Một số khái niệm và tính chất cơ bản của các ar, anr không gian

TrƯờng đại học vinh Khoa toán *********** Một số khái niệm tính chất AR, ANR - Không gian Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán Cán h-ớng dẫn khóa LUậN: PGS.TS Tạ Khắc CSinh viên thực hiện: Lớp: Bùi Thị Mai 46B1 Toán Vinh, tháng 05 năm 2009 Lời nói đầu Lý thuyết corút phần Tôpô học, đ-ợc bắt đầu xây dựng cách 60 năm, khoảng thời gian đó, lý thuyết corút đà tích luỹ đ-ợc nội dung phong phú Khái niệm corút tuyệt đối corút lân cận tuyệt đối lần đ-ợc nghiên cứu cho không gian mêtric compắc Với việc nghiên cứu chi tiết corút tuyệt đối corút lân cận tuyệt đối lớp không gian mêtric compắc giúp hiểu biết sâu sắc nhiều kiến thức lý thuyết tập hợp Tôpô đại số Mục đích khoá luận tìm h-ớng nghiên cứu Trong tr-ờng hợp X , Y , Z không gian Hausdorff, M - họ tất không gian mêtric Với mục đích dựa vào tài liệu tham khảo, khoá luận đ-ợc trình bày thành mục Các kiến thức chuẩn bị Mục trình bày số khái niệm kết cần dùng khoá luận Một số khái niệm tính chất AR, ANR không gian Trong mục trình bày Định nghĩa corút tuyệt đối corút lân cận tuyệt đối lớp không gian mêtric compắc, số tính chất đặc tr-ng Mối liên hệ AR, ANR không gian với đa diện hình học, số Định lý thác triển ánh xạ, nhúng compắc vào AR Kết luận Tài liệu tham khảo Khoá luận đ-ợc thực tr-ờng Đại học Vinh d-ới h-ớng dẫn thầy giáo PGS.TS Tạ Khắc C- Nhân dịp cho phép tác giả bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS Tạ Khắc C- ng-ời thầy đà tận tình h-ớng dẫn tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, thầy cô Tổ Giải tích, Khoa Toán đà nhiệt tình giảng dạy Cuối tác giả cảm ơn tất bạn bè, đặc biệt bạn lớp 46B1-Toán đà động viên giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập hoàn thành khoá luận văn Mặc dù đà có nhiều cố gắng nh-ng lực hạn chế nên luận văn tránh khỏi thiếu sót nội dung lẫn hình thức Vì vậy, mong nhận đ-ợc lời bảo quý báu thầy cô giáo góp ý bạn đọc Vinh, tháng năm 2009 Tác giả Các kiến thức chuẩn bị Trong mục trình bày số khái niệm kết cần dùng khoá luận Trong suốt luận văn giả thiết không gian X , Y , Z T2 - không gian ánh xạ liên tục Định nghĩa 1.1 Cho X , Y không gian Hausdosff nghĩa T2 - không gian ánh xạ f : X Y đ-ợc gọi r - ánh xạ tồn nghịch phải g : Y  X cho fg : Y Y ánh xạ đồng Định nghĩa 1.2 Giả sử Y tập X Khi đó, ánh xạ f : X Y đ-ợc gọi ánh xạ corút (hay phép corút) ánh xạ lồng i : Y X nghịch phải f NghÜa lµ f ( x)  x víi điểm x Y Định nghĩa 1.3 Tập X không gian X đ-ợc gọi corút X tồn phép corút từ X lên X Định nghĩa 1.4 Tập đóng X không gian X đ-ợc gọi corút lân cận X , X corút tập mở U X , X U Định nghĩa 1.5 Ta nói không gian mêtric X corút tuyệt không gian mêtric Y M ( M họ tất không gian mêtric) với đồng phôi h : X h( X ) đóng Y h( X ) corót cđa Y Ta kÝ hiƯu X  AR(M ) Định nghĩa 1.6 Ta nói không gian mêtric X corút lân cận tuyệt không gian mêtric Y M ( M họ tất không gian mêtric) với đồng phôi h : X  h( X ) ®ãng  Y tồn lân cận mở U h( X ) U Y tồn r : U h( X ) ánh xạ corút Ta kí hiệu X ANR(M ) Định lý 1.7 (Định lý Kuratowski) Đối với không gian mêtric ( X , ) tồn không gian định chuẩn Z đồng phôi h : X h( X ) Z h( X ) đóng bao lồi C (h( X )) Chøng minh Ta cã thĨ gi¶ thiÕt diam( X ,  )  (víi diam đ-ờng kính) Vì diam ( X , ) đặt ( x, y) diam ( X ,  )   ( x, y) mêtric với ( X ,  ) ta cã   ( x, y ) Đặt Z = {tất hàm liên tục bị chặn X } Đặt mêtric * Z :  * ( f1 , f )  sup f1 ( x)  f ( x) , f1 , f  Z ; xX Khi f sup f ( x) chuẩn Z Ta xây dựng đồng phôi h : X  h( X )  Z nh- sau X  x  f x  Z cho f x ( y)   ( x, y), y  X Khi đặt h( x) f x Ta chứng minh h đồng phôi cách chứng minh đẳng mêtric (tức ( x, y) * ( f x , f y )) ThËt vËy  * ( f x , f x )  sup f x ( x)  f x ( x)  f x ( x)  f x ( x) xX 2 =  ( x1 , x )   ( x2 , x)   ( x1 , x2 )  * ( f x , f x )   ( x1 , x2 ) Suy (1) Mặt khác, với Y X , ta có f x1 ( y)  f x2 ( y)   ( x1 , y)   ( x2 , y)   ( x1, x2 ) Suy sup f x1 ( y)  f x2 ( y)   ( x1 , x2 ) (2) X Tõ (1) vµ (2) ta suy  ( x1 , x2 )   * ( f x , f x ) VËy h đồng phôi Ta phải chứng minh h( X ) ®ãng bao låi C (h( X )) Gi¶ sư f  C (h( X )) Ta đặt f lim f xn , f xn  h( X ) V× f  C (h( X )) nên f tổ hợp tuyến tính n phần tử từ h( X ) , nói rõ hơn, tồn điểm a0 , a1 , , ak X số d-ơng , 1 , , k cho k f   i f xi víi i 0 k  i i Không tính tổng quát ta giả thiết i khác tìm đ-ợc thoả mÃn k Khi  * ( f , f x )  f ( xn )  f x ( xn )  f ( xn )  0 f a ( xn )  n n  (a0 , xn ) k 1 Bëi v× lim f x  f , ta suy lim xn  a0 vµ kÕt luËn f  f a  h( X ) Định lý đ-ợc n n n chứng minh Định lý 1.8 (Định lý Dugundji) Giả sử A tập đóng không gian mêtric ( X , d ) , Y không gian lồi địa ph-ơng Khi ánh xạ f : A Y có thác triển liên tục f : X Y Hơn tất giá trị f cã thÓ lÊy tõ bao låi C ( f ( A)) f (A) Định lý 1.9 (Tính chất đặc tr-ng AR(M)) Để không gian mêtric X AR( M ) điều kiện cần X r - ảnh tập lồi không gian tuyến tính định chuẩn Z điều kiện đủ X r - ảnh tập lồi không gian tuyến tính lồi địa ph-ơng Chứng minh Điều kiện cần Giả sử X AR(M ) ta chứng minh X  r (Q) víi Q lµ tËp låi nằm không gian định chuẩn Z Theo Định lý Kuratowski tồn Q lồi Z định chuẩn cho ánh xạ đồng phôi h : X h( X ) Q låi  Z Theo giả thiết X AR nên tồn ánh xạ corót r : Q  h( X ) VËy hợp thành h1r : Q X r - ánh xạ Điều kiện đủ Giả sử X r - ảnh tập lồi Q Z không gian tuyến tính lồi địa ph-ơng, f : Q X r - ánh xạ có nghịch phải g : X Q Giả sử đồng phôi h : X h( X ) đóng không gian mêtric X Khi hợp thành gh1 : h( X ) Q Theo Định lý Dugundji tồn thác triển liên tục : X Q lên toàn không gian X Khi ta đặt r ( x) h( f ( ( x))) víi mäi x  X Ta nhận đ-ợc r : X h( X ) lµ phÐp corót ThËt vËy, víi y  h( x)  h( X ) th× r ( y)  (hf  h)( x)  h( x)  y Suy X AR(M ) Định lý đ-ợc chứng minh Định lý 1.10 (Tính chất đặc tr-ng ANR(M)) Để không gian mêtric X ANR(M ) điều kiện cần X r - ảnh l©n cËn më n»m tËp låi Q n»m không gian tuyến tính định chuẩn Z Điều kiện đủ X r - ảnh tập mở n»m tËp Q låi cđa kh«ng gian tun tÝnh lồi địa ph-ơng Chứng minh Điều kiện cần Giả sử X ANR(M ) áp dụng Định lý Kuratowski tồn đồng phôi h : X  h( X ) ®ãng Q låi  Z định chuẩn, suy tồn r : U h( X ) ánh xạ corút ( U l©n cËn më cđa h( X ) Q ) Do h1r : U X r - ánh xạ Điều kiện đủ Giả sử X r - ¶nh cđa tËp më U  Q låi  Z không gian tuyến tính lồi địa ph-ơng, f : U X r - ánh xạ với nghịch phải g : X U Xét đồng phôi h : X  h( X )  X  ( X không gian mêtric tuỳ ý) Khi ánh xạ gh1 : h( X ) U Q Theo Định lý Dugundji tồn th¸c triĨn   : X   Q KÝ hiÖu U    1 (U ) U  lân cận h( X ) X Đặt r ( x) h( f ( ( x))) với x U Ta nhận đ-ợc ánh xạ r corút U lên h( X ) Vậy X ANR (M ) Định lý 1.11 Giả sử Y không gian mêtric, (i) Y AR(M ) không gian tập đóng X không gian mêtric X , ánh xạ f : X Y có thác triển liên tục f  : X   Y (ii) Y lµ ANR(M ) không gian tập đóng X không gian mêtric X , ánh xạ f : X Y có thác triển liên tục f : U Y lân cận U X vào X Định lý 1.12 (Tính phân phối AR(M), ANR(M) không gian) Giả sử không gian mêtric X hợp hai tập đóng X1 , X cđa nã vµ X  X1 X , ®ã (i) NÕu X , X1 , X  AR(M ) th× X  AR(M ) (ii) NÕu X , X1 , X  ANR(M ) th× X  ANR(M ) (iii) NÕu X , X , AR(M ) th× X1 , X  AR(M ) (iv) NÕu X , X  ANR(M ) th× X1 , X  ANR(M ) Chứng minh Để chứng minh (i) ta cần chứng minh X tập đóng không gian mêtric Z X , X1 , X AR(M ) , X corút Z Đặt Z0 z Z :  ( z, X1 )   ( z, X ) Z1  z  Z :  ( z, X1 )   ( z, X ) Z2  z  Z :  ( z, X1 )   ( z, X ) Râ rµng ta nhận đ-ợc Z Z0 Z1 Z2 , tập X Z0 đóng Z Xi Z0  X (i  1, 2) Tõ ®ã tån t¹i phÐp corót r0 : Z0  X Ta lại có X i Z0 đóng Zi Z0 (i = 1,2), từ Định lý 1.11 suy ánh xạ ri : X i Z0 X i đ-ợc xác định công thức z  X i  z, ri ( z )   r ( z ), nÕu z  Z0 , có thác triển liên tục fi : Zi Z0 X i Ta đặt r ( z) fi ( z) víi mäi z  Zi Z0 (i  1, 2) ta nhận đ-ợc phép corút r : Z  X Ta chøng minh (ii) Chóng ta cần chứng minh X đóng không gian mêtric Z X , X1 , X ANR(M ) tồn Z lân cận U tập X , cho X corót cđa nã Ta cã X ®ãng Z , suy tồn lân cận W0 X không gian Z ®ãng Z , vµ phÐp corót r0 : W0 X Đặt r ( z ), nÕu z W0 ri ( z )   nÕu z  X i  z, Ta nhËn ®-ỵc phÐp corót ri tõ tËp X i  W0 lên tập X i , i = 1,2 Bởi X i ANR(M ) , nhờ Định lý 1.11, suy tồn thác triển liên tục ri : Vi X i ánh xạ ri từ lân cận Vi tập X i W0 vào Zi Z0 Trong Vi ta tìm đ-ợc lân cận đóng U i tập X i không gian Z0 Zi cho Ui Z0  W0 Bëi v× U1  U  U1  (Z  Z1 )  (Z  Z )  U1  Z  W0 , th× c«ng thøc r ( z )  ri( z ) với z Ui , i 1, xác định phÐp corót r tõ tËp U  U1 U lân cận X Z , lên tập X Nh- (ii) đ-ợc chứng minh Chứng minh t-ơng tự cho (iii) (iv) ta suy Định lý đ-ợc chứng minh Định lý 1.13 Không gian X AR(M ) - không gian X ANR(M ) - không gian corút điểm Chứng minh Ta đà có, AR - không gian corút điểm vào ANR - không gian Ta xem X tập đóng tập lồi Q nằm không gian định chuẩn Z Vì X corút điểm nên tồn họ ft hàm liên tục ft X X cho f biến X vào điểm a X , f1 ánh xạ đồng Đặt f0( x)  a víi mäi ®iĨm x  Q ta đ-ợc thác triển liên tục f0 : Q X f p dụng Định lý (Định lý Nếu X tập đóng không gian mêtric X , giả sử Y ANR(M ) Xét họ ánh xạ ft , t 0,1 với ft : X Y giả thiết f có thác triển liên tục f0 : X Y Khi tồn họ ánh xạ liên tục ft với ft: X   Y , t  0,1 , f t thác triển f t ) ta nhận đ-ợc họ thác triển liên tục ft với ft: Q  X cđa f t Nãi riªng f1: Q X thác triển ánh xạ đơn vị f t ánh xạ corút áp dụng Định lý 1.9 ta có điều phải chứng minh Định lý 1.14 Tích đề X n1 X n ANR(M ) - không gian X n ANR(M ) hầu hết X n AR(M ) Định lý 1.15 (Định lý Hanner I) Mỗi tập mở ANR (M ) - không gian ANR (M ) - không gian Định lý 1.16 (Định lý Hanner II) Nếu không gian mêtric X hợp đếm đ-ợc tập më Gi cđa X (i  1, 2, ) lµ ANR - không gian X ANR - không gian Bổ đề 1.17 Nếu X tập đóng không gian Euclide E n G thành phần liên thông bị chặn E n \ X , không tồn ánh xạ liên tục f : G X cho f ( x) x với x G \ G Hệ 1.18 Mỗi r - ảnh AR(M ) không gian AR(M ) không gian Chứng minh Bởi không gian mêtric X AR(M ) không gian theo Định lý 1.9 X r - ¶nh cđa mét tËp låi Q  Z víi Z không gian định chuẩn Nghĩa tồn r - ánh xạ f : Q X ta viết X f (Q) Bây kí hiệu g r - ánh xạ g : X  g ( X ) Khi ®ã g ( X )  gf (Q) V× gf tích hai r - ánh xạ nên r - ánh xạ Vậy g ( X ) r -ảnh tập lồi Q nằm không gian định chuẩn Z Theo điều kiện đủ Định lý 1.9 g ( X ) AR(M ) không gian Chứng minh Giả sử X ANR , suy X ANR(M ) Theo Định lý 1.10 tồn r - ánh xạ f : G  X , víi G më tËp låi Q Z , Z không gian định chuẩn với nghịch phải g : X G Giả sử X corút lân cận X , tồn lân cận mở X ánh xạ corút r : U X Đặt H f (U ) X thoả mÃn X H mở Q (vì f liên tục) Đặt f0 ( z) r f ( z) víi z  H , ta có f r - ánh xạ từ H vào X Khi đặt g0 ( x) g ( x) th× víi x  X ta đ-ợc g0 : X H nghịch phải cđa f ThËt vËy, víi x  X ta cã f0 g0 ( x)  r f g ( x)  r ( x)  x VËy X r - ảnh tập mở H tập lồi Q nằm không gian định chuẩn Z , nên theo Định lý 1.10 ta có X ANR(M ) Mặt khác X corút lân cận X nên X ®ãng X comp¾c, ®ã X comp¾c VËy X ANR Định lý 2.8 Mỗi ANR - không gian có hữu hạn thành phần liên thông Để chứng minh Định lý ta cần đến Bổ đề sau Bổ đề Mỗi thành phần liên thông tập đóng Chứng minh Giả sử Lx thành phần liên thông điểm xi i X ANR Khi ta có bao hàm thức: Lxi Lxi (1) Mặt khác, bao đóng tập liên thông liên thông nên Lx liên thông Ta có i Lxi tập liên thông lớn chứa xi , ®ã Lxi  Lxi (2) Tõ (1) vµ (2) ta suy L  Lx , tøc tập Lx đóng xi i i Chứng minh định lý 2.8 Giả sử ng-ợc lại, X chứa vô hạn thành phần liên thông, tức iI Lxi X , xi X Vì Lxi đóng X compắc nên Lxi compắc Với phủ mở U xj jJ cđa Lx th× ta cã i i   jJ U xji iI , xi  X lµ phđ mở X Do Lx compắc nên từ phủ mở U xj iI trích đ-ợc phủ hữu hạn Nh-ng i với phủ mở i jJ U xji iI X lại tách đ-ợc phủ hữu hạn nào, X chứa vô hạn thành phần liên thông Điều mâu thuẫn víi gi¶ thiÕt X  ANR VËy X chØ chứa hữu hạn thành phần liên thông Định lý 2.9 Mỗi thành phần liên thông ANR - không gian ANR không gian Chứng minh Giả sử Aj thành phần liên thông X ANR , ta đà chứng minh Aj đóng X compắc Vậy Aj compắc áp dụng Định lý 2.8 ta có X n i Ai , Ai thành phần liên th«ng cđa X , ta suy Aj  X \ n i 1 Ai  X \ ( i j j 1 i 1 n Ai i  j Ai ) Do Ai đóng hợp hữu hạn phần tử đóng đóng, ta suy Aj mở X , X ANR nên X tập mở ANR(M ) - không gian VËy ta cã Aj  ANR(M ) Ngoµi A j compắc nên Aj ANR Định lý 2.10 Mỗi đa diện hình học ANR Chứng minh Mỗi đa diện hình học tập compắc, có số tam giác phân hữu hạn Vì ta cần chứng minh đa diện hình học ANR(M ) - không gian Giả sử X đa diện n - chiều, với J tam giác phân Từ ta có J gồm hữu hạn phần tử, X compắc Kí hiệu K số đơn hình hình học nó, ta chứng minh quy nạp K Định lý đúng, đa diện gồm đơn hình hình học ANR không gian Giả sử K m , ta giả thiết Định lý với đa diện có số đơn hình K m Giả sử đơn hình n - chiều J , gọi J1 tam giác phân nhận đ-ợc từ J , bớt đơn hình Ta thu đ-ợc đa diện X với tam giác phân J1 Theo giả thiết quy nạp X1 ANR(M ) Đặt X * , với * biên Khi *  X  ANR(M ) , v× X phần X với tam giác ph©n J1 (k  m) ; X    ANR(M ) Ta cã X  X1 X , X  X1 X , nªn theo Định lý phân phối X ANR(M ) - không gian (Định lý 1.12) ta có X ANR(M ) Vậy X ANR Định lý 2.11 Hợp hai AR - không gian mà có giao AR AR - không gian (t-ơng tự cho ANR ) Chøng minh Gi¶ sư X  X1 X  X1 X2 , víi X1 , X  AR (hc ANR ), X  AR (hc ANR ) Cần chứng minh X AR (hoặc ANR ) Vì hợp hữu hạn tập compắc nên X X1 X compắc Theo Định lý phân phối (Định lý 1.12) suy X  X1 X  AR(M ) (hc ANR(M ) ) VËy X  AR (hoặc ANR ) Định lý 2.12 Nếu hợp giao hai compắc AR - không gian (hoặc ANR - không gian) từ chúng AR - không gian (hoặc ANR - không gian) Chứng X  X1 minh Gi¶ X  X1 sư X  AR(M ) , (hc ANR(M )) ; X  AR (hc ANR ), ta suy X , X  AR(M ) (hc X , X ANR(M )) Thật vậy, nhờ Định lý phân phối (Định lý 1.12) ta có X1 , X AR(M ) (hoặc ANR(M ) ) Mặt khác, theo giả thiết ta có X1 , X compắc nên X1 , X AR (hoặc ANR ) Định lý 2.13 Tích đề X n1 X n ANR - không gian X n ANR hầu hết X n  AR - kh«ng gian  Chøng minh Điều kiện cần Giả sử X n1 X n ANR - không gian, ta suy X ANR(M ) X - compắc Từ suy X n ANR(M ) hầu hết X n AR(M ) (Định lý 1.14) Vì X compắc nên X n compắc với n IN Điều kiện đủ Nếu X n ANR , hầu hết X n AR , ta suy X n compắc X n ANR(M ) , hầu hết X n AR(M ) Khi theo Định lý 1.14 ta có X  ANR(M ) Do X n comp¾c víi mäi n IN nên tích chúng compắc Vậy X compắc Định lý 2.14 Cái compắc X ANR - không gian điểm x X có lân cận ANR(M ) - không gian Chứng minh Điều kiện cần Theo Định lý Hanner I (Định lý 1.15) điểm ANR(M ) - không gian có lân cận ANR(M ) - tập Điều kiện đủ Giả sử X compắc cho với x X có lân cận U x ANR(M ) - tập Khi phần U x ANR(M ) - tập mở Các phần phủ X Từ X compắc tồn phủ hữu hạn ANR(M ) - tập n Nghĩa X  Vx ,Vx  int U x , xi  X Do theo Định lý Hanner II (Định lý 1.16) ta i 1 i i i cã X ANR(M ) Và X compắc nên X ANR Định nghĩa 2.15 Ta nói tập A Q lăng trụ Q , với m , ta tìm đ-ợc đa diện h×nh häc P  Qm cho A  m1 ( P) Đa diện hình học P đ-ợc gọi sở lăng trụ A Bổ đề 2.16 Giả sử X tập compắc nằm Q , , tìm đ-ợc lăng trụ A Q lân cận cña X Q cho  ( x, X )   víi mäi x  A Chøng minh Nếu X ta đặt A NÕu X   , th× víi m cho  m   ta cã tËp X m m ( X ) tập compắc khác rỗng, nằm Q Xét đa diện hình học Pm Qm lân cận X m Q  vµ cho  ( x, X m )   m víi mäi x  Pm Bởi ánh xạ m liên tục, lăng trụ A m1 ( Pm ) lân cận X Q Hơn m ( x)  Pm víi mäi x  A , vµ  ( x, X m )   ( x,m ( x))   (m ( x), X m )  2 m Tõ ®ã nhê  ( x, X )   m víi mäi x  X m suy  ( x, X )  3 m   víi mäi x  X Định lý 2.17 Không gian X ANR r - ảnh lăng trụ nằm Q Chứng minh Điều kiện cần Vì lăng trụ Q ANR - không gian, nên r - ánh xạ lăng trụ ANR - không gian Điều kiện đủ Giả sư X  ANR , ta cÇn chøng minh X r - ảnh lăng trụ đó, không mÊt tÝnh tỉng qu¸t ta cã thĨ xem X  Q Bởi X ANR nên tồn l©n cËn U cđa X Q víi phÐp corót r : U  X Tõ Bỉ ®Ị 2.16 ta suy Q tìm đ-ợc lăng trụ A lân cận X nằm U Nghĩa X A U Cái hạn chế ánh xạ r corút tập A lên X , nh- X r - ảnh lăng trụ Q Định lý 2.18 Nếu Y ANR với , tồn   cho mäi tËp ®ãng X không gian mêtric X ánh xạ f1 , f  Y X víi  ( f1 , f2 )   mµ f1 cã thác triển f1 Y X f có thác triÓn f 2  Y X cho  ( f1, f 2)   Chøng minh Kh«ng mÊt tính tổng quát ta giả thiết Y Q   Tõ Y  ANR suy tồn lân cận U Y Q E ánh xạ corút r : U Y Do Y compắc nên tồn cho hình cầu K  { y  E :  ( y, Y )  } , n»m U , víi  ( y, r ( y))   , víi mäi y  K (v× r ( y)  y với y Y ) Đặt ( x)  f1 ( x)  f ( x) víi mäi x  X , ta cã giá trị nằm K0 { y  E :  ( y,0)  } V×  ( f1 , f )   K tập lồi nên từ Định lý Dugundji 1.8 suy ánh xạ có thác triển liên tục : X K0 Giả sử f1 thác triển f1 , ®ã  ( f1( x), f1 ( x)   ( x))   (0,  ( x))   víi x  X Tõ ®ã ta cã f1( x)   ( x)  K Nh- vËy c«ng thøc f 2( x)  r ( f1( x) ( x)), xác định ánh xạ f : X Y , thác triển cđa f , v× f 2( x)  r ( f ( x))  f ( x) , víi mäi x  X Tõ bất đẳng thức (1) bất đẳng thức ( y, r ( y))   suy  ( f1( x), f 2( x))   víi mäi x X Định lý đ-ợc chứng minh Hệ 2.19 Giả sử Y0 tập đóng Y Nếu Y0 , Y ANR tồn lân cận U Y0 Y họ đồng luân t Y U cho (i) 0 ( y)  y víi y U (ii) t ( y)  y víi y  Y ,0  t  (iii) 1 lµ phÐp corót tõ U lªn Y0 Chøng minh Do Y0  ANR nên tồn ánh xạ corút r từ lân cận U cđa Y0 Y lªn Y0 (r : U0  Y0  Y ) Gi¶ sư U lân cận Y0 , đ-ợc chứa U Đặt X Ux 0,1 X  Y0 x 0,1U x 0 Ux 1 Ta xét hai ánh xạ f1 , f Y X đ-ợc xác định công thức f1 ( y, t )  y víi mäi ( y, t )  X , víi ( y, t ) Y0 x 0,1 Ux 0 y f ( y, t )   r ( y ) víi ( y, t ) Ux Giả sử số d-ơng, rõ ràng lân cận U Y0 Y chọn đ-ợc cho ( f1 , f2 )   Tõ X lµ tập đóng X từ f1 thác triển liên tục f1 xác định X lấy giá trị Y ( f1 đ-ợc xác định công thức f1( y, t ) y ) Theo Định lý 2.18, tồn thác triển liên tơc f 2 : X  Y cđa f Đặt t ( y) f 2( y, t ) víi ( y, t ) Ux 0,1 ta nhËn đ-ợc họ đồng luân t Y U thoả mÃn (i) - (iii) Bổ đề 2.20 Giả sử J tam giác phân đa diện X X1 , X hai đa diện không giao nhau, tam giác phân Khi tam giác phân J không gian XxI ( I   ,  ) , tån t¹i phép corút f không gian XxI tuyến tính đơn hình J có dạng f ( x, t )  ( x, ( x, t )) víi x  X , t  I ; víi ( x, t ) hàm nhận giá trị I , tho· m·n (1)  ( x, t )   víi x  X hay t   , (2)  ( x, t )  t víi x  X Chøng minh DƠ thấy XxI đa diện hình học Ta xây dựng tam giác phân J với đỉnh ( x0 , t0 ), ,( xn , tn ) víi x0 , xn không thiết khác nhau, đỉnh tam giác phân J , ti Ta xác định ánh xạ f giá không J công thøc ( xi ,  ) víi xi  X1 f (( xi , ti ))   ( xi , ti ) víi xi  X  X1 Sau ta thác triển tuyến tính tất đơn hình tam giác phân J Ta nhận đ-ợc thác triển, kí hiệu f phép corút, ff f Định lý 2.21 Đối với compắc X tìm đ-ợc AR - không gian X đồng phôi h : X  h( X )  X  cho X \ h( X ) đa diƯn Chóng ta cã thĨ gi¶ thiÕt X   Ta nhËn thÊy r»ng X   h( X ) khả ly, nên tam giác phân có không đếm đ-ợc đơn hình Số đơn hình hữu hạn X h( X ) compắc Trong tr-ờng hợp ta thêm vào không gian X đoạn thẳng có ®iĨm chung nhÊt víi X Khi ®ã ta nhận đ-ợc AR - không gian X cho X h( x) không compắc Vì ta xem tam giác phân đếm đ-ợc - tam giác phân Nh- vậy, ngoại trừ tr-ờng hợp X ta chứng minh Định lý 2.21 dạng t-ơng tự Định lý sau Định lý 2.22 Mỗi compắc X đồng phôi với tËp X  cđa AR kh«ng gian X  cho X X đa diện có - tam giác phân Chứng minh Định lý 2.21 Định lý 2.22 Không tính tổng quát ta cã thĨ xem X  Q Gi¶ sư m , phép chiếu Q lên Q m đ-ợc xác định công thức m (xn ) ( x1 , x2 , , xm ,0,0, ) §èi víi m N , giả sử Pm đa diện Q m , lân cận m ( X ) Q m Gi¶ sư Z m  m1 ( Pm ) Ta cã Z m lân cận X Q Rõ ràng ta chọn đ-ợc Pm ph-ơng pháp quy nạp cho thoả mÃn ba điều kiện sau Zi  Q (1) Z m1  int Z m (2)  m 1 Zm  X (3) Tõ (2) từ Định nghĩa ánh xạ m tập Z m suy đa diện ( Z m1 ) vµ m (Q  Z m )  Qm  Pm kh«ng giao Nhê Bỉ đề 2.20 ta suy tồn ánh xạ m : Qm xI m  I m víi I m  0,  , cho  m   m ( x1 , x2 , , xm , xm1 ,0, )  ( x1, , xm ,  ( x1, , xm1),0,0, ) lµ phÐp corót, tun tính đơn hình tam giác phân f  cđa Q m1 , tho¶ m·n f m ( x)  m ( x) nÕu m ( x)  Qm  Pm ; (4) f m ( x)  x nÕu m ( x) m (Zm1 ) (5) Tõ điều kiện (1), (2), (3) suy Q X hợp compắc Bm Zm Zm1 thoả mÃn điều kiện Bm Bm k   víi m – 1, 2, …, k = 2, 3,… (6) Bm Bm1  Z m1 Q  Z m1 víi m = 1, (7) NÕu U lân cận X Q với hầu hết m , tập Bm nằm U (8) m1 ( Bm ) đa diện hình học, đ-ợc chứa Bm (m = 1, 2, 3,…) f m (m1 ( Bm ))  m1 ( Bm ) Tõ ®iỊu kiƯn (7) suy r»ng víi x Bm Bm1 m (m1 ( x)) m ( x) m ( Zm1 ) vµ m1 (m2 ( x))  m1 ( x) m1 (Q  Zm1 )  Qm1  Pm1 V× vËy, tõ (4) vµ (5) ta suy víi mäi x  Bm Bm1 th× f m (m1 ( x))  m1 ( x)  m1 (m2 ( x))  f m1 (m2 ( x)) Chó ý ®Õn ®iỊu kiƯn (6) ta cã c«ng thøc  f ( ( x)) víi x  Bm , f ( x)   m m1 với x X x (9) (10) xác định hàm f toàn Q Nhờ (8) ta có hàm f liên tục Q X Mặt khác, điểm x xn Bm ta cã f ( x)  f m (m1 ( x))  f m (( x1 , , xm1 ,0,0, )  ( x1 , x2 , , xm , ( x1 , , xm1 ),0, ) Tõ ®ã ta cã  k 1 ( m  k )  ( x, t ( x)) Từ bất đẳng thức Định nghĩa hàm f ta suy f liên tục điểm X Cũng theo Định nghĩa ánh xạ f tập X f (Q ) hợp tập X tập f ( Bm )  f m ( m1 ( Bm )) Từ điều kiện (9), (10) suy f m (m1 ( Bm ))  m1 ( Bm ) Bm , ánh xạ f m tuyến tính đơn hình tam giác phân Q m1 , ta kÕt luËn r»ng mäi tËp f ( Bm ) Bm đa diện Sử dụng điều kiện (6) (8), ta đến kÕt luËn tËp X   X    m f ( Bm ) đa diện Để kết thúc chứng minh Định lý 2.21 cần phải chứng minh f lµ phÐp corót cđa Q NghÜa lµ f ( f ( x))  f ( x) víi mäi x  Q Víi x  Q  X ta tìm đ-ợc số m , cho x  Bm Khi ®ã f ( x)  fm (m1 ( x)) m1 ( Bm ) Bm ánh xạ f m phép corút tho¶ m·n f m f m  f m ; nh- với x Bm ta có f ( f ( x))  f m (m1 ( f ( x)))  f m ( f ( x))  f m ( f m (m1 ( x)))  f m (m1 ( x))  f ( x) Nh- vËy ta chứng minh đ-ợc ánh xạ f phép corút hình hộp Q lên tập X f (Q ) Tõ ®ã ta cã X   AR Các Định lý 2.21 2.22 đ-ợc chứng minh Mét sè vÝ dô VÝ dô Cho tËp A  a, b gåm hai ®iĨm a  b , đ-ờng thẳng Chứng minh a, A corút lân cận b, A không corút Từ kết suy A  ANR vµ A  AR Chứng minh a) Khoét bớt điểm lân cận mở ab , ta đặt U a b \ Khi U chứa A Ta đặt ánh xạ ab a   x   r ( x)   b nÕu a  b  x    Khi ®ã r (a)  a, r (b) b , r ánh xạ liên tục corút U lên A Mặt khác ANR(M ) nên A ANR(M ) Vì A tập điểm nên A compắc Vậy A  ANR b) Ta cã \ A cã thành phần liên thông bị chặn G (a, b) Khi ®ã G  (a, b)   a, b áp dụng Bổ đề 1.17 không tồn ánh xạ liên tục f : G A tho¶ m·n f ( x)  x víi mäi x  A Nh- vËy A  AR(M ) Do ®ã A  AR VÝ dơ Cho tËp A  {( x, y, z)  : x2  y  z  ; z  0} H·y chøng minh r»ng A AR Chứng minh Ta có A nửa mặt cầu trên, chiếu xuống mặt xoy ta đ-ợc hình tròn S  ( x, y) : x2  y không gian định chuẩn 2 Mặt khác hình tròn S AR(M ) (tập lồi ) S compắc hình tròn Ta lập r - ánh xạ r : S A nh- sau ( x, y)  S  ( x, y,  x  y )  A ¸nh x¹ r ( x, y, cã ¸nh x¹ nghịch phải g Với g : A S xác định x y )  ( x, y) tho¶ m·n x  y Ta có hình tròn S AR(M ) A r (S ) nên theo HƯ qu¶ 1.18 ta cã A  AR(M ) Mặt khác r - ảnh hình tròn compắc (hay A đóng bị chặn ) nên A compắc Do A AR(M ) A compắc VËy A  AR VÝ dô Cho tËp V  ( x, y)  : a  ( x, y  b; a  0, b  0, a  b Chøng minh r»ng biªn cđa hình vành khăn V ANR Chứng minh Kí hiÖu S1  ( x, y)  : ( x, y)  b S2  ( x, y)  : ( x, y)  a , S  S1 S2 Ta khoét đ-ờng tròn S0  ( x, y)   U 2 : ( x, y) a b Đặt \ \ S0 , ta đ-ợc U lân cận mở chứa S Lập ánh xạ corót f : U  S nh- sau f (X )  ( X a b ba a b X ;  ) X X a b X ( x, y) Ta có X Vậy S corút lân cận ab 2 f ( X )  a , víi X  ab th× f ( X )  b nªn S  ANR(M ) Mặt khác S1 , S2 tập compắc nên S S1 S2 tập compắc (hợp tập compắc compắc) Vậy S ANR Ví dụ Cho mặt cầu K n  x  En , x  Chøng minh r»ng S n1   x  E n : x hình cầu đóng a, S n 1 corút lân cận E n b, S n1 không corút hình cầu đóng K n Từ kết ta kết luận đ-ợc S n1 ANR S n1 AR Chứng minh a, Đặt U E n \ , ta đ-ợc U l©n cËn më E n chøa S n 1 Đặt ánh xạ r ( x) x , với x U x Khi r ánh xạ corút từ U lên S n1 , v× r ( x)  x x  S n1 ( x  1) VËy S n1 lµ corút không gian E n , E n  ANR(M ) nªn S n1  ANR(M ) Mặt khác S n1 tập compắc Vậy S n1  ANR b, Ta cã S n1 lµ tËp ®ãng E n Khi ®ã E n \ S n1 có thành phần liên thông bị chặn hình cầu mở G x E n : x  1 VËy G  K n  x  E n : x  1 Theo Bổ đề 1.17 ta kết luận không tồn ánh xạ liên tục f : G S n1 thoả m·n f ( x)  x víi x  S n1 Nh- tồn không gian mêtric K n  G chøa S n1 nh-ng kh«ng corót ®-ỵc vỊ S n1 VËy S n1  AR(M ) Do ®ã S n1  AR KÕt luận Khoá luận đà đạt đ-ợc kết sau - Chứng minh chi tiết số tính chất đà biết AR, ANR không gian - Chứng minh chi tiết mối liên hệ AR, ANR không gian với đa diện hình học - Chứng minh chi tiết số Định lý thác triển ánh xạ - Chứng minh chi tiết Định lý nhúng compắc vào AR - không gian - Đ-a chứng minh số ví dụ áp dụng tài liệu tham khảo [1] Tạ Khắc C- (2005), Lý thuyết corút, NXB ĐHQGHN [2] Tạ Khắc C- - Nguyễn Nhụy, Bài giảng lý thuyết corút, ĐHSP Vinh, 1995 [3] K.Borsuk (1967), Theory of Retracts, Warzawa Mục lục Trang Lời nói đầu 1 Các kiến thức chuẩn bị Một số khái niệm tính chất AR, ANR không gian… 10 Mét sè vÝ dô……………………………………………………………… 21 KÕt luËn…………………………………………………………………… 24 Tài liệu tham khảo 25 ... nằm không gian định chuẩn Z Theo điều kiện đủ Định lý 1.9 g ( X ) AR(M ) không gian 2 Một số khái niệm tính chất AR, ANR không gian Trong mục này, ta trình bày Định nghĩa AR, ANR không gian số. .. Mỗi r - ảnh AR - không gian (hoặc ANR - không gian) AR - không gian (hoặc ANR - không gian) Chứng minh Ta chứng minh r - ảnh AR - không gian AR - không gian Giả sử X AR - không gian, theo Định... lý 1.13 Không gian X AR(M ) - không gian X ANR( M ) - không gian corút điểm Chứng minh Ta đà có, AR - không gian corút điểm vào ANR - không gian Ta xem X tập đóng tập lồi Q nằm không gian định