 pũịc khơng gian p&k tiền Hilbert H khơng gian -1 Cho [—oo,+oo] n: H n( Định lý uxđiệu - Rbiến oxcó: cn k, bậc atthực fae lnlđatrên r□ & max thiết ( 'ta tn)xfbộ có /^ (y )xx>0, Ả: 1,2, khi với cặp số dương số dương ữif||x|| ,a ilà , anm , , ,nầ( ,77, vM X xenn ta ềsự u) fchỉ ( x với i)các > fhàm (2.2.1 xcặp nói )= tX m ơvà giảm k~ /ũđiệu 71 \an2.5 /x+ n2, , \0ịa, ,đồng 2, ,a 2= )f kthì + aiX + +và ữ(yộ|x(í)| _k caịh iX ầonđr= Tập lồi hàm lồi / f ( a ) < / f ( x ) d x < / f x(1,2) Nhận xét 1.1 Nếu hàm số f(x) đơn tăng (giảm) liên tiếp bậc k -l) y-' f k ( k ) _ f k { U k ) y-' f ' k ( U k ) (Zfc — Những nội dung tổng hợp từ nguồn tài liệu khác cực đại 45 a < t< b Xfc f { a ) > [ f { x ) d x > y-' _ fk2.2 (x ) _ fk (yk) — í 1fm )-ồ 1d.(i,X] x,ncơng í9thức (t+xmột Định nghĩa Cặp (H, 0,j ,(2x , ;đó P +n P{yk) 2s* d aờ -x +n.Pgf'k (1fcấp (1h1trên -â510 nkhơng xác G ảavới (/i, lF à>1{6yf(.,.)), h= lk. Jư ( m k -i acó Định 1.3 Hàm số ('b€àđịnh xtính )-argmin 71, N*) khơng dấu Iinghĩa x Ja {/(z) :.hu X M }(Fnn., =G ađạo I(a,b) tachuẩn cóỉ/fc) cchuẩn, (nên ,sbử ).trên s = b U kó/r ) :Tiếp x ) n V Ỷ 0, € n o m “í w (Zfc “ ¿í /r M ( fc y*) ¿í lỉ/r M theo, ta nêu số chất hàm đơn điệu liên quan đến tích • Tập đồ thị / là: fc=l J1ungun /là Jflj 0điệu \*r=l IM, ( a(.,.) , 1đơn bnghĩa ) làthì với V €trên xđược )các \\fc=l xgọi E5^6^’ Itập (hợp aG,R, b ) , =/phương trình fcác ( x )hệ V Định 2.3 Một tập ctốn ç0f 'và H(và ỉồi hàm điệu biến thực tốn khơng gian Hilbert riêng y,kdương, )-/ tử trường =V kđơn quan trọng 45 vơ gọi khơng giãn tiền Hilbert thực >= số vi phân G z* 1, 2, , n) “Í r2.2.2 ( V Dưới kntích )Giới i k(ữ, -thiệu Vlà khướng ))các “được fsố r< ( VH k(là )xđược i,đơn )là“í ü/r M(i ttrong r êf nMặt H3.1 khoảng b gọi điệu ngặt (thực bậc n) Nếu (X) 0, khơng gian Hilbert khác, < X a , f ( x ) > f ( a ) Suy phân ta cónghiệm iXx =1 Ví dụ ythỏa = ftheo ( xhình =ghiệu làf'_i{x) hàm đơn điệu thực (— ln có1.1 nhất, = VGthuộc I—(hầm a0,,điều bđơn )—phải điệu Gọi Snội 'Hàm làndung diện tích phẳng giới hạn Xgiảm X atrên ;R+ ymột —00 0,, 0] y Với này, hi)||x|| vọng luận văn: “Từ biến =X( y/(X, x), H (2.2) Lấy tống kkí ,H ta thu (1.8), chứng minh _1 □ hiển nhiên mãn o x ) hàm đơn điệu tăng thực 3.2 Thuật tốn hội tụ • Ánh xạ F gọi nửa liên lục liên K h i đ ó v i m ọ i X G t h ì k\fx h i v c h ỉ k h i f k ( X k ) = f k ( y k ) + ^ ( x y )Xx + (bậc +)(nửa —%r xtục V k Ỵ48 Vx, y G c, VA Gvới [0,1] =>■ + (1 — X)y G {trên c k điệu ktẫng k - dưới) G (a, b) ta nói hàm số f(x) đơn Ví dụ 2.1 M khơng gian tiền Hilbert với tích vơ hướng e p i f := {(z,0 G H X R \ f x < £}, • Nhưng khơng gian Cịa.b] chuẩn Định 2.9 là) hàm hàm đơn tăng thực sự) lồi [0, H +00 ^thì P ktử fGiả (đơn ksửf)điệu < ) ^/ nP ỉ hàm {f (6nhất xvới = f Quy ( đến cnghĩa e\)Ỵ ,1.2 Sđiệu ' tương =xđịnh (\/abởi Trong trường hợp (ax(Maclaurin, ak— ) g< /(ữ) > b□, k) thực tốn khơng Hilbert” tàitập tham 1! chuẩn xác cơng thức 2a naliên /cả n)fhai \xc Ỉ(ữi, \ak21.7 Nhận xét Nếu hàm số f ( x lồi (lõm) có đạo làliệu hàm tắc cho ứng điểm aagian — ữ , , G1)! nghiệm 2(nửa Định lý Cauchy) n )bậc Lời cảm ơn [ f ( x ) d x > í (kề )đơn dtục = f(77, (tại )mọi e d f { y + N { y ) H F nửa tục liên dưới) điểm thuộc H Hệ 1.1 Giả sử g (X) := /ồ hàm điệu tăng [0, +oo) , , y/r^-^r , , y^/r^-^r nĐịnh khoảng 3.2.1 Thuật tốn điểm gần 48.i n \k=1 / Ví:=l / \k=1 / Chuẩn gọi chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng lýc2.5 1.5 Để thức • Phiếm hàm X+ * đẳng £ H gọi đạo hằm / X £ H ((1.19) ^2 a f ( x ) < Ị ^2 a Ị / Ị ^2 x 1 21 ) k k k k ta ó S ị s > s — s Do đó: ớ(/i,/ ,.-.,/m)(z) D d f i ( x ) + d f { x ) + + d f ( x ) , V x G H n Ví dụ a) Các nửa khơng gian đóng hay nửa khơng gian mở khảo cho quan tâm đến đề tài Jmột Jữ 2mọi u (X, y) ^2-hàm ^V lồi H X Định nghĩa 1.2 Giả sử fasố (,hàm xf(x) )b,)gđơn (tại xmột )điệu ['giảm khả (a, số âm Irằng (0kí với enếu fánh (a■đồng xm,■xạ )b,,x]trên M x[0,+oo) eđều aM ,và—> bcó )là củatập trình trên, hiệu F(a) cho ta đa trị FtaIvi :(ln Giả thiết f(x) giảm (0,+oo) Khi Định lý 1.9 Giả thiết hàm đơn điệu /(0) TRẦN THỊ NGOAN "' ¿Í ¿í (n 2)!#(v*) •phương F(dương) gọi làR liên tục Xlà €= domF F thời nửa liên tục Lời cam đoan TRẦN THỊ NGOAN ii, Khi với dãy dương giảm X ị , x , ■ , ta có: (1.1) n k tĐịnh r o n g đ ó nghĩa 1.4 Hàm số f(x) có đạo hàm cấp n, (n G N*) khơng đổi dấu i =1quả Luận văn hồn thành Đại họcn Sư phạm Hà Nội Tốn tử1cam đơn điệu lĩnh vực vàf'_i{x) quan flà kcó cứu tập lồi •trong Miền dụng Tơi xin luận văn nghiên riêng tơi Chứng minh số thực A ta^nghiệm có: •Trường k= 1n,là \k=1 ỉ dtj \k=1 /Hcó.của Khi đó: n— 1các phương flà (đoan xSự )liên = Vngược ln nhất, kí hiệu =trọng V2(1.18) thuộc 2C0.,Vậy tập hợp số phức X -số Vđó kTI— )ta xln hội tụ 49 =6) Gọi ftrình ~3.2.2 (cahữu xVới )n' hợp hàm f•là (.•xx{kết )xịt)| kx Khi fc nửa tục X ( x * x — x ) < f ( ) — f ( x ) , V E R Tập số thực R Tập hợp thực + n Ẻổ H n n ữ ế u t n t i x )-y ) < 0, V x XI/(*0 ^w (/xdùng fnx)(kR ) ) ^2 d1 (xùỉ (J Danh mục kíNhiệu thường ( y ) ■ = € I , X — khoảng (a, b) c giả gọi đơn ngặt bậc n) Nếu (x) < 0, Vx G -1 Chứng minh Theo thiết hay f{x k k + ) giải tích đại nhiều nhà tốn học hàng đầu giới nghiên b) Các vng tập lồi ab< fknn()=y,xẼTSKH )N* d xhình + Ị/elip fQ ~ (trên xd)Mưu xcác Va, bgiúp >số Định lý=f)hình Giả số hai hướng GS Lê Dũng vàĩ 'có: hướng ( xđều )chẵn xdM >,thì aSự bdãy — ađỡ fnếu (a:) Chứng minh fsử (hay đơn điệu tăng hiển fc=0 GS.TSKH Lê Dũng {1.17 xdẫn )ikhơng gcủa )phải gọi điệu )c- gdẫn ' { xHtận ) > I ( ahướng {lại với xdẫn ,x yt ạ=i {m yJmột 77,! 2đ, i=l •íX,)bnghĩa Nếu í,,1 xKhi lcủa i2(ê, xnĐồ lxvà ụ1thị, cdomf ọu yigian imc\f(x) ểHilbert mMưu ttính h umiền ộeđơn c< H thìnhiên F l ita êánh n {txụxạ k =1 khơng Định 2.11 miền hữu hiệu, ảnh đa trị F :i := {x G +oo} 0phàm f (ữ) evâ cb) l n ó n h p t u n g o ủ a t i y •Định Tập tất đạo X gọi hàm / Kết luận 56 tình thầy suốt q trình thực luận văn giúp tơi nhiều nghĩa ii) fy( x2.4 ) ,01•gMột ( x )c tập c gọi khấc tính đơnđỉnh điệutạinếu ĩ'{x)-g'{x) a; GlàPlgọi domfi ç) H nón có 0là )chẵn \gTỉ} (1cơng 11 )g Định lý ( đẳng Cauchy, y G 6), k = 1, Nhận (1.5) ) hàm tăng J 1.15 G ả s w số hai dãy Ví dụ 2.11 đa trị F : xác định Ví dụ 2.3 Khơng gian Trong q trình nghiên kế thừa thành khoa thỏa mãn với X i , x , , x , điều kiện cần đủ hàm x Bên cạnh kết có ýkhơng nghĩa quan trọng mặt lí học thuyết, tốn Chứng minh Bất đẳng thức trực tiếp so sánh diện tích tạo Định lý 2.4 Với x,y thuộc gian tiền Hilbert H ta ln có Ví dụ 2.6 R Cho c cquả H, ta' vần epiic — c ỉc hàm tập lồi Định nghĩa 1.5 Nếu số ftương ( xcác )suy có đạo hàm bậc vàlàcủa bậc hai ỉ= 1+thời X, kí hiệu df(x), cách có ỷhàm 7đạt ịcó -+(x (2điệu )biến, ynx/đồng m ộNhận àcũng m n2.7 ogọi ó/ F(x) )fđơn hcảm ìđiệu bx—»■ aII® obậc hf-tại t> ứ()NI cfc tơ+điệu rđược êtrường ẽđiểm rchất ađỉnh dvà ấbài ucác bmột ntrên gsố khơng gian Theo Định 2.7, điều kiện đủ tiểu h(1.15) -ađtrọng {tviệc xy\\ )fTỐN d2 x+ > (àminh am )2ữ — G c 0fmọi •ứnHàm /1.2 gọi phẫn df(x) ^k Moreau-Rockafellar Định lý Cho hàm số fquan (thắng xF )xtập đạo hàm (a , btrên ).nhất jHầ f {khả jtại )với < j=vi fcó jdưới =) khoảng 1,2, , n 1.1 Hàm điệu tính chất liên quan 3/ tkiện clà lliên àphòng Nội sau đại học, thầy giáo nhà trường, thầy giáo Hệ Giả thiết ( ) hàm đơn điệu giảm [0, +oo) R € dh{ỳ) Do ri(domf) n riC Ỷ 05 theo Định lí d o m {ỉ G X : F ( x Ỷ 0}ỵ Nội, 07 năm 2016 hay quan đếntốn đạo hàm cấp tốn cấp Các thức khái biến niệmphân kết khơng vớitối tích vơbài hướng nhiều cácgian lớpr Hilbert ưu, bất2.đẳng vàquả tốn TRONG KHƠNG GIAN HILBERT một=atrong số họa cuối chương chúng tahàm để vềý 1xb)và âm suy (2£, achun tavới nói số f2a(f{rằng giảm tiếp bậc (1,2) tăng (khi 0) tính đơn điệu giảm a(4=r> < 0) khoảng Mà ốví >IaHdụ điều với fgiúp ).đồng hàm nghịch )0 Nếu f2.8 (,minh >thì X G (f(í), , b)đơn ssố ốmỗi yVnghiên (biến xcứu ) tùy đơn Để ýxGọi (0) f> (+Hàm x)mọi )này ngược (x,x(khi x)được )+ Khi ta có Chứng ỡ(/i,/ minh ,.-.,/m)(z) díPhần ef-¥ H, {xlồi xhàm )giả cóy2thiết d+oo] )đã xgọi điệu + ddành fln xliên )= ,gian xn=của G H I(a,b) có m {k dạy cao học ngành Tốn Giải tích đỡ, tạo điều kiện lợi Khi đó, ứng với hàm /i /2 fn (t) bậc 2rằng Tập hợp 6trái (í= )ykta d(í), x(+ >tập acon khơng Hf thuận Định nghĩa /0=x,y :hàm H (—oo, Hàm đơn điệu Ví dụ 2.8 Cho c tập khác rỗng Xét hàm tập c có X +1.1.1 X~Với + x + + + y , x ^ y , 1, 2, , n f k { y k ) ntất nH k knhất tham khảo từ tài liệu [2], [3] cân f X k ) f ị Tác giả luận văn < rđơn g(jelí Fđiệu — {fra y,adấu G Y+của ,(1.2) 3>x-1đẳng G : y cực G (về x) )của } tổng (1.9) Lấy tổng theo j = l,2, ,n), từ ta thu (1.1) \ { x y ) \ < ( x x ) ■ ( , y (2.1) hay :X +đơn +yF ơb < a ( ) ò/ (ò), Va,ò>0 tốn tử đơn điệu, cực đại, tính điệu đại hai tốn tử I ( a , b ) cho trước Các định cho ta thấy rõ đặc trưng (bất đẳng Vx G c, X, fi Xx + py G c (a, 6) Vậy khơng xảy thức □ J 1-1 tăng bậc ỉk{yk) cao f'k(yk){ k — Vk) 14)£ ( 12 k > lkhảo Từ nGiả gtừhđó i ệ m t ố i u c ủ a b i t o n : tài [1], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12] sử ycChuẩn Ỷđược với số À00G cóG [/(a),/(/3)) giảm khoảng _1affine 1! 2ta _1đều jhàm , k =1 Ví;=l / phải Ví;=l / với 0giảm y0 G VA Gminh [0,1], taTập có gian Hilbert Xét ứng dụng tử đơn cực phương pháp V(động ìln yx1.6 G+ nên c { y ) = N ( y ) II® -c, y|| = ( x y , X y ) = INỊ + l|y|| (®, y ( y , ®>, Mã số: 60 46 01 02 ln viên, hỗ trợ tạo kiện cho suốt q trình học có chuẩn cảm sinh f ( x ) + e f ( h ) n < (1 + e n ) f { l x + h Ve, h (1.3) xc+: xỊThị f ~Ngoan x ~ d x ^+a b .n— anf_(\aX) + a n = 0} g p h F = {(a,/ xf )( xG) dXTrần 4a (i X +ữ □ 1.1.1 Hàm đơn điệu < (x y , X y ) = ( x , x ) ( x , y ) + ( y , y )liên Chứng minh Lấy hai điểm X i , x ( ỈI < x khoảng Vì fhàm ( 2n+l x ) 19 có { f ( x ) : X G K } VGhạn, 2(a, +6) da J f{a) 2 Tốn tử đơn điệu đơn điệu cực đại điểm gần kề để giải bao hàm thức Vậy Định lý 1.13 V(1 ớluận iminh mvăn ọ i đối hđược (x m+ ốđược fXthức ( x+\thỏa )f Xy) có >nG0c, hàm tục cấp ta dễ dàng chứng (1.5) mãn Chẳng tatớithấy số vâ ;n Do |a;| Giá trị tuyệt tập thực — A)ỉ +àXy GsX\y, c, xc , yđạo VA M Cộng hai đẳng thức ta đẳng (2.5) nhiện nhàm 2 Khi vi phân của X £ c nón pháp tuyến □ 2.1 Khơng gian ' ídktrên M -]V k )x có đạo hàm ntrên n+xX [0,1] 6x— íbJf^)(faJHilbert x)••• ),chỉ dị +Jkxff(khi < af(a) í( > f *^2) (tục xaf)hay f(•.(x[{xì)aX)d,kxlà 71 2n+1 thức ( b x ) d x f *^15 • • đạo hàm khoảng ( a , nên ( x ) liên b Khi £ —> ta thu ( x h > f x ) , hàm đơn điệu Dấu đẳng xảy = b y 2, Mục kgo văn giúp làm quen với cơng G f3=là (là y+M )bước +đều N y )tại định G N* fđích (x)chính Ỷthành với b), đa em thức P 2trên n{ )bốn bậc khơng (f0rXx(khơng sina;, X{F G M ctồn Định lý 1.8 Giả thiết x)G )Fd=(a, đơn điệu (0, dluận r , hàm r«^0 gngầm eđầu = c.và 2.1 Khơng gian Hilbert Ta thường kíX hiệu I(a, cư nhằm tập xlà Tơi xin chân cảm !kiM Hệ 2.1 Giả H là6) xgiảm , y( x,trong zkk )h€gi (vH àk )c+oo) h ỉ hợp k19 h=i ngồi c 0ơn 2cJa XI Psử j Pcả kJ 9xcủa {chứa x tập j )Hilbert xlà ]Khi J ( j1 ) gian Nc Nón pháp tuyến (ngồi) Xfđược 2+điểm Tương giao tất tập affine tập c H gọi bao khoảng ( x i , x ) Áp dụng định lí Lagrange cho hàm số y — f ( x tăng , , ỹ' fk ( k V k T □) đó, LUẬN VĂN THẠC sĩ TỐN HỌC việc nghiên cứu khoa học [tìm hiểu sâu hàm điệu biến 2n cho hàm số 1với X= có dẫy tăng (0,+oo) Khi đó, ln 10, định 20 Định Cho khơng gian vectơ M, tích vơ hướng xác (q acó ,•là b{ữfc} )nghĩa ,Csao [a ,2.1 bGọi ),kiện ({dẫy axđơn ,là b)H ]xạmgược avậy ,0THẠC bF~ ]điệu a):TỐN < bhạn ta Chứng minh Sị diện tích hình phẳng giới X ađơn , ánh X(1.5) = a;Tuy ymột =(trị y )□ = Định nghĩa 2.12 Ánh (y) Y —>■ xạ da F : Lồi ngặt LUẬN VĂN sĩ HỌC tức thỏa mãn 2.2 Tốn điều tử điệu và đơn thỏa cực mãn đai điều kiện nhiên 24 ta đẳng thức Apollonius đ ề u Ĩ ^ p k f g ( x ) k k e d f { y Thật vậy, X £ c với Chứng Dấu minh đẳng Nếu thức a sảy = x = — y , bất k — đẳng 1, 2,3 77, thức (1.9) trở thành đẳng l hay k đồng kbiến [0,1] Va £ [0,1], ta □ Nếu b = f ( x ) liên tục affine c kí hiệu a f f C tí { n ) \ r { V k ) ' [ x i , x \ , tồn c G ( x i , x ) cho: k 2 Hầ Nội, tháng 07 nẫm 2016 thực, tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert vàmãn phương phápkiện điểm kề 2+ điều Trên đồ thị /+điệu ahàm fĐịnh ( x—>■ ) gthì H ánh xạ H H — saugần đây: (x, +lồi (:xynf(x) xX )Nlồi X ,trên )trên + (y, > Định X lý 2là Để bất xác đẳng thức thức: =( x j1.3 ,xepif f hàm )kY2.2.1 khơng phải làXf{của hàm đơn M Nếu điều Vậy (= bt1N— ax) )định í(.,.) (bởi ),)(dncơng xe)xác > al((x> íxtăng fM (ypxthỏa )tập d x|A| +c í=yfcl()K xbổ )và dxung xthỏathêm nghĩa 1.1 Khi hàm số định 7(a,6) mãn điều Tập hàm 24 thức Ỉ { ^ n i y — y € h x := f ) {x) n 2n có Phần tập định thức n)ốhiệu nốg(0,1) m i n hlí /(Ax+(1X )d)yỏtrong )thức \của (){X x,cnTác +tử -(/à fđược (văn )Qua xlvào nên tử điệu 28 0(0,1) G df(y) G M |/(z) - f{y) y), M }từ Định nghĩa ccủa F :đạo X= —¥ ,n} Va: ánh xạ tập dhạn f2.2.3 ( 2.10 xfta )Thật Dưới vi phân / /'(c) điểm X Oo thức, cụ thể là: đóng [Với axA,= b=Tốn sfH Ihàm (a, 6), k> 1,2, X eđó lý 1.12 (Bất đẳng thức thứ tự Chebyshev) Chứng minh vậy, ta có Định 1.14 hàm số ( x ) có hàm H R; liên tục tới cấp 2n, n G N* f ( x ) = ax, a số 3) ( Ằ x , y ) = X ( x , y ) , V x , y e H , X e ta nóinghĩa ( X f2.13 (đẳng ^ x )((Ánh h ) ) m ( đ X n ^ M điệu ) tăng ( ^ I(ữ, p k ỉ b { x ) ) g { x ) Ị b í f ( x ) d x > a í f ( x ) d x Định xạ đa trị F : H —»■ gọi klà: k(2.2), y nghĩa bất thức tam giác thỏa mãn Mặt khác từ (2.3) ,mọi ) 1) n> nađó fPhần ([Ví;=l xaTổng )cứu — fyf(x) (tương xycác >số 0của hay fY) (X xG )Ví:=l fkí (hàm xtrong 1), suy hàm số fthực (nói xvà 2R •Giả đối c H phần c fđơn f đủ C và) hợp gồm tồn tập (được hiệu ) Khi ta Nghiên thỏa mãn với điều kiện dương cần ị , x đủ cho đơn điều điệu kiện cần biến 2n+1 Trong C , b ] xét tích vơ hướng f{y) > 0, Va; ,& f(y) < f(x), Va; G M 2.3 tốn tử đơn điệu cực đại 43 / Ví:=l / / f ( a ị d x = (6 a)/(a) sử f ( x ) v g ( x ) hàm đơn điệu tăng {:£*;} dãy J J f (x) Ỷ vơi X G (a, b), tồn đa thức p (x) khơng q 2n ta x bậc thỏa mãn điều kiện 2n (1.13) gphT Đồ thị ánh xạ T K h i f ( x ) hàm nghịch biến có dấu bất đẳng thức thực Chứng Đặc ứng x),0+ G I +(mọi 6) X=kịV có|| (liên > M £) 0G(cặp 0k+(1 II^ỊỊ 0,y=y\ x— 0a2< = |A| -•tại k,điều ka,X X (1 -là A) )2rỉC, f(domF xđó -/, X71x7với f= ịX, x— (1 A) ||a: tăng Chứng minh Lấy nchất vàkhoảng \X)chúng — X — — |, từ (1.6) ta 2) 7chọn 1các kí hiệu làtừ cách tương đương ta)hướng; có F ấnh xạ trị X vào Y Như X- G F(x) làatốn tập hàm với g (x) := tính đơn điệu tăng M Tiếp đến mở rộng cho tử □ Do điệu tăng: ^I/Ẽ arg { f ( x ) : X G R } Các phần tử X, y, z, gọi nhẫn tử tích vơ — cho hàm số x k \1)| fa;|| ( xycận < f||a;|| ((xxcủa 2) tamột nói f0{Ngoan (x&xk\)!)( xlà< m}f ộ\ [t < h ầ ,m đ(ơy n, y )điệu tăng thực lân mở u X -sao cho: ^ f J , x ) Trần Thị > , y ( x x } Do chuẩn □ b) Nếu f(+' x( x,khơng )+ 0 nên minh vậy, )thì giảm, có đơnriC gian Hilbert Xiị Thật +Yri(C) x{F(x) x=xthể yxthiết + +itx= + y,.0, 1kekhác , 2lCa,điệu ,2[,— ,77, affC + eB n giả (tập kd ky,đơn rằng, fy+V(n,thức xyx)hàm \=yJlà ,y yaịgần )+yXf2rỗng) + Ta x chứng + pháp + minh ykề +giải ị bao , xxxảy í yra, ,b n a — 3Xđiệu Phương điếm thức đơn /(ữ, b) ị < x < < x 2x )Hilbert n thực Định 2.3 Hc khơng tiền đối ỏminh cmọi = €tập H :ftính *đơn ,hàm x có — < cra x2hàm )x,gVtổng £fhai })tốn =đơn Ntử cvới {đơn x ) chuẩn giảm Jxđúng a1), fChứng ( xaffC )dlý— (xnghiên x)Nếu 1c ) {x* cUcGọi đai (1.17) F ự) ç V, Va/ G u diện tích hình phẳng giới hạn X X — b ; T điểm x £ c nón Xflà( h y đa c Vậy vi Hàm phân hàm Víf(x dụ ) affin x ) := x + a, a Gb) M, a G M > ta nói f ( x ) ầ m n điệu giảm /(ữ, 2) 2.7 — thực Hilbert giảm h (x) := / (z) - P2n —1 (x) Mục lục Lời cảm Mở đầu ơn Chương cam đoan Chương Danh mục kí hiệu thường dùng x x , , x Tốn tử đơn điệu đơn điệu cực Hàm đơn điệu biến đơn điệu bậc \ đại cao { 00 2 00 c Xi + a; + + Zn = yi + ••• + 3233 34 31 r2 đ idụ ệKhi uNếu ( đđó Tơ nÁnh ánh đ ixạ ệxạ T' uFđa đơn nlà gtrị ặnửa điệu tF) :liên tụcthìdưới đẳng X= thức 0bởi: làkhơng ngặt nửaXliên Ỷ x tục ' Ví 2.13 cngặt —>• 2bất xác định H ế uđơn ' điệu : H ngặt —» c ũ n g l n h x đ a t r ị đ n đ i ệ u t h ì T + +NT' trênTc)tại X —T0 F{x, 0) := S ánh ngặt, T đơn điệu ngặt □ đơn điệul dom(df).l F ự) c ,Vx' G u T ~ { y ' ) Vậy T ~ ánh xạ đơn điệu Định nghĩa 2.15 Một ánh xạ đơn điệu T : H —> H gọi đơn điệu Chứng minh ' vG'dom(df), V G df v' G b) Với À >Giả 0, Vsửx/,là x ' hàm G H ,lồi, X vvới GX T ( x ), ,x X G T ự ) ta có: cựcDo đạiđó, Fnếu đồ thị khơng phải tập thực đồ thị khơng liên =trên df(x’), đẳng gradient taXcó: Khi từ đóbất ánh xạ thức Fnửa nửa tục liên tụctại M khơng nửa liên tục ( X v — X v \ x — xcách ' ) = tương X{v — v , Xnếu —Hvới x ' ) > 0.cặp (x,v) G ánh xạ đơn điệu khác, đương, Định nghĩa Với c c H, ánh xạ đa trị T : H —»• gọi là: X = 2.14 (H X H) e gphT, tồn (x,v) € gphT f(x) > f ( x ’ ) + (cho v ' , x(v- — x ' )V , X — x) >0 • Đơn Vậyđiệu XT làtrên ánhc,xạnếu đơn điệu T đơn điệu Hiển nhiên bất đẳng thức Thật vậy, dễ thấy F nửa liên tục ĩ / Hơn F nửa liên tục ngặt T đơn điệu ngặt trêndụtại2.15 X = Ánh với Ví xạ đa trịtập T :mở H (a, b) D [—1,1] = F(0), tồn lân cận c) Với x,x' G H và chẳng hạn ( ■ V(—1,1), — v \ Xta có — x ' ) > 0, \ / x , x ! G c , V G T ( x ) , v ' G T ( x ! ) , ĩ{x') > f{x) + ụ - x) U ) G (T + T ' ) { x ) — { u + V : u G T ( x ) , V G T ' ( x ) } 0, V x , x ' G c Ta có: < {1} ( v — v ' , x — x ' ) > 0,V Va;, x ' G d o m ( d f ) , v G d f ( x ) , v ' G d f ( x ! ) • Đ{ui ơn — đ i ệU)', u n gXặ— t c ,(li x') = Tu — u' — v\ x — x') Do F(x) c (a, 6) với X G (—1,1) Vậy df(x') đơn điệu = ( u — u ' , x — X ) + ( v — v ' , x — X ) >□0 ( V — v ' , X — X ) > 0, \ / x , x ' G c, XR x r , V £ T ( x ) , v ' G T ( x ' ) Ví dụ 2.12 Cho Ml à—> định Mệnh đề 2.1.đơn C hđiệu ốnh T xạ : HđaT -trị ỳ+- FT' :Hlà ộ2t đơn áxác n hđiệu x đbởi: a trị T T' Vậy ánhmxạ a)• NĐơn ế u Tđiệu l đmạnh n đ i ệ u tch với ì T ~hệl số c ũ an g> đ0,ơ nnếuđ i ệ u X = {0} b) N ế u T l đ nF (đxi )ệ u= (\[-M] đ n đ i ệ u n g ặ t ) t h ì X T (A > 0) c ũ n g l (v — v', X — x') > a\\x —nếu x'IlXỹ^O Vx, a:7 G đơn 53 44 42 41 52 50 40 38 43 37 45 46 47 48 51 35 49 36 39 55 54 oo £ k < oo tương đương với tồn giới hạn 3Từ )k í nV 00 kinđó khi: chúng trường =)chứng ta có (bài U XQ — (3.10) Khi Tđiển tốn đơn điệu cực đại tốn của hàm đơn điệu cực đại chợp t0,hủhìhay aỉTheo 3) Do Mục bkriêng hChẳng Lấy hG ìztính :=0 tiêu Thsuy (liên cahạn tiếp ầ(Thuật r)kuata tục dhình theo đthấy e{ózcủa df(x*) ntử gnhất tích U + c\hợp óQ X* hướng tvtâT{— m làztốn nên o-,df ,và bbao ák minh nycho —> T a khơng o' )nG ta,gđiểm được: trước H .Mệnh Ktiên h itốn tađ ó a 3.2 tốn hội tụ kvơ ( ) P ) ' ) \ \ + \ k z0'htìm fẽthức ,cũng M z(t2,roo zphải H thấy giới hạn (z — ,z™ — z%°) tồn đề (I xn+)V TTthức )= z eĩmà tử bất Do lídt oluận tử hợp nên Icz-1+ (0) — ^>T tử tràn B l àquy nphần tcho ửtốn ctrường hbất usử ẩ nkì tlà ắ {cđơn h,kđiệu ouTzsau: U ,O, g hdf alàHlhốn àb :ị T(a) aT a0 Chứng minh Giả Tđẳng cực đại Ta mở rộng tốn + 1< O < = ï { u — X lim ịịz — ¿II = ịi-Vc16) 0, t a z * = ự + C t d f ) ) — V , X — y) > , Va;, y £ domT, Vu G T ( X ), Vu G T A(y) x,y G £ idả(ousm T , u & s ( x ) = A * T (A x 4V £ s ( y ) = * T ( A y 4domT n intdom (dh) Ỷ ( v — V , X — x) >0 3.2.1 Thuật tốn điểm gần kề k—ĩoo tốn T cực tốn tử đa tử trị đơn T' định điệu nghĩa cực đại Bài tốn tiểu hàm lồi Ta có hlà(tốn tổng hàm lồi, thường, nửa liên tục với ( dz(.) 2Xét lim * z ? , z ? Z ? ) = f t f Ik°° z ĩ II Chứng minh Hiển nhiên domT = H vầT tốn tử đơn trị tử TVậy thành tử T cách đặt ( z Tìm — Zz, UJ ), \ / z , 0J v(Tơ0i (z), Ü JuG—T (z) z ) >||ỉ|| ■0,\Vií \ p (3.5) (VI) ẽc ẽ c —0 ycho ) < k->oo hàm lồi mạnh, liên tục hàm tuyến tính liên tục Vì vàphần d (.) làcủa Mặt khác Tcủa đơn điệu cực đại (đã x , tử v bày )đại £đơn gT pnếu h Tvì dh Trong đầu Chương ta biết, Ttốn vihkề phân Theo định nghĩa T2 lànên tốn điệu khilà vàđiểm chương này, trình thuật gần để cực tìm hay 6) Chọn T' tồng tốn tử đơn điệu cực nên đơn điệu Lấy giới hạn hai vế (3.13) ta (3.6) B ) : = < a{x k h i — a Ti'—í( tz(z)nkh=-ấT(a) T ( 1zộ=))tT(a) +p dhdfầuhn({&} (tkzử k+ +)1, V z e H fc K h i đ ó , t n t t m z t h ỏ a m ã n G T ( x ) z G z ) 2.3 Tổng tốn tử đơn điệu cực đại gọi b i t o ẩ n b ấ t đ ẳ n g t ứ c b i ế n p h ầ n đ n đ i ệ u hàm lồi mạnh, thường, nửa liên tục Nếu y € domf c £ df(y) Nhưng giới hạn thể tụVị 0Tdưới vì(Ay tụF —> yếu , } Vậy tốn tửnày đơn điệu trị Ví dụtới 2.17 Ánh xạ : 4Í1 ẽkhơng T ị^Ax +hội 6), &hợp 4" hàmdf vàđa nửa liên tục / 6) :trịHtử M u{z {+}00 g plồi, hlà Tbài đóng nghiệm tốn 0thường trường Tzlà điểm tốn đơn điệu cực đại đại +1£x T(z) C]{XJ{x) Ị y ,+1 2 +1 : A > 0} ||a;|| > a ( T — T X — y ) >0, Vx, y E H (là xDo — yXvà ,ta u£h6)có — vE )}ta >0, etử dychỉ ođơn T ,ởTVu £ uTậđại (a;), Tlà (tập ygfc)ầ lồi Thật Tl khi: Vì với Hnên l Va:, (tức Tvậy, df) Tdưới tốn điệu cực tốn c) à= cần làtương xạ Định lý C {0ta zk có: àlà(z) m ộkhi t ychứng dvà ãtrị tmạminh o(3.11) bta icó t hánh tđương t có ovàá\ /giá nvkhi đ£trị i ểđó kPềk c H Pmọi (I +onghĩa CỵT')~ đơn với pm (z ) n= r2)= với cho k3.1 kchặn Theo định vi phân hàm lồi Định nghĩa 2.1 Tốn tử đa trị T : H —» gọi bị địa —> xác định ,,2 11-00 _ -00||2 từ suy k H 0; ||z|| l(ớuđơn ứ C kta—> Theo Định líãhmọi Minty, An 2(ầtồn ^tốn U (z 2.8 kmột }m= ơk)To n-h0A,f— gZơT coi dãy itại bz£i0,)lân etạo vt,tại àVcu thuật T H tốn điểm >€c2H> gần kthấy z-1€Tgnếu + N ctử T0rtồn Điều hiển nhiên cho tốn điệu Điều nghĩa là(g,zcxX phương điểm £0Tfku{hẼ domT cận củanhất X cho tập h ) = * *{h(thể U ịi\,a = x y > { c , x y p h c g p , g p h T í g p h T k k ( kT+ 1( x - y )k ++00 k + ,đx^iGề-T t20G ưVx, ơfitự ưr,(theo v ớ—>i 0Ịi\ vđề it>ệồ3.2) c0, cho: (0) ^G 0x} n G tvới ửvai ơtrò đ{zicó of)nếu s< ửđcũng ằ.fnzcó g€Mệnh «0 n ttồạni z%° ta Ịi\ ( vo —0chặn Vlí , luận X —tương x ) >0 hợp l nên ta k có: 41*^1Do tính đơn điệu T 2) nhiên ta,ta có:có k Điều c~ )(z) /ỵnên /ãạ(a;) Do k Q k (z tsđiều ạaiSuy Đặt m ộhHiển ztomâu Xthu — ệđược: z(z°°) 0izgiả Tthiết (0) ó)có yi thay ộ iọ itT.ụ K yhếiu(3.15) ếT n ựTcủa + Th—> )ỉ = (tađuự0min (=nta )thuẫn (theo (3.9)) T' oVì c T' t2o:g00 áhmâu ni = tmyT ửthuẫn đTìm ơđnểvới đzeH ệG uesao +cho B c dđthể vz ihm đđómà chất Z••C•a0K Ũl c • Tương đương vớivới tính x t H đơn điệu c = {( Ỉ, 0) : X > 0} c M2 T(U) = u(T(u) : u £ U} ( v — V , X — x ) > Ngược lại sử G{vzT(a), Với T(z°°) gphT Ç k+1 k tốn +1 k + điệu (0} f ( y ) + -||z|| (d , x ) + { c , x y ) n cực tiểu h c t2o d 2 gọi l ivà C ỵ gphT tập bị chặn (0,1) Thật vậy, với (a;,0), (y, G Do chắn tồn phần SSuy atốn uđó đchắc ẫvới ykhơng cmọi h úmọi nrgiãn, gẼ tcủa aktại sH ẽmột p2shfe0) tGbctử i ểvà uZ với vsao ccho h ứ(x,u) n0 g€ T mGi(z) nF(x, h kÁp ế0), t dụng q(y,v) u ả Mệnh (a) ta có k +tức p k tử là: +1 Ví dụ 3.1 Vì với Z , z ,z G H ta có Thật vậy, ta có € T (z) € df (z), theo định nghĩa = lim IIQ (z )|| = lim ||^ ¿*11 (3.6) (kT ztuyến , z )thì >0, \— / zcủa £ tập H4.c Theo định nghĩa nón ngồi tại>z0.€ c ta có: =(a,b) ('ỉh -pháp Wi, (Ay b)h > (Ax Hiển nhiên nếuvà F(y, ta {Xz : CX 0} ||z|| 2si a nthức ZZ Định lýcho 2.8 (vcủa Đ rG oc gphT wnta dêlàđược eurgiới )ở4lC} tốn k h6)) ơbao n g= ghàm H i l đơn b e r tđiệu oNội Tcdung có: cđề hdí3.1 nm h0) az = ấznịknchương đh ềlz'íđ =ưBợTìm t rthiệu êo:nX.H 2ủ {f(x) e k k 1k — ¥ o 0vi> (z) (3.16) 1\tốn Tz ))riêng (-đđơn V X X )2.II 0„A:+l {(u,a P ựux) ) \tV \ \\/x -\nếu zH \— tử điệu kfơ k+1 \n M(c, A: Il' \\Đồng As cực đại số quan thời 2T II >-Hhàm 2s T ị , Từ T l/ àvà cmột t(z otỏhátrường t( \ử đhợp i(z ệk— T,trọng, 2là d||xây Tphương ị (3.1) c ự||c 2o (z) > yg0 )tử ~ yđiệu )>l\ừb 0 k\ z ¿ \ Z — z , z — Z Ị = V L Z — z \ \ — ị ị z — z — \ f(x) = ịxỊ — x + X ị c hình cầu cho bởi: c = Giả sử X , y £ d o m T l n d o m T 2và Chứng minh Đầu tiên chứng điều kiện }àđược bịs chặn Giả đơn làV ttốn tửkiến ngặt Khi X lấy Ỷc hyu(Điều pháp kề giải Các thức từthì đthường, iDo , zđiểm d\vậy, osử mATgần H ,ánh T(0, đta ơTktốn n(dh r< ị2 ,Vfminh áXHnđơn ixđiệu ê) nhiệu ttrong ụ2clàđủvchương àđể T{z ự y ểtài n = 2bài lnếu — , đại >2Mu&H utvà -Tđiệu z) (u) -=— /l|G {z), kb \khác, Tliên ánh xạ đơn cực nửa tục có miền hữu tvà suy đVì nz°° đ i ệ u c ự c đ i H v o i ả s r ằ n g m ộ t t r o n g h a i□ Mặt điểm hội tụ yếu {z } Ỉ — y\ > k p (z ) l|| + \\Q (z‘)|| < ||z k k b G T(a), từ ta có (a, b) G gphT đềt chất trịt ử., 2định VA: (3.12) kiện cần suy cuối việc việc Ta Ax Ỷa[12] Ay liệu g i ữMệnh ccó: ávậy cthì ậkéo pVtốn btheo ị, X ctừ hcho ặphần nx.thấy K htính ivới Ti +€(1 TT2tốn l chứng àT )tử t^ođa á+nminh đ, ơmà n lí) đ iđơn ệ utốn cực 2đ ó Như tìm £)cA c cho (z) tương đương với ( v s— —ưxzợ >0 V =0 —(a:) T V T điệu T T= u £ (ẰịTi {(xi, + ) G T M ) (a:) : x\ + ẰịTị xị < 1} + A T (a:) đ i ềDo u k i ệ n a đ â y đ t h ỏ a m ã n : ỉ ) d o m T ị n ỉ n t d o m T 2 2 2 ^ f { z ) < f ( u ) , M u e H nên z e ự + c T ) ( z ) = z + c T { z ) 2 Nghĩa gphT Ç gphT Điều chứng tỏ T tốn tử đơn điệu cực Mệnh đề 2.2 ( Đd,ồéx) tp+1h ịt>odv-||xỊỊ ảbkn(mãn h1okh q)IIc ầ— d\\ ntk(z) x,||x|Ị ạta đ< k n điệu cực đại) sử Z điểm thỏa 0uop=G có + +thức (c — —* —> í oỉàT\n(m\điệu 2— II 2s} Mệnh đề 2.4 ảd— tTnịT í:-h)n2\IIđẳng h\*|| nơ i ệH ukhi ) là||x|Ị đHơn ạ-Ị|x|| iGiả đại 2đ ánh F ngặt thức ngặt khioo (z,0) -c(VI) (mzzbất > 0hđo€oo bất đẳng biến phân kvì cực (tXạ(xạ ,iP/Vh £c)lgđơn zzTđiệu (*‘ ịn—> +0X UT ,||^ Vkhi Xo ịtốn V—> + Xđơn Điều u,v, Pk {z )đ ạsự ,vì II Qck02.18 (z )Cho 11^ -U) < || 2điệu thành à2+ +oo lmãn àT=2 ||x|| tvà nzịE ttử ửT 00 đ.2V i ệngặt unày cr2nên ự c (vi i ká¿11 lơ: ncđ—> 0) X 0} c M ánh xạ T xác z ° ° \ \ tụcdụ / Ví 2.20 Một ví dụ tổng hai tốn tử c) N ế u T l đ n đ i ệ u c ự c đ i t h ì T v T ~ l n H h x c ó g i á0 fc+1 kn + 1tTử Tìm X * e Mc cho :t o 0á e— f{x*) + N {x*) = T(x*) Tìm z € c (z) E c° (T (z), z) = c Do z khơng điểm ánh xạ T 0 2) □ N ế u T ị T l c đ n đ i ệ u t H —> v A I A > ũ Ễ z( T argmin0 (2) (3.3) ^ Z Víhdụ 2.19 Nếu ánh xạT>đơn trị TTiếp :+=Htheo —» Hàchứng đơn điệu và, tồn liên tụccủa thìz°° fc cực đại T nên (z°° ) ta minh K i đ ó v i m ỗ i X 0, R X J ) l t o n b ộ H t o n t ( T + Vậy h d (.) thỏa mãn điều kiện theo nghĩa h d {x) —> +oo địnhNhư bởi: H tìm điểm bất t TịT rHvậy ịì lX2àịthay t ậ p+vìẰ ltốn ồtìm iTUđ2tử ó, nđơn g điệu Do — i.kkhơng (Ax +điểm =của (Ax tấnh có: +tử6)) >đa xạT trị T ta2đi Cho khơng gian Hilbert tốn : H —» đơĩi điệu kT + lịcác kthực, +6) nên k t h -1 đơn điệu cực đại -ị/có [n— z'điểm ) izM zcđiểm zcủa )nếu +thàm (pTHkxạ { oo Điều Ví : H > u {+oo} ánh lồi, đơn cực đại T Ánh Chọn C = với k z° = (0,0) Tính Bài tốn bất đẳng thức gọi biếnlàphân đơn điệu với động ánh xạ khơng giãn p với c > p ánh xạ gần kề k k k đại, tốn bao hầm thức đơn điệu cực đại phát biểu cTa ũ nthấy, g l àđể tmỗi o na) tGiả ử1thỏa ơ(x, nmãn đ i:= ệ u{(2x, điệu Hphải ơHy) ncực n0ữ a y tồn n với = /(4 + T | z < f (3.4) ( ì,4) = ự + v/ T { = T { x ) + N c { x ) , l k Tc ||Pfc sau: Cho tập lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert H hcủa o ặVì T đ n đ i ệ u n g ặ t t h ì X ị T ị + A T đ n đ i ệ u n g ặ t 2cl (z ) II < 2s, VA;, theo Mệnh 2trong đề 3.1 nên Suy rachứng l T(x) 0a = ta có thay việc giải tốn bất đẳng thức biến phân đơn điệu dy,ta om (quả d fthể ) phải minh u = k Khi T đơn điệu mạnh với hệ số Hệ 2.2 C h o k h n g g i a n H i l b e r t H , J l n h x đ ố i n g ẫ u \\z — ZII < ll^ — zịị + ^ £fc < II— z\\ + a, V/ (3.7) ( xN,sử vnày (H X lim H g2pm Hh— vá(,n=xxđại, )/Ầ pơ00 hnđó :in}{ệ=vubán — vA\điểm X — gần 0), ịịz Hcđược Điều tương đương với: iTltử nà, zf {3tđơn ho(II )=0 G du ,kđiệu ( v — y x ) > đóxQk Tịc3.2.2 trị HH làH nón tập ktử -của việc k00ĩhội ,fc+l 1tánh To ưđa rTìm ntừ vpHđơn à€t vào THđiệu —TNc lkà(spháp t+o ál ln^tuyến đ i ệc u ựê)£htụ -xạ ự) ):c, eo0£cực T (>t(đại p(ửx„z+2) )l,T (**)) 2e lt lửacó: ) đAơ) nb(3.13) bày Vpháp TnMir (tuyến { x ) z : € nón ngồi c z G đặt: tỆoyvậy ánhư t ứ t u y ế n t í n ( A * l t n i ê n h ợ p c ủ €H Thậy vậy, với X , y d o m ( d f ) , u d f V £ d f ( y ) ta Thật ta có: Đặt = X + E V với £ > 0, V G H ta thấy k Khi T tốn đại Nhân bất thức (2.6) với Xiđ ủvàngặt Từ đólà tỏ làc ầđơn ( H *Do =có H ){z chứng D}đẳng ibị ề_1tử uchặn kđơn is ệ nđiệu ncực vl àđiệu đbất ể tđẳng o n thức t T(2.7) l cvới ự c Ađ2ạrồi i lcộng R(T Ta t h ì X ệ T (D), 3x £ T~ {v) : (x{Cjfc} — x\V —hội v)fetụ cho có Mệnh đề h=o=ịH lkT~ à-z €kZl (hU g{2-k-Zv(zgA a-+ H c \á\ n\ h x ) > ) + N Điều có đơn điệu ux ci l0 z k k v àzT : H — > H l Hn H (dh), fc+i Mệnh đề 2.7 C h o H l k h n g g i a i l b e r t Pỵ ( z ) G domT n intdom VA; l à0 i v i m ọ i ( a , b ) € H X H n ế u hệ số a = kgphT vế + ta Q (z) vàgóc c kkhác 'Q Tvec (p tơ Vz 6OMo H.nhưlàbài k+(z) k (z)), kđược k (z) M e cho hai ó góc tù, điều (x ,y 0) tính z cơng thức Rockellar ta có: nhiều lớp tốn quan trọng thuộc nhiều lĩnh vực tốn cực c V —> 00, ta có: Zkđơn ịự)+l£k 1điệu Z(a;) Th2, kt )z (x +t(z) T+t< £eđ—» X VTpệnbất )et£V) =+ (/ c—»• (z‘), Vk k o có nghĩa là: t biến (3.11) 0, chất tử đơn điệu đơn trị thể qua mệnh đề sau Mệnh đề tiểuTính hàm lồi, tốn đẳng thức phân, tốn bù, tốn điểm bất —1 u> 0,+V u^2 ( b — u , a =(2.6) —(Pt x-),v(z‘) {> x,CkT)~ , 0.u ) (£*) gphT v , x x ) = (/ + (3.2) z € dđịnh h d (a;*) = dtốn f ( xtử * )T+là0 0Xđơn * — d kđây Chứng minh 1) động Dưới bày hai trường { xT *chúng )(Theo 0),yta v)v) ớ,trình i(>xnghĩa, ||a;|| >ữ tụ a}mãn ,yếu X õvới £HZ d o■m TứV,||ữđiệu X điểm ,o ||,z s.£ T ị Ux )— x , , y ) = Vì (u — + £ V ữ thỏa G 2.3 Tốn (tử tuyến tính Tthc : yH) c —> H là0.nên đơn điệu v , x y ) ( u , x < —z = = > Z i =2 ’ ) l ^fc (¿Oil < | - Chương lift (*‘) II - II(z‘ - z‘ ) + (^ - a (**)) II > ||z‘ - **||’ - e* Phương pháp điểm gần kề giải bao hàm thức đơn điệu cực đại n k 1 2 oc 2 Vì | ^ - *11 = I *1 = I (*)|