Sự liên tục holder của ánh xạ nghiệm bài toán cân bằng

Trong phần nghiên cứu này, tôi hy vọng sẽ mang đến cho các bạn yêu toán một phần tổng hợp khá đầy đủ và những ý tưởng của tôi về sự liên tục và một số ứng dụng của nó, đặc biệt là các b

MSSV: 1040051

Lớp: Sƣ Phạm Toán K30

Mục lục

Phần mở đầu 4

Phần nội dung 6

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 7

1.1 Bài toán cân bằng 7

1.1.1 Bài toán cân bằng 7

1.1.2 Một vài khái niệm 7

1.1.3 Một số trường hợp đặc biệt 12

1.2 Sự tồn tại nghiệm 15

1.2.1 Định nghĩa 15

1.2.2 Định lý 15

1.2.3 Bổ đề 16

1.2.4 Bổ đề 17

1.2.5 Bổ đề 18

Chương 2 LIÊN TỤC 19

2.1 Một số khái niệm 19

2.2 Liên tục 22

2.2.1 Định nghĩa 22

2.2.2 Mệnh đề 22

2.2.3 Định lý 23

2.2.4 Định lý 23

2.2.5 Định nghĩa 23

2.2.6 Định nghĩa 24

2.2.7 Định lý 24

2.2.8 Hệ quả 25

May 1, 2008

2.2.9 Định lý 25

2.2.10 Hệ quả 26

2.3 Sự duy nhất và liên tục của ánh xạ nghiệm bài toán cân bằng 27

2.3.1 Mệnh đề 27

2.3.2 Mệnh đề 29

2.3.3 Tính liên tục và tính duy nhất của ánh xạ nghiệm bài toán cân bằng 29

2.3.3.1 Định lý 29

2.3.3.2 Hệ quả 30

2.3.3.3 Định lý 30

2.3.4 Sự duy nhất và liên tục của ánh xạ nghiệm bài toán tựa cân bằng 31

2.3.4.1 Bài toán 31

2.3.4.2 Định lý 31

2.3.4.3 Định lý 34

Chương 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG 36

3.1 Định nghĩa 36

3.2 Ứng dụng 36

3.2.1 Bài toán tựa bất đẳng thức biến phân 36

3.2.2 Bài toán tựa tối ƣu 38

3.2.3 Bài toán điểm bất động 39

3.2.4 Bài toán điểm trùng lập 40

Phần kết luận 41

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Tôi sinh ra và lớn lên trong một gia đình nông dân nghèo Vì vậy, tôi đã sớm chứng kiến biết bao nỗi lo toan của bố mẹ trong việc xây dựng cuộc sống gia đình Tôi tự hỏi liệu có cách nào giúp công việc làm ăn của bố đạt hiệu quả cao, kiếm được nhiều tiền hơn Khi lên lớp 8, từ việc giải một bất phương trình thông thường như các bạn học cùng lớp tôi thầm nghĩ nếu vế trái của một bất phương trình

là khoảng tiền lời mà bố mình kiếm được sau mỗi vụ mùa thì tốt biết bao Tôi suy nghĩ “Toán học có giúp nhiều trong việc lên kế hoạch sản xuất, kinh doanh không?” Qua những năm tìm hiểu về Toán học, tôi đã nhận thức được rằng “Toán học có nhiều ứng dụng quan trọng trong đời sống” Chẳng hạn, một nhà kinh doanh giỏi thì họ luôn có kế hoạch rõ ràng, luôn xác định những lợi nhuận hay tổn thất

trong kinh doanh theo từng giai đoạn Nếu ta gọi f là hàm lợi nhuận thì hàm f phải

dương, khi đó công việc kinh doanh mới có thể tiếp tục Xuất phát từ ý tưởng “làm kinh tế thì phải có lợi nhuận” tôi đã quan tâm rất nhiều đến Toán tối ưu để xây dựng một hàm lợi nhuận lý tưởng

Các tạp chí Toán học của các nước, tạp chí Toán học quốc tế đã và đang là nơi sinh hoạt giao lưu giữa những người yêu thích Toán học Đây là một trong những lí do thúc đẩy sự phát triển không ngừng của Toán học trên mọi lĩnh vực Nhiều năm qua, tạp chí Toán học đã mang lại biết bao nguồn cảm hứng cho giới trẻ trong việc chia sẻ sự hiểu biết, những ý tưởng, cũng như những bước thăng trầm của Toán học hiện đại Từ một bài toán hay một khái niệm khi thảo luận có thể được xây dựng thành một chuyên đề Riêng tôi, tôi luôn cập nhật những thông tin mới từ các tạp chí Toán học, đặc biệt là các khái niệm, công cụ Toán học mới giải quyết các bài toán kinh tế Từ các bài báo của các tác giả “Banichi và Pini 2003”; “Blum

và Oettli 1994”; “Noor và Oettli 1994”; “Bianchi et al 1997”; “Chadli và Riahi 2000”; “Ansari et al 2001”; “Lin et al 2003”; “Hai và Khanh 2006”; “Anh và Khanh

2007” ta thấy liên tục là một trong những công cụ có thể giải quyết bài toán

May 1, 2008

“làm kinh tế thì phải có lợi nhuận” Vì vậy, tôi quyết định chọn ”Sự liên tục

của ánh xạ nghiệm bài toán cân bằng” làm đề tài luận văn tốt nghiệp

2 Mục tiêu nghiên cứu

Trong tình hình nền kinh tế phát triển hiện nay, Toán ứng dụng không thể thiếu trong công tác vạch định chiến lược Trong phần nghiên cứu này, tôi hy vọng

sẽ mang đến cho các bạn yêu toán một phần tổng hợp khá đầy đủ và những ý tưởng

của tôi về sự liên tục và một số ứng dụng của nó, đặc biệt là các bài toán kinh tế Nếu bạn cũng yêu thích vấn đề này thì bạn có thể nghiên cứu sâu hơn thậm chí là chọn nó làm đề tài nghiên cứu Hơn nữa, tôi đã cố gắng trình bày khá chi tiết và đưa ra ví dụ cụ thể bám sát từng khái niệm

3 Phương pháp nghiên cứu

a) Phương pháp thu thập tài liệu:

Thu thập các tài liệu có liên quan đến đề tài: Từ các bài báo, tạp chí, sách, trao đổi cùng thầy hướng dẫn, các bạn trong nhóm và trao đổi trên diễn đàn Toán học

b) Phương pháp so sánh, tổng hợp:

Từ tài liệu thu thập được tiến hành so sánh nét giống và khác nhau giữa các tài liệu Quan tâm nhiều đến các ứng dụng và độ khái quát của các định lý Trích lọc các thông tin sẽ trình bày trong luận văn này

4 Các bước nghiên cứu.

Trước tiên, tôi gặp giáo viên hướng dẫn trao đổi về đề tài luận văn của tôi Thứ hai, tôi thu thập tài liệu từ các nguồn khác nhau, chuyển mọi tài liệu về cùng ngôn ngữ tiếng việt

Thứ ba, tôi xây dựng đề cương chi tiết và trình bày với giáo viên hướng dẫn

Thứ tư, tôi đi vào nghiên cứu sâu và hoàn chỉnh từng nội dung theo đề cương đã vạch định

Thứ năm, tôi trao đổi với giáo viên hướng dẫn lần cuối trước khi nộp luận văn về hội đồng bảo vệ

PHẦN NỘI DUNG

Luận văn này có thể dùng làm tài liệu tham khảo về liên tục và ứng dụng cho các bạn yêu thích Toán học

Luận văn gồm 3 chương

Chương 1, trình bày các kiến thức cơ bản hổ trợ cho việc xây dựng các bài toán

May 1, 2008

Chương 1 Kiến thức cơ bản

1.1 Bài toán cân bằng

Trong nhiều năm qua, giải tích hiện đại ngày càng đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết tối ưu và các ứng dụng của nó Chúng ta thường bắt gặp các bài toán tối ưu trong kinh tế, kĩ thuật và đặc biệt là trong tài chính tối ưu Bài toán cân bằng

là một trong những vấn đề, bao gồm nhiều mối quan hệ với vấn đề tối ưu như là bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng của Nash, bài toán tìm phần bù, bài toán điểm bất động, bài toán điểm trùng lập, bài toán mạng giao thông

Bài toán cân bằng được nhiều tác giả đề cập đến với việc giải quyết được sự tồn tại và sự duy nhất của nghiệm trong một số điều kiện Bạn có thể tìm đọc trong một số bài báo như “Blum và Oettli 1994”; “Noor và Oettli 1994”; “Bianchi và Al 1997”; “Chadli và Riahi 2000”; “Ansari và Al 2001”; “Lin và Al 2003”; “Hai và Khanh 2006”; “Anh và Khanh 2007”

1.1.1 Bài toán cân bằng

Mô hình bài toán

Giả sử X là không gian véctơ tôpô thực, M là tập con khác rỗng của X, M là

tập đóng và lồi Cho hàm với mọi

Giả sử F là ánh xạ từ X vào Y, với X, Y là các không gian Banach Kí hiệu

(X,Y) là không gian các toán tử tuyến tính liên tục đi từ X vào Y

1.1.2.2 Định nghĩa

Đạo hàm của F theo phương v tại x được xác định bởi:

nếu giới hạn này tồn tại

1.1.2.3 Định nghĩa

Ánh xạ F được gọi là khả vi tại x nếu tồn tại sao cho với mỗi thỏa mãn:

với là vô cùng bé bậc cao hơn t khi

Khi đó ta gọi A là đạo hàm của F tại x

hội tụ đều theo v trên các tập bị chặn

Do đó,

Vậy hay F khả vi Gâteaux

+ Với mọi tập V bị chặn và cho trước

Mặt khác,

Suy ra,

- Chiều đảo

Vì F thoả mãn (II) hội tụ đồng đều theo v trên các tập bị chặn nên

Vì F thoả mãn (I) nên

+r(v)

Do đó

Hay

Vậy f không liên tục

Giả sử f khả vi Fréchet tại (0;0)

Lúc đó tồn tại

(III) Trong R2 ta chọn chuẩn

Ánh xạ F đƣợc gọi là khả vi liên tục theo tại x nếu tồn tại đạo hàm

theo DF trong một lân cận của x và liên tục tại x (theo

tôpô chuẩn toán tử)

1.1.2.6 Định nghĩa

Giả sử U là tập lồi, mở trong không gian Banach X Hàm đƣợc gọi

là lồi trên U, nếu và thì

May 1, 2008

Đặt thì bài toán (OP) sẽ trở thành bài toán (EP) Hơn

nữa, f là hàm đơn điệu trên M

Dễ thấy f đơn điệu

1.1.3.3 Bài toán cân bằng của Nash

Cho I là một tập hợp hữu hạn (tập hợp tất cả các người chơi) Lấy ta xây

dựng tập (số chiến lược của người chơi thứ i)

Đặt với mỗi i ta xây dựng một hàm là hàm đặc

trưng cho sự tổn thất của người chơi thứ i

- Khi đó là nghiệm của (NP) khi và chỉ khi là nghiệm của (EP)

1.1.3.4 Bài toán điểm bất động

Cho X=X * là không gian Hilbert M là một không gian con của X

Đặt Khi đó thỏa mãn (EP) khi và chỉ khi là một nghiệm của (FP)

Thật vậy,

- Nếu thỏa mãn (FP) thì thỏa mãn (EP)

- Nếu thỏa (EP) thì thì ta chọn

Khi đó,

Suy ra,

Vậy (FP) tương đương (EP)

1.1.3.5 Bài toán cân bằng trong giải tích lồi, khả vi

Cho hàm là hàm lồi có đạo hàm G teaux tại x với

Từ tính chất của giải tích lồi ta suy ra thỏa (CDOP) khi và chỉ khi thỏa bất

đẳng thức biến phân

Đặt f(x,y)= thì đây là bài toán cân bằng (EP)

1.1.3.6 Bất đẳng thức biến phân trên các toán tử

Cho A: X * là một ánh xạ

Dễ thấy, nếu f(x,y)= thì (VIP) tương đương (EP)

1.1.3.7 Bài toán phần bù:( đây là trường hợp đặc biệt của bài toán trên)

Giả sử M là một hình nón lồi, đóng với

Cho T: M X * là ánh xạ

May 1, 2008

Bài 2 Sự tồn tại nghiệm

Trong phần này ta sẽ chỉ ra sự tồi tại nghiệm của bài toán cân bằng (EP) trong

một số điều kiện cơ bản

Giả sử f(x,y) = g(x,y) + h(x,y) với g là hàm đơn điệu, liên tục; h là hàm liên

1.2.2 Định lý Giả sử các điều kiện sau đây thỏa mãn:

(i) X là một không gian vectơ tôpô thực, M con X là một tập khác rỗng, đóng

(iv) Giả sử tồn tại và C là tập khác rỗng, compăc, lồi thỏa với mọi

g(x,a)+h(x,a)

Khi đó, tồn tại thỏa mãn:

Hơn nữa,

May 1, 2008

Vì L là tập con khác rỗng của tập đóng nên

Giao bất kì một họ các tập con khác rỗng của S(y) là khác rỗng và S(y) là tập con đóng của tập compăc C

Do đó,

Vậy luôn tồn tại

1.2.4 Bổ đề Giả sử g, h được xác định như trên, hai mệnh đề sau là tương đương

(a)

(b)

Chứng minh

+ Giả sử (b) thỏa, tức là tồn tại sao cho:

-Vì g đơn điệu (giả thiết chung cho cả bài này) nên

0 hay

- Do đó:

+ Giả sử (a) thỏa, khi đó:

- Lấy y bất kì thuộc C, ta đặt x t = ty+(1-t) , 0

Khi đó, và (a) thỏa nên g(x t ,

- Hơn nữa, với 0

0 = g(x t ,x t ) = g(x t , ty+(1-t) ) tg(x t , y)+(1-t)g(x t , ) ( g là hàm lồi)

tg(x t , y)+(1-t)h( x t ) tg(x t , y)+(1-t)(t.h( )+(1-t)h( )) = tg(x t , y)+(1-t)t.h( )

- Chia hai vế cho t ta được

0 g(xt, y)+(1-t)h( y)

- Khi và g liên tục nên

Vậy:

1.2.5 Bổ đề Giả sử là hàm lồi,

Chứng minh

Giả sử tồn tại sao cho

mà suy ra, tồn tại thỏa mãn (mâu thuẫn với

 Ví dụ

Hàm biến cặp (x,y) thành x-y

Rõ ràng, nếu thì

Suy ra, Hay

Vậy g là hàm tựa đơn điệu

Nhận xét: Nếu g là hàm đơn điệu thì g tựa đơn điệu

Thật vậy, -

- Giả sử

2.1.2 Định nghĩa

Cho X là không gian mêtric thực Hàm đƣợc gọi là

trong đó h>0, và d(.,.) là mêtric xác định trên

X

2.1.3 Định nghĩa Giả sử X là không gian mêtric thực

Hàm đƣợc gọi là h. đơn điệu mạnh nếu:

 Ví dụ

Hàm biến cặp (x,y) thành x-y

- Hàm f thỏa giả đơn điệu mạnh vì

Giả sử trong đó R là không gian các số thực

2.1.4 Định nghĩa Biến phân của hàm trên [b,c] là cận trên đúng của các số

lấy theo tất cả các cách chia [b,c] bởi các điểm

trong đó n là số tự nhiên tùy ý

Kí hiệu biến phân của là

Rõ ràng, đơn điệu không giảm và

Giả sử đơn điệu không giảm và Khi đó, theo nhận xét trên thì có biến phân giới nội

- Vì đơn điệu không giảm nên có đạo hàm hầu khắp nơi

Do đó, có đạo hàm hầu khắp nơi

2.2 Liên tục

2.2.1 Định nghĩa

Giả sử X,Y là các không gian Banach Hàm đƣợc gọi là liên tục

nếu tồn tại một lân cận U của x 0 và :

Hàm f đƣợc gọi là liên tục trên tập nếu f liên tục tại mọi điểm

2.2.6 Định nghĩa Giả sử X,Y là các không gian Banach

Hàm địa phương tại nếu tồn tại một số

sao cho:

trong đó B là hình cầu đơn vị mở

2.2.7 Định lý Giả sử f là hàm lồi trên tập lồi, mở U, f bị chặn trong một lân cận

của một điểm nào đó thuộc U Khi đó, f là địa phương trên U

Chứng minh

Lấy ta chứng minh f là địa phương trong một lân cận của x

Trước hết ta chỉ ra f bị chặn trong một lân cận của x

+ Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử f bị chặn trên bởi số M trên tập

+ Chọn p > 1 sao cho y:= px

+ Đặt là một lân cận của với bán kính

Khi đó, với mọi ta có:

Như vậy, f bị chặn trên trên lân cận V của x

Hơn nữa, với thì tồn tại sao cho

Khi đó,

vì f là hàm lồi

Suy ra,

hay f bị chặn dưới trên trên V Vậy f bị chặn trên V

Giả sử N là đánh giá trên của | f(x)| trên tập

Lấy

Vì f là hàm liên tục trên tập lồi nên luôn tồn tại

May 1, 2008

nghiệm bài toán cân bằng

Giả sử X, A là các không gian mêtric M là tập con khác rỗng của X

( )

Trong phần này chúng ta sử dụng đến điều kiện sau đây để nghiên cứu tính duy

nhất và tính liên tục của bài toán ( )

Khi đó, giả đơn điệu mạnh trên M

b Ngƣợc lại, nếu f là giả đơn điệu mạnh trên M và tựa đơn

điệu trên M thì f thỏa thì tồn tại sao cho

Chứng minh

a Ta cần chứng minh f là giả đơn điệu mạnh trên M

Tức là, tồn tại thỏa mãn:

Thật vậy,

Nếu và f(x,y) > 0 thì d(f(x,y),R + ) = 0

Khi đó,

Suy ra,

d(f(y,x),R + ) = - f(y,x) > 0

Do đó,

Vậy f là giả đơn điệu mạnh trên M

b Ta cần chứng minh f thỏa mãn luôn tồn tại

sao cho:

* Nếu f(x,y) 0

- Vì giả đơn điệu mạnh trên M nên

-f(y,x) = d(f(x,y),R + ) + d(f(y,x),R + )

thì sự tồn tại đó là duy nhất

Chứng minh

Vì thỏa

Giả sử tồn tại thỏa mãn

Mặt khác, f là giả đơn điệu mạnh trên nên

Hay Vậy định lý đƣợc chứng minh

2.3.3.2 Hệ quả

tại thỏa vấn đề ( ) thì sự tồn tại đó là duy nhất

Cho X, A là các không gian mêtric, lấy M là tập con khác rỗng của X Ta kí

hiệu là nghiệm duy nhất của ( ) theo tham số Hàm đƣợc xác định bởi

- Theo giả thiết b ta có:

vì

Hay

Vậy g liên tục

là tập các giá trị thỏa (QEP)

2.3.4.2 Định lý Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:

(i) Giả sử trong lân cận của và lân cận V(µ 0 ) của µ 0 sao cho

là và f

là tại µ 0 q- tương thích đến E ( )

(ii) là đơn điệu mạnh trong

(iii) K (., ) là (l 1 1 , l 2 2 ) - H lder trong E (U ( ))

- Vì và

thỏa mãn:

(2) (3)

Bước 2: Ta có:

thoả mãn

(6)

May 1, 2008

Thật vậy, Giả sử (nếu thì (6) đúng)

Từ định nghĩa của (QEP), ta có

Theo điều kiện từ (7) đến (10) ta có:

+ + Tương đương,

2.3.4.3 Định lý Từ định lý 2.3.4.2 ta có thể thay điều kiện (ii) bởi:

(ii’) là tựa đơn điệu trong và là

giả đơn điệu mạnh trong

Bước 2: Ta nhận lại kết quả từ (7) đến (12)

Nếu thì theo (ii’) ta có:

Chương 3 Một số ứng dụng

Bài toán cân bằng bao hàm nhiều bài toán quan trọng trong lý thuyết tối ưu

Do đó, những kết quả trình bày trong chương hai dễ dàng suy ra các hệ quả tương ứng cho các trường hợp đặc biệt của bài toán cân bằng Trong chương này, chúng

ta trình bày các hệ quả cho một số trường hợp đặc biệt đã được đề cập đến ở chương 1

Định nghĩa sau đây là trường hợp đặc biệt của định nghĩa 2.1.1; 2.1.3 và 2.1.4

3.1 Định nghĩa

Giả sử A là tập con khác rỗng của không gian X Hàm

(a) được gọi là tựa đơn điệu trong A nếu

(b) được gọi là giả đơn điệu mạnh nếu

(c) được gọi là đơn điệu mạnh nếu