Tìm nghiệm tuần hoàn của hệ tuyến tính từng khúc bằng hàm mũ ma trận và phương pháp bắn

Hệ tuyến tính từng khúc là một lớp các hệ dao động phi tuyến tiềm ẩn nhiều hiện tượng dao động phong phú. Việc tìm ra lời giải đầy đủ cho bài toán dao động của các hệ này, cũng giống như nhiều bài toán dao động phi tuyến khác, cần đến nhiều phương pháp và thuật toán khác nhau. Tiếp nối những nghiên cứu trước của các tác giả về việc sử dụng hàm mũ ma trận, bài báo này giới thiệu thêm về việc áp dụng phương pháp bắn tìm nghiệm tuần hoàn của hệ tuyến tính từng khúc.

Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ Động lực học Điều khiển Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr 344-350, DOI 10.15625/vap.2019000300 Tìm nghiệm tuần hồn hệ tuyến tính khúc hàm mũ ma trận phương pháp bắn Nguyễn Thái Minh Tuấn, Nguyễn Văn Khang Bộ môn Cơ học Ứng dụng, Viện Cơ khí, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội E-mail: nguyenthaiminhtuan@yahoo.com Tóm tắt Hệ tuyến tính khúc lớp hệ dao động phi tuyến tiềm ẩn nhiều tượng dao động phong phú Việc tìm lời giải đầy đủ cho toán dao động hệ này, giống nhiều toán dao động phi tuyến khác, cần đến nhiều phương pháp thuật toán khác Tiếp nối nghiên cứu trước tác giả việc sử dụng hàm mũ ma trận, báo giới thiệu thêm việc áp dụng phương pháp bắn tìm nghiệm tuần hồn hệ tuyến tính khúc Cơng thức đề xuất áp dụng vào tìm nghiệm tuần hồn hệ tuyến tính khúc bất đối xứng Ngồi ra, báo đưa hình ảnh lưu vực hút nghiệm cách kết hợp phương pháp bắn với số thuật tốn khác có sử dụng đến lập trình song song Từ khóa: phương pháp bắn, hệ tuyến tính khúc, hàm mũ ma trận, dao động phi tuyến, lưu vực hút Mở đầu Các mô hình tuyến tính khúc dùng để mơ tả số hệ kỹ thuật, hệ có khe hở va đập, chẳng hạn động jeffcott với ổ đỡ có khe hở [1], vết nứt mỏi [2] hay trình cắt gọt kim loại [3] Tính chất “từng khúc” khiến cho việc giải hệ phương trình vi phân mơ hình có điểm khác biệt so với hệ thơng thường, nói chung, việc xác định thời điểm phương trình hệ thay đổi từ pha sang pha khác vấn đề quan trọng Có số nhóm nghiên cứu giới quan tâm đến việc giải hệ cách xác nhanh chóng: Xu cộng [4, 5] sử dụng phương pháp cân điều hòa gia lượng, Pavlovskaia Wiercigroch [6, 7] phát triển phương pháp nửa giải tích nửa số, thân tác giả đề phương pháp dùng hàm mũ ma trận kết hợp với biến giả nghiên cứu trước [8, 9], He cộng [10] sử dụng hàm mũ ma trận, kết hợp với hoạch định Lemke (Lemke’s scheme), để giải toán hệ tuyến tính khúc có cấu trúc tuần hồn Khi có cơng cụ tích phân số hiệu nghiệm tuần hồn ổn định hệ dao động tìm cách tích phân phương trình vi phân chuyển động hệ với điều kiện đầu thích hợp thời gian tích phân đủ dài Tuy nhiên, q trình tiêu tốn nhiều công sức, tốc độ hội tụ nghiệm chậm Một phương pháp khắc phục vấn đề phương pháp bắn [11] Phương pháp bắn cần sử dụng thuật tốn tích phân số, thay kéo dài thời gian tích phân để đợi dao động hệ tự hội tụ nghiệm tuần hoàn ổn định phương pháp tập trung vào việc tìm điều kiện đầu ứng với nghiệm tuần hồn, tức tìm trạng thái ban đầu hệ thời điểm bắt đầu chu kỳ cho thời điểm kết thúc một vài chu kỳ sau hệ lại trở lại trạng thái Chính vậy, nhiều trường hợp, phương pháp bắn cho kết xác nhanh việc tích phân số thơng thường Ngồi ra, phương pháp bắn có khả tìm nghiệm tuần hồn khơng ổn định – việc mà phương pháp tích phân số thơng thường khơng làm – điều giúp ích cho việc vẽ sơ đồ rẽ nhánh dự đoán tập nghiệm hệ vùng tham số chưa khảo sát Bài báo giới thiệu ngắn gọn phương pháp tích phân hệ tuyến tính khúc hàm mũ ma trận sau tập trung vào việc xây dựng cơng thức ứng dụng phương pháp bắn để tìm nghiệm tuần hồn hệ tuyến tính khúc Một ví dụ cụ thể trình bày để minh chứng cho phương pháp đề xuất Giải phương trình vi phân tuyến tính khúc chịu kích động tuần hồn hàm mũ ma trận Xét hệ tuyến tính khúc chịu kích động tuần hồn có n biến trạng thái w pha tuyến tính khác x  t   A  x  x  t   f  t , x  (1) x  Rn  A  x   A i x  Di i  1, w  f (t , x)  fi (t ) (2) (3) Các vùng Di tạo thành phân hoạch (partition) R n w Di  D j   1  i  j  w  ;  Di   n (4) i 1 Trong vùng, A i ma trận vuông cấp n chứa số fi (t ) tổng hàm điều hòa Nguyễn Thái Minh Tuấn, Nguyễn Văn Khang m fi (t )  bi   fcij cos( j t )  j 1 (5) m   f sij sin( j t ) i  1, w j 1 với vector số bi , fcij , f sij Các tần số  j thỏa mãn tồn chu kỳ chung nhỏ T cho tất thành phần điều hòa Bằng cách đưa vào biến giả p [8, 9], (1) viết lại sau y (t )  B(x)y (t ) (6) với x  y  p  1m1    p(0)   0m1  1  (7) (8) B(x)  Bi x  Di i  1, w A Bi   i 0 (9) Ui  i  1, w L  U i  fci1  fcim (10) f si1  f sim  0mm Ω 0m1  L   Ω 0mm 0m1   01m 01m  Ω  diag  1 ,  , ,  m  b (11) (12) hệ thời điểm biết điều kiện đầu, tức trạng thái hệ thời điểm ban đầu Để tìm nghiệm tuần hồn hệ, ta chọn điều kiện đầu tích phân số theo công thức (14) thấy hệ tiến tới nghiệm tuần hoàn Để nhận nghiệm tuần hồn, ta sử dụng đồ Poincaré Tuy nhiên, khơng phải ta thu nghiệm tuần hoàn theo cách này: trạng thái hệ tiến tới vơ cùng, tiến tới nghiệm hầu tuần hoàn nghiệm hỗn độn Ngoài ra, với hệ, tham số, điều kiện đầu khác dẫn đến nghiệm tuần hồn khác Do ta có khái niệm sau: lưu vực hút nghiệm tập hợp điều kiện đầu dẫn đến nghiệm Khái niệm xuất phát từ khái niệm lưu vực hút (basin of attraction) tập hút, tập hợp trạng thái hệ ứng với nghiệm tuần hoàn, hầu tuần hoàn hỗn độn cụ thể coi tập hút Thuật tốn cho phương pháp tích phân số đơn đơn giản để nghiệm thu đạt độ xác cao khối lượng tính tốn lớn có khó khăn q trình tích phân và/hoặc tốc độ hội tụ nghiệm chậm Ngồi ra, phương pháp khơng thể tìm nghiệm tuần hồn khơng ổn định nghiệm ứng với tập đẩy (repeller) 3.2 Phương pháp bắn Để tìm điều kiện đầu ứng với nghiệm tuần hồn hệ n phương trình vi phân cấp x (t )  f (x, t ) (19) với f (x, t ) hàm tuần hoàn theo t với chu kỳ Tmin (13) f (x, t  Tmin )  f (x, t ) , (20) * Trạng thái nghiệm (6) thời điểm t có dạng y (t * )  e Bis ( t *  ts )  Bik (tk 1 tk )  Bi0 t1 e  e y0  k  s 1  (14) với tk thời điểm chuyển pha ik số vùng ứng với pha từ thời điểm tk trở t *  ts  ts 1    t1  t0  x(t )  Dik t : tk 1  t  tk x(t )  Dis t : t  t  ts (15) k  0, s (16) * (17) y  y (t0 )  y (0) (18) Tìm nghiệm tuần hồn hệ tuyến tính khúc chịu kích động tuần hồn 3.1 Phương pháp tích phân số đơn đồ Poincaré Công thức (14) cho phép ta tìm trạng thái giả thiết ta biết chu kỳ T nghiệm tuần hồn tìm η cho giải (19) với điều kiện đầu x(0)  η (21) sau thời gian T, trạng thái hệ lại quay trở điều kiện đầu η x(T )  x(0)  η (22) Nói cách khác, để tìm nghiệm tuần hoàn hệ (19), ta cần giải toán điều kiện biên (22), với việc sử dụng phương pháp bắn, toán tương đương với việc giải phương trình đại số phi tuyến r ( η)  (23) hàm r ( η) xác định cách giải (19) với điều kiện đầu η tính hiệu hai trạng thái hệ hai thời điểm T Do trạng thái hệ thời điểm phụ thuộc vào trạng thái hệ thời điểm đầu nên Tìm nghiệm tuần hồn hệ tuyến tính khúc hàm mũ ma trận phương pháp bắn ta viết sau r ( η)  x(T , η)  x(0, η) (24) dy1 y1 y1 dt1 dt B t B t    e i0  Bi0 e i0 y dy y t1 dy dy e Nghiệm (23) xác định phương pháp lặp, với nghiệm dự đoán η(0) sau [11] η(i 1)  η(i )   η(i ) (25)  dx  (i ) (i ) (i ) (i )  (T , η )  En   η  η  x(T , η )  dη  (26) Chú ý rằng, khác với tài liệu [11], ta viết dx / dη thay x / η Về giá trị hai cơng thức T trường hợp số Sở dĩ có thay đổi cách viết để tránh nhầm lẫn công thức thiết lập mục sau a) Công thức đạo hàm đầy đủ Ta xây dựng công thức (25) (26) cho hệ tuyến tính khúc có hai pha tuyến tính khác x  t   A  x  x  t   f  t , x  (27) x  Rn  A  x   A1 x : g T x  b   f (t , x)  f1 (t )  A  x   A x : g T x  b   f x  f ( t , ) ( t )  f1 (t  T )  f1 (t ); f (t  T )  f (t ) (28) (29) Bi0 t1 y k 1  y (tk 1 )  e y (T )  e Bis (T  ts ) Bik ( tk 1  tk ) yk k  1, s  ys  dt dy k dt  B (t t )  Bik e ik k 1 k y k  k 1  k  dy d d y y0    dt dt  B ( t  t ) dy k  e ik k 1 k  Bik y k 1  k 1  k  k  1, s  (38) dy  dy dy  dy (T ) y (T ) dy s y (T ) dts   dy y s dy ts dy e Bik ( tk 1  tk ) e Bis (T  ts ) dy s dt B (T  t )  Bis e is s y s s , dy dy (34) jk 1  j (y k 1 )  gT y k 1  b  k  0, s  (35) gT   g T (36) với Đạo hàm hai vế (32), (33) (34) theo y , ta có (39) Đạo hàm hai vế (35) theo y , ý đến công thức (37) (38), ta dj1 j dy1 dt B t   gT e i0  gT Bi0 y1  , dy y1 dy dy (40) djk 1 B ( t  t ) dy k  gT e ik k 1 k dy dy  dt dt  gT Bik y k 1  k 1  k   k  1, s  (41)  dy dy  dt1 B t  (gT Bi0 y1 ) 1 gT e i0 , dy (33) (37) dy k 1 y k 1 dy k y k 1 dtk 1 y k 1 dtk    dy y k dy tk 1 dy tk dy (31) Cũng cần ý thời điểm chuyển pha tk phụ thuộc vào trạng thái hệ, nghĩa phụ thuộc vào y chúng phải thỏa mãn điều kiện (29) (30) 0T(2 m 1)1  dt1 , dy Từ hai công thức suy (32) y0  Bi0 y1 (30) với g   R n vector số b số Giả sử hệ biến đổi dạng (6), ta cần tìm nghiệm tuần hồn y chu kỳ T Từ (14) ta có y1  y (t1 )  e Bi0 t1 (42) dtk 1 dtk B ( t  t ) dy k   (gT Bik y k 1 ) 1 gT e ik k 1 k dy dy dy (43) k  1, s  Các công thức (37), (38), (39), (42) (43) cho ta công thức truy hồi để tính dy (T ) / dy cách đầy đủ Để ý 2m  phần tử cuối y biến giả, ta khơng cần thay đổi chúng tìm điều kiện đầu ứng với nghiệm tuần hoàn Như vậy, dx(T , η) / dη ma trận cỡ n nằm n hàng n cột dy (T ) / dy Cuối cùng, ta có đủ cơng thức để xây dựng biểu thức lặp (25) (26) b) Công thức đạo hàm rút gọn Nếu lân cận nghiệm tuần hồn cần tìm, ảnh hưởng điều kiện đầu đến thời điểm chuyển pha nhỏ cơng thức (37), (38) (39) viết lại sau dy1 B t  e i0 , dy (44) Nguyễn Thái Minh Tuấn, Nguyễn Văn Khang dy k 1 B ( t  t ) dy k  e ik k 1 k dy dy k  1, s  , dy (T ) B (T  t ) dy s B (T  t ) B (t t )  e is s  e is s  e ik 1 k k 1 dy dy k s (45) (46) Loại bỏ biến giả, ta có dx(T , η) A (T  t ) A (t t )  e is s  e ik 1 k k 1 dη k s (47) Thực tế tính tốn cho thấy, ban đầu ta đoán nghiệm tương đối xác, việc sử dụng cơng thức đạo hàm rút gọn (47) cho phép lặp (25) (26) cho độ hội tụ nhanh kết có độ xác cao mà việc lập trình lại đơn giản công thức đạo hàm đầy đủ Các kết trình bày báo sử dụng cơng thức đạo hàm rút gọn Nghiệm tuần hồn lưu vực hút hệ tuyến tính khúc bất đối xứng bậc tự Xét hệ sau x (t )  A(x)x  f s sin t  b(x) (48) x  R2 , 0  fs    ,  f0  (49) với A (x)  A1 ; b(x)  b1 x : 1 0 x  d  , (50) 1.5 (51) A(x)  A ; b(x)  b x : 1 0 x  d  , (52)  A1   k0  k1   m (53)  c0  c1  , m  bắn với tích phân số thơng thường [11] Tuy nhiên, nghiên cứu sau sử dụng hàm mũ ma trận với biến giả làm tăng độ xác q trình tích phân làm tăng tốc độ tính tốn, nhờ mà số lượng nghiệm tìm tăng lên nhiều [8, 9] Trước hết, phương pháp ánh xạ ô đơn giản sử dụng để xác định trạng thái hệ gần với điều kiện đầu nghiệm tuần hồn Sau đó, phương pháp bắn sử dụng để tìm nghiệm tuần hồn từ trạng thái cách đầy đủ Cuối cùng, đồ Poincaré dùng, kết hợp với kết phương pháp ánh xạ ô để vẽ lưu vực hút nghiệm tuần hoàn tìm Trong q trình trên, nhiều bước tính tốn lặp lặp lại mà khơng ảnh hưởng đến nhau, sử dụng phương pháp ánh xạ ô, sử dụng phương pháp bắn với điều kiện đầu dự đốn khác tích phân số với điều kiện đầu khác Tận dụng cơng nghệ cấu trúc máy tính, lập trình song song sử dụng bước để tăng tốc độ tính tốn Do giới hạn khơng gian báo, phương pháp ánh xạ ô kỹ thuật lập trình song song khơng trình bày kỹ Ta tìm tổng cộng năm nghiệm tuần hồn ổn định hệ cho: hình quỹ đạo pha nghiệm chu kỳ, hình nghiệm chu kỳ thứ nhất, hình nghiệm chu kỳ thứ hai, hình nghiệm chu kỳ có tính chất giống với nghiệm chu kỳ thứ hai hình nghiệm chu kỳ 0.5   A    k0 c0  ,   m   m 0  b1    , 0  0  b   k1d     m  (54) x 2[m/s] -0.5 -1 (55) -1.5 -0.06 (56) Các tham số lấy sau f  7,8  103 N; m  0,  103 kg; k1  0,9  106 N/m; k0  32,5  103 N/m; c0  0, 05  103 Ns/m; c1  0,5  103 Ns/m; d   103 m;   34,56rad/s Hệ khảo sát từ lâu phương pháp cân điều hòa gia lượng [5] phương pháp -0.04 -0.02 0.02 0.04 x 1[m] Hình Quỹ đạo pha nghiệm chu kỳ Lưu vực hút nghiệm tuần hồn thu nhờ phương pháp ánh xạ cho hình Tổng cộng có 15608901 hình ảnh lưu vực hút (6501x2401) Hình cho hình ảnh cận cảnh vùng trung tâm hình Có thể thấy khu vực trung tâm lưu vực hút nghiệm chu kỳ nhỏ xa khỏi trung tâm lưu vực hút nghiệm lại có diện tích áp đảo Lưu vực hút nghiệm chu kỳ thứ nằm “xung quanh” lưu vực hút nghiệm Tìm nghiệm tuần hồn hệ tuyến tính khúc hàm mũ ma trận phương pháp bắn nghiệm chu kỳ lưu vực hút nghiệm chu kỳ “xung quanh” lưu vực hút nghiệm chu kỳ thứ hai chúng thể tính chất “fractal” – lưu vực xen lẫn nhau, khó để xác định đường ranh giới 3 x 2[m/s] x 2[m/s] -1 -2 -1 -3 -0.15 -0.1 -0.05 0.05 x 1[m] -2 Hình Quỹ đạo pha nghiệm chu kỳ -3 -0.15 -0.1 -0.05 0.05 x 1[m] Hình Quỹ đạo pha nghiệm chu kỳ thứ x 2[m/s] 1.5 x 2[m/s] 0.5 -2 -4 -6 -0.5 -8 -0.6 -1 -0.4 -0.2 0.2 x 1[m] -1.5 -2 -0.15 Hình Quỹ đạo pha nghiệm chu kỳ -0.1 -0.05 0.05 x 1[m] Hình Quỹ đạo pha nghiệm chu kỳ thứ hai Tồn kết tính tốn thực máy tính cá nhân có cấu hình trung bình thấp thời điểm viết với tổng thời gian chạy máy không ngày Nguyễn Thái Minh Tuấn, Nguyễn Văn Khang nghiệm chu kỳ nghiệm chu kỳ thứ nghiệm chu kỳ thứ hai nghiệm chu kỳ nghiệm chu kỳ Hình Lưu vực hút nghiệm tuần hoàn Các dấu “x” ứng với đồ Poincaré nghiệm tuần hoàn x 2[m/s] nghiệm chu kỳ nghiệm chu kỳ thứ nghiệm chu kỳ thứ hai nghiệm chu kỳ nghiệm chu kỳ Hình Lưu vực hút nghiệm tuần hồn, phóng to vùng trung tâm Các dấu “x” ứng với đồ Poincaré nghiệm tuần hồn Tìm nghiệm tuần hồn hệ tuyến tính khúc hàm mũ ma trận phương pháp bắn Kết luận harmonic balance method Journal of sound and vibration, Bài báo trình bày phương pháp bắn tìm nghiệm tuần hồn hệ tuyến tính khúc, có sử dụng đến hàm mũ ma trận Để áp dụng hàm mũ ma trận cách có hiệu quả, phương pháp đưa vào biến giả tác giả đề nghiên cứu trước tiếp tục sử dụng Hai công thức áp dụng phương pháp bắn thiết lập: cơng thức đạo hàm đầy đủ, có kể đến ảnh hưởng điều kiện đầu đến thời điểm chuyển pha, công thức đạo hàm rút gọn, khơng kể đến ảnh hưởng điều kiện đầu đến thời điểm chuyển pha Thực tế cho thấy hai cơng thức có hiệu công thức đạo hàm rút gọn ưu tiên sử dụng nghiên cứu đơn giản Một ví dụ tính tốn cho hệ tuyến tính khúc bất đối xứng hệ tự trình bày Với tham số, năm nghiệm tuần hoàn ổn định khác tìm Lưu vực hút nghiệm vẽ nhờ kết hợp phương pháp ánh xạ ô, đồ Poincaré phương pháp bắn Các kết thu vượt trội so với nghiên cứu sử dụng phương pháp khác Bản đồ lưu vực hút có 15 triệu ơ, địi hỏi khối lượng tính tốn lớn Việc tồn tính tốn thực hệ máy tính cá nhân giá rẻ với thời gian chạy máy chấp nhận chứng tỏ thuật toán sử dụng có tốc độ hiệu cao Kỹ thuật tính tốn song song góp phần tăng tốc q trình tính tốn Phương pháp ánh xạ kỹ thuật lập trình song song trình bày nghiên cứu sau 264(4), 873-882, 2003 Tài liệu tham khảo [1] Karpenko, E V., Wiercigroch, M., Pavlovskaia, E E., & Cartmell, M P., Piecewise approximate analytical solutions for a Jeffcott rotor with a snubber ring International Journal of Mechanical Sciences, 44(3), 475-488, 2002 [2] Foong, C H., Pavlovskaia, E., Wiercigroch, M., & Deans, W F., Chaos caused by fatigue crack growth Chaos, Solitons & Fractals, 16(5), 651-659, 2003 [3] Wiercigroch, M., & Budak, E., Sources of nonlinearities, chatter generation and suppression in metal cutting Philosophical Transactions of the Royal Society of London Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 359(1781), 663-693, 2001 [4] Xu, L., Lu, M W., & Cao, Q., Nonlinear vibrations of dynamical systems with a general form of piecewise-linear viscous damping by incremental harmonic balance method Physics Letters A, 301(1-2), 65-73, 2002 [5] Xu, L., Lu, M W., & Cao, Q., Bifurcation and chaos of a harmonically excited oscillator with both stiffness and viscous damping piecewise linearities by incremental [6] Pavlovskaia, E., & Wiercigroch, M., Periodic solution finder for an impact oscillator with a drift Journal of Sound and Vibration, 267(4), 893-911, 2003 [7] Pavlovskaia, E., & Wiercigroch, M., Analytical drift reconstruction for visco-elastic impact oscillators operating in periodic and chaotic regimes Chaos, Solitons & Fractals, 19(1), 151-161, 2004 [8] Nguyễn Văn Khang, & Nguyễn Thái Minh Tuấn, Về thuật toán phân tích dao động hệ động lực tuyến tính khúc Tuyển tập Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc Kỷ niệm 35 năm thành lập Viện Cơ học, Tập 1, 527-532, Hà Nội, Việt Nam, 2014 [9] Tuan, N T M., & Khang, N V., Calculating periodic and chaotic vibrations of piecewise-linear systems using matrix exponential approach Proceeding of International Conference on Engineering Mechanics and Automation (ICEMA 3), Hanoi, Vietnam, 2014 [10] He, D., Gao, Q., & Zhong, W., An efficient method for simulating the dynamic behavior of periodic structures with piecewise linearity Nonlinear Dynamics, 94(3), 2059-2075, 2018 [11] Khang, N V., Cuong, H M., & Tuan, N T M., Calculation of nonlinear vibrations of piecewise-linear systems using the shooting method Vietnam Journal of Mechanics, 34(3), 157-167, 2012  ... khúc hàm mũ ma trận phương pháp bắn Kết luận harmonic balance method Journal of sound and vibration, Bài báo trình bày phương pháp bắn tìm nghiệm tuần hồn hệ tuyến tính khúc, có sử dụng đến hàm. .. hệ hai thời điểm T Do trạng thái hệ thời điểm phụ thuộc vào trạng thái hệ thời điểm đầu nên Tìm nghiệm tuần hồn hệ tuyến tính khúc hàm mũ ma trận phương pháp bắn ta viết sau r ( η)  x(T , η)... và/ hoặc tốc độ hội tụ nghiệm chậm Ngoài ra, phương pháp khơng thể tìm nghiệm tuần hồn khơng ổn định nghiệm ứng với tập đẩy (repeller) 3.2 Phương pháp bắn Để tìm điều kiện đầu ứng với nghiệm tuần