Tính liên tục Holder của ánh xạ nghiệm xấp xỉ bài toán cân bằng

Tính ổn định nghiệm của các bài toán trong tối ưu theo nghĩa tính liên tục Holder/Lipschitz của ánh xạ nghiệm là một chủ đề rất quan trọng. Chủ đề này đã nhận được rất nhiều sự quan tâm của các nhà toán học trong gần mười mấy năm qua. Gần đây, trong các bài báo Anh et al., (2012) và Liet al., (2012), các tác giả đã sử dụng các giả thiết về tính lồi/lõm để đạt được tính liên tục Holder/Lipschitz của ánh xạ nghiệm xấp xỉ bài toán cân bằng phụ thuộc tham số trong không gian định chuẩn. Các kết quả này đã mở ra bước ngoặc mới trong chủ đề nghiên cứu vì chúng đã cung cấp các điều kiện đủ cho tính chất Holder/Lipschitz của ánh xạ nghiệm mà ở đó tập nghiệm không là tập đơn phần tử. Mục đích của nghiên cứu nhằm tiếp tục cải tiến các kết quả nghiên cứu trước đây.

Tạp chí Nghiên cứu khoa học Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 07 - 2019 TÍNH LIÊN TỤC H𝐎̈LDER CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM XẤP XỈ BÀI TOÁN CÂN BẰNG Lâm Quốc Anh1, Nguyễn Hữu Danh2* Trần Ngọc Tâm3 Khoa Sư phạm, Đại học Cần Thơ Khoa Cơ bản, Đại học Tây Đô Trường Đại học Ngân hàng Tp Hồ Chí Minh (Email: nhdanh@tdu.edu.vn) Ngày nhận: 06/9/2019 Ngày phản biện: 20/9/2019 Ngày duyệt đăng: 03/10/2019 TĨM TẮT Tính ổn định nghiệm tốn tối ưu theo nghĩa tính liên tục Hölder/Lipschitz ánh xạ nghiệm chủ đề quan trọng Chủ đề nhận nhiều quan tâm nhà toán học gần mười năm qua Gần đây, báo Anh et al., (2012) Li et al., (2012), tác giả sử dụng giả thiết tính lồi/lõm để đạt tính liên tục Hưlder/Lipschitz ánh xạ nghiệm xấp xỉ toán cân phụ thuộc tham số không gian định chuẩn Các kết mở bước ngoặc chủ đề nghiên cứu chúng cung cấp điều kiện đủ cho tính chất Hưlder/Lipschitz ánh xạ nghiệm mà tập nghiệm khơng tập đơn phần tử Mục đích nghiên cứu nhằm tiếp tục cải tiến kết nghiên cứu trước Mặt khác, chúng tơi muốn giảm nhẹ điều kiện tính lồi/lõm kết mà đạt tính liên tục Hưlder/Lipschitz ánh xạ nghiệm xấp xỉ toán cân phụ thuộc tham số Cụ thể, kết luận Định lý 2.1 Anh et al., (2012) Định lý 2.3 Li et al., (2012) với giả thiết lồi/lõm giảm nhẹ mà đề xuất báo Ở đây, chúng tơi đưa ví dụ cho thấy giả thiết yếu thực so với điều kiện sử dụng báo đề cập Hơn nữa, ví dụ cuối báo chứng tỏ kết báo cải tiến có ý nghĩa chủ đề xét Từ khóa: Bài tốn cân bằng, liên tục Hưlder, liên tục Lipschitz, tính tựa lõm, nghiệm xấp xỉ Trích dẫn: Lâm Quốc Anh, Nguyễn Hữu Danh Trần Ngọc Tâm, 2019 Tính liên tục Hưlder ánh xạ nghiệm xấp xỉ tốn cân Tạp chí Nghiên cứu khoa học Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô 07: 185-194 *Ths.Nguyễn Hữu Danh – Giảng viên Khoa Cơ bản, Trường Đại học Tây Đơ 185 Tạp chí Nghiên cứu khoa học Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đơ GIỚI THIỆU Bài tốn cân (EP) có vị trí quan trọng lý thuyết tối ưu ứng dụng Mơ hình (EP) đơn giản chứa nhiều tốn tối ưu quan trọng có liên quan, ví dụ tốn tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân, toán cân Nash, tốn điểm bất động,…Mơ hình toán lần nghiên cứu H Nikaido K Isoda (Nikaido and Isoda, 1955) dạng tốn mở rộng trò chơi khơng hợp tác Nhà tốn học Ky Fan người có đóng góp cho tốn cân Các kết điều kiện tồn nghiệm cho toán cân Ky Fan tảng cho hầu hết kết lý thuyết tối ưu sau Do đó, tốn cân thường gọi bất đẳng thức Ky Fan (Fan, 1972) Tuy nhiên, toán cân thực nghiên cứu rộng rãi sau xuất cơng trình hai nhà tốn học Blum Oettli (Blum and Oettli, 1994) Đã có nhiều cơng trình nghiên cứu điều kiện tồn nghiệm cho tốn dạng mở rộng (Castllani et al., 2010; Giannessi, 2000; Hai and Khanh, 2007; Hai et al., 2009; Sadequi and Alizadeh, 2011 tài liệu tham khảo đó) Chủ đề nghiên cứu ổn định nghiệm bao gồm tính nửa liên tục, liên tục theo nghĩa Berge/Hausdorff theo nghĩa Hölder /Lipschitz động lực cho nhiều nhà nghiên cứu (Ait Mansour and Riahi, 2005; Anh and Khanh, 2007; Bianchi and Pini, 2003; Huang et al., 2006; Kimura and Yao, 2008 tài liệu tham khảo đó) Số 07 - 2019 Để ý hầu hết kết trước tính liên tục Hưlder /Lispchitz ánh xạ nghiệm giả thiết đặt liên quan đến tính đơn điệu mạnh/lồi mạnh, tập nghiệm tốn lân cận điểm xét Điều khó áp dụng vào tốn thực tế, ví dụ tốn hai mức Do đó, có nhiều cơng trình cố gắng khắc phục nhược điểm Trong (Li et al., 2009; Li et al., 2011), giả thiết liên quan đến tập nghiệm nghiên cứu Tuy nhiên, giả thiết khó kiểm tra ta nghiên cứu tính ổn định tập nghiệm tốn ta khơng biết Trong (Anh et al., 2012; Li et al., 2012), điều kiện đủ sử dụng cho tính liên tục Hölder/Lipschitz ánh xạ nghiệm xấp xỉ trường hợp tập nghiệm không Mục tiêu báo nghiên cứu tính liên tục Hưlder ánh xạ nghiệm xấp xỉ toán cân Các kết đạt cải thiện kết cơng trình (Anh et al., 2012; Li et al., 2012) Nói cách khác, kết (Anh et al., 2012; Li et al., 2012) với giả thiết giảm nhẹ Đây cải tiến có ý nghĩa Phần lại báo trình bày sau Mục giới thiệu tốn cân vơ hướng nhắc lại khái niệm cần thiết cho phần sau Trong Mục 3, chúng tơi thiết lập điều kiện đủ cho tính liên tục Hölder ánh xạ nghiệm xấp xỉ Cuối cùng, Mục phần kết luận 186 Tạp chí Nghiên cứu khoa học Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô MỞ ĐẦU Trong báo này, sử dụng || ⋅ || để ký hiệu chuẩn không gian định chuẩn (nếu không gây nhầm lẫn) ℝ& tập hợp số thực khơng âm Đường kính 𝐴 ký hiệu diam 𝐴 ≔ sup 6|𝑥 − 𝑥 |6 1,1 ∈5 Từ đây, khơng có giả thiết thêm 𝑋, Λ 𝑀 khơng gian định chuẩn Cho 𝐷 ⊂ 𝑋 tập lồi, khác rỗng, 𝐶 ⊂ 𝑌 nón lồi, đóng, có đỉnh với phần khác rỗng, 𝐾: Λ ⇉ 𝐷 ánh xạ đa trị có giá trị lồi, bị chặn 𝑓: 𝑋 × 𝑋 × 𝑀 → ℝ hàm giá trị thực Ta xét tốn cân sau: (EP) Tìm 𝑥̅ ∈ 𝐾(𝜆) 𝑓(𝑥̅ , 𝑦, 𝜇) ≥ ∀ 𝑦 ∈ 𝐾(𝜆) 𝑓 gọi lõm (1) thay 𝑓(𝑡𝑥^ + (1 − 𝑡)𝑥_ ) ≥ 𝑡𝑓(𝑥^ ) + (1 − 𝑡 )𝑓(𝑥_ ) Định nghĩa 2.2 (Anh et al., 2015) Cho 𝐾: Λ ⇉ 𝐷 ánh xạ đa trị Khi đó, 𝐾 gọi 𝑙 𝛼-liên tục Hö lder 𝜆̅ ∈ Λ tồn lân cận 𝑁 𝜆̅ cho 𝐻m𝐾(𝜆^ ), 𝐾 (𝜆_ )n ≤ 𝑙‖𝜆^ − 𝜆_‖p , ∀𝜆^ , 𝜆_ ∈ 𝑁 Định nghĩa 2.3 (Anh et al., 2012) Cho 𝑓: 𝑋 → ℝ Khi đó, 𝑓 gọi 𝑙 𝛼- liên tục Hö lder 𝑥̅ ∈ 𝑋 tồn lân cận 𝑈 𝑥̅ cho |𝑓(𝑥^ ) − 𝑓 (𝑥_ )| ≤ 𝑙‖𝑥^ − 𝑥_ ‖p , cho ∀𝑥^ , 𝑥_ ∈ 𝑈 Trước hết, ta nhắc lại số khái niệm cần thiết cho phần Cho hai tập 𝐴 𝐵 𝑋, khoảng cách Hausdorff 𝐴 𝐵 định nghĩa 𝐻(𝐴, 𝐵 ) ≔ max {ex(𝐴, 𝐵 ), ex(𝐵, 𝐴)} Định nghĩa 2.4 Cho 𝑓: 𝑋 × 𝑋 × 𝑋 → ℝ Khi đó, 𝑓 gọi (𝑙^ 𝛼^ , 𝑙_ 𝛼_ , 𝑙r 𝛼r )- liên tục Hö lder (𝑥s , 𝑦s , 𝑧s) ∈ 𝑋 × 𝑋 × 𝑋 tồn lân cận 𝑁^ × 𝑁_ × 𝑁r (𝑥s , 𝑦s , 𝑧s) cho |𝑓(𝑥^ , 𝑦^ , 𝑧^ ) − 𝑓(𝑥_ , 𝑦_ , 𝑧_ )| ≤ 𝑙^ ‖𝑥^ − 𝑥_ ‖pu + 𝑙_ ‖𝑦^ − 𝑦_ ‖pv + 𝑙r ‖𝑧^ − 𝑧_ ‖pw , ∀(𝑥^ , 𝑦^ , 𝑧^ ), (𝑥_ , 𝑦_ , 𝑧_ ) ∈ 𝑁^ × 𝑁_ × 𝑁r ex(𝐴, 𝐵) ≔ sup 𝑑 (𝑎, 𝐵 ) ∈ 𝐴 W∈5 𝑑(𝑥, 𝐴): = inf 𝑑(𝑥, 𝑦) là khoảng cách từ ]∈ 5 𝑥 đến 𝐴 Định nghĩa 2.1 (Bigi et al., 2019) Một hàm số 𝑓: 𝑋 → ℝ gọi lồi tập lồi 𝐴 ⊂ 𝑋 với 𝑥^ , 𝑥_ ∈ 𝐴 𝑡 ∈ [0,1], 𝑓 (𝑡𝑥^ + (1 − 𝑡)𝑥_ ) ≤ 𝑡𝑓 (𝑥^ ) + (1 − 𝑡 )𝑓 (𝑥_ ) (1) (1) Số 07 - 2019 Trong trường hợp bậc Hö lder tính liên tục Hö lder gọi liên tục Lipschitz Ta nói hàm số thỏa mãn tính chất định tập 𝐷 thỏa mãn tính chất điểm 𝐷 Tiếp theo, đề xuất khái niệm tổng quát liên quan đến tính tựa lõm 187 Tạp chí Nghiên cứu khoa học Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 07 - 2019 nghiên cứu số tính chất cần thiết phần mâu thuẩn với Vì vậy, 𝜑(𝑡𝑥^ + (1 − 𝑡 )𝑥_) ≥ 𝔸 tập lồi Định nghĩa 2.5 Cho 𝐴 ⊂ 𝑋 tập lồi, khác rỗng 𝜑: 𝐴 → ℝ hàm giá trị thực Khi đó, 𝜑 gọi 0-mức tựa lõm 𝐴 với 𝑥^ , 𝑥_ ∈ 𝐴, 𝜆 ∈ [0,1] 𝜑(𝜆𝑥^ + (1 − 𝜆)𝑥_ ) < 𝜑(𝑥^ ) < 𝜑(𝑥_ ) < (c) ⇒ (a) Giả sử 𝜑 không 0-mức tựa lõm 𝐴 Khi đó, tồn 𝑥^ , 𝑥_ ∈ 𝐴 𝑡 ∈ [0,1], với 𝜑(𝑡𝑥^ + (1 − 𝑡 )𝑥_) < 0, ta có 𝜑(𝑥^ ) ≥ 𝜑(𝑥_ ) ≥ Do đó, 𝑥^ , 𝑥_ ∈ 𝔸, 𝔸 lồi nên ta 𝜑(𝑡𝑥^ + (1 − 𝑡)𝑥_ ) ≥ 0, điều mâu thuẩn Vì vậy, 𝜑 0mức tựa lõm 𝐴 Chú ý 2.1 Nếu 𝜑 hàm tựa lõm 𝐴, nghĩa là, 𝜑(𝜆𝑥^ + (1 − 𝜆)𝑥_ ) ≥ min {𝜑(𝑥^ ), 𝜑(𝑥_ )} với 𝑥^ , 𝑥_ ∈ 𝐴 𝜆 ∈ [0,1] 𝜑 0-mức tựa lõm 𝐴 Bổ đề 2.1 Cho 𝜑, 𝐴 Định nghĩa 2.5 Ba điều kiện sau tương đương (a) 𝜑 0-mức tựa lõm 𝐴 (b) Với tập hữu hạn {𝑥^ , 𝑥_ , … , 𝑥{ } ⊂ 𝐴 𝑥∈ conv{𝑥^ , 𝑥_ , … , 𝑥{ } với 𝜑 (𝑥 ) < tồn 𝑖 ∈ {1, 2, … , 𝑛} cho 𝜑(𝑥• ) < 0, conv{𝑥^ , 𝑥_ , … , 𝑥{ } bao lồi {𝑥^ , 𝑥_ , … , 𝑥{ }, nghĩa là, { } conv 𝑥^ , 𝑥_ , … , 𝑥{ = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥 = ∑{•„^ 𝜆• 𝑥• , 𝜆• ≥ 0, ∑{•„^ 𝜆• = 1} (c) 𝔸 ≔ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑(𝑥) ≥ 0} tập lồi Chứng minh (a) ⇒ (b) Được suy trực tiếp từ định nghĩa 𝜑 (b) ⇒ (c) Với 𝑥^ , 𝑥_ ∈ 𝔸 𝑡 ∈ [0,1], ta có 𝜑(𝑥^ ) ≥ 𝜑(𝑥_ ) ≥ Nếu 𝜑(𝑡𝑥^ + (1 − 𝑡)𝑥_ ) < 𝜑(𝑥^) < 𝜑(𝑥_ ) < 0, điều Ví dụ sau chiều ngược lại Chú ý 2.1 nói chung khơng Ví dụ 2.1 Cho 𝐴 = ℝ và 𝜑: 𝐴 → ℝ xác định 𝜑 (𝑥) = + |𝑥| với 𝑥 ∈ 𝐴 Khi đó, tập hợp { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑(𝑥 ) ≥ } ≡ ℝ, tập hợp lồi Áp dụng Bổ đề 2.1 ta 𝜑 0-mức tựa lõm 𝐴 Tuy nhiên, với 𝑥^ = −1, 𝑥_ = ∈ 𝐴 𝜆 = ^ , ta có min{𝜑(𝑥^ ), 𝜑(𝑥_ )} = _ 𝜑(𝜆 𝑥^ + (1 − 𝜆)𝑥_ ) = 1, 𝜑 khơng tựa lõm 𝐴 TÍNH LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM XẤP XỈ Với (𝜀, 𝜆, 𝜇) ∈ ℝ& × 𝛬 × 𝑀 , ta ký hiệu tập nghiệm xấp xỉ (EP) 𝑆(𝜀, 𝜆, 𝜇), nghĩa 𝑆(𝜀, 𝜆, 𝜇) ≔ { 𝑥 ∈ 𝐾(𝜆) ∣ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝜇) + 𝜀 ≥ 0 ∀ 𝑦 ∈ 𝐾(𝜆) } Định lý 3.1 Xét (EP), giả sử điều kiện sau thỏa mãn (i) 𝐾 𝑚 𝛼-liên tục Hö lder 𝛬 ; (ii) với 𝑦 ∈ 𝐾(𝜆) 𝜇 ∈ 𝑀, ánh xạ (𝑥, 𝜀 ) ⟼ 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝜇) + 𝜀 0-mức tựa lõm 𝐾 (𝛬) × (0, +∞); 188 Tạp chí Nghiên cứu khoa học Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô (iii) 𝑓 (𝑙^ 𝛼^ , 𝑙_ 𝛼_ , ℎ 𝛽)-liên tục Hö lder 𝐾 (𝛬) × 𝐾 (𝛬) × 𝑀 Khi đó, ánh xạ nghiệm 𝑆 liên tục Hö lder (0, +∞) × 𝛬 × 𝑀 Chứng minh Cho tùy ý (𝜀s , 𝜆s , 𝜇s ) ∈ (0, +∞) × 𝛬 × 𝑀, đó, tồn 𝜀̅s với < 𝜀̅s < 𝜀s Bước Do (i), tồn lân cận 𝑁 𝜆s thỏa mãn 𝐾(𝜆) ⊂ 𝐾(𝜆s ) + 𝑚𝔹(0, ‖𝜆 − 𝜆s ‖p ) ∀ 𝜆 ∈ 𝑁 đó, diam𝐾(𝜆) ≤ 𝜌: = p diam𝐾(𝜆s ) + 2𝑚mdiam(𝑁)n Ta ước lượng 𝐻(𝑆(𝜀^ , 𝜆^ , 𝜇^ ), 𝑆(𝜀_ , 𝜆^ , 𝜇^ )) 𝜀^ , 𝜀_ ∈ [𝜀̅s , +∞), 𝜀^ < 𝜀_ (𝜆^ , 𝜇^ ) ∈ 𝛬 × 𝑀 Vì 𝑆(𝜀^ , 𝜆^ , 𝜇^ ) ⊂ 𝑆(𝜀_ , 𝜆^ , 𝜇^ ), nên ta có exm𝑆(𝜀^ , 𝜆^ , 𝜇^ ), 𝑆(𝜀_ , 𝜆^ , 𝜇^ )n = (2) (2) Với 𝑥_ ∈ 𝑆(𝜀_ , 𝜆^ , 𝜇^ ), 𝑥s ∈ ( ) 𝑆 0, 𝜆^ , 𝜇^ 𝑦 ∈ 𝐾 (𝜆), ta có 𝑓(𝑥_ , 𝑦, 𝜇 ) + 𝜀_ ≥ 0, 𝑓(𝑥s , 𝑦, 𝜇) ≥ 0, nghĩa (𝑥_ , 𝜀_ ), (𝑥s , 0) ∈ 𝐿 ≔ { (𝑥, 𝜀) ∣ 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝜇 ) + 𝜀 ≥ } Do (ii) Bổ đề 2.1, ta 𝐿 tập lồi, suy (𝑥^ , 𝜀^ ) ≔ ”v •”u ”v (𝑥s , 0) + ”u ”v ‖𝑥_ − 𝑥^‖ = – 𝑥s ‖ ≤ ” |ε^ − ε_ | Số 07 - 2019 ”v •”u ”v ‖𝑥_ − v Vì vậy, exm𝑆(𝜀_ , 𝜆^ , 𝜇^ ), 𝑆(𝜀^ , 𝜆^ , 𝜇^ )n ≤ ε_ | ≔ 𝑘^ |ε^ − ε_ | (3) – ”v |ε^ − (3) Từ (2) (3), suy 𝐻m𝑆(𝜀^ , 𝜆^ , 𝜇^ ), 𝑆(𝜀_ , 𝜆^ , 𝜇^ )n ≤ 𝑘^ |ε^ − ε_ | Bước Giả thiết (iii) tồn lân cận 𝑈 𝜇s cho với 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐾(𝑁) 𝜇^ , 𝜇_ ∈ 𝑈, |𝑓(𝑥, 𝑦, 𝜇^ ) − 𝑓(𝑥̅ , 𝑦, 𝜇_ )| ≤ ℎ‖𝜇^ − 𝜇_ ‖™ (4) (4) Ta ước lượng cho 𝐻(𝑆(𝜀_ , 𝜆^ , 𝜇^ ), 𝑆(𝜀_ , 𝜆^ , 𝜇_ )) với 𝜀_ ∈ [𝜀̅s , +∞), 𝜆^ ∈ 𝑁 𝜇^ , 𝜇_ ∈ 𝑈, 𝜇^ ≠ 𝜇_ Ta có hai trường hợp Trường hợp Nếu ‖𝜇^ − 𝜇_ ‖™ ≤ < 𝑠 ≔ ℎ‖𝜇^ − 𝜇_ ‖™ ≤ 𝜀_ ”v › , Ta cần chứng minh 𝑆(𝜀_ − 𝑠, 𝜆^ , 𝜇^ ) ⊂ 𝑆(𝜀_ , 𝜆^ , 𝜇_ ) Thật vậy, lấy 𝑥̅ ∈ 𝑆(𝜀_ − 𝑠, 𝜆^ , 𝜇^ ), với 𝑦∈ ( ) ( ) ( ) 𝐾 𝜆^ , 𝑓 𝑥̅ , 𝑦, 𝜇_ + 𝑓 𝑥̅ , 𝑦, 𝜇^ − 𝑓(𝑥̅ , 𝑦, 𝜇_) + 𝜀_ − 𝑠 ≥ Kết hợp điều với (4), ta 𝑓 (𝑥̅ , 𝑦, 𝜇_ ) + 𝜀_ ≥ với 𝑦 ∈ 𝐾(𝜆^ ), nghĩa 𝑥̅ ∈ 𝑆(𝜀_ , 𝜆^ , 𝜇_ ) Sử dụng kết Bước 1, ta có (𝑥_ , 𝜀_ ) ∈ 𝐿 Nghĩa là, 𝑓(𝑥^ , 𝑦, 𝜇 ) + 𝜀^ ≥ 0, suy 𝑥^ ∈ 𝑆(𝜀^ , 𝜆^ , 𝜇^ ) Khi đó, exm𝑆(𝜀_ , 𝜆^ , 𝜇^ ), 𝑆(𝜀_ , 𝜆^ , 𝜇_ )n ≤ exm𝑆(𝜀_ , 𝜆^ , 𝜇^ ), 𝑆(𝜀_ − 𝑠, 𝜆^ , 𝜇^ )n ≤ 𝐻(𝑆(𝜀_ , 𝜆^ , 𝜇^ ), 𝑆(𝜀_ − 𝑠, 𝜆^ , 𝜇^)) ≤ –› ‖𝜇^ − 𝜇_ ‖™ ”• ž 189 Tạp chí Nghiên cứu khoa học Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 07 - 2019 Tương tự, exm𝑆(𝜀_ , 𝜆^ , 𝜇_ ), 𝑆(𝜀_ , 𝜆^ , 𝜇^)n ≤ –› ‖𝜇^ − 𝜇_ ‖™ ‖𝑥^ − 𝑥_‖ ≤ 𝑚‖𝜆^ − 𝜆_ ‖p Với 𝑦_ ∈ 𝐾 (𝜆_), (i), tồn 𝑦^ ∈ 𝐾(𝜆^ ) thỏa mãn ‖𝑦^ − 𝑦_ ‖ ≤ 𝑚‖𝜆^ − 𝜆_ ‖p Vì 𝑦^ ∈ 𝐾 (𝜆^), ta có Do đó, 𝐻m𝑆(𝜀_ , 𝜆^ , 𝜇^ ), 𝑆(𝜀_ , 𝜆^ , 𝜇_ )n ≤ –› ‖𝜇^ − 𝜇_ ‖™ ≔ 𝑘_ ‖𝜇^ − 𝜇_‖™ 𝑓 (𝑥_ , 𝑦_ , 𝜇_ ) + 𝑓(𝑥^ , 𝑦^ , 𝜇_ ) − 𝑓 (𝑥_ , 𝑦_ , 𝜇_ ) + 𝜀_ − 𝛿 ≥ ”•ž (5) ”•ž Do (iii), ta ” Trường hợp Nếu ‖𝜇^ − 𝜇_ ‖™ > v › tồn s t nhiờn s tha WĂ { Ê Ô ^Ơ |(^ , ^ , _) − 𝑓 (𝑥_ , 𝑦_ , 𝜇_ )| ≤ 𝑙^‖𝑥^ − 𝑥_ ‖pu + 𝑙_ ‖𝑦^ − 𝑦_ ‖pv Gọi 𝑃 phân ≤ 𝑙^ 𝑚pu ‖𝜆^ − 𝜆_‖ppu hoạch đoạn [𝜇^ , 𝜇_ ] với 𝑛s + nút 𝑧^ , … , 𝑧{ž &^ cho 𝑧^ = 𝜇^ , 𝑧{ž &^ = 𝜇_ , &^ = ă &^ { Vỡ vy, cú Đu Đv { Khi ú, ^Ơ Ê Ô , vi diam &^ ‖™ ≤ ›ž ≤ ›v Từ (5), ta +𝑙_ 𝑚pv ‖𝜆^ − 𝜆_ ‖ppv ≤ 𝛿 Vì vậy, 𝑓 (𝑥_ , 𝑦_ , 𝜇_ ) + 𝜀_ ≥ 0, nghĩa 𝑥_ ∈ 𝑆(𝜀_ , 𝜆_ , 𝜇_) Với 𝑥s ∈ 𝑆(𝜀_ , 𝜆^ , 𝜇_ ) 𝑥^ ∈ 𝑆(𝜀_ − 𝛿, 𝜆^ , 𝜇_), ta có 𝑑m𝑥s , 𝑆(𝜀_ , 𝜆_ , 𝜇_ )n ≤ ‖𝑥_ − 𝑥s‖ ≤ ‖𝑥_ − 𝑥^ ‖ + ‖𝑥^ − 𝑥s ‖ {ž 𝜌ℎ 𝐻m𝑆(𝜀_ , 𝜆^ , 𝜇^ ), (_ , ^ , _ )n ê &^ ‖™ 𝜀̅s •„^ 𝑛s 𝜌ℎ 𝜀_ 𝑛s 𝜌ℎ ‖𝜇^ − 𝜇_ ‖™ ≤ ≤ 𝜀̅s ℎ 𝜀̅s ≔ 𝑘_ ‖𝜇^ − 𝜇_ ‖™ ≤ 𝑚‖𝜆^ − 𝜆_ ‖p + ‖𝑥^ − 𝑥s ‖ Vì 𝑥^ tùy ý, ta Bước Lấy 𝜀_ ∈ [𝜀̅s , +∞), 𝜇_ ∈ 𝑈 𝜆^ , 𝜆_ ∈ 𝑁 , 𝑁 ⊂ 𝑁 lân ^ cận 𝜆s với diam𝑁 ≤ _ Ta ước lượng 𝐻m𝑆(𝜀_ , 𝜆^ , 𝜇_ ), 𝑆(𝜀_ , 𝜆_ , 𝜇_ )n với 𝜆^ ≠ 𝜆_ Đặt 𝜂 ≔ 𝜀_ − 𝜀̅s 𝛿 ≔ (𝑙^ 𝑚pu + 𝑙_ 𝑚pv )‖𝜆^ − 𝜆_ ‖pw 𝛼r ≔ min{𝛼, 𝛼𝛼^ , 𝛼𝛼_ }, ta có hai trường hợp Trường hợp Nếu 𝛿 ≤ 𝜂 𝜀_ − 𝛿 ≥ 𝜀_ − 𝜂 = 𝜀̅ Với 𝑥^ ∈ 𝑆(𝜀_ − 𝛿, 𝜆^ , 𝜇_ ) 𝑥^ ∈ 𝐾(𝜆^ ) 𝑓(𝑥^ , 𝑦, 𝜇_ ) + 𝜀_ − 𝛿 ≥ với 𝑦 ∈ 𝐾(𝜆^ ) Do (i), tồn 𝑥_ ∈ 𝐾(𝜆_ ) cho 190 𝑑m𝑥s , 𝑆(𝜀_ , 𝜆_ , 𝜇_ )n ≤ 𝑚‖𝜆^ − 𝜆_ ‖p + 𝑑m𝑥s , 𝑆(𝜀_ − 𝛿, 𝜆^ , 𝜇_ )n, suy exm𝑆(𝜀_ , 𝜆^ , 𝜇_ ), 𝑆(𝜀_ , 𝜆_ , 𝜇_ )n ≤ 𝑚‖𝜆^ − 𝜆_ ‖p +exm𝑆(𝜀_ , 𝜆^ , 𝜇_ ), 𝑆(𝜀_ − 𝛿, 𝜆^ , 𝜇_ )n ≤ 𝑚‖𝜆^ − 𝜆_ ‖p +𝐻m𝑆(𝜀_ , 𝜆^ , 𝜇_ ), 𝑆(𝜀_ − 𝛿, 𝜆^ , 𝜇_ )n 𝜌 ≤ 𝑚‖𝜆^ − 𝜆_ ‖p + |𝛿| 𝜀̅s ≤ 𝑚‖𝜆^ − 𝜆_ ‖p 𝜌(𝑙^ 𝑚pu + 𝑙_ 𝑚pv ) ‖𝜆^ − 𝜆_ ‖pw + 𝜀̅s Tạp chí Nghiên cứu khoa học Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô 𝜌(𝑙^ 𝑚pu + 𝑙_ 𝑚pv ) ≤ -𝑚 + ® ‖𝜆^ − 𝜆_ ‖pw 𝜀̅s Trường hợp Nếu 𝛿 > 𝜂 tồn ¯ số tự nhiên 𝑛 thỏa mãn ≤ 𝜂 Gọi 𝑃′ { phân hoạch đoạn [𝜆^ , 𝜆_ ] với 𝑛 + nút 𝑢^ , 𝑢_ , … , 𝑢{&^ 𝑢^ = ‖² •² ‖ 𝜆^ , 𝑢{&^ = 𝜆_ , ‖𝑢^ − 𝑢{&^ ‖ = u { v Khi đó, ‖𝑢^ − 𝑢{&^ ‖pw ≤ ´ µu Ău &àv Ăv _ pv )^ u v w { ≤ (𝑙^ 𝑚pu + , nghĩa 𝑢{&^ ‖pw ≤ 𝜂 Áp dụng kết Trường hợp 1, ta 𝐻m𝑆(𝜀_ , 𝜆^ , 𝜇_ ), 𝑆(𝜀_ , _ , _ )n { ê ((_ , , 𝜇_ ), 𝑆(𝜀_ , 𝑢•&^ , 𝜇_ )) •„^ ≤ 𝑛 -𝑚 + ≤ -𝑚 + 𝜌(𝑙^ 𝑚 pu + 𝑙_ 𝑚 𝜀̅s − 𝑢•&^ ‖pw 𝜌(𝑙^ 𝑚 pu pv ) Số 07 - 2019 báo (Anh et al., 2012; Li et al., 2012) Vì Định lý 3.1 cải tiến kết cơng trình đề cập Ví dụ sau cho thấy kết Định lý 3.1 nghiệm kết (Anh et al., 2012; Li et al., 2012) khơng sử dụng Ví dụ 3.1 Cho 𝐷 = ℝ, 𝛬 = 𝑀 = [0,1], 𝐾 (𝜆) = [0, 𝜆] 𝑓(𝑥, 𝜇 ) = 𝑥 _ + 𝜇 Khi tất giả thiết Định lý 3.1 thỏa mãn Tập nghiệm xấp xỉ 𝑆(𝜇) = [0, 𝜆] liên tục Hö lder Tuy nhiên, kết (Anh et al., 2012; Li et al., 2012) khơng sử dụng hàm 𝑓 khơng lõm theo biến thứ Hệ sau liên quan đến tính liên tục Lipschitz ánh xạ nghiệm suy trc tip t nh lý 3.1 đ Hệ 3.1 Cho (EP), giả sử điều kiện sau thỏa mãn pv ) + 𝑙_ 𝑚 ® 𝑛^•pw ‖𝜆^ 𝜀̅s − 𝜆_ ‖pw ≔ 𝑘r ‖𝜆^ − 𝜆_ ‖pw (i) 𝐾 liên tục Lipschitz 𝛬; (ii) với 𝑦 ∈ 𝐾(𝜆) 𝜇 ∈ 𝑀, (𝑥, 𝜀) ⟼ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝜇 ) + 𝜀 0-mức tựa lõm 𝐾 (𝛬) × (0, +∞); Bước Ta có 𝐻m𝑆(𝜀^ , 𝜆^ , 𝜇^), 𝑆(𝜀_ , 𝜆_ , 𝜇_ )n ≤ 𝐻(𝑆(𝜀^ , 𝜆^ , 𝜇^ ), 𝑆(𝜀_ , 𝜆^ , 𝜇^ )) (iii) 𝑓 liên tục Lipschitz 𝐾(𝛬) × 𝐾(𝛬) × 𝑀 +𝐻(𝑆(𝜀_ , 𝜆^ , 𝜇^ ), 𝑆(𝜀_ , 𝜆^ , 𝜇_ )) +𝐻(𝑆(𝜀_ , 𝜆^ , 𝜇_ ), 𝑆(𝜀_ , 𝜆_ , 𝜇_ )) Khi đó, ánh xạ nghiệm 𝑆 liên tục Lipschitz (0, +∞) × 𝛬 × 𝑀 ≤ 𝑘^ |𝜀^ − 𝜀_ | + 𝑘_ ‖𝜇^ − 𝜇_ ‖™ + 𝑘r ‖𝜆^ − 𝜆_ ‖pw Chứng minh kết thúc Chú ý 3.1 Theo Bổ đề 2.1, tính 0-mức tựa lõm giả thiết (ii) yếu thực so với tính lõm hàm mục tiêu Chú ý 3.2 Hệ 3.1 tổng quát cải thiện nhiều kết quan trọng tính liên tục Lipschitz ánh xạ nghiệm xấp xỉ tốn cân (xem Định lí 2.3, Li et al., 2012 Định lí 2.1, Anh et al., 2012) 191 KẾT LUẬN Tạp chí Nghiên cứu khoa học Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Trong báo này, cách sử dụng giả thiết tính mức tựa lõm, chúng tơi thành công việc thiết lập điều kiện đủ cho tính liên tục Hö lder ánh xạ nghiệm, đáp ứng mục tiêu đặt Các kết đạt có ý nghĩa tốn học ứng dụng Bên cạnh kết báo mở rộng nghiên cứu cho toán quan trọng tối ưu toán tựa cân bằng, toán cân vectơ,… TÀI LIỆU THAM KHẢO Ait Mansour, M and Riahi, H., 2005 Sensitivity analysis for abstract equilibrium problems J Math Anal Appl 306: 684-691 Anh, L.Q and Khanh, P.Q., 2007 On the stability of the solution sets of general multivalued vector quasiequilibrium problems J Optim Theory Appl 135: 271-284 Anh, L.Q., Khanh, P.Q., Tam, T.N., 2012 On Hö lder continuity of approximate solutions to parametric equilibrium problems Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications 75: 2293-2303 Anh, L.Q., Khanh, P.Q., Tam, T.N., 2015 On Hö lder continuity of solution maps of parametric primal and dual Ky Fan inequalities TOP 23: 151-167 Bianchi, M and Pini, R., 2003 A note on stability for parametric equilibrium problems Operations Research Letters 31: 445-450 Bigi, G., Castellani, M., Pappalardo, M., Passacantando, M., 2019 Nonlinear Programming Techniques for Equilibria Springer Nature Switzerland AG Số 07 - 2019 Blum, E and Oettli, W., 1994 From optimization and variational inequalities to equilibrium problems Math Student 63: 123-145 Castellani, M., Pappalardo, M., Passacantando M., 2010 Existence results for nonconvex equilibrium problems Optim Math Soft 25: 49-58 Fan, K., 1972 A minimax inequality and applications In: Shisha, O (ed.) Inequality III Academic Press, New York, 103-113 10 Giannessi (ed), F., 2000 Vector variational inequalities and vector equilibria, Mathematical Theories Nonconvex Optimization and Its Application 38 11 Hai, N.X and Khanh, P.Q., 2007 Existence of solutions to general quasiequilibrium problems and applications J Optim Theory Appl 133: 317-327 12 Hai, N.X., Khanh, P.Q., Quan, N.H., 2009 On the existence of solutions to quasivariational inclusion problems J Glob Optim 45: 565-581 13 Huang, N.J., Li, J., Thompson, H.B., 2006 Stability for parametric implicit vector equilibrium problems Math Comput Modelling 43: 12671274 14 Kimura, K and Yao, J.C., 2008 Semicontinuity of solution mappings of parametric generalized vector equilibrium problems J Optim Theory Appl 138: 429-443 15 Li, X.B., Li, S.J., Wang, L.N., Teo, K.L., 2009 The Hölder continuity of solutions to generalized vector 192 Tạp chí Nghiên cứu khoa học Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô equilibrium problems European Journal of Operational Research 199: 334-338 16 Li, X.B., Li, S.J., Chen, C.R., Teo, K.L., 2011 Hölder continuity and upper estimates of solutions to vector quasiequilibrium problems European Journal of Operational Research 210: 148-157 17 Li, X.B., Li, S.J., Chen, C.R., 2012 Lipschitz continuity of an approximate solution mapping to Số 07 - 2019 equilibrium problems, Taiwan J Math 16: 1027-1040 18 Nikaido, H and Isoda, K., 1955 Note on non-copperative convex games Pacific Journal of Mathematics 5: 807815 19 Sadequi and Alizadeh, C.G., 2011 Existence of solutions of generalized vector equilibrium problems in reflexive Banach spaces Nonlinear Anal 74: 2226-2234 193 Tạp chí Nghiên cứu khoa học Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 07 - 2019 H𝐎̈LDER CONTINUITY FOR APPROXIMATE SOLUTION MAPPINGS TO EQUILIBRIUM PROBLEMS Lam Quoc Anh1, Nguyen Huu Danh2 and Tran Ngoc Tam3 School of Education, Can Tho University, Faculty of Basic Sciences, Tay Do University Banking University of Ho Chi Minh City (Email: nhdanh@tdu.edu.vn) ABSTRACT The stability for optimization-related problems in the sense of Hölder/Lipschitz continuity of solution mappings is a very important topic This topic has received much attention of mathematicians for the last ten years Recently, in Anh et al (2012) and Li et al (2012), the Hölder/Lipschitz continuity of approximate solution mappings to parametric equilibrium problems is obtained under the key assumptions of the convexity/concavity in normed spaces These results disclosed a new turning point in the topic because they provided sufficient conditions for the Hölder/Lipschitz continuity of the solution mappings where the solutions were not unique Our aim in this paper is to improve the results in the papers above In other words, we want to relax the convexity/concavity conditions in the above results to the weaker one whereas Hölder/Lipschitz continuity for approximate solution mappings to the parametric equilibrium problems is also archived Namely, the conclusions of Theorem 2.1 in Anh et al (2012) and Theorem 2.3 in Li et al (2012) are still valid under slight convexity/concavity assumptions proposed in this paper Here, we provide examples to show that our assumptions are really weaker than the conditions used in the papers mentioned Moreover, an example at the end of this paper illustrates that the main results of the paper is a significant improvement in the subject Keywords: Equilibrium problems, H𝑜̈ lder continuity, Lipschitz continuity, quasiconcavity, approximate solutions 194 ... đủ sử dụng cho tính liên tục Hưlder/Lipschitz ánh xạ nghiệm xấp xỉ trường hợp tập nghiệm không Mục tiêu báo nghiên cứu tính liên tục Hölder ánh xạ nghiệm xấp xỉ toán cân Các kết đạt cải thiện... = _