Luận văn tính lipschitz của ánh xạ đa trị đa diện

Mục lục Lời nói đầu .1 Chương Kiến thức chuẩn bị .2 1.1 Tập lồi đa diện tính chất 2 Phép chiếu lên tập lồi, đóng 10 Chương Lipschitz củatục ánh xạ đa trị đa Ánh2.xạCác đa tính trị vàchất tính chất liên diện 23 16 2.1 Ánh xạ đa trị đa diện 23 2 Tính Lipschitz ánh xạ đa trị đa Chương Tính Lipschitz ánh xạ affine khúc ứng dụng diện 25 32 3.1 Tính Lipschitz ánh xạ affine khúc .32 3.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân affine 37 Kết luận kiến nghị 47 Tài liệu tham khảo 48 Lời nói đầu Vai trị giải tích đa trị vài thập niên gần khẳng định thông qua việc công nhận ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, bất đẳng thức biến phân phương trình suy rộng, lý thuyết tối ưu, lý thuyết điều khiển, tối ưu đa mục tiêu, khoa học quản lý toán kinh tế Hiện nay, nhiều kết nghiên cứu lĩnh vực nói viết ngơn ngữ giải tích đa trị Điều cho thấy sức mạnh công cụ Cùng phát triển khoa học kĩ thuật mà nhu cầu nghiên cứu sâu tính chất lớp ánh xạ đa trị đặc biệt đặt ra, chẳng hạn ánh xạ đa trị Mục đa diện tiêu luận văn tìm hiểu trình bày cách hệ thống tính Robinson phát tính chất đặc biệt lớp ánh xạ này, tính Lipschitz ánh xạ đa trị đa diện ứng dụng vào tốn bất đẳng thức Lipschitz địa phương Điều tạo tảng động lực cho nhiều nghiên cứuaffine, cụ thể việc xét tính nghiệm tốn biến phân Luận văn gồm có ba sau chương tính Lipschitz ánh xạ đa trị đa diện ứng dụng nhiều Chương trình bày kiến thức chuẩn bị để làm tảng cho hai chương sau toán, đặc biệt toán bất đẳng thức biến phân affine Trong giới thiệu khái niệm, tính chất tập lồi đa diện, phép chiếu lên Chương tập lồi, đóng ánh ánhxạxạđađatrịtrị giới thiệu đa diện tính chất Sau sâu vào trình bày tính Lipschitz lớp ánh xạ Chương trình bày tính Lipschitz ánh xạ affine khúc ứng dụng vào toán bất đẳng thức biến phân affine Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị liên quan đến tập lồi đa diện, phép chiếu lên tập lồi, đóng ánh xạ đa trị Nội dung tham khảo trích dẫn chủ yếu Trong tồn bộ[1], chương, [12] khơng nói thêm, ta xét không gian Euclide Rn tài liệu [2], [5], [10], trang bị tích vơ hướng cho bởi: x =( y = (1y , 2y , , ny )∈ R n , n) x , x , ,x , tích vơ hướng x =2 + x22+ + 2xn x1 x, y = 1x y 2+2 x y + + x y chuẩn sinh n n 1.1 Tập lồi đa diện tính chất Định nghĩa 1.1.1 Cho S ⊂ Rn, ta định nghĩa: m  lin S = ∑ li si : m ∈ N,is ∈ S,il ∈ R,  i=1  m m   aff S = ∑ li si : m ∈ N, is ∈ S, il ∈ R,∑ il = 1,  i=1  i=1 m m   conv S = ∑ li si : m ∈ N ,is ∈ S,il ∈ +R ∑ , il = 1,  i=1  i=1 m   coneS = ∑ l is i : m ∈ N , si ∈ S, li ∈ R+   i=1  Các tập lin S , aff S , conv S gọi bao tuyến tính, bao affine, bao lồi tập hợp S cone S gọi nón sinh S Một tập S ⊂ R n gọi lồi conv S = S Đặc biệt, tập lồi với S lin S , aff S , conv S Số chiều tập lồi S số chiều không gian affine aff S Điểm x ∈ S gọi điểm tương đối S tồn số thực ε > cho với y∈ aff S, y − x y ∈ S Tập tất điểm tương đối S kí < εhiệu relint S Định nghĩa 1.1.2 Cho b∈ R n { } ∈ \ R, tập H ={x∈ Rn | x,b ≤ }, H ={x∈ Rn | x,b ≥ } gọi nửa khơng gian đóng cho b β Nhận xét 1.1.1 Các nửa khơng gian đóng tập khác rỗng, lồi đóng Định nghĩa 1.1.3 Tập P ⊂ R gọi lồi đa diện P biểu diễn dạng giao hữu hạn nửa khơng gian đóng m nửa P Nhận xét 1.1.2 Vậy P tập lồi đa diện viết i=1 dạng =  khơng gian đóng hay Hi , Hi n i P ={x∈R |x,b ≤ βi ,i =1,k } đói ∈R n βi ∈ b Ví dụ 1.1.1 Tập lồi đa diện bị chặn Định nghĩa 1.1.4 Cho S, tập NS x y tập R n : yT x ≥ yT z, z S ∈ ∀ ∈ ( )={ Nhận xét 1.1.3 (i) N S (x ) nón lồi, đóng Hình 1.1 lồi, đóng, Tập lồi đa diện khơng bị chặn khác rỗng S, với } gọi nón pháp tuyến S x x∈  (ii) S, S hai tập lồi, đóng Rn U lân cận x ∈ R n cho S U = S U NS ( x ) = N S ( x ) S nón lồi, đóng (N S) ⊂ (iii) Nếu x (iv) Cho tập lồi đa diện ( ) = N P x cone {bi : i ( )∀ ∈ ( ) = N , x S N Sn i S P ={x∈R |x,b ≤ βi ,i =1,k } x ∈ P Khi đó, 1, ,k },bT x ∈{ i S = β} Định nghĩa 1.1.5 Choi tập lồi đa diện { P =n } A∈ M có : Ax ≤ b với vectơ x∈ R m×n m I cho tồn J ( A,b ) họ tập số { dòng a1 , ,am vectơ R ⊂ 1, ,m} b∈ , j∈ { m} \ I Tập hợp có T T x ∈ Rn thỏa mãn x = ib, i ∈,I ja x < b 1, , dạng FI ={x ∈ Rn : x = bi ,i ∈ I ,Tjajx ≤ bj , j∈ I , I ∈ (J A,b { 1, ,m} \ } ) , T gọi mặt khác rỗng P Một mặt khác rỗng F I FI ≠ P P gọi mặt thật P Nhận xét 1.1.4 (i) Hai mặt FI ,FJ tương ứng với hai tập số phân biệt ∈ I , J( J )A, b phân biệt (ii) Với I ∈ J ( A,b ) , relint IF = \I { x ∈n : x = bi ,i ∈ I ,Tjax < bj , j∈ {1, ,m}} R T (iii) Nón pháp tuyến P điểm tương đối củaF cho I mặt công thức N I =cone {ai : i I với định ∈ } N∅ = {0nghĩa } Từ tính chất nửa khơng gian đóng, ta có kết sau Mệnh đề 1.1.1 Tập lồi đa diện tập lồi, đóng Tuy nhiên, khơng phải tập lồi, đóng tập lồi đa diện Ví dụ 1.1.2 Quả cầu đơn vị Rn (n ≥2) tập lồi, đóng khơng tập lồi đa diện Định lý 1.1.1 (Định lý Minskowki - Weyl biểu diễn tập lồi đa diện) Tập P ⊂ R n khác rỗng tập lồi đa diện Khi đó, v1 ,v2 , ,v p , d1, d , ,d q ∈ Rn cho P = conv{v1 , ,vp }+ cone{ 1d , ,dq } p q  = x ∈ Rn : x =∑ li vi +∑ µ j dj i =1 j =1  p  , il , µj ≥ 0,∑ l = i =1  i Các vi ,i =1, p gọi điểm sinh, cácj d=, j 1,q gọi phương sinh P Các điểm sinh phương sinh tập lồi đa diện không   −x +2 ≤0     P  x, y )∈ R − − + ≤ Ví dụ 1.1.3 Cho tập lồi đa diện x − y − ≤   = ( Hình 1.2 tồn Chọn v1 =(4,0),v2 =(2,1); d1 =(0,1) , d2 =(1,1) P ={( x, y) = 1l( 4,0) +2l( 2,1 ) +1µ( 0,1 ) +2 (µ )1,1 1, l 2, l ,1µ ,2µ ≥ 0,1 l + l =1 x = 4l1 + 2l2 + µ , l , l , µ , µ ≥0, l +l =1 = 2 ( x, R : y = l2 + µ1 + µ { { } } y )∈ Ta dùng phép khử Fourier-Motzkin để chứng minh định lý chuyển đổi từ dạng giao hữu hạn nửa khơng gian đóng sang dạng hữu hạn sinh định lý 1.1.1 tập lồi đa diện ta khơng đề cập đến Qua định lý 1.1.1., ta thấy ánh xạ affine bảo tồn tính lồi đa phương pháp diện Mệnh đề 1.1.2 Ảnh tập lồi đa diện qua ánh xạ affine tập lồi đa diện Chứng minh ∑ Cho tập P ={ Bl + Cµ : l, µ ≥ 0, l i =1} với B ∈M n×p ,C M ∈ f : Rn → R d n×q tập lồi đa diện x  Mx + t d với M ∈Md×n , t ∈R ánh xạ affine ĐặtT ma trận cấp( × d )p với cột vectơ t Đặt B = : MB+ T,C = : MC Khi f (P ) ={M (Bl +C µ ) +t : l , µ ≥0, ∑ l i =1} {B l + C µ : l, µ ≥ 0,∑ = tập lồi đa diện □ li = } Hệ 1.1.1 Ảnh tập lồi đa diện qua ánh xạ affine tập lồi, đóng Ví dụ 1.1.4 TrongR xét tập X ={ ( x, y ) ∈ 2R } ) = ( : x > 0, xy ≥ ánh xạ tuyến 2 cho cơng thức A x, y ( x,0tính ) A: R → R X tập lồi, đóng > } khơng phải tập đóng ( )= {( x,0 ) ∈ A X Hình 1.3 Mệnh đề 1.1.3 Tổng hai tập lồi đa diện tập lồi đa diện Chứng minh Cho P = conv{v1 , ,vp }+ cone ' + cone { 1d , ,dq } , P ' = conv { 1v ' , ,vp ' } { d ' , ,d}' q' Đặt Q := conv{ iv + vj ' |1 ≤ i ≤ p,1≤ j ≤ } p ' +{cone } j ≤ q ' Q tập i jd , d ' |1 ≤ i ≤ q,1≤ lồi đa diện Ta chứng minh P +P ' = Q Hiển nhiên Q ⊂ P +P ' Ta kiểm tra bao hàm thức ngược lại  p  i=1 q   p' q'  j=1   i=1 j=1  Lấy p := ∑ li vi +∑ µ j d j  + ∑ l 'i v 'i +∑ µ ' j d ' j  ∈P +P ' với l,µ,l', i j µ'≥ i 0, j p p' i=1 i=1 ∑ l i =∑ l 'i =1 Ta cần chứng minh x : = p p' ∑ l v + ∑ l ' v ' ∈conv {v +v ' i=1 i i i i=1 i i j |1 ≤i ≤p,1 ≤j ≤p '} Giả sử tất hệ số tổng dương, ta chọn hệ số nhỏ l q , ,l ,l ' , , ' l1 Khơng tính tổng qt, giả sử l q' q q' ''1 : '1 , ''i : 'i ,2≤i ≤q', η11 :=l x 11 v1 v '1 ∑ i vi ∑ l '' v ' i i=2 l = l −l l = l −η ( + ) = l i=1 i q q' + l i =∑ l ''i Tiếp tục trình hữu hạn lần, ta có biễu diễn x ∑ i=2 i=1 Đặt x = ∑ ηij (vi +v ' j ) với 1≤i≤q 1≤j≤q ' ∑ ηij = 1≤i≤q 1≤ j≤q' Vậy x ∈conv {vi +v ' j | ≤ i ≤ p,1 j p ' ≤ ≤ } Ta suy điều phải chứng minh □ Hệ 1.1.2 Tổng hai tập lồi đa diện tập lồi, đóng Tổng hai tập lồi, đóng chưa đóng Ví dụ sau làm rõ điều Ví dụ 1.1.5 Trong xét tập X ={( x, y ) ∈ 2R R2 } hai tập Y ={( x, y) ∈ 2R } : x < 0, xy ≤ −1 X + Y ={( x, )y ∈ 2R: y > 0} tập lồi, : x > 0, xy ≥ đóng tập tổng đóng Hình 1.4 Định lý sau nói tính tách chặt hai tập lồi đa diện Mệnh đề 1.1.4 P1, P2 tập lồi đa diện khác rỗng, rời Khi đó, tồn Cho siêu phẳng tách chặt chúng, nghĩa là, tồn a∈ Rn { } a >0 cho \ , ay >a > az,∀y∈P, z ∈P Chứng minh: P1, P2 tập lồi đa diện nên theo mệnh P1 − P tập lồi đa diện, đề − P , P đóng Hơn nữa1 P2 P khơng chứa rời 2{ x : ax = µ} với Do tồn siêu a ≠0, µ >0 phẳng ax > µ > 0,∀x∈P − P hay ay > µ 2 + az,∀y ∈P, z ∈ P Vì inf{ay : y P sup az : z 2P sup{az : z∈ P2 } ∈ }≥ { +µ ∈ }∈>} γ = { ∈ 1} a = β +γ β < a < γ Đặt β = { cho ∈P2 Vậy P, P Khi ay>a >az,∀y∈P, z { =a } □ bị tách chặt siêu phẳng x : ax Ví dụ sau cho ta thấy tính lồi đa diện đảm bảo cho tính tách chặt £ )Ỵ = {( Ví dụ 1.1.6 Ta xét hai tập hợp sau R2 : A x, y R : x 0} , ü = ïì ³ )Ỵ tập lồi, đóng, nhiên, B í(x, y R : y , x > ï0ý d x ùùợ ùùỵ ù khụng cú thy A, B đường thẳng tách chặt chúng Hình 1.5 ... niệm, tính chất tập lồi đa diện, phép chiếu lên Chương tập lồi, đóng ánh ánhx? ?xạ? ?ađatr? ?trị giới thiệu đa diện tính chất Sau sâu vào trình bày tính Lipschitz lớp ánh xạ Chương trình bày tính Lipschitz. .. sâu tính chất lớp ánh xạ đa trị đặc biệt đặt ra, chẳng hạn ánh xạ đa trị Mục đa diện tiêu luận văn tìm hiểu trình bày cách hệ thống tính Robinson phát tính chất đặc biệt lớp ánh xạ này, tính Lipschitz. .. 1.1.1 tập lồi đa diện ta không đề cập đến Qua định lý 1.1.1., ta thấy ánh xạ affine bảo tồn tính lồi đa phương pháp diện Mệnh đề 1.1.2 Ảnh tập lồi đa diện qua ánh xạ affine tập lồi đa diện Chứng